Kulyavtceva - Всероссийский фестиваль педагогического

Всероссийский фестиваль педагогического творчества
2014-2015 учебный год.
Номинация: « Педагогические идеи и технологии: среднее
образование».
Название работы: «Контрольная работа для 11 класса
заочного обучения с методическими рекомендациями по
теме:
Многогранники. Площади и объемы многогранников».
Автор: Кулявцева Светлана Анатольевна
учитель математики МБОУ «СОШ №18»
г. Энгельс Саратовская область.
Контрольная работа по теме:
«Многогранники. Площади и объемы многогранников».
(заочная форма обучения)
11 класс
Методические рекомендации к контрольной работе.
Необходимо знать: понятие двугранного и многогранного углов, определение
многогранника, определение прямой и правильной призм, определение параллелепипеда,
пирамиды, правильной пирамиды, правильных многогранников, свойства объемов,
объемы многогранников.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ.
Многогранник – замкнутая поверхность, составленная из многоугольников и
ограничивающая некоторые геометрическое тело.
Призма – многогранник, две грани которого –равные многоугольники, расположенные в
параллельных плоскостях, а остальные параллелограммы.
А
ABCDE и A1B1C1D1E1 – основания призмы (равные
В
М
многоугольники).
С
E
D
А1АЕЕ1, Е1ЕDD1 и т.д. – боковые грани
(параллелограммы).
Отрезки АА1, ВВ1 и т.д. – боковые ребра
А1
В1
N
E1
C1
D1
Перпендикуляр МN, опущенный из любой точки
одного основания на плоскость другого – высота
призмы.
Прямая призма – призма, боковые ребра, которой перпендикулярны плоскости
основания. В противном случае призма наклонная.
Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Правильная призма – прямая призма, основание которой – правильный многоугольник.
А
Параллелепипед.
Параллелепипед – призма, основание которой
параллелограмм; параллелепипед имеет 6 граней
и все они – параллелограммы.
В
С
Д
В1
А1
С1
Д1
Прямой параллелепипед – параллелепипед, четыре боковые грани которого –
прямоугольники.
Прямоугольный параллелепипед – прямой параллелепипед у которого
Р
все шесть граней- прямоугольники.
Пирамида.
Пирамидой называют многогранник, у которого одна грань
В
С
n-угольник (ABCDЕ)- основание пирамиды, а остальные
боковые грани – треугольники с общей вершиной Р,
А
Н
называемой вершиной пирамиды.
Д
Высота пирамиды – перпендикуляр РН, проведенный
Е
из вершины пирамиды к плоскости основания.
Площади полной и боковой поверхностей многогранников.
1
2
Площадь полной
поверхности призмы (Sполн)
Sполн = Sбок + 2Sосн
Площадь боковой
поверхности призмы (Sбок)
Sбок = Pℓ
кулярного сечения.
Sбок = Ph
P- периметр основания
h- высота
Площадь боковой
поверхности прямой призмы
(Sбок)
Площадь поверхности куба
(Sполн)
Площадь боковой
поверхности
параллелепипеда (Sбок)
Площадь полной
поверхности
параллелепипеда (Sполн)
Площадь боковой
поверхности пирамиды
(Sбок)
Площадь боковой
поверхности правильной
пирамиды (Sбок)
3
Sбок – площадь боковой
Sполн = 6∙а2
Sбок = Ph
поверхности
Sосн – площадь основания
P – периметр перпендиℓ - длина бокового ребра
а- длина ребра куба
P- периметр основания
h- высота
Sбок – площадь боковой
Sполн = Sбок + Sосн
поверхности
Sосн – площадь основания
Sбок- сумма площадей ее
боковых граней
Sбок = ½ Рm
Sбок = Sосн/cosφ
P- периметр основания
m – апофема (высота боковой
грани)
Sосн – площадь основания
φ – величина двугранного угла
при стороне основания
Объемы многогранников
1
Объем параллелепипеда,
призмы (V)
Объем прямоугольного
параллелепипеда (V)
Объем куба (V)
2
V = Sосн∙h
V = а∙в∙с
V = а3
Объем призмы (V)
V = Q∙ℓ
Объем пирамиды (V)
V = ⅓Sосн ∙h
3
Sосн – площадь основания
h - высота
а, в, с –измерения
параллелограмма
а- длина ребра куба
Q- площадь
перпендикулярного сечения
ℓ- длина бокового ребра
Sосн – площадь основания
h- высота
Примеры:
Задача 1
Дана правильная треугольная призма, стороны которой равны: а=5см, в=8см. Найти
площадь поверхности призмы и ее объем.
Дано: АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма
а=5см, в=8см
Найти: Sполн - ?
V-?
Решение:
1. Sбок = P ·h = 3а∙в = 3∙5∙8 = 120 (см2)
a2  3
2. S∆р =
- площадь равностороннего треугольника
4
a 2  3 52  3 25  3
S∆ = Sосн =
=
=
(см2)
4
4
4
25  3
25  3
3. Sполн = Sбок + 2Sосн = 120+2∙
= 120+
(см2)
4
2
2
a  3
25  3
4. V = Sосн∙h =
∙в =
∙8 = 50 3 (см3)
4
4
25  3
Ответ: (120+
) см2 ; 50 3 см3.
2
Задача 2
А
В
С
в
А1
В1
а
а
а
С1
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки В , А1 , В1 , С1
параллелепипедаАВСДА1В1С1Д1 , у которого АВ=4 , АД=3 , АА1=8 .
Дано:
АВСДА1В1С1Д1 – параллелепипед
АВ=4 , АД=3 , АА1=8
Найти: V многогранника В А1 В1 С1 -?
В1
С1
А1
Д1
Решение:
Получившийся многогранник В А1 В1 С1
В
А
С
Д
является треугольной призмой, в основании которой лежит прямоугольный треугольник А1В1С1.
1
Vпирамиды = Sоснования· h
3
Найдем Sоснования получившейся пирамиды.
1
Sосн= ab , где a и b –катеты
2
1
1
Sосн= 2 А1В1· В1С1 = 2 ·4·3 = 6 см2
1
Vпирамиды = 3 ·6·8 =16 см3
Ответ: 16 см3
ВАРИАНТЫ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ
Начальная буква фамилии
Номера заданий
АБЮЯ
1, 3, 5, 8
ГДЩШ
2, 4, 6, 9
ЖЗЦЧЭ
1, 2, 5, 7
ИЕФХК
3, 4, 5, 9
ЛМНТУ
1, 3, 7, 8
ВОПРС
2, 3, 6, 8
Контрольная работа
Тема. Многогранники. Площади и объемы многогранников.
(В контрольную работу вошли задания из открытого банка заданий ЕГЭ, которые в
контрольно- измерительных материалах выполняются под №9)
1.В кубе АВСДА1В1С1Д1 из вершины Д1 проведены диагонали граней Д1А, Д1В1 и Д1С.
Сделайте рисунок. Как называется многогранник с вершинами Д1, А, В1, С? Имеет ли
этот многогранник равные ребра? Равные грани?
2.Куб рассечен плоскостью, проходящей через середины двух смежных сторон нижнего
основания и центр верхнего основания. Как называется многоугольник, полученный в
сечении? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника.
3.Точки М и N расположены на ребрах треугольной пирамиды. Скопируйте
рисунок, отметьте и обозначьте точки. В которых прямая MN
пересекает прямые, содержащие другие ребра пирамиды.
4. В кубе А В С Д А1 В1 С1 Д1 точка К — середина ребра СС1 , точка L — середина ребра B 1C 1, точка
M — середина ребра C 1Д1 . Найдите угол MKL . Ответ дайте в градусах.
5.Основание пирамиды – ромб с диагоналями 6 см и 8 см. высота пирамиды опущена в точку
пересечения его диагоналей. Меньшие боковые ребра пирамиды равны 5 см. найдите объем
пирамиды.
6.Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетом 6 см и острым углом
450. Объем призмы равен 108 см3. найдите S полной поверхности призмы.
7.Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 136 см2, стороны
основания 4 см и 6 см. Вычислить объем прямоугольного параллелепипеда.
8.Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А,В,Д ,А1 параллелепипеда
АВСД А1В1С 1Д1, у которого АВ=7 ,АД=6 ,АА1=7 .
9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А ,В ,С ,Д ,А1 ,В1 ,С1 , Д1
правильной шестиугольной призмы А В С Д Е FА1 В1 С1 Д1E 1F1 , площадь основания которой
равна 4, а боковое ребро равно 15.