Задачи на принадлежность геометрических фигур

Задачи на принадлежность геометрических фигур
Геометрические фигуры (точки, прямые, плоскости) могут быть
расположены в пространстве относительно друг друга по-разному. В
пространстве можно визуально определить принадлежит ли плоскости какаялибо точка или прямая. Для решения подобных задач на чертеже
необходимо использовать следующие теоремы.
Точка на прямой линии
Могут быть только два расположения точки и прямой в пространстве
относительно друг друга: точка принадлежит прямой или не принадлежит
ей.
Теорема: Если в пространстве точка принадлежит прямой, то на
чертеже её проекции принадлежат соответствующим проекциям этой
прямой.
Справедлива и обратная теорема если на чертеже проекции точки
принадлежат соответствующим проекциям прямой, то пространстве это
точка принадлежит данной прямой.
Рассмотрим применение донной теоремы (без её доказательства) для
решения практических задач.
На комплексном чертеже (Рисунок 1) прямая а в виде отрезка АВ
Рисунок 1
задана своими проекциями а и а. Точка D принадлежит прямой а в
пространстве, т.е. ее проекции D и D принадлежат одноименным проекциям
данной прямой: D  а, D а.
Точка N не принадлежит прямой а, т.к. ни одна из ее проекций не
находится на проекциях данной прямой.
Точка М также не принадлежит прямой а, потому что только одна её
проекция m' находится на проекции а' данной прямой.
Прямая и точка в плоскости
а) прямая в плоскости
Теорема: Прямая принадлежит
плоскости, если две её точки
принадлежат этой плоскости.
Пример. Плоскость задана на чертеже (рис.2) параллельными
прямыми а и с.
Рисунок 2
Построить фронтальную проекцию прямой d, лежащей в плоскости,
если задана её горизонтальная проекция d.
Решение.
1) По условию прямая d принадлежит плоскости, заданной двумя
параллельными прямыми а и с, следовательно она пересекается с каждой из
этих прямых в точках H и В:
- в пространстве da в точке Н; d c в точке В;
- на чертеже (Рисунок 2) d а в точке h; d с в точке b.
2) Точки Н и В принадлежат прямым а и с, следовательно, можно
построить их фронтальные проекции а' и b по линиям проекционной связи.
3) Фронтальная проекция d прямой d проходит через фронтальные
проекции точек а и b.
Следствие из теоремы. Прямая будет принадлежат плоскости и в том
случае, если она проходит через одну точку этой плоскости параллельно
какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.
б) точка в плоскости
Теорема: Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит
прямой лежащей в этой плоскости.
На рисунке 2 точки А и В принадлежат плоскости, заданной двумя
параллельными прямыми а и с, т.к. они находятся на этих прямых, которые в
свою очередь принадлежат данной плоскости.
Пример. В плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми р и
а, построить горизонтальную проекцию m точки М, принадлежащей данной
плоскости и заданной своей фронтальной проекцией m' (Рисунок 3)
Решение. Так как точка М принадлежит данной плоскости, то через
эту точку можно провести прямую с принадлежащую плоскости. Таких
прямых в плоскости бесчисленное множество.
1) Через заданную фронтальную проекцию М2 точки М проводим
произвольную прямую с таким образом чтобы она пересекала фронтальные
проекции обеих заданных прямых р и а
Рисунок 3
2) Находим точки пересечения cf и Ь' прямых р и ас прямой с с'па' = д;
c'np' = Ь'. Точки В и D принадлежат соответствующим прямым, поэтому по
линиям проекционной связи можно построить их горизонтальные проекции d
u b, лежащие на проекциях прямых р и а
2)
3)
4)
5)
1) 31 Через горизонтальные проекции d u b точек пересечения продадим
горизонтальную проекцию с произведённой 6 п.1
произвольной прямой
4J Искомая горизонтальная проекция точки т строится по линии проекционной
связи которая проводятся из т' перпендикулярно оси X до пересечения с
горизонтальной проекцией прямой с
Взаимное положение двух прямых линий
Прямые в пространстве могут занимать различное взаимное положение дать
параллельными, пересекаться и
6)
7) 11 Из свойств параллельного проецирования известно, что если две прямые б
пространстве параллельны, то на чертеже параллельны их одноименные проекции
8) Справедливо и обратное утверждение если на чертеже проекции двух прямых
параллельны между содой, то прямые в пространстве параллельны.
Рис.4
а)
d
На рис. 4/7 приведены параллельные проекции прямых h и с hjjc, h'ljc'. Следовательно, д
пространстве эти прямые параллельны друг другу.
2) Если прямые пересекаются б пространстве, то на чертеже пересекаются их
одноименные проекции (рис. Ш Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку
пересечения При этом точки пересечения проекций этих прямых лежат на одной линии
проекционной связи гтт = а п'пт' = а'. Прямые пи т в пространстве пересекаются в точке А
3) Если прямые в пространстве скрещиваются (Рис. 461, то на чертеже их
одноименные проекции могут и пересекаться, но точки пересечения этих проекций
не лежат на одной линии проекционной связи Эти точки не являются общими для
оде их прямых.
Взаимное положение прямой линии и плоскости
Прямая линия может дать параллельна плоскости в пространстве или пересекаться
с ней. В частном случае -принадлежать плоскости.
В курсе математики доказывается, что плоскости, если она параллельна какой-/
лежащей б этой плоскости Справедливо и обратное утверждение.
Задача Через точку D д пространстве провести прямую, параллельную плоскости,
заданной пересечением двух прямых
(рис. 51- rtdncl. Точка D задана на чертеже своими проекциями.