Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования математический факультет «СЫКТЫВКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«СЫКТЫВКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
математический факультет
УТВЕРЖДАЮ:
Проректор
по
Сыктывкарского
университета
учебной
работе
государственного
Программа утверждена на заседании
Ученого совета
математического факультета
Председатель Ученого совета факультета
___________________ А.Ю.Тимофеев
___________________ В.Г.Антонов
« » декабря 2009
Протокол № 3 от «20» ноября 2009
(подпись)
ПРОГРАММА
государственного экзамена
по специальности 010101
«Математика»
Сыктывкар 2009
Алгебра и геометрия
1. Основная теорема алгебры многочленов(без доказательства). Теорема Безу.
Разложение многочлена на неприводимые над С и над R .
2. Линейные пространства. Базисы, размерность.
3. Линейные отображения и их матрицы. Ранг матрицы.
4. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
Диагонализируемые операторы.
5. Циклические группы. Классификация циклических групп.
6. Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Взаимное расположение прямой и
плоскости.
7. Каноническое уравнение и геометрические свойства эллипса.
8. Каноническое уравнение и геометрические свойства гиперболы.
9. Каноническое уравнение и геометрические свойства параболы
Математический анализ
10. Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении и теоремы Вейерштрасса для
непрерывной функции на отрезке.
11. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши для дифференцируемой функции на отрезке.
12. Понятие дифференцируемой функции от нескольких переменных. Необходимые
условия дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости.
13. Формула Тейлора для функции одного переменного. Различные формы записи
остаточного члена.
14. Локальные экстремумы функции одной переменной: необходимые условия,
достаточные условия.
15. Понятие определенного интеграла (по Риману). Интегрирование непрерывной
функции. Теорема о среднем значении интеграла.
16. Признаки сходимости числовых рядов: Даламбера, Коши, Лейбница,
интегральный.
17. Различные виды сходимости функциональных последовательностей и рядов.
Непрерывность равномерного предела последовательности и суммы равномерно
сходящегося ряда непрерывных функций.
18. Теоремы об
интегрировании и дифференцировании
функциональных
последовательностей и рядов.
19. Мера Лебега на прямой. Понятие интеграла Лебега.
Теория функций комплексной переменной
20. Голоморфные функции. Условия Коши-Римана.
21. Интегральная теорема и интегральная формула Коши для односвязной области.
22. Представление голоморфной функции в виде степенного ряда.
23. Изолированные особые точки голоморфной функции. Ряд Лорана.
24. Вычеты голоморфной функции и их применение к вычислению интегралов.
Топология и функциональный анализ
25. Понятие метрического пространства. Открытые и замкнутые множества.
Непрерывные отображения. Компактность. Критерий компактности множества в
Rn.
26. Полные метрические пространства. Принцип сжимающих отображений.
27. Пополнение метрического пространства.
28. Нормированные и банаховы пространства. Пространство Ca,b , его полнота и
сепарабельность.
29. Теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала.
30. Понятие гильбертова пространства. Общий вид линейного функционала.
31. Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных
функций.
Дифференциальные уравнения
32. Существование и единственность решения нормальной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений (теорема Пикара).
33. Структура общего решения линейного дифференциального уравнения n-го
порядка. Построение фундаментальной системы решений дифференциального
уравнения n-го порядка с постоянными вещественными коэффициентами.
34. Определение устойчивости по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Точка
покоя. Устойчивость системы по первому приближению.
35. Применение метода Фурье для уравнения теплопроводности и волнового
уравнения.
36. Типы уравнений с частными производными второго порядка. Теорема о
приведении уравнений с двумя переменными к каноническому виду.
37. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Первые
интегралы уравнения Эйлера.
Теория вероятностей
38. Понятие вероятностного пространства. Примеры вероятностных пространств.
Условная вероятность, формула полной вероятности, формула Байеса.
39. Независимые события. Формула Бернулли для вероятности числа успехов,
математическое ожидание и дисперсия числа успехов.
40. Функция распределения случайной величины. Типы функций распределения.
Свойства и примеры функций распределения.
41. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Примеры
(распределения Бернулли и Пуассона, равномерное и нормальное распределения).
42. Независимые случайные величины. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.
Теорема Чебышева.
Задания, включенные в программу государственного
квалификационного экзамена
Раздел «Функциональный анализ и топология»
Задание 1. Обозначим через t(a, b), t[a, b], t[a, b), t(a, b], t(a, +∞), t(-∞, a), t[a, +∞), t(–∞,
a], t(a+, b+), t[n, m] топологии, порожденные на множестве действительных чисел R
соответствующими семействами множеств:
B={(a, b): a, b R}, B={[a, b]: a, b R}, B={[a, b): a, b R}, B={(a, b]: a, b R},
B={(a, +∞): a R}, B={(–∞, a): a R}, B={[a, +∞): a R}, B={(–∞, a]: a R},
B={(a,
b): a, b R, b>a>0}, B={[n, m]: n, m Z}.
Для данного множества A и для заданных топологий опишите множество внутренних
точек int A, граничных точек ∂A, точек прикосновения (замыкание) Ā, изолированных
точек множества А.
Варианты: 1. А=(–1, 1] U {3}U(4, +∞); t(a, b), t[a, b], t(a, b], t(a+, b+).
2. A= (– ∞, –2] U[2,3)U{4}; t[a, b), t(a, b], t(–∞, a], t[n, m].
3. A= (–2, 0]UN;
t(-∞, a), t(a, b], t(a+, b+), t[n, m].
4. A= (– ∞, 2)U[3, 5)U{6};
t[a, +∞), t(–∞, a], t[a, b], t(a+, b+).
Задание 2. Исследуйте на сходимость данные числовые последовательности в
указанных топологиях (обозначения топологий даны в задании 1). Укажите все пределы
сходящихся последовательностей.
Варианты:
1. хn=
2. хn=
3. хn=
1
, yn = 2n ;
n
n 1
, yn = -n;
n
5 1
1
(1) n , yn =  cos n ;
n
2 2
t(a, b), t[a, b], t(a, b], t(a+, b+).
n
1
4. хn= 1   , yn = (–1)n n;

t[a, b), t(a, b], t(–∞, a], t[n, m].
t(-∞, a), t(a, b], t(a+, b+), t[n, m].
t[a, b), t(–∞, a], t[a, b], t(a+, b+).
n
Задание 3. Докажите, что приведенные функций определяют нормы на множестве Х.
Исследуйте эти нормы на эквивалентность:
1
Варианты:
 x(t ) dt .
1. Х=С[0, 1];
x
2. Х=С1[0, 1];


x 1  max max x(t ) , max x , (t ) , x
[0,1]
[0,1]




x 1  max max x(t ) , max x , (t ) , x
[0,1]
 [0,1]

1
 max x(t ) , x
[0,1]
2

0
3. Х=С1[0, 1];
4. Х=l1 ;
2
 max x(t )  max x , (t ) .
2
 x(0)  max x , (t ) .
[0,1]
[0,1]
[0,1]

x1

n 1
n , x
2
 max  n , x  ( n ).
Задание 4. Докажите, что
Варианты: 1. lp  lq для любых 1≤p<q, причем lp ≠ lq .
2. l∞  lp для любых p≥1, причем l∞ ≠ lp .
3. Lq[0, 1]  Lp[0, 1] для любых 1≤p<q, причем Lq[0, 1] ≠ Lp[0, 1].
4. L1[0, + ∞)  L2[0, + ∞) и L2[0, + ∞)  L1[0, + ∞)
Задание 5. Исследуйте на сходимость последовательность в соответствующих
пространствах. Найдите пределы последовательностей, если они сходятся.
Варианты: 1. xn( t )  t n ,
X  C[0,1] è X  L1[0,1] .
1  nt , t  [0, 1n ]
2. xn ( t )  

0,
t  ( 1n
, 1]
,
X  C[0,1] è X  L2 [0,1] .
nt ,
t  [0, 1n ]

3. x n ( t )  2  nt , t  ( 1n , n2 ] , X  C[0,1] со

t  ( n2 , 1]
0,
стандартной нормой и с нормой
1
x 
 x(t ) dt .
0
4. xn ( t )  t n  t n1 ,
X  C1[0,1] è X  L1[0,1] .


 1 1

1
5. x n    ,  , ... ,  , 0, ...  ,
Х= s, lp , l∞, c, co.


n n
n
 

n


6. x n  (1, 12 , ... , 1n , 0, 0, ... )
Х= l1 и Х= l∞.
7. x n  ( 1n , 0,
... , 0,1,0, ... )

Х= l2 и Х= s.
n2
Задание 6. Проверьте, будет ли множество Е замкнутым в пространстве Х и постройте
его замыкание.
Варианты: 1. X = l∞ , E = Ф или Е = l1.
2. X = l2 , E = Ф или Е = l1.
3. X = C[0, 1] , E = P[0, 1].
4. X = L1[0, 1], E = C[0, 1] .
5. X = C[0, 1] , E = {xC[0, 1]: x(0)=0}.
В задании символом Ф обозначается множество финитных последовательностей.
Задание 7. Найдите нормы следующих функционалов в пространстве Х, если они
ограничены.
1
Варианты: 1. X = С[0, 1] и X = L2[0, 1], F ( x)   x(t )  sign(t  12 )dt .
0
1
2. X = С[0, 1] и X = L2[0, 1], F ( x)   x(t )dt .
1
2
1
2
1
0
1
2
3. X = С[0, 1] и X = L2[0, 1], F ( x)   x(t )dt   tx(t )dt .
4. X = C1[0, 1] со стандартной нормой и нормой, индуцированной из С[0, 1],
F ( x)  x , ( 12 )  x(0) .

5. Х= l1 c нормой индуцированной из пространства l2, F ( x )  
n 1
n
.
n
Задание 8. Найдите собственные значения и собственные векторы оператора А,
заданного в пространстве Х.
Варианты: 1. X  {x(t )  C 2 [0, ] : x(0)  x()  0},
2. X  {x(t )  C 2 [0, ] : x , (0)  x , ()  0},
Ax(t )  x ,, (t ).
Ax(t )  x ,, (t ).
3. X  {x(t )  C 2 [0, ] : x(0)  x(); x , (0)  x , ()}, Ax(t )  x ,, (t ).
4. Х = l2, Ax  (0,
... , 0,  ,  , ... ) , x  ( n ) .
 n n1
n 1
5. Х = l2, Ax  ( 1   2 ,  2 ,  3 ... ) , x  ( n ) .
Раздел “Математический анализ”
1. Докажите, что если ( xn ) сходится, то в ней есть или наибольший член, или
наименьший, или тот и другой.
2. Докажите, что если lim xn   , то среди ее членов есть наименьший.
3. Докажите, что для сходимости монотонной
сходимости некоторой ее подпоследовательности.
последовательности
4. Найти lim xn , если: а) xn  3 n 3  n 2  1  n 2  4n ;
1 n1
б) xn  
n k 1
2
k 

a   ;
n

в) xn 
n

k 2
k 3 1
;
k3 1
г) xn 
(2n  1)!!
.
(2n)!!


n
5n  4
5. Найти суммы рядов: а)  2
; б) 
.
2
n 2 ( n  1)
n1 n(n  1)(n  4)
b 
x  sin x
 a

6. Найти пределы: а) lim 
б) lim
;
 ( a, b  0 );
a
b
x 1  1  x
1 x 
x 0 x  tgx
 1  sin x  2
lim  1  sin x  3 x
x 0 
1
 x2
 ;

cos(xe x )  cos(xe  x )
.
lim
x2
x0
x dx
x dx
dx
7. Найти интегралы: а)  3
;
б) 
; в) 
;
2
cos x  sin 3 x
x 1
2  4x  x
arcsin x
dx .
г)  x 2  sin x  dx ; д) 
x2
x
в)
г)
8. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой:
2
 x2 y2 
2 xy
а)  2  2   2 ;
b 
c
a
б)
x 4 y 4 xy


.
a4 b4 c2
9. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью:
2
 x2 y2 z 2 
x
б)  2  2  2   .
h
b
c 
a
а) ( x  y  z )  az( x  y ) ;
2
2
2 2
2
2

0
10. Вычислить интегралы: а)
arctg ax  arctg bx
dx ( a, b  0 );
x


б)
0
e
-ax
e
x
 bx
dx ( a, b  0 );

2
в)

3
tg x dx ;
0
г)

0
4
dx
x(1 x)

3
.
11. Исследовать на сходимость числовые ряды:

а)

n 1
2 n  n!
;
nn

б)

n 1 e
n
n

;
в)

n 1
(1) n1
.
np
12. Исследовать на экстремум следующие функции многих переменных:
50 20

, x  0, y  0 ;
б) u  x 3  y 2  z 2  12 xy  2z ;
x
y
в) u  xyz , если x 2  y 2  z 2  1, x  y  z  0 .
а) z  xy 
Раздел “Теория функций комплексного переменного”
I. Действия над комплексными числами
1. Найти аргумент и модуль комплексного числа:
достаточно
a) 1  i
198
б)
1 i
1 i
  i в)
г) 10  e
3 i
д)* cos

7
 i sin

7
2. Найти все значения nN , для которых (1  i )  (1  i ) ,
где i- мнимая
единица.
3. В плоскости комплексного переменного z  x  iy нарисовать множество
точек z , удовлетворяющих условию
n
а) Re
z 1
0
z 1
n
1
2
в) z  z1  z  z 2
z
г) z  2  z  2  5
б) Im
II. Функции комплексного переменного. Понятие голоморфности
4.Выяснить, голоморфны ли функции
а)
  x  y  ixy
  e x (cos y  i sin y)
2
e
2
2
г)   x  y  2xyi
z
б)
в)
5.Проверить выполнение условий Коши-Римана для функций:
а)
  z3
б)

1
z
в)
 z
2
6.Найти образ полуплоскости {zC: Im z>0} при отображении   z .
7.Найти образ окружности {z: z  1 } при отображении   iz  1 .
8*.Найти образ треугольника с вершинами в точках 0; 1; i при отображении
2
1
z
 .
9.Выделите ветви многозначной функции
а)   z
б)   Ln(z )
Отметьте точки ветвления.
в)*
  z2  1
10.Вычислите:
а) Ln (1  i 3)
б) 2
i
в) sin(1  3i )
г)* i
i
III. Свойства голоморфных функций. Теорема Коши.
Интегральная формула Коши
11.Используя интегральную формулу Коши вычислите интеграл:
1
cos z
а)
dz

2i z  4 z  
в)
1
2i
1
 (z  3) dz
z  3 1
б)

z 1 
г)
z2
dz
z

1

i
3
2
1
2i

dz
z 1 z
2
д)
1
2i
dz
 z 1.
1
z
2
12*.Сформулируйте принцип максимума модуля для голоморфной функции,
рассмотрите пример f (z )  e
iRe z
.
1
обращающаяся в нуль на бесz
1
1
1
;
;... } не равна 0 тождественно.
конечности множестве E={  ;
 2 3
13.Поясните , почему функция f ( z )  sin
Какой пункт теоремы единственности не выполнен ?
14.Используя теорему Лиувилля, докажите основную теорему алгебры.
IV. Особые точки. Теория вычетов
15.Определить изолированные особые точки функции f(z), выяснить их характер,
написать разложение в ряд Лорана в окрестности этих точек:
sin z
а) f ( z ) 
z
1
б) f ( z )  e z
г) f ( z ) 
в) f ( z ) 
2
cos z
z
1
.
( z  2 )( z  1)
16.Используя теорию вычетов, найдите интеграл:
z3
а)  4
dz
z 2 z  1
2

б)
dx
 4
 x  1
в)
 5
0
4
dx
.
 cos x
Раздел «Уравнения с частными производными»
1. Решить задачу
ut  u xx  4t sin x, 0  x   , t  0,
u (0, t )  u ( , t )  0, t  0,
u ( x,0)  0, 0  x   .
2. Решить задачу
u tt  u xx  3 sin 2 x, 0  x   , t  0,
u (0, t )  u ( , t )  0, t  0,
u ( x,0)  u t ( x,0)  0, 0  x   .
3. Решить задачу
ut  u xx  3t sin 2 x, 0  x   , t  0,
u (0, t )  u ( , t )  0, t  0,
u ( x,0)  0, 0  x   .
4. Решить задачу
utt  uxx , 0  x   , t  0,
u (0, t )  u ( , t )  0, t  0,
u ( x, 0)  3sin 2 x, ut ( x, 0)  cos 2 x 0  x   .
5. Решить задачу
ut  uxx , 0  x   , t  0,
u (0, t )  u ( , t )  0, t  0,
u ( x, 0)  3sin 2 x, 0  x   .
Раздел «Аналитическая геометрия»
1) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку A(1,3.2)
параллельно плоскости OXY и образующей угол 45 с прямой x  y, z  0 .
x 1 y  3 z  2
x 1 y  3 z  2


,


.)
(Ответ
1
0
0
0
1
0
2) Определить тип кривой и сделать примерный чертеж.
a) x 2  2 xy  2 y 2  2 x  2 y  0
(Ответ эллипс)
2
2
b) x  2 xy  y  2 x  0
(Ответ парабола)
2
c) x  2 xy  2 x  2 y  0
(Ответ гипербола)
1) Вычислите расстояние между параллельными сторонами параллелограмма,
построенного на векторах AB (6; 0; 2) и AC (1.5; 2; 1) .
13 10
26
)
или
20
101
2) Найдите высоту тетраэдра ABCD, опущенного из вершины B, зная, что
72
)
AB (4;2; 0), CA (3; 6; 3), CD (1; 4;  5) Ответ (
178
3) Даны два вектора a (11; 10; 2) и b (4; 0; 3) . Найдите единичный вектор c ,
ортогональный векторам a и b и направленный так, чтобы упорядоченная тройка
6
1
8
векторов a , b , c была правой. (Ответ c (
;
;
).
5 5
5
5 5
Ответ (
Раздел «Алгебра и геометрия»
1) Разложить многочлен х4 + 4 на неприводимые над R и C.
2) Даны векторы (1; 0; 0; 1), (2; 1; 0; 2), (1; 2; λ; 1), (2; 3; λ; λ  2), λ  R .
a) При каких  указанные векторы образуют базис пространства R4 ?
b) Найдите размерность линейной оболочки этих векторов в зависимости от λ.
3) Пусть Рn – линейное пространство многочленов степени не выше n, D: Pn →Pn –
оператор дифференцирования ( D f(x) = f ´(x) ).
a) Найти матрицу оператора D в базисе 1, х, х2, …, хn.
b) Имеются ли у оператора D собственные векторы?
5 2
4) Линейный оператор в R 3 задан матрицей A  
 . Диагонализировать его (найти
2 8 
ортонормированный базис из собственных векторов).
Раздел «Теория групп»
1.
Пусть C *  (C \ {0},) - группа ненулевых комплексных чисел с операцией
умножения. Доказать, что множество корней степени 6 из единицы является
циклической подгруппой группы C * и найти все образующие этой подгруппы.
Раздел «Теория вероятностей»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
В каждой из трех урн находится по 6 белых и 4 черных шара. Из первой урны
наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны
наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что
шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым
Равнобедренный треугольник образован единичным вектором в направлении оси
абсцисс и единичным вектором в случайном направлении в пространстве R 3 . Найдите
функцию распределения третьей стороны.
3
1
Пусть  и  – случайные величины, P  0  P  0  , P    0  .
4
2
Доказать, что  и  – зависимые случайные величины
Найти дисперсию случайной величины χ 2 = ξ12+ ξ22+…+ ξn2 , где ξ1 , ξ2 ,…,ξn –
независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение.
Две точки выбираются наудачу из отрезка [0, 1]. Пусть p и q – координаты этих
точек. Найдите вероятность того, что квадратное уравнение x 2  px  q  0 будет
иметь вещественные корни.
Стержень ломается случайным образом на две части. Каково среднее отношение
длины короткого куска к длине длинного куска?
Раздел «Дифференциальные уравнения»
I.
1) Построить последовательные приближения y0 , y1 , y2 к решению данного
уравнения с данными начальными условиями:
а) y  x  y 2 , y(0)  0
б) y  y  e y1 , y(0)  1
2) Указать какой-нибудь отрезок, на котором существует решение с данными
начальными условиями:
а) y  x  y 3 , y(0)  0

б) x  t  e x , x(1)  0
II.
Решить систему дифференциальных уравнений:




 x  3x  y
x  2x  y
x  x  y
x  x  3 y
1) 
2) 
3) 
4) 
 y  4 y  x
 y  4 y  x
 y  3 x  y
 y  y  4 x

 2 1 2 
7) x   1
0 2  x

 2 1  1
0
 2  1  1


 1 x 10) x   2  1  2 x
 1 1
2 
1 
1




2
t
 x  x  y  cos t
 x  y  tg t  1
 x  y  2e
x  x  2 y
11) 
12) 
13) 
14) 

 y   x  tgt
 y  x  t 2
 y  x  5 sin t
 y  2x  y
III. Исследовать на устойчивость по первому приближению тривиальное решение систем:



2
3 x
2
 x  x  2 y  sin y
 x  ln( 4 y  e )
 x   x  3 y  x sin y
1) 
2) 
3) 
 y   x  3 y  x(e x2 / 2  1)
 y  2 y  1  3 1  6 x
 y   x  4 y  1  cos y 2
 3

x  sin x  7 y (1  y )1/ 3  x 3

y
3

x

ln(
3
e

2
cos
x
)
x

4
y

x



4
4) 
5) 
6) 
 y  2e x  3 8  12 y
 y  3 x  y 3
 y  2 x  3 y cos y  11y 5

3
2  1 1 
3  1



5) x  1 2  1 x
6) x  1 1



1  1 2 
4  1
 2  1  1
4  1




8) x  3  2  3 x 9) x  3 1



 1 1
1 0
2 
1
1 x
4


Раздел «Методы оптимизации»
1) Выписать общее решение уравнения Эйлера для функционалов вида
x1
J ( y )   ( y) 1  y2 dx
x0
2) Найти экстремаль функционалов
1. F  y (1  y2 )
1
2. F 
1  y2
y
3. F  y 1  y2
3) Решить вариационную задачу
1
 y dx  min
2
0
при
1) y (0)  y (1)  0
2) y (0)  0, y (1)  1
Литература
1. Бибиков Ю.Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений. - Л.:Издво ЛГУ,1981.
2. Боровков А.А. Теория вероятностей. - М.:Наука,1976.
3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.:Наука,1988.
4. Гельфанд
И.М.,Фомин
С.В.
Вариационное
исчисление.
М.:Госфизматлитиздат,1961.
5. Зорич В.А. Математический анализ. Ч.1. - М:Наука,1981.
6. Зорич В.А. Математический анализ. Ч.2. - М.:Наука,1984.
7. Колмогоров А.Н.,Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального
анализа. -М.:Наука,1976.
8. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.:Наука,1971.
9. Постников М.М. Аналитическая геометрия. - М.,1973.
10. Ильин В.А.Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1981, Физматлит,
2001.