олим 8кл

Школьный тур олимпиады по математике 8 класс
1. Нарисуйте на плоскости пять различных прямых так, чтобы они пересекались ровно в
семи различных точках.
2. Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки меда, 4 тарелки
сгущенки и 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно
растолстел от такой еды. Но известно, что если бы он съел 2 тарелки меда, 3 тарелки
сгущенки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки меда, 2 тарелки сгущенки и 3 тарелки
варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего больше
толстеют: от варенья или от сгущенки?
3. Петя тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 — на учебу в школе, 1/6 — на
просмотр кинофильмов, 1/7 — на решение олимпиадных задач, и 1/3 — на сон. Можно ли
так жить?
4. На сторонах AB, BC, CA треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1, В1.
Оказалось, что угол С1В1А1 равен углу А1В1С, угол В1А1С1 равен углу С1А1В, угол
А1С1В1 равен углу В1С1А, В1А1 = А1С, А1С1 = С1В, С1В1 = В1А. Найдите углы
треугольника АВС.
5. На классной доске записаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Петя и Вася по
очереди стирают по одному числу до тех пор, пока не останется одно число. Если
оставшееся число составное - выиграл Петя. Может ли Вася помешать выиграть Пете?
Критерии оценивания
Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько
различных вариантов решений. Кроме того, необходимо оценивать частичные продвижения в
задачах (например, разбор важного случая, доказательство леммы, нахождение примера и т.п.).
Наконец, возможны логические и арифметические ошибки в решениях. Окончательные баллы по
задаче должны учитывать все вышеперечисленное.
В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад школьников каждая
задача оценивается из 7 баллов.
Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.
Баллы
7
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение
6-7
Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие
на решение.
5-6
Решение в целом верное. Однако решение содержит влияющие
существенные ошибки либо пропущены случаи, не на логику
рассуждений.
4
Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных
случаев + пример), или в задаче типа «оценка верно получена оценка.
2-3
Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении
задачи.
0-1
Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или
при ошибочном решении).
0
Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0
Решение отсутствует.
Важно отметить, что любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо
снимать баллы за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника
отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри.
В то же время любой сколь угодно длинный текст решения, не содержащий полезных
продвижений, должен быть оценен в 0 баллов.
Ответы
1. Решение :
Три возможных ответа изображены на рисунке 1. Можно показать, что других
конфигураций из пяти прямых, пересекающихся ровно в семи различных точках, нет.
2. Ответ : от сгущенки.
Решение :
По условию
3м + 4с + 2в > 2м + 3с + 4в, откуда м + с > 2в. (*)
По условию же
3м + 4с + 2в > 4м + 2с + 3в,
Откуда
2с > м + в.
Складывая последнее неравенство с неравенством (*), получаем м + 3с > м + 3в, откуда
с > в.
3. Ответ: нельзя
Решение: Поскольку 1/5 + 1/6 > 1/3, то сумма данных дробей 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/3 >
1, что противоречит здравому смыслу. Нет, так жить нельзя.
4. Ответ. Все углы по 60º.
Решение: Пусть в треугольнике АВС А   , В   , С   . Так как, В1А1 = А1С, то
в равнобедренном треугольнике А1В1С углы при основании равны, то есть
А1В1С  А1СВ1   . Аналогично доказывается, что С1 А1В  С1ВА1   и угол
В1С1 А  В1 АС1   .
Так как В1 А1С1  С1 А1В   , то угол В1А1В = 2β. В то же время угол В1 А1В  внешний
угол треугольника В1 А1С , поэтому В1 А1B  2 γ. Таким образом,
2γ = 2β, или γ = β. Аналогично, α = β. Следовательно, α = β = γ = 60º.
4. Ответ. Вася может помешать выиграть Пете.
Решение: Каждый игрок сделает ровно по 6 ходов. Среди данных только 6 составных
чисел (4, 6, 8, 9, 10, 12). Вася должен стирать на своем ходу составное число, а если таких
чисел не осталось, то любое. Так как их 6, то после его последнего хода не останется ни
одного составного числа. Следовательно, Вася может помешать выиграть Пете.
Критерии оценивания
1 задание. 7 баллов ставится за все три варианта, 6 баллов – за два, если указан только один
вариант, то ставится 3 балла.
2, 3 задание согласно таблице.
4 задание. 7 баллов за правильное доказательство с чертежом. Если задача доказана без чертежа
– 0 баллов.