УДК 735.29 ЗАВИСИМОСТЬ ЧИСЛА МАРАНГОНИ ОТ ФИЗИЧЕСКИХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ Магденко Е. П., научный руководитель д-р физ.-мат. наук, проф. Андреев В. К. Сибирский федеральный университет Часто возникает ситуация, когда в контейнере цилиндрической формы хранятся две несмешиваемые теплопроводные жидкости, образующие двухслойную систему. В результате в сосуде имеется поверхность раздела двух различных фракций. При определённых температурах на основаниях цилиндра жидкости начинаются смешиваться. В докладе рассматривается задача о возникновении конвекции в такой системе. Обозначим через Ω1 = (0, 𝑎) × (0, 2𝜋) × (−ℎ1 , 0) и (0, ℎ2 ) области, занятые жидкостями (рис.1) Ω2 = (0, 𝑎) × (0, 2𝜋) × Рис. 1. Схема области конвекции Равновесное состояние системы в рамках модели Обербека-Буссинеска в цилиндрической системе координат 𝑟, 𝜑, 𝑧 в состоянии покоя описывается уравнениями (1) ∇𝑝̅𝑗 = −𝜌0𝑗 𝒈𝛽𝑗 𝜃𝑗 , 𝜕 2 𝜃𝑗 𝜕𝑟 2 1 𝜕𝜃 1 𝜕 2 𝜃𝑗 + 𝑟 𝜕𝑟 + 𝑟 2 𝜕𝜑 2 + 𝜕 2 𝜃𝑗 𝜕𝑧 2 = 0, (2) где 𝑝̅𝑗 = 𝑝𝑗 + 𝜌0𝑗 𝑔𝑧, а ∇𝑝𝑗 = 𝜌0𝑗 𝑔𝒆(1 − 𝛽𝑗 𝜃𝑗 ), 𝒆 = (0,0, −1), 𝛽𝑗 − коэффициент теплового расширения жидкости, 𝑗 = 1,2 − номер слоя жидкости. На основаниях и боковых стенках цилиндров задаётся температура 𝜃1 (𝑟, 𝜑, −ℎ1 ) = 𝜃01 (𝑟, 𝜑), 𝜃2 (𝑟, 𝜑, ℎ2 ) = 𝜃02 (𝑟, 𝜑), 𝜃𝑗 (𝑎, 𝜑, 𝑧) = 𝜃̃𝑗 (𝜑, 𝑧). (3) На границе раздела 𝑧 = 0 имеем условия 𝜃1 = 𝜃2 , 𝑘1 𝜕𝜃1 𝜕𝑧 1 = 𝑘2 𝜕𝜃2 𝜕𝑧 , (4) (−𝑝̅2 + 𝑝̅1 + 𝜌02 𝑔𝑧 − 𝜌01 𝑔𝑧)𝒏 = ∇г 𝜎, (5) где ∇г − поверхностный градиент; условия (4), представляют собой равенство температур и потоков тепла, а (5) − баланс всех сил; предполагаем, что поверхностное натяжение линейно зависит от температуры 𝜎 = 𝜎(𝜃) = 𝜎 0 − 𝜘𝜃, где в силу равенства (4) 𝜃 = 𝜃1 = 𝜃2 , а значит 𝜎𝑟 = −𝜘𝜃𝑟 , (6) 𝜎𝜑 = −𝜘𝜃𝜑 . Имеем 𝒏 = (0,0,1), 𝒆𝑟 = (1,0,0), 𝒆𝜑 = (0,1,0), поэтому уравнение (5) примет вид (𝑝̅1 − 𝑝̅2 )(0,0,1) = 𝛼1 𝒆𝑟 + 𝛼2 𝒆𝜑 = (𝛼1 , 𝛼2 , 0), а это выполняется тогда и только тогда, когда (7) 𝑝̅1 = 𝑝̅2 , 𝛼1 = 𝛼2 = 0 𝛼1 = ∇𝜎 ∙ 𝒆𝑟 = 𝜎𝑟 , 𝛼2 = ∇𝜎 ∙ 𝒆𝜑 = 𝜎𝜑 . (8) Таким образом, с учётом (6) − (8) следует, что при 𝑧 = 0 𝜃𝑟 = 𝜃𝜑 = 0. Далее предполагаем, что и внутри цилиндров это равенство верно, а в (3) функции 𝜃01 , 𝜃02 , 𝜃̃𝑗 не зависят от 𝑟, 𝜑. Тогда из уравнений (2) получим представления для температур 𝜃𝑗 = 𝜃𝑗 (𝑧) = 𝑎𝑗 𝑧 + 𝑏𝑗 . (9) Коэффициенты 𝑎𝑗 , 𝑏𝑗 находятся из граничных условий (3), (4) 𝑎1 = 𝑘(𝜃02 −𝜃01 ) ℎ2 +𝑘ℎ1 , 𝑎2 = 𝜃02 −𝜃01 ℎ2 +𝑘ℎ1 𝑏1 = 𝑏2 = , 𝑘ℎ1 𝜃02 +ℎ2 𝜃01 ℎ2 +𝑘ℎ1 , 𝑘 = 𝑘1 ⁄𝑘2 (10) Уравнения для возмущений таковы ∇𝑃𝑗 + 𝛽𝑗 𝒈𝑇𝑗 + 𝜌0𝑗 𝑼𝑗𝑡 = 𝜌0𝑗 ∆𝑼𝑗 , (11) 𝑑𝑖𝑣𝑼𝑗 = 0, (12) 𝑇𝑗𝑡 + 𝑼𝑗 ∙ ∇𝜃𝑗 = 𝜒𝑗 Δ𝑇𝑗 , (13) где 𝑃𝑗 , 𝑇𝑗 − возмущение основного решения 𝑝̅𝑗 , 𝜃𝑗 . Граничные условия в областях Ω𝑗 на поверхности раздела имеют вид 𝑇1 + 𝜕𝜃1 𝜕𝑧 𝑅 = 𝑇2 + 𝜕𝜃2 𝜕𝑧 (14) 𝑅, (15) 𝑼1 = 𝑼2 , −[𝑃]Г + 2 [𝜂 𝜕𝑊 𝜕𝑊 𝜕𝑝̅ 1 𝜕𝑈 Г 𝜕𝜃 [𝜂 ( 𝜕𝑟 + 𝜕𝑧 )] = −𝜘 [( 𝜕𝑧1 𝑅) + Г 1 𝜕𝑊 1 ] = {[ 𝜕𝑧 ] + [𝜌0 ]Г 𝒈 ∙ 𝒏} 𝑅 + 𝜎 (𝑅𝑟𝑟 + 𝑟 𝑅𝑟 + 𝑟 2 𝑅𝜑𝜑 ), 𝜕𝑧 Г 𝑟 𝜕𝑉 𝜕𝜃 𝜕𝑇1 𝜕𝑟 [𝜂 (𝑟 𝜕𝜑 + 𝜕𝜑)] = −𝜘 [( 𝜕𝑧1 𝑅) + Г 𝜑 (17) ], 𝜕𝑇1 𝜕𝜑 𝜕𝑇 [𝑘 𝜕𝑧 ] + [𝑘∇𝜃]Г ∙ 𝒏𝟏 = 𝜘𝜃∇г ∙ 𝑼, (16) ], (18) (19) Г 2 (20) 𝑅𝒕 = 𝑊𝟏 , где 𝑅 = 𝒏 ∙ 𝑿, 𝑿 − вектор смещения частиц жидкости, 𝒏𝟏 − вектор возмущения нормали; [𝑓]Г = 𝑓2 − 𝑓1 – скачок величины 𝑓 на поверхности Г. Будем искать решение задачи (11) − (20) в виде (𝑼𝑗 , 𝑃𝑗 , 𝑇𝑗 , 𝑅) = (𝑼𝑗 (𝑟, 𝑧), 𝑃𝑗 (𝑟, 𝑧), 𝑇𝑗 (𝑟, 𝑧), 𝑁)𝑒𝑥𝑝[𝑖(𝑚𝜑 − 𝐶𝑡)], (21) где С = С𝑟 + 𝑖𝐶𝑖 комплексный декремент. Рассмотрим осесимметрическую краевую задачу (11) − (20) (𝑚 = 0, 𝑉𝑗 = 0) с учётом (21). 𝑈 1 𝑃𝑗𝑟 − 𝑖𝐶𝜌0𝑗 𝑈𝑗 = 𝜂𝑗 (𝑈𝑗𝑟𝑟 + 𝑟 𝑈𝑗𝑟 + 𝑈𝑗𝑧𝑧 − 𝑟 2𝑗 ), (22) 1 (23) 𝑃𝑗𝑧 + 𝛽𝑗 𝑔𝑇𝑗 − 𝑖𝐶𝜌0𝑗 𝑊𝑗 = 𝜂𝑗 (𝑊𝑗𝑟𝑟 + 𝑟 𝑊𝑗𝑟 + 𝑊𝑗𝑧𝑧 ), 1 (24) 𝑈𝑗𝑟 + 𝑟 𝑈𝑗 + 𝑊𝑗𝑧 = 0, 1 (25) −𝑖𝐶𝑇𝑗 + 𝑎𝑗 𝑊𝑗 = 𝜒𝑗 (𝑇𝑗𝑟𝑟 + 𝑟 𝑇𝑗𝑟 + 𝑇𝑗𝑧𝑧 ). Граничные условия (14) − (20) упрощаются до следующих 𝑇1 + 𝑎1 𝑁 = 𝑇2 + 𝑎2 𝑁, (26) 𝑼1 = 𝑼2 , (27) −[𝑃]Г + 2 [𝜂 𝜕𝑊 𝜕𝑊 𝜕𝑝̅ 1 ] = {[ 𝜕𝑧 ] + [𝜌0 ]Г 𝒈 ∙ 𝒏} 𝑁 + 𝜎 (𝑁𝑟𝑟 + 𝑟 𝑁𝑟 ), 𝜕𝑧 Г Г 𝜕𝑈 [𝜂 ( 𝜕𝑟 + 𝜕𝑧 )] = −𝜘[𝑎1 𝑁𝑟 + 𝑇1𝑟 ], (29) Г 𝜕𝑇 (28) 1 [𝑘 𝜕𝑧 ] = 𝜘𝑏1 (𝑈1𝑟 + 𝑟 𝑈1 ), (30) −𝑖𝐶𝑁 = 𝑊𝟏 . (31) Г Задача (22) − (31) допускает разделение переменных, именно 1 𝑈𝑗 = 𝑟 𝑅(𝑟)𝐹𝑗𝑧 (𝑧), 1 𝑊𝑗 = − 𝑟 𝑅𝑟 (𝑟)𝐹𝑗 (𝑧), 1 𝑇𝑗 = 𝑟 𝑅𝑟 (𝑟)𝐺𝑗 (𝑧) (32) где 𝛿 𝛿 𝑅 = 𝑅𝑘 (𝑟) = 𝑟 [𝐼1 (𝛿𝑘 )𝐽1 ( 𝑎𝑘 𝑟) − 𝐽1 (𝛿𝑘 )𝐼1 ( 𝑎𝑘 𝑟)], (33) а 𝛿𝑘 , 𝑘 = 1,2, … есть решение уравнения 𝐽1 (𝛿)𝐼1′ (𝛿) − 𝐼1 (𝛿)𝐽1′ (𝛿) = 0, (34) первые корни, которого, равны 𝛿1 = 4.611, 𝛿2 = 7.799, 𝛿3 = 10.958, 𝛿4 = 14.109, 𝛿5 = 17.256. Из (33), (34) выводим равенства 𝑅𝑘 (𝑎) = 0 и 𝑅𝑘𝑟 (𝑎) = 0. Таким образом, условия на боковой поверхности для скоростей и температуры заведомо выполнены. 3 Используя метод (32), мы получим обыкновенное дифференциальное однородное уравнение с постоянными коэффициентами со сложными граничными условиями. Далее предположим, что система находится в состоянии невесомости (𝑔 = 0); поверхность раздела не деформируема (𝑁0 = 0); возмущения монотонны (𝐶 = 0). В результате решение нашего уравнения будет определяться с точностью до двенадцати постоянных, которые находятся из двенадцати граничных условий. Полученная из этих условий система, будет являться алгебраической относительно постоянных. Нетривиальное решение системы уравнений существует тогда и только тогда, когда её определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю. Это даёт возможность найти критические числа Марангони. Аналитические вычисления в системе Maple показывают, что 𝑀= 4𝑚2 (𝑘𝜇𝑆1 𝐶2 𝑀1 (𝑚2 −𝑆12 )(𝑚2 ℎ2 −𝑆22 )+𝑐ℎ𝑖𝑠𝑙) 𝑧𝑛𝑎𝑚 , где 𝑐ℎ𝑖𝑠𝑙 = 2(𝑘𝑆2 𝐶1 + 𝑆1 𝐶2 )(𝑚3 ℎ2 𝜇 + 𝑚3 ℎ − 𝑚2 𝑆2 𝐶2 − 𝑚2 ℎ2 𝜇𝑆1 𝐶1 − 𝑚ℎ𝑆12 − 𝑚𝜇𝑆22 + +𝜇𝑆1 𝑆22 𝐶1 + 𝑆12 𝑆2 𝐶2 ); 𝑧𝑛𝑎𝑚 = 𝜇(𝑚5 ℎ3 𝜒𝑆1 𝐶12 𝐶2 − 𝑚3 ℎ3 𝜒𝑆13 𝐶2 + 𝑚3 𝑆23 𝐶1 + 𝑚2 ℎ2 𝑆13 𝐶2 − 𝑚5 ℎ2 𝑆2 𝐶1 − +𝑚2 𝜒𝑆1 𝑆22 + 𝜒𝑆13 𝑆23 − 𝑆13 𝑆23 ); ℎ = ℎ1 ⁄ℎ2 ; 𝑚 = 𝛼𝛿𝑘 ; 𝛼 = ℎ2 ⁄𝑎 ; 𝑘 = 𝑘2 ⁄𝑘1 ; 𝜇 = 𝜇2 ⁄𝜇1 ; 𝜒 = 𝜒2 ⁄𝜒1 ; 𝑀1 = 𝜘 2 𝑏1 ⁄𝑘2 𝜇2 ; 𝑆1 = 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑚); 𝐶1 = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚); 𝑆2 = 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑚ℎ); 𝐶2 = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚ℎ). Рассмотрим конкретные жидкости, когда в верхней части цилиндра расположена муравьиная кислота, а в нижней – трансформаторное масло. Тогда соотношения их физических параметров таковы 𝑘 = 2.44021473, 𝜇 = 0.09203717913, 𝜒 = 1.404958678. Так же 𝜘 = 0.0022 Н⁄мК, ℎ = 0.5, 𝛿𝑘 = 4.611. Для случая, когда имеется однослойная жидкость (ℎ2 = 0) с верхней свободной границей, на которой задан теплообмен с окружающей средой, находим 𝑀= 8𝑚(𝐵𝑆1 + 𝑚𝐶1 )(𝑚 − 𝑆1 𝐶1 ) , 𝑆13 − 𝑚3 где 𝑚 = 𝛼𝛿𝑘 ; 𝛼 = ℎ1 ⁄𝑎; 𝐵 = 𝛾ℎ1 ⁄𝑘1 . Отметим, что при 𝑚 → ∞ 𝑀~ − 8𝑚2 , а при 𝑚 → 0 𝑀~ − 8(𝐵 + 1). 4