Соколов В.А., Тарасова Н.А. НГПУ им.К.Минина, ИПТД филиал НГИЭИ, Нижний Новгород

Соколов В.А., Тарасова Н.А.
НГПУ им.К.Минина, ИПТД филиал НГИЭИ, Нижний Новгород
О ВЫБОРЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТЕЧЕНИЯ
КРОВИ В СОСУДАХ ДЛЯ РАЗРАБОТКИ ПУЛЬСОВОЙ
ДИАГНОСТИКИ
При разработке методов диагностики и определения существенных
физиологических параметров человека, основанных на данных полученных
при исследовании формы пульсовой волны (например, в лучевой артерии),
необходимо ясно понимать гидродинамическую картину
пульсирующего
течения крови в артериальном русле человека. Именно распространение
пульсовой волны определяет градиент давления, создающий течение в каждом
участке артериального русла человека. Поэтому математический анализ
артериальной гидромеханики позволит описать распространение волн давления
в артериальном русле, в том числе в лучевой артерии.
Существующие математические модели [1] предназначены, как правило,
для изучения отдельных гидромеханических явлений (например, звуки
Короткова, стеноз участка артерии и т.д.), поэтому, результаты, полученные с
их помощью, непригодны для разработки методов пульсовой диагностики.
Целью данного исследования является: анализ и обоснование выбора
математической модели, описывающей пульсирующее движение крови в
артериальном русле, пригодной для решения практических задач связанных с
созданием методов пульсовой диагностики.
Анализ литературных данных показал, что представленная в [2, с.104]
математическая модель пульсирующего течения крови в аорте наиболее
приемлема для решения поставленной задачи.
Данная математическая модель была разработана при следующих
допущениях: кровь предполагается ньютоновской жидкостью с локально
осесимметричным распределением по сечению сосуда.
Для осесимметричного движения среды Уравнения Навье-Стокса в
цилиндрических координатах x,r,θ, записываются в виде двух уравнений:
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑡
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑥
+ 𝑢𝑟
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑟
+ 𝑢𝑟
+ 𝑢𝑟
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑟
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑥
= −
= −
1 𝜕𝑝
𝜌 𝜕𝑥
1 𝜕𝑝
𝜌 𝜕𝑟
𝜕 2 𝑢𝑥
+𝜈(
𝜕𝑥 2
𝜕 2 𝑢𝑟
+𝜈(
𝜕𝑟 2
+
+
𝜕 2 𝑢𝑥
𝜕𝑟 2
1 𝜕𝑢𝑟
𝑟 𝜕𝑟
+
−
1 𝜕𝑢𝑥
𝑟 𝜕𝑟
);
𝑢𝑟
𝜕 2 𝑢𝑥
𝑟
𝜕𝑥 2
+
2
(1)
),
(2)
где 𝑢𝑥 и 𝑢𝑟 – проекции скорости соответственно на осьОх, совпадающую с
осью трубы, и ось Оr,направленную по радиусу сечения трубы, р – давление,
ρ – плотность, ν – кинематическая вязкость крови.
Уравнение неразрывности в данном случае имеет вид:
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑟
+
𝑢𝑟
𝑟
+
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
=0.
(3)
В данной модели были приняты дополнительные упрощения –
пренебрегли инерционными силами по сравнению с давлением и упругими
силами, а также не учитываются массовые силы. Данные упрощения позволили
свести уравнения к более удобной форме, что важно для решения практических
задач.
По
мнению
авторов
данного
исследования,
представленная
математическая модель пульсирующего течения в аорте [2] вполне подходит
для описания гидромеханических явлений, имеющих место в артериальном
русле. Поэтому данная математическая модель может быть рекомендована для
практических
расчетов,
которые
необходимо
проводитьдля
получения
расчетных значений гидродинамических характеристик используемых при
разработке методов пульсовой диагностики.
1. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов: Пер. с англ. –
М.: Мир, 1983. – 400с.
2. Г. Бранков Основы биомеханики: Пер. с болгар.– М.: Мир, 1981. –
254с.