УДК 517.55+512.71 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОДГОТОВИТЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА Ефимов Ф.А. Научный руководитель д-р физ.-мат. наук Цих А.К. Сибирский федеральный университет Подготовительная теорема Вейерштрасса (Vorbereitunsatz) возникла в связи с вопросом о структуре множества нулей голоморфных функций многих комплексных переменных. Обычно в книгах по комплексному анализу приводится доказательство этой теоремы, принадлежащее А. Пуанкаре (см., например книгу В.Б. Шабат [1]). Оно использует формулу логарифмического вычета для степенных сумм корней и рекуррентные формулы Ньютона. В настоящей работе приводится алгебраическое доказательство подготовительной теоремы. Это доказательство было намечено Л. Штикельбергером в 1887г.[2]. В книге [3] приводится доказательство Штикельбергера при одном дополнительном условии. Цель настоящей работы привести полное алгебраическое доказательство подготовительной теоремы на основе идеи Штикельбергера. Пусть 𝑘 – поле. Через 𝑘[𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ] обозначим кольцо многочленов переменных 𝑋1 , … , 𝑋𝑛 с коэффициентами из k. Элементы этого кольца записываются в виде: 𝑃= ∑ 𝑐𝛼 𝑋 𝛼 = 𝛼∈𝐴⊂ℕ𝑛 ∑ 𝛼 𝛼 𝑐𝛼1 …𝛼𝑛 𝑋1 1 … 𝑋𝑛 𝑛 . 𝛼=(𝛼1 ,…,𝛼𝑛 )∈𝐴 (Здесь ℕ = {0, 1, 2, … } – множество натуральных чисел, включая 0). Очевидны следующие включения: 𝑘[𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ] ⊂ 𝑘〈𝑋1 , … , 𝑋𝑛 〉 ⊂ 𝑘[[𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ]], где 𝑘〈𝑋1 , … , 𝑋𝑛 〉 – кольцо сходящихся степенных рядов (т.е. с непустыми областями сходимости). 𝑘[[𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ]] – кольцо формальных степенных рядов. Мы предполагаем, что 𝑘 = ℂ – поле комплексных чисел. Обозначим 𝑘〈𝑋1 , … , 𝑋𝑛 〉 ≔ 𝐾𝑛 . Тогда 𝐾𝑛+1 ≔ 𝑘〈𝑋1 , … , 𝑋𝑛 , 𝑌〉 можно представить в виде 𝐾𝑛+1 = 𝐾𝑛+1 〈𝑌〉, т.е. в виде кольца степенных рядов от 𝑌, коэффициенты которых – ряды от 𝑋1 , … , 𝑋𝑛 . Справедливость такого представления следует из возможности группирования членов абсолютно сходящегося ряда: ∞ ∑ 𝛼∈ℕ𝑛+1 𝛼 𝑐𝛼1 … 𝛼𝑛𝛼𝑛+1 𝑋1 1 𝛼 … 𝑋𝑛 𝑛 𝑌 𝛼𝑛+1 = ∑ ( ∑ 𝛼𝑛+1 =0 (𝛼1 ,…,𝛼𝑛 )∈ℕ𝑛 𝛼 𝛼 𝑐𝛼1 …𝛼𝑛 𝑋1 1 … 𝑋𝑛 𝑛 )𝑌 𝛼𝑛+1 . 𝜈 Теорема. Пусть 𝑔 = ∑∞ 𝑔0 (0) = ⋯ = 𝑔𝑏−1 (0) = 0 , 𝜈=0 𝑔𝜈 𝑌 ∈ 𝐾𝑛 〈𝑌〉 , причем 𝑔𝑏 (0) ≠ 0. Тогда существует обратимый элемент 𝑒 ∈ 𝐾𝑛+1 и многочлен 𝜔 ∈ 𝐾𝑛 [𝑌] степени 𝑏 такие, что g= 𝑒𝜔. Доказательство. Вначале докажем утверждение при g 𝑏 ≡ 1. В этом случае мы можем записать: g = 𝑌 𝑏 (𝜔 + 1), 𝑤 ≔ 𝑢 + 𝑣, ∞ 𝑏−1 𝑢 ≔ ∑ g 𝛽 (𝑥) 𝑌𝛽−𝑏 , 𝑣 ≔ ∑ g 𝜈 (𝑥) 𝑌 𝜈−𝑏 . 𝛽=0 𝜈>𝑏 Тогда 𝑤 есть ряд Лорана по 𝑌, главная часть которого конечна и равна 𝑢. Поскольку g 𝑏 (0) = 0 при 0 ≤ 𝛽 < 𝑏, для любого > 0 существует такой набор 𝑡 = (𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ) ∈ 𝑅+𝑛 , что g 0 , … , g 𝑏−1 являются голоморфными функциями в полицилиндре 𝑍 ≔ {𝑥 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ ℂ𝑛 : |𝑥1 | < 𝑡1 , … , |𝑥𝑛 | < 𝑡𝑛 } и |g 𝛽 (𝑥)| < 𝜀 для всех 𝑥 ∈ 𝑍, 0 ≤ 𝛽 < 𝑏. Для каждого 𝜌 > 0 функция 𝑢(𝑥, 𝑦) = g 0 (𝑥) g1 (𝑥) g 𝑏−1 (𝑥) + + ⋯ + 𝑦𝑏 𝑦 𝑏−1 𝑦 голоморфна как функция на прямом произведении полицилиндра 𝑍 и кругового 𝜌 1 𝜌 𝑏 1 кольца𝑄 ≔ {𝑦 ∈ ℂ: 2 < |𝑦| < 𝜌}. Если 𝜌 < 2 и 𝜀 < 2𝑏 ( 2) , то, очевидно, |𝑢(𝑥, 𝑦)| < 2 𝜈−𝑏 для всех (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑍 × 𝑄. При достаточно малых 𝑡 и 𝑝 функция 𝑣(𝑥, 𝑦) = ∑∞ 𝜈>𝑏 g 𝜈 (𝑥) 𝑦 также голоморфна в 𝑍 × 𝑄 . При этом, поскольку 𝑣 содержит множитель 𝑦, то 𝑡 и 𝑝 1 можно выбрать так, чтобы |𝑣(𝑥, 𝑦)| < 2 для всех (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑍 × 𝑄 . Тогда 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 голоморфна в 𝑍 × 𝑄 и |𝑤(𝑥, 𝑦)| < 1. Таким образом, в области 𝑍 × 𝑄 ⊂ ℂ𝑛+1 логарифм 𝑤2 𝑤3 ln(1 + 𝑤) = 𝑤 − + −⋯ 2 3 является однозначной голоморфной функцией. По теореме Лорана ln(1 + 𝑤) разлагается в ряд Лорана по 𝑦 с коэффициентами, голоморфными в 𝑍 ; разумеется, главная часть этого ряда не обязана быть конечной. Напишем ln(1 + 𝑤) = 𝐴 + 𝐵 где 𝐴 ∈ 𝐾𝑛+1 – тейлоровская часть, B – главная часть по 𝑦. Поскольку exp(ln(1 + 𝑤)) = 1 + 𝑤, 𝑧𝜈 𝑏 Где exp 𝑧 = ∑∞ 0 𝜈! , равенство g = 𝑌 (𝜔 + 1), верное в 𝑍 × 𝑄, принимает вид g exp(−𝐴) = 𝑦 𝑏 exp(𝐵). (1) Здесь в левой части стоит функция, голоморфная в окрестности 0 ∈ ℂ𝑛+1 и, следовательно, ряд Тейлора по 𝑦 . С другой стороны, ряд Лорана для exp(𝐵) = 1 + +𝐵 + …, кроме свободного члена 1, содержит лишь отрицательные степени 𝑦. Поэтому в правой части (1) стоит ряд по убывающим степеням 𝑦, начинающийся с 𝑦 𝑏 . Ввиду однозначности разложения в ряд Лорана 𝜔 ≔ 𝑦 𝑏 exp(𝐵) есть многочлен степени 𝑏 по 𝑦 с коэффициентами, голоморфными в окрестности точки 0 ∈ 𝑍 , и со старшим коэффициентом 1. Положим 𝑒 ≔ exp(𝐴). Тогда 𝑒 – обратимый элемент в 𝐾𝑛+1 и g= 𝑒𝜔. Из равенств g(0, y) = y b (1 + g b+1 y + ⋯ ) = 𝑒(0, y)(𝑦 𝑏 + ⋯ ) и из того, что 𝑒(0,0) ≠ 0, следует, как и выше, что 𝜔 - многочлен Вейерштрасса. Пусть теперь g 𝑏 (𝑥) – произвольный степенной ряд с условием g 𝑏 (0) ≠ 0 . Тогда g 𝑏 (𝑥) ≠ 0 в некоторой окрестности 𝑥 = 0. Поэтому корректно определена дробь: 𝑏−1 ∞ 𝛽=0 𝜈>𝑏 g 𝛽 (𝑥) 𝛽−𝑏 g g 𝜈 (𝑥) 𝜈−𝑏 =∑ 𝑌 + 𝑌𝑏 + ∑ 𝑌 . g 𝑏 (𝑥) g 𝑏 (𝑥) g 𝑏 (𝑥) Заметим, что g𝛽 (0) g𝑏 (0) = 0, при 0 ≤ 𝛽 < 𝑏. Тогда с учетом доказанного выше получаем представление: g = 𝑒𝜔, g 𝑏 (𝑥) где 𝑒 – обратимый элемент в 𝐾𝑛+1 , 𝜔 – многочлен Вейерштрасса. Отсюда g = g 𝑏 (𝑥)𝑒𝜔 = 𝑒̃ 𝜔, где 𝑒̃ = g 𝑏 (𝑥)𝑒 – обратимый элемент в 𝐾𝑛+1 , так как g 𝑏 (0) ≠ 0. Список литературы. 1. Б.В. Шабат. Введение в комплексный анализ. Часть 2. М.: Наука, 1976. 2. L. Stikelberger. Über einen Satz des Herrn Noether//Math. An. 1887, Bd.30, s.401-409. 3. Г. Грауэрт, Р. Реммерт. Аналитические локальные алгебры. М.: Наука, 1988.(H. Grauert, R.Remert. Analytische Stellenalgelren. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1971).