Быстрый счет - Управление образования администрации МО

Министерство образования и науки Российской Федерации
МБОУ Алтарикская средняя общеобразовательная школа
Иркутской области, Нукутского района
Исследовательская работа:
«Быстрый счет без калькулятора»
Работу выполнили:
Люлько Анастасия,
Косович Лилия
Обучающиеся 8-го класса
МБОУ Алтарикская средняя
общеобразовательная школа
Руководитель: Балханова Галина Энгельсовна.
Алтарик, 2014г.
Оглавление
Введение……………………………………………………………………………….….. 3
Ход исследования…………………………………………………………………………..5
Как люди научились считать…………………………………………………………........5
Чудо – счетчики………………………………………………………………...……………….6
Упрощённые приёмы устных вычислений при умножении натуральных чисел …………9
1.Умножение на 11………………………………………………………………………....9
2. Быстрое возведение в квадрат…………………………………………………………..9
3. Умножение на 5………………………………………………………………………….9
4. Умножение на 9…………………………………………………………………………10
5. Умножение на 4…………………………………………………………………………10
6. Деление на 5……………………………………………………………………………..10
7.Любимая цифра…………………………………………………………………………..10
8.Угадать возраст…………………………………………………………………………..10
9.Всегда девятка……………………………………………………………………………11
Заключение…………………………………………………………………………………12
Список литературы………………………………………………………………………...13
Приложение………………………………………………………………………………...14
Введение
Всем известно, какую роль в школьном курсе обучения имеют вычислительные
навыки. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии, черчению нельзя
решить, не обладая навыками элементарных способов вычисления. Счёт в уме является
самым древним и простым способом вычисления. Знание упрощённых приёмов устных
вычислений остаётся необходимым даже при полной механизации всех наиболее
трудоёмких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только
быстро производить расчёты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и
исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных с помощью калькулятора.
Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам
полноценно усваивать предметы естественно – математического цикла.
Проблема исследования:: найти и рассмотреть нестандартные приёмы устного
быстрого счёта, не рассматриваемые непосредственно в школьном курсе математики.
Цель исследования: изучить нестандартные приемы вычислений и научиться
применять некоторые способы быстрого счета, когда нет в распоряжении таблиц и
калькулятора .
Задачи:
1. Узнать об упрощённых, нестандартных способах устных вычислений при умножении
натуральных чисел.
2.Рассмотреть и показать на примерах применение нестандартных способов при
умножении и делении чисел.
Объект исследования – вычислительные навыки и быстрый счёт на уроках
предметов естественно – математического цикла.
Предмет исследования – нестандартные приёмы и навыки устного счёта при
умножении и делении натуральных чисел.
Источники исследования:
1.Интернет-ресурсы;
2.Литература;
Методы исследования:
1. Сбор информации;
2.Систематизация и обобщение.
Актуальность выбранной темы заключается в том, что нижеперечисленные
способы быстрого счёта рассчитаны на ум обычного « человека» и не требуют
уникальных способностей. Главное – более или менее продолжительная тренировка.
Кроме того освоение этих навыков развивает логику и память учащегося.
Практическая значимость: Работа имеет большое познавательное и практическое
значение, так как если научиться быстро вычислять, то это может пригодиться при
выполнении контрольных работ и сдаче экзамена(ОГЭ и ЕГЭ) по математике.
Гипотеза: Многие говорят: «Без калькулятора – как без рук». Калькулятор
незаменимый помощник, но так ли уж он полезен в школе?
Ход исследования
Как люди научились считать
Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал
считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев,
ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменный топор и нож, и ему приходилось
считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни.
Постепенно возникало необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: поскольку
плодов достанется каждому, чтобы хватило всем, сколько расходовать сегодня, чтобы
оставить про запас; сколько нужно сделать ножей и т.п. Таким образом, сам не замечая,
человек начал считать и вычислять.
Вначале человек научился выделять единичные предметы. Например, из стаи
волков, стада оленей, он выделял одного вожака, из выводка птенцов - одного птенца и т.
д. Научившись выделять один предмет из множества других, говорили: "один", а если их
было больше - "много". Даже для названия числа "один" часто пользовались словом,
которым обозначался единичный предмет, например, "луна", "солнце". Такое совпадение
названия предмета и числа сохранилось в языке некоторых народов до наших дней.
Частые наблюдения множеств, состоящих из пары предметов (глаза, уши, крылья,
руки), привели человека к представлению о числе два. До сих пор слово "два" на
некоторых языках звучит так же, как "глаза" или "крылья". « Если предметов было больше
двух, то первобытный человек говорил «много». Лишь постепенно человек научился
считать до трех, затем до пяти и до десяти и т.д. Название каждого числа отдельным
словом было великим шагом вперед.
Для счета люди использовали пальцы рук, ног. Ведь и маленькие дети тоже учатся
считать по пальцам. Однако этот способ годился только в пределах 20. Выход нашелся:
считать на пальцах до 10, а затем начинать сначала, отдельно подсчитывая количество
десятков. Система счисления на основе десяти возникла как естественное развитие
пальцевого счета.
По мере развития речи люди начали использовать слова для обозначения чисел.
Отпала необходимость показывать кому-то пальцы, камешки или реальные предметы,
чтобы назвать их количество. Для изображения чисел стали применяться рисунки,
чертежи или символы. Существовали и системы с отдельными символами для каждой
цифры до 9 включительно, как в арабской системе счисления, которую мы сейчас
используем, а у греков имелся специальный символ и для 10. При помощи пальцев рук
люди научились не только считать большие числа, но и выполнять действия сложения и
вычитания.
Древние торговцы для удобства счета начали накладывать зерна и раковины на
специальную дощечку, которая со временем стала называться абаком.
Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления особенно последнее. «Умноженье - мое мученье, а с делением - беда», - говорили в
старину. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приема
для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных
способов умножения и деления - приемы один другого запутаннее, твердо запомнить
которые, не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела
держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие
специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.
Чудо – счетчики
Простейшие арифметические задачки жизнь задает нам чуть ли не поминутно: в
той или иной степени устным счетом владеет каждый. Приемы расчетов "в уме" несложны
и описаны еще в прошлом веке Сергеем Александровичем Рачинским, крупным ученым и
замечательным педагогом, автором первого в России задачника по "умственному счету".
Кстати, С. А. Рачинский запечатлен в образе школьного учителя его учеником, известным
художником Николаем Богдановым-Бельским в картине "Устный счет".
Оказывается, нехитрое упражнение школьников младших классов может стать
предметом пристального внимания ученых. Феномен сверхбыстрого счета, возможность
оперировать в уме многозначными цифрами со скоростью ЭВМ - вот что заставляет
специалистов в области мозга находить и исследовать людей, обладающих выдающимися
способностями к устному счету. Ни одна из возможностей нашего мозга не кажется столь
удивительной, как загадка чудо - счетчиков.
...В зрительном зале погас свет. На сцену, ярко освещенную огнями рампы, вышел
человек в строгом черном костюме - не цирковой артист, не конферансье, не исполнитель
популярных песенок. У него в руках мел и тряпка. Они как-то непривычны на сцене.
Эстрадный номер начинается. Сотни зрителей с неослабевающим вниманием следят за
исполнителем.
- Назовите мне, пожалуйста, - обращается артист к зрителям. - многозначное множимое и
многозначный множитель, и прошу вас найти вместе со мной их произведение.
- Один миллион пятьсот девяносто четыре тысячи триста двадцать три умножьте на три
тысячи четыреста пятьдесят шесть, - просят из зала.
Проходит несколько секунд, и все читают на доске результат - 5 509 980 288.
Артист терпеливо ждет, пока зрители перемножат на бумаге числа. После этого он
называет также все промежуточные результаты, полученные при умножении.
Теоретический отдел Европейского центра ядерных исследований помимо
сложных ЭВМ пользовался услугами Вильяма Клайна, человека-компьютера.
Что же собой представляет это дарование? Никакое описание, никакой рассказ не могут
дать о нем полного представления. Нужно присутствовать при живой демонстрации,
чтобы понять, до какой степени справедлив эпитет "чудо".
Вот рассказ об эксперименте, проведенном одним из исследователей с мадемуазель
Осака. Испытуемую просили возвести в квадрат 97. получить десятую степень того же
числа. Она делала это моментально. Затем предлагали извлечь корень шестой степени из
40 242 074 782 776 576. Она отвечала тотчас и без ошибок.
В 1927 году доктор Ости и математик Сент-Лаге экзаменовали слепого счетчика
Луи Флери. Среди поставленных задач была следующая: дается число, нужно разложить
его на куб некоторого числа и четырехзначное число. Флери предложили число 707 358
209. Он размышлял 28 секунд и дал решение: 891 в кубе и 5236. Ему предложили
211717440. Ответ последовал через 25 секунд: 596 в кубе и 8704.
В Ванском районе Западной Грузия когда-то жил Арон Чиквашвили. Он свободно
манипулировал
в уме многозначными числами. "Счетный механизм" Чиквашвилй не
знал усталости и ошибок. Как-то друзья решили проверить возможности чудо-счетчика.
Задание было суровым: сколько слов и букв скажет диктор, комментирующий второй
тайм футбольного матча "Спартак" (Москва) - "Динамо" (Тбилиси). Одновременно был
включен магнитофон. Ответ последовал, как только диктор сказал последнее слово: 17
427 букв, 1835 слов. На проверку ушло... пять часов. Ответ оказался правильным. 39летний Арон Чиквашвилй окончил юридический и экономический факультеты вуза.
Феноменальный дар к счету проявился у француза Лидоро в три года, когда он не
умел еще ни читать, ни писать.
Среди чудо - счетчиков особенно большой популярностью пользуются задачи, в
основе которых лежит календарное исчисление. Проносясь мысленно через века и
тысячелетия, преодолевая трудности недесятичных соотношений (ведь неделя состоит из
7 дней, сутки из 24 часов, час из 60 минут и т. д.), они, за несколько секунд способны
проделать сотни операций и сообщить, что 1 января 180 года была пятница. И все это
делается с учетом високосных лет, смены календаря в 1582 году и т. д. Они, например,
могут сказать, сколько секунд прошло со времени смерти Нерона до падения
Константинополя. Однажды за беседой два счетчика Иноди и Дагбер шутя, задавали друг
другу вопросы такого рода: какой день недели будет 13 октября 28448723 года?
Рассказывают, что отец Гаусса обычно платил своим рабочим в конце недели,
прибавляя к каждодневному заработку плату за сверхурочные часы. Однажды, после того
как Гаусс-отец закончил расчеты, следивший за операциями отца ребенок, которому было
едва три года, воскликнул:
- Папа, подсчет неверен! Вот какая должна быть сумма.
Вычисления повторили и с удивлением убедились, что малыш указал правильную сумму.
Что же происходит с чудо - счетчиком дальше?
Обычно их умение бесконечно совершенствуется вплоть до глубокой старости. Но
бывает и так, что мало-помалу оно исчезает, по мере того как его обладатель получает
обычное для всех детей образование. Например, Ампер стал одним из крупнейших
ученых но он потерял способность, к устному счету, по мере того как расширялись его
познания в области классической математики. Наоборот, Гаусс и Эйлер соединяли вплоть
до смерти обе стороны своей гениальности.
Интересно, что многие люди-счетчики не имели вообще никакого понятия, так они
считают: "Считаем, и все! А как считаем, бог его знает". Такие ответы не удивительны.
Некоторые из счетчиков были совсем необразованными, людьми. Англичанин Бакстон,
счетчик-виртуоз, так никогда и не научился читать, не знал цифр. Американский негр,
счетчик Томас Фулер умер неграмотным в возрасте 80 лет.
Пожалуй,
единственная
научно
обоснованная
и
достаточно
подробно
разработанная система резкого повышения быстроты устного счета создана была в годы
второй мировой войны цюрихским профессором математики Я. Трахтенбергом. Она
известна под названием "Системы быстрого счета". История ее создания необычная. В
1941 году гитлеровцы бросили Трахтенберга в концлагерь. Чтобы уцелеть в
нечеловеческих условиях и сохранить нормальной свою психику, Трахтенберг начал
разрабатывать принципы ускоренного счета. За четыре страшных года пребывания в
концлагере профессору удалось создать стройную систему ускоренного обучения детей и
взрослых основам быстрого счета. После войны Трахтенберг создал и возглавил
Цюрихский математический институт, получивший мировую известность. Система
Трахтенберга позволяет резко ускорить процесс выполнения операций умножения,
деления, сложения, возведения в степень и извлечения корня.
Как мы видим, быстрый счет это уже не тайна за семью печатями, а научно
разработанная система. Раз есть система, значит, ее можно изучать, ей можно следовать,
ею можно овладеть.
Упрощённые приёмы устных вычислений при умножении натуральных чисел.
1. Умножение на 11
Умножать на 11 чуть сложнее, чем умножать на 10. Закономерность здесь такая:
53 х 11 = 583
Шаг 1 — Складываем две цифры двузначного числа: 5 + 3 = 8
Шаг 2 — Помещаем результат между двумя числами двузначного числа: 583
59 х 11 = 649
Шаг 1 — 5 + 9 = 14
Шаг 2 — Перекидываем единицу налево, если сумма на предыдущем шаге оказалась
больше 9: 5 + 1 = 6 (справа остается второй символ, в данном случае это четверка)
Шаг 3 — На первый символ мы единицу уже перекинули, получили 6. Далее у нас
осталась 4, которую ставим в центр, и дописываем 9: 649
2. Быстрое возведение в квадрат
Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое
заканчивается на 5.
85 х 85 = 7225
Шаг 1 — Умножаем первую цифру на первую цифру, увеличенную на единицу: 8 x (8 + 1)
= 72
Шаг 2 — Дописываем к получившемуся результату 25: 7225
45 x 45 = 2025
Шаг 1 — 4 х (4 + 1) = 20
Шаг 2 — 2025
3. Умножение на 5
Большинство людей очень просто запоминает таблицу умножения на 5, но, когда
приходится иметь дело с большими числами, сделать это становится сложнее. Или нет?
Этот прием невероятно прост.
Возьмите любое число, разделите на 2 (другими словами, поделите пополам). Если в
результате получилось целое число, припишите 0 в конце. Если нет, не обращайте
внимание на запятую и в конце добавьте 5.
Это срабатывает всегда:
2682×5 = (2682 / 2) & 5 или 0
2682 / 2 = 1341 (целое число, поэтому добавьте 0)
13410
Давайте попробуем другой пример:
5887×5
2943,5 (дробное число, пропустите запятую, добавьте 5)
29435
4. Умножение на 9
Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните
палец, который соответствует умножаемому числу (например 9×3 – загните третий палец),
посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9×3 – это 2), затем посчитайте после
загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.(Приложение №1…)
5. Умножение на 4
Это очень простой прием, хотя очевиден лишь для некоторых. Хитрость в том, что нужно
просто умножить на 2, а затем опять умножить на 2:
58×4 = (58×2) + (58×2) = (116) + (116) = 232
6. Деление на 5
На самом деле делить большие числа на 5 очень просто. Все, что нужно,— просто
умножить на 2 и перенести запятую: 195 / 5
Шаг1: 195×2 = 390
Шаг2: Переносим запятую: 39,0 или просто 39.
2978 / 5
Шаг1: 2978×2 = 5956
Шаг2: 595,6
7.Любимая цифра.
Предложите задумать свою любимую цифру. А теперь выполните умножение (на
калькуляторе) числа 15873 на любимую цифру, умноженную на 7. Например, если
любимая цифра 5, то умножить нужно на 35. Получится произведение, записанное только
любимой цифрой.
Возможен и второй вариант: умножить число 12345679 на любимую цифру, умноженную
на 9, в нашем случае это число 45.
Объяснение этого фокуса достаточно простое: если умножить 15873 на 7, то получится
111111, а если умножить 12345679 на 9, то получится 111111111.
8.Угадать возраст.
Умножаем число своих лет на 10, затем любое однозначное число умножить на 9, из
первого произведения вычесть второе и сообщить полученную разность. В этом числе
“фокусник” должен цифру единиц сложить с цифрой десятков – получится число лет.
9.Всегда девятка
Предложите кому-нибудь написать число из трех разных цифр, под ним — написать число
из этих же цифр, но в обратном порядке. Затем вычесть меньшее из большего. Когда
зритель это сделает, скажите ему, что в середине числа стоит девятка.
Секрет фокуса: Вы будете правы, потому что девятка всегда будет в середине независимо
от того, какие цифры написаны.
На основании этих примеров мы провели тестирование.(Приложение №2)
Заключение
В своей работе мы рассказали
лишь о нескольких упрощённых нестандартных
приёмах устных вычислений быстрого счёта при умножении натуральных чисел из
существующих
30
способов,
способствующих
развитию
памяти
и
повышению
математической культуры мышления. Для своих исследований мы взяли приемы:
умножение на 11, быстрое возведение в квадрат,
умножение на 5, умножение на 9,
умножение и деление на 4 , сложное умножение, деление на 5, вычитание из 1000.
Задания предлагались обучающимся 5, 8, 9,и 11 классов.
В результате проведенных
исследований, до и после применения приемов и методов быстрого счета, заметили, что
время которое потратили обучающиеся на решение заданий сократилось примерно на 2
минуты.(Приложение №3)
На основании своих исследований мы сделали вывод о том, что знание
упрощённых приёмов устных вычислений остаётся необходимым даже при полной
механизации всех наиболее трудоёмких вычислительных процессов. Работа, проведенная
нами, доказывает, что знание этих приёмов и их применение особенно важно в тех
случаях, когда вычисляющий не имеет в своём распоряжении таблиц или калькулятора.
Список литературы
1. «Устный счёт – гимнастика ума» Г.А.Филиппов
2. «Алгоритмы ускоренных вычислений» Л.В. Бикташева
3. «Задачи математических олимпиад» И.Л. Бабинская
4. «Математическая шкатулка» Ф.Ф.Нагибин Е.С.Канин
5. «Мир чисел» Г.И. Зубелевич В.И.Ефимов
6. «Задачи для математического кружка» Е.Г.Козлова
7. «Тысяча проблемных задач по математике» Л.М. Лоповок
8. «Логические основы математики» А.Д.Гетманова
Приложение №1
Два умножить на девять.
Шесть умножить на три.
Приложение №2
Тест 1 ( пробный)
1) 35*35=
2) 816 : 4=
3) 7*9=
4) 13*11=
5) 142*5=
Тест 2 ( после объяснения)
1) 65*65=
2) 936:4=
3) 5*9=
4) 32*11=
5) 253*5=
Приложение №3
Результаты проведённых тестов.
МАСТЕР
КЛАСС В
5
КЛАССЕ
МАСТЕР
–
МАСТЕР –
КЛАСС В ВОСЬМОМ КЛАССЕ
КЛАСС В ДЕВЯТОМ КЛАССЕ
ОБЪЯСНЕНИЕ
ИТОГИ
МАСТЕР-КЛАССА
6
5
4
Тест 1
3
Тест 2
2
1
0
5 класс
8 класс
9 класс
11 класс