2.6. Применение производственных функций

Тема. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
2.1. Общие понятия.
Функционирование хозяйственных систем носит целенаправленный
характер. Для целенаправленных процессов характерно, что каждый из них
можно представить как систему с определенным входом и выходом. Для
процесса производства продукции–главного хозяйственного процесса в
экономической системе выходом обычно служит готовая продукция (услуги),
а входы определяются поставками сырья, материалов, затратами трудовых,
финансовых и пр. ресурсов.
X
F
Y
X(x1 ,x2,...xn) - вектор факторов производства(затраты труда, капитала,
материалов и пр.), Y(y1,y2,...yn) - вектор продукции (услуг)
Существующие в данном производственном процессе отношение
между любым набором факторов производства X и максимально возможным
объемом продукции Y , производимым из этого набора факторов, можно
описать производственной функцией F . Производственная функция
характеризует технологию преобразования X в Y.
Производственную
функцию можно определить следующим образом:
Соотношения, описывающее закономерности выпуска продукции в
зависимости
от
используемых
ресурсов,
принято
называть
производственными функциями (ПФ).
Можно дать более общее определение производственной функции (ПФ):
производственная функция – это экономико-математическое выражение
зависимости результатов производственно-хозяйственной деятельности от
обусловивших эти результаты показателей–факторов. Результатом процесса
производства может быть объем выпуска, прибыль, пр. проказатели.
Производственная функция была предложена в 1890 г. английским
математиком А. Берри, помогавшим А. Маршаллу (английский неоклассик,
1842-1924) при подготовке математического приложения к его
фундаментальному труду «Принципы экономической науки».
В сложных условиях экономической деятельности результат процесса
производства определяется действием огромного количества факторов:
технических, экономических, социальных и пр.. Попытаться в рамках ПФ
учесть влияние всех факторов – задача невыполнимая и бессмысленная, тем
более что некоторые из этих факторов не могут быть измерены
количественно. Поэтому ПФ неизбежно включает в себя лишь некоторые
главные факторы, оказывающие решающее воздействие на изучаемый
показатель. Кроме того факторы, включаемые в производственную функцию,
могут быть неоднородны по своей структуре, а их воздействие на результат
производства не определяется однозначно.
Например, ни на одном производстве нельзя абсолютно точно
предсказать, как изменяется объем продукции при определенном увеличении
отработанных человеко-часов, хотя можно утверждать, что объем продукции
возрастает и ориентировочно подсчитать.
Из-за наличия неучтенных факторов и неоднозначности действия
учтенных ПФ является функцией лишь в статистическом смысле.
Описываемая ею математическая зависимость проявляется лишь в общем и в
целом в массе наблюдений, т.е. производственная функция является
экономико-статистической
моделью
(эконометрической)
процесса
производства продукции в данной экономической системе и выражает
устойчивую, закономерную количественную зависимость между объемными
показателями ресурсов и выпуска.
В общем виде уравнение производственной функции можно записать:
(1.1),
F( X ,Y , a )  0
X  ( X 1 , X 2 , X n ) –вектор ресурсов; Y  ( Y1 ,Y2 ,Yn ) где
вектор продукции; a  ( a1 ,a2 ,an ) –вектор параметров ПФ
Соотношение (1.1) может быть векторным, т.е. состоять из нескольких
равенств. ПФ может быть задана не только аналитически, но и в виде
таблицы
Помимо общего представления ПФ в виде (1.1) чаще используются
следующие частные случаи:
Производственная функция выпуска: Y  f ( X , a )
.
(1.2)
Здесь в качестве независимых переменных берутся затраты ресурсов, а
зависимой переменной является объем выпуска продукции.
Производственная функция затрат X  h(Y , a )
(1.3)
Здесь независимыми переменными являются объемы выпуска различных
видов продукции, а зависимой переменной–затраты ресурсов.
В том случае, когда вектор X является многокомпонентным между
функцией выпуска и затрат возникают принципиальные различия: при
использовании функции выпуска один и тот же объем продукции может быть
получен при различных сочетаниях количеств производственных ресурсов.
В функции затрат задание выпуска полностью определяет затраты
ресурсов, поэтому функция затрат используется в том случае, когда в
описываемой экономической системе отсутствует возможность замещения
одного ресурса другим. Функция выпуска используется тогда, когда такая
замена допустима.
Производственная функция определяет максимальный объем выпуска
продукции при каждом заданном количестве ресурсов. Эта функция
описывает зависимость между затратами ресурсов и выпуском продукции,
позволяя определить максимально возможный объем выпуска продукции при
каждом заданном количестве ресурсов, или минимально возможное
количество ресурсов для обеспечения заданного объема выпуска продукции.
Производственная функция суммирует только технологически эффективные
приемы комбинирования ресурсов для обеспечения максимального выпуска
продукции. Любое усовершенствование в технологии производства
способствующее росту производительности труда, обусловливает новую
производственную функцию.
С понятием производственной функции тесно связано понятие
множества производственных возможностей:
 X ,Y   G (a) , где G( a )
(1.4)
Это некоторое множество в пространстве продуктов и ресурсов,
зависящее от параметров ПФ.
Пример: пусть имеется единственный ресурс X
и единственный
продукт Y (например, количество техники на единицу площади
сельскохозяйственных угодий и урожайность полевых культур). При этом
предполагается, что количество других ресурсов остается без изменений,
поэтому они не включаются в ПФ в явном виде.
Множество производственных возможностей задается соотношением:

,где X>0, 0    1
(1.5)
Тогда множество производственных возможностей можно изобразить
следующим образом:
0Y  X
Y
A
G(a)
X
Связь
между
производственной
функцией
и
множеством
производственных возможностей устанавливается следующим образом.
Предположим, что производство ведется эффективно, т.е. при данном
количестве ресурсов выпускается максимально возможное количество
продукции. Тогда имеет смысл рассматривать не все множество G(a), а лишь

границу: Y  X .
(1.6)
Таким образом, получим производственную функцию выпуска.
Если же задана производственная функция (1.6), то множество
производственных возможностей можно получить, предполагая, что с
помощью тех же ресурсов можно получить и меньшее количество ресурсов.
2..2 Свойства производственных функций
Рассмотрим некоторые наиболее общие свойства производственных
функций на примере функции выпуска с одним продуктом и несколькими
ресурсами. Считая, что параметры функции уже определены и их влияние
нас не интересует, производственную функцию можно представить
следующим образом:
Y  F ( X 1 , X 2 , X n )
(1.7)
Первое свойство.
При отсутствии хотя бы одного ресурса выпуск продукции не возможен:
( X i  0 )  F ( X 1 , X 2 , X n ) =0
(1.8)
Это свойство означает, что каждый ресурс необходим хотя бы в малых
количествах, полное отсутствие некоторого ресурса не может быть
компенсировано другими. Вообще говоря, это свойство обязательно только
для трудовых и ряда других, действительно незаменимых ресурсов (пряжа–
при изготовлении трикотажа, семян–при выращивании зерна).
2. Второе свойство.
При увеличении затрат производственных ресурсов выпуск продукции
не уменьшается, т.е. если
(1.9)
X i*  X i** ,то
F ( X1 , X i*  X n ) 
F ( X1 , X i**  X n )
Это свойство справедливо для любого фактора производства.
Предположим, что фактор X i – переменный, а остальные– постоянные.
Для того чтобы отразить влияние переменного фактора на производство
вводится понятие совокупного (общего), среднего и предельного продукта.
Совокупный продукт–это количество экономического блага,
произведенное с использованием некоторого количества переменного
фактора: Y  F ( X i ) .
Кривые, показывающие изменение совокупного продукта в зависимости
от изменения переменного фактора называются кривыми затраты– выпуск.
Y
III
II
I
Xi
Чем большее количество постоянных факторов используется, тем выше идет
кривая затраты–выпуск.
Y
Предельный продукт. Величина MP 
называется предельной
X i
производительностью (эффективностью) использовании i–го ресурса
(предельный продукт)
Если функция Y  F ( X i ) дифференцируема, то показатель предельной
эффективности МР определяется как частная производная по ресурсу:
F
MP 
.
X i
Предельная эффективность характеризует отношение прироста выпуска
продукции к малому приросту производственного ресурса или. Она
показывает, сколько дополнительных единиц продукции приносит
дополнительная единица i-го ресурса.
Величина предельной эффективности зависит от точки Xi , в которой
берется производная. Она равняется тангенсу угла наклона касательной к
кривой затраты–выпуск в этой точке.
Свойство (2) для дифференцируемой функции может быть записано:
F
i  1, n
(1.10)
0
X i
(т.е. производственная функция–неубывающая функция, поэтому
производная не отрицательна). Заметим, что свойство (2), являющееся на
первый взгляд очевидным, выполняется не всегда: например, при увеличении
количества удобрений, приходящихся на единицу площади, производство
зерна сначала возрастает, а затем начинает убывать.
В этом случае применяют производственные функции, не
удовлетворяющие соотношению (4.4). Для таких функций вводится понятие
экономической области, т.е. множество таких сочетаний ресурсов, для
которых соотношение (4.4) выполняется. Использование ресурсов, в
сочетаниях не попадающих в экономическую область, бессмысленно с
экономической точки зрения. Для функций, имеющих непрерывные
производные, границами экономической области являются поверхности,
F
определяемые соотношением:
0
X i
Их называют разделяющими поверхностями.
Помимо показателя предельной эффективности, для характеристики
влияния использования ресурса на выпуск применяется показатель средней
эффективности:
Y
F( X )
(1.11)
AP 

Xi
Xi
Он показывает среднее количество продукции, приходящееся на
единицу i-го ресурса. Показатели средней и предельной эффективности
характеризуют абсолютный прирост продукции. Наряду с исчислением
абсолютного прироста продукции представляет интерес определение
показателя,
характеризующего
относительный
прирост
объема
производства на единицу относительного увеличения ресурса. Этот
показатель обозначается  i ( X i ) и называется эластичностью выпуска по
затратам i-го ресурса. Он равняется отношению предельной эффективности
к средней:
Y
X
 i ( X i ) = X i Y  Y  i
(1.12)
X i Y
Xi
При анализе эффективности использования ресурсов часто интересует
вопрос о том, на сколько процентов возрастает объем продукции при
увеличении затрат ресурсов на 1%. Легко показать, что эластичность выпуска
по затратам ресурса близка к этой величине:
F
(1.13)
F 
 X i ;
X i
Поделим (1.13) на F:
F
F X i
(1.14)
 100% 

 100%   i ( X i )
F
X i F
3. Третье свойство. Закон убывающей предельной производительности (закон падающей эффективности).
По мере увеличения количества одного ресурса при постоянных количествах других ресурсов предельная эффективность (производительность)
этого ресурса не возрастает., т .е. возрастание использования одного из
факторов при фиксированных остальных приводит к снижению отдачи от
применения этого фактора.
Математически это свойство для дважды дифференцируемой производственной функции можно записать следующим образом:
2
  F   F
(1.15)
 0 i  1, n


X i  X i   X i2
Т.е. функция предельной эффективности использования ресурса
является убывающей.
Действительно, возрастание использования какого-либо ресурса не
приводит к уменьшению выпуска и даже может несколько его увеличить, но
темп роста продукции падает, так как в этом случае каждая следующая
единица ресурса, количество которого возрастает должна соединиться со все
меньшим, приходящимся на нее количеством других ресурсов.
Эффективность использования ресурсов падает.
Закон убывающей предельной производительности никогда не был
доказан строго теоретически. Он был выведен экспериментальным путем
(сначала в сельском хозяйстве, а потом в других отраслях). Он отражает
реально наблюдаемый факт определенных пропорций между различными
факторами, сложившихся при производстве продукции. Нарушения их,
выражающиеся в чрезмерном росте применения одного из ресурсов можно
довольно быстро исчерпать границы взаимозаменяемости ресурсов и в
конечном счете приведет к неэффективному его использованию.
Дадим графическую иллюстрацию связи изменения совокупного
продукта и изменения предельной и средней эффективности в зависимости
от затрат ресурса.
Пусть имеем произвольную функцию: Y  F ( X 1 , X 2 , X i , X n ) ,
здесь Xi–переменный фактор, остальные фиксируем.
Тогда изменение объема выпуска продукта зависит от затрат i-го
ресурса и графически изобразится кривой затраты–выпуск.
Y
 B
C
A
O
O1

P
X1 X2
X
X3
C1
O
X1 X2
X3
На первой стадии производства (отрезок OX1) рост фактора Xi
приводит к росту совокупного продукта, при этом предельная и средняя
производительность
использования
ресурса
растут.
Предельная
производительность MP использования ресурса в какой –либо точке кривой
затраты–выпуск равняется тангенсу угла наклона касательной в этой точке.
Y OY
MP 

 tg . На отрезке OX1 предельная эффективность всегда
X O1 P
Y OY
больше средней, так как средняя эффективность равняется

 tg и
X i OP
tg  tg , так как OP>OP1
В точке A1 предельная эффективность достигает максимума, а средняя
производительность по–прежнему ее меньше.
В точке С средняя и предельная эффективность использования ресурсов
совпадают (в этой точке касательная к кривой затраты–выпуск проходит
через начало координат и tg = tg
На отрезке (X2X3), начиная с точки С tg  меньше, чем на отрезке
(X1X2),.следовательно, предельная производительность на отрезке (X2X3)
уменьшается.
Если на 1-й стадии (отрезок OX1) совокупный продукт растет медленнее,
чем растет потребление переменного фактора xi, то на 2-й стадии (отрезок
X1X2) совокупный продукт растет быстрее, чем потребление переменного
фактора. На 3-й стадии (отрезок (X2X3)) предельная .эффективность меньше
MP меньше средней AP, в результате чего совокупный продукт растет
медленнее затрат переменного фактора.
В точке В совокупный продукт достигает максимальной величины,
касательная к кривой затраты –выпуск в этой точке параллельна оси OX,
следовательно. tg  =0 и предельная эффективность использования
ресурса тоже равна нулю(MP=0). После точки B использование
переменного фактора xi, становится нецелесообразным, так как его
увеличение приводит к уменьшению объема продукта ( выходим за пределы
экономической области). Предельная эффективность здесь становится
отрицательной.
Средняя производительность на отрезке (X2X3) тоже уменьшается, но
остается выше предельной.
Таким образом, .ресурсы целесообразно использовать в производстве
пока предельная эффективность их использования положительна.
Для увеличения эффективности использования переменного фактора
следует перейти к новой технологии, которая включает большее количество
постоянных факторов, чем в рассмотренной технологии. Это в свою очередь
приведет к большему объему совокупного продукта при тех же значениях
объемов переменного фактора.
Y
Q2
II
Q1
I
X1
X2
X
Кривая II
соответствует большему количеству включенных в
производство постоянных факторов. При одинаковом количестве
переменного фактора, например в точке X1 объем совокупного продукта
больше, чем при технологии I.
Cледствие закона убывающей предельной производительности:
Спрос на ресурсы является производным от спроса на продукцию.
Если обозначить предельный продуктивность MP, а предельные
издержки MC, то правило использования ресурсов можно выразить
следующим образом: MP=MC, т. е. для того, чтобы максимизировать
прибыль
(через
максимизацию
выпуска
продукта)
каждый
производитель(фирма) должен использовать дополнительные единицы
любого ресурса до тех пор, пока каждая единица дает прирост совокупного
дохода.
4. Четвертое свойство. Расширение масштабов производства
До сих пор мы рассматривали изменение объема продукции,
предполагая изменение единственного ресурса X i .
Предположим, что осуществляется пропорциональное изменение затрат
всех ресурсов в некоторое число раз t.
Если использовали ресурсы в объеме X =(X1,X2,...,Xn), то будем
использовать t X =(tX1,tX2,...,tXn). При этом говорят, что в t раз
увеличивается масштаб производства. Какова же будет отдача от расширения
масштабов производства, т. е., как изменится при этом выпуск продукции?
Определение: Функция F( X ) называется однородной степени , если
для любого X и любого скаляра t выполняется условие :

F( t X )  t  F( X )
(1.16),
здесь –показатель однородности.
Однородная производственная функция характеризует отдачу от
расширения масштабов производства. При этом отдача от производства в
зависимости от  будет следующая:
 1, постоянна

   1, воз растающая
  1, убывающая

Отдача от расширения постоянна, если в t раз увеличиваем затраты
ресурсов и в t раз возрастает выпуск продукции.
Естественно считать, что  >0, иначе использование ресурсов
нецелесообразно.
Надо отметить, что 4-ое свойство выполняется не для всех
производственных функций, применяемых в экономике.
Для характеристики последствий изменения масштабов производства
вводят показатель (X),называемый эластичностью производства, который
определяется следующим образом:
F ( t X )
t

(1.17)
t 1
t
F( t X )
( X ) характеризует процентное изменение выпуска продукции при
  lim
изменении масштабов производства на 1% при данной структуре ресурсов.
Легко проверить, что для однородной функции ( X ) =

Пусть F ( t X )  t  F ( X )
.Найдем для этой функции ( X ) по формуле (4.11):
 1
F ( t X )
t
  t  F( X )  t
  lim


= lim
t 1
t
F ( t X ) t 1 t   F ( X )
(1.18)
Можно установить связь между эластичностью производства и
эластичностью выпуска по затратам ресурсов. Покажем это.
F ( t X )
F ( tX 1 ,tX 2 ,tX n ) ( tX i )
F ( t X )
=


 Xi
t
( tX i )
t
( tX i )
i
i
(1.19)
Подставим (1.19) в (1.17):
  lim 
t 1 i
F ( t X )
t
1
F ( X )
 Xi 


 Xi 
( tX i )
F ( t X ) F ( X ) i X i
F ( X ) X i


  i ( X i )
X i
F( X ) i
i
(1.20)
Таким образом, эластичность производства в некоторой точке
пространства ресурсов равна сумме эластичностей выпуска по затратам
ресурсов в этой точке Это правило. справедливо для любой
производственной функции.
n
Для однородной производственной функции:   
i 1
 i ( X i ) 
В случае производственной функции с одним ресурсом эластичность
производства совпадает с эластичностью выпуска по затратам этого ресурса.
Отметим одно полезное свойство производственных функций с постоянной
отдачей от расширения масштабов производства. Для них при Xn>0 имеем:
X X
X
f ( X 1 , X 2 , X n )  X n  f ( 1 , 2 , n 1 ,1 )
Xn Xn
Xn
,
Y
X X
X
 f ( 1 , 2 , n 1 ,1 ) . Благодаря этому количество переменных
Xn Xn
Xn
Xn
производственных функций можно уменьшить на единицу. Это особенно
удобно в случае двух переменных, поскольку число переменных уменьшится
до одной и график функции можно изобразить на плоскости. Обозначим
X
~
~ X
функцию
f ( 1 ,1 ) через ( X ) ,где
X  1 –новая переменная,
X2
X2
характеризующая отношение объемов используемых ресурсов Если ввести
Y
~
обозначение Y 
,то вместо производственной функции f ( X 1 , X 2 )
X2
~
~
можно рассмотреть функцию Y  ( X ) .
f ( X1 , X 2 )
Если
удовлетворяет
рассмотренным
свойствам
~
производственных функций, то для функции ( X ) получаем:
т.е.
d
 , ~  0,
dX
d 2
~  0.
dX 2
2.3. Выбор производственной технологии. Понятие о замещении
ресурса
Перед каждым производителем стоит проблема выбора: как именно
произвести ту или иную продукцию, какие ресурсы и в каком количестве
использовать. Последнее зависит не только от технологии, но и от стоимости
ресурсов. Таким образом, эта проблема имеет два аспекта: технический и
экономический.
Остановимся на первом из них. Предположим, что производственный
процесс описывается производственной функцией с двумя ресурсами
X 1 и X 2 ( например, труд и капитал), остальные факторы производства
фиксируем.
Предположим также, что объем производства представляет постоянную
величину–Y0. При заданной технологии один и тот же выпуск продукции
может быть обеспечен различным сочетанием этих факторов, т.е. либо с
большим привлечением капитала, либо с большим привлечением труда, т.е.
эти факторы являются взаимозаменяемыми.
Определение: совокупность таких сочетаний ресурсов (точек в
пространстве ресурсов), при которой может быть произведено определенное
количество продукта Y0. называется изоквантой и обозначается:

Q( Y0 )  X F ( X )  Y0

(3.1)
Можно дать такое определение изокванты (графическое):
Рассмотрим плоскость ресурсов X1OX2. Если соединить точки плоскости
обеспечивающие один и тот же выпуск продукта, то получим линию
называемую изоквантой. (рисунок 4.1)
При заданной технологии выпуск продукции в точке A обеспечивается
большим применением капитала, а в точке С - за счет большого привлечения
труда.
Если изокванта непрерывна, то число возможных комбинаций ресурсов
бесконечно, что обеспечивает чрезвычайную гибкость принимаемых фирмой
решений.
X2
A
B
C
Y0
X1
Рис. 4.1
2.3.1.Свойства изоквант
1. Для производственной функции, удовлетворяющих свойству 1,
изокванты не пересекаются с осями координат.
Если предположить, что изокванта пересекается с осями, то возможен
выпуск продукта при отсутствии какого-либо ресурса.
2. Изокванты не пересекаются друг с другом.
Предположим, что изокванты пересекаются в точках A и B.
X2
A
B
Y1
Y2
X1
Рис.4.2
Здесь Y1 <Y2. Это означает ,что в точках A и B для производства
меньшего количества продукта Y1 требуется столько же ресурсов, что и для
производства большего количества Y2.Очевидно, что такие технологии не
эффективны, а проблема выбора оптимального сочетания ресурсов может
быть рассмотрена лишь в пределах зоны технического замещения, т. е. в
пределах кривой AB, где изокванты не пересекаются
3. Изокванты имеют отрицательный наклон, т .е. тангенс угла
наклона касательной к любой точке изокванты меньше нуля.
Предположим, что изокванта имеет положительный наклон.
X2
A
B

X1
Рис.4.3
Это означает, что одно и тоже количество продукта может быть
B
A
произведено при затратах ресурсов ( X 1 , X B2 ) и
( X 1 , X 2A ),причем как
B
A
B
A
X 1  X 1 , так и X 2  X 2 ,а такая технология не имеет смысла.
4. Большему выпуску продукции соответствует изокванта более
удаленная от начала координат.
X2
Y3
Y2
Y1
X1
Рис.4.4
Y1  Y2  Y3
Как записать уравнение изокванты?
Если Y=F (X1,X2)–уравнение производственной функции, то, для того
чтобы получить уравнение изокванты, необходимо фиксировать выпуск
продукции Y=Y0:
Y0 =F (X1,X2)–уравнение изокванты. Для того, чтобы записать его в
явном виде необходимо выразить из этого уравнения переменную X2 в
зависимости от X1 (или наоборот): X 2  ( X 1 ,Y0 ) . Эта функция имеет
следующий смысл: это количество фактора X2, которое необходимо для
получения заданного количества продукта Y0 в зависимости от
использования фактора X1.
2.3.2. Предельная норма замещения.
Для производственных функций, допускающих замещение ресурсов
вводится понятие предельной нормы замещения
X2
 М1
 М2

X1
рис 4.5
Пусть М1(X1,X2)–некоторая произвольная точка в плоскости ресурсов,
лежащая на изокванте Q(Y0),т.е. F ( X1 , X 2 )  Y0
Дадим приращение ресурсам (X1 X2) и рассмотрим точку на
изокванте M2(X1+X1 ,X2+X2). В этой точке F(X1+X1 ,X2+X2)=Y0
Таким образом, dF= F(X1+X1 ,X2+X2)- F(X1 ,X2)=0
(3.2)
В то же время левую часть равенства (3.2) можно представить как:
F
F
 dX 1 
 dX 2 (разложение дифференциала),
X 1
X 2
F
F
следовательно,
(3.3)
 dX 1 
 dX 2 =0
X 1
X 2
dF=
Из равенства (3.3) получаем:
dX 2

dX 1
F
X 1
F   21
X 2
(3.4)
Таким образом, вдоль изокванты выполняется соотношение (3.4)
Величину 21 называют предельной нормой замещения второго ресурса
первым.
Она
равняется
частному
от
деления
предельных
производительностей ресурсов со знаком минус. Предельная норма
замещения показывает, сколько единиц второго ресурса может быть
высвобождено при увеличении затрат первого ресурса на единицу. Знак
минус можно интерпретировать следующим образом: при уменьшении
использования одного ресурса количество другого должно быть увеличено.
Предельная норма замещения в какой–либо точке изокванты совпадает
по величине с тангенсом угла наклона касательной к изокванте в этой точке:
dX 2
 tg
dX 1
(смотри
рисунок
3.5).
Угол
 тупой–тангенс его
отрицательный. Угол  меняется при движении вдоль изокванты, а,
следовательно, меняется и величина предельной нормы замещения, т.е.
каждой точке изокванты соответствует своя предельная норма замещения.
Проследим на условном примере, как меняется величина
движении вдоль изокванты. Обратимся к рис.3.6.

при
X2
4
A
2
B
1
C
Y0
X1
0,5
2
4
6
Рис. 4.6.
фактор X1 (Труд)
0,5–2
2–4
4-6
21(норма замещения капитала трудом)
2
1,5  1,33
1  0,5
2
0,5  0,25
2
Очевидно, что при увеличении затрат фактора X1(труда) норма
замещения второго фактора (капитала) трудом уменьшается. Это
свидетельствует о том, что эффективность использования любого ресурса
ограничена. По мере замены ресурса X2(капитала) ресурсом X1(трудом)
отдача последнего(его производительность) снижается, т.е. добавление к
каждой следующей единицы труда приводит к меньшему высвобождению
капитала. Аналогично происходит и при обратной замене . Из соотношения:
(3.4) следует также, что функция X 2  ( X 1 ,Y0 ) монотонно убывающая..
Это свойство не определяется конкретным видом функции, а присуще всем
производственным функциям с двумя ресурсами.
Для характеристики динамики изменения предельной нормы замещения
вдоль изокванты вводится понятие эластичности замещения ресурсов:
( X1 , X 2 ) 
d 

X1

X2
d


X1
(3.5)
X2
Эластичность замещения имеет следующий экономический смысл: она
приближённо показывает на сколько процентов должно измениться
отношение ресурсов при движении вдоль изокванты, чтобы предельная
норма замещения изменилась на один процент.
Эластичность замещения может быть представлена в более удобной
X
d  ln 1 X  
 
2

форме: ( X 1 , X 2 ) 
d (ln(   ))
Существуют производственные функции с постоянной и переменной
эластичностью замещения.
Постоянство эластичности замещения ресурсов производственной
функции позволяет охарактеризовать с её помощью возможность замещения
ресурсов в целом, а не при каком–то конкретном соотношении ресурсов, как
это возможно с помощью предельной нормы замещения. Чем больше
величина эластичности замещения, тем в более широких пределах ресурсы
могут замещать друг друга.
Если ресурсы используются независимо, а их норма замещения
постоянна и не зависит от объёмов использования ресурсов, то полагают, что
эластичность замещения равна бесконечности ( ( X1 , X 2 )   ).
Для производственных функций, в которых замещение ресурсов
невозможно полагают, что эластичность замещения равна нулю(
( X1 , X 2 )  0
На рисунке 4.7 изображены изокванты с различной эластичностью
замещения
=0
X2
A
1 2 3
B
C
X1
Рис.4.7
0<
1<2<3<
, изокванта приближается к отрезку
стремлении0, изокванта приближается к линии АВС. Эти
Если
АС,
при
предельные
изокванты соответствуют производственным функциям с бесконечной и
нулевой эластичностями замещения. Нулевая эластичность означает, что
замещение между ресурсами отсутствует, а бесконечно большая–что каждый
из ресурсов используется независимо.
4.3.3. Изоклиналь
Определение: совокупность изоквант называется картой изоквант.
Как уже отмечалось норма замещения вдоль изокванты непрерывно
меняется. В тоже время на разных изоквантах можно найти точки с
одинаковой нормой замещения:
X2
a
b
c


  1 - (рисунок 4.8)
q 3 q 2 q1
2
1
q1
q2
q3
Y3
Y2

Y1

a
b
X1
c
Рис 4.8
Как уже отмечалось норма замещения вдоль изокванты непрерывно
меняется. В тоже время на разных изоквантах можно найти точки с
одинаковой нормой замещения:
a
b
c


  1q 3 q 2 q1
Определение: линия (X1,X2)= 1,соединяющая точки изоквант с
одинаковой нормой замещения называется изоклиналью (рис. 4.8)
На рисунке изоклинали изображены прямыми линиями, выходящими из
начала координат, но это не для всех производственных функций. Таким
свойством обладают изоклинали для важного класса производственных
функций–однородных функций.
В случае, когда изоклиналь–прямая линия, выходящая из начала
координат можно дать простую геометрическую интерпретацию: отношение
X2
характеризуется
X1
тангенсом угла  наклона изоклинали, поэтому
величина 1 показывает, на сколько процентов необходимо повернуть
изоклиналь(т.е. изменить tg ),чтобы tg изменился на 1%.(–угол наклона
касательной к изокванте)
Все изложенные здесь понятия, относящиеся к анализу замещения
ресурсов в производственных функциях с двумя ресурсами могут быть
обобщены на случай произвольного числа ресурсов.
2.4. Теория фирмы
2.4. 1.Равновесие производителя
До сих пор мы рассматривали
лишь технологический аспект
производства продукции, рассмотрим экономический, ведя цены на ресурсы
производства
Рассмотрим ПФ с двумя факторами производства F1 и F2. Пусть цена
факторов: (p1,p2). Производитель располагает определенными средствами
(определёнными бюджетом) B0, который он использует на покупку факторов
производства. Если производитель покупает Х1 фактора F1 и Х2 фактора F2,
то должно выполнятся условие:
p1  X 1  p 2  X 2  B0
(4.1),
Т.е. производитель не может истратить на покупку ресурсов больше, чем
у него есть.
Это ограничение определяет бюджетное множество
производителя.
Каждое предприятие стремится получить наибольшую массу прибыли,
которая равна разности между ценой произведенного продукта и издержками
производства. Обозначим массу прибыли R = pY – ( p1  X1  p2  X 2 ) , где p цена продукта. Т.к. бюджет В фиксирован, максимум прибыли достигается
при максимуме продукта. Задачу, стоящую перед предприятием, можно
сформулировать следующим образом: найти максимум производственной
функции при заданных ценах факторов производства и бюджете.
Целевая функция: Y  F ( X 1 , X 2 ) max.
Ограничения: p1  X 1  p 2  X 2  B0
X 1  0, X 2  0
. В тоже время согласно 2-у свойству производственных функций:
выпуск продукции увеличивается при увеличении объема используемых
факторов. Поэтому для получения максимума выпуска бюджет
производителя должен быть израсходован полностью (не останется
возможности дозакупки ресурсов), т. е. бюджетное ограничение при
определении максимума выпуска продукции должно выполняться как
равенство: p1  X 1  p 2  X 2  B0
Это уравнение прямой представляет комбинацию ресурсов,
использование которых даёт одинаковые затраты, а прямая, соответствующая
этому уравнению называется прямой равных издержек или изокостой.
Рост бюджета или снижение цен на ресурсы сдвигает изокосту вправо в
плоскости затрат ресурсов. ( Рисунок 4.1)
X2
X2
B2= B1
,цены на ресурсы уменьшились
B2
B2> B1
B1
I
X1
II
X1
Рис.4.1
Пусть технология производства определяется некоторой изоквантой
Q(Y0),а ограничение по бюджету задается условием (4.1). Нарисуем в
плоскости ресурсов соответствующие изокванту и изокосту (рис.4.2).
Точки пересечения изокванты и изокосты A и B определяют возможные
варианты технологии (варианты использования ресурсов) в рамках
имеющегося бюджета. Но при данном бюджете возможен и больший выпуск
продукции, чем Y0, при этом область возможного изменения технологии
сужается. Максимальный выпуск будет в точке касания изокосты и
изокванты, в которой будет единственная оптимальная технология. Точка
максимального выпуска определяет равновесие производителя.
X2
A
T
B
Q(Y0)
X1
Рис.4.2.
В точке касания T изокоста и изокванта имеют одинаковый наклон. Так
как тангенс угла наклона касательной к изокванте равен предельной норме
замещения ресурсов, справедливо следующее соотношение:
dX 2 с1

dX 1 с2
(4.2)
Таким образом, предельная норма замещения ресурсов в точке
максимального выпуска при данном бюджете равняется отношению цен на
ресурсы.
Задача оптимального поведения производителя может быть
сформулирована следующим образом:
Найти точку оптимального выпуска X *  ( X 1* , X 2* ) , удовлетворяющего
ограничениям:
p1  X 1  p 2  X 2  B0
X 1  0, X 2  0
(4.3)
и обращающего функцию выпуска Y  F ( X1, X 2 ) в максимум.
Такие задачи называют задачами условной оптимизации. Термин
условный здесь появляется в связи с тем, что независимые переменные
( X 1* , X 2* ) удовлетворяют условию (ограничению) (4.2).
Если функция F (X ) линейна то сформулированная задача является
задачей линейного программирования и решается соответствующими
методами. Если функция F (X ) не линейна, то задача может быть решена
сведением к задаче безусловной оптимизации специально построенной
n
функции Лагранжа: L( X ,  )  F ( X )    g ( X ) , где g ( X )  B0   pi  X i
i 1
Функция Лагранжа L(X1, X2,) представляет собой сумму целевой
функции и функции ограничения (4.2), умноженного на новую независимую
переменную  (называемую множителем Лагранжа), входящую обязательно
в первой степени.
Если функции F ( X ) и g ( X ) непрерывны и имеют непрерывные
частные производные первого порядка по переменным ( X 1 , X 2 ) , то
необходимое и достаточное условие экстремума представляет равенство
нулю частных производных по переменным:
 L( X 1 , X 2 ,  )
0

x1

 L( X 1 , X 2 ,  )
(4.4)
0


x
2


L
(
X
,

1 X 2 , )
0


Для нашей задачи эти условия можно записать следующим образом:
F
 L

 pi  0;
 X

X
i
(4.5)
 L i
  B0   pi X i  0.
 
i
Второе соотношение системы (4.5 – это бюджетное ограничение. Из
первого соотношения находим:
F
X i
pi

MPi
MPn
MP1 MP2


 ... 
.
pi
p1
p2
pn
(4.6)
Это выражение называют условием равновесия предприятия на рынке
факторов производства.
Проанализируем экономический смысл величины
MPi
. Здесь MPi –
pi
предельная производительность единицы i-го фактора производства. Но
тогда
MPi
pi
есть предельная производительность такого количества i-го
фактора производства, которое можно купить за единицу денег, напр., за 1
руб. Следовательно, величина
MPi
pi
отражает эффективность вложения
дополнительного рубля в закупку i-го фактора. Ясно, что закупленный набор
факторов производства оптимален тогда и только тогда, когда
эффективности вложения дополнительного рубля во все факторы равны
между собой. Если это не так, то можно повысить производительность
набора факторов, сократив закупки одних факторов и увеличив закупки
других. Покажем это.
Выделим факторы k и l так, что
MPk MPi
>
. Тогда, сократив закупки i-го
pi
pk
фактора на 1 руб. и затратив высвободившийся рубль на закупку k-го
фактора, можно увеличить производительность всего набора. Следовательно,
до такого перераспределения набор не был оптимальным.
Выражение равновесия фирмы на рынке факторов производства есть
полный аналог второго закона Госсена в теории предельной полезности. В
теории предельной производительности этот закон можно сформулировать
следующим образом: для оптимального набора факторов производства
выполняется условие – предельные эффективности вложения единицы денег
во все факторы производства равны между собой.
Таким образом, можно сделать следующие выводы:
 в
точке
оптимального
выпуска
цены
пропорциональным
i  1, n ;
производительностям ресурсов: MPi    pi

отношение предельных производительностей ресурсов равно
отношению цен:
MPi
p
 i ,
(4.7)
i, k  1, n
MPk
pk
 предельная производительность, приходящаяся на расходуемую
денежную единицу, должна быть одинаковой для всех покупаемых
товаров:
F
F
X i
x
i, k  1, n Здесь  есть предельная
 k
 ,
pi
pk
эффективность вложения денег в любой из факторов производства.
Пример
2.4.2. Путь развития и экономия от масштабов производства
Предположим, что цены на ресурсы остаются постоянными, а, бюджет
растёт, следовательно, растет и выпуск продукции.
Нарисуем в плоскости ресурсов изокосты и соответствующие
максимальному выпуску при данных бюджетах.
X2
S
O
X1
Рис.4.3
Соединим точки касания изокост и изоквант. Получим линию OS,
которую называют "путь развития".
Эта линия показывает темпы роста соотношения между факторами в
процессе расширения производства. Например, на рисунке фактор X1 в
процессе увеличения выпуска продукции используется в большей мере, чем
X2.
Форма кривой "путь развития" зависит, в–первых, от формы изоквант, а
во–вторых, от цен на ресурсы (от наклона изокост). Это может быть прямая
или кривая линия, выходящая из начала координат (нулевого выпуска).
X2
X2
Y=40
Y=20
Y=10
X1
X2
Y=40
Y=20
Y=10
Y=40
Y=20
Y=10
X1
рис. 4.4
Если расстояние между изоквантами при пропорциональном изменении
выпуска уменьшается, то это свидетельствует о возрастающей отдаче от
расширения масштабов производства, т.е. увеличение выпуска достигается
при относительной экономии ресурсов.
В случае, когда увеличение выпуска требует пропорционального
увеличения ресурсов, имеем постоянную отдачу, при этом расстояние между
изоквантами не меняется.
Увеличение расстояния между изоквантами говорит об убывающей
отдаче. Убывающая отдача свидетельствует о том, что эффективный размер
предприятия уже достигнут и дальнейшее наращивание производства
нецелесообразно. В случае возрастающей
отдачи, наоборот следует
наращивать объём производства.
Таким образом, анализ производства на основе изоквант позволяет
оценить эффективность применяемых технологий, а использование изокост
позволяет к тому же оценить и экономическую эффективность, т.е. выбрать
технологию (трудо,
энерго, капиталосберегающую), позволяющую
обеспечить выпуск продукции предприятия при тех денежных средствах,
которыми располагает предприятие.
2.5. Основные виды производственных функций
В зависимости от характера производственного процесса, целей и
средств моделирования в качестве производственных функций используются
неотрицательные функции весьма разнообразного типа. Однако, наиболее
часто используются функции, удовлетворяющие второму, третьему и
четвертому свойствам. Эти свойства называют неоклассическими
критериями, а функции–производственными функциями неоклассического
типа. Рассмотрим производственные функции выпуска. В зависимости от
числа производственных факторов, включенных в производственную
функцию, их делят на однофакторные и многофакторные. В таблице 5.1
представлены основные типы однофакторных функций.
Название
Линейная
Уравнение
Таблица 5.1
Пр.произ. эластичн.
ср. произ.. Y X
dY
a
a1  0 X
Y=a0+a1X
  dY  X
dX
dX Y
a1
a1 X
a0
Квадратная
Кубическая
Y  a0  a1 X  a2 X
2
3
Y  a0  a1 X  a2 X  a3 X a1  2a2  3a3 X
Гиперболичес Y  a  a1
0
X
кая
Степенная
a1  2 a2 X
a
a1  0  a 2 X
X
2
a
Y  a0  X 1
Показательная Y  a0  a1 a 2X
 a1 X
2
a1  2a 2  3a 3 X

a1
a 0 X  a1
X2
a 1
a0 X 1
a0a1 X
a0  a1 a 2X
a1  a 2X  lg a2
X

2
a1 1
2
a1
a 0 X  a1
a0
X
Экспоненциальная
Y  a0  e
a1 X
a0  e
X
a1 X
a 0 a1  e
a1 X
a1 X
Рассмотрим многофакторные функции выпуска.
I.1. Неоднородная линейная функция:
Y  a0  a1 X1  a2 X 2 an X n
(5.1)
I.2. Однородная линейная функция:
Y  a1 X1  a2 X 2 an X n
Предпосылки:
 предельные
MP( X i ) 
(5.2)
производительности
Y
 a i  const ;
X i
факторов
постоянны:
 в нуле функция принимает нулевое значение: ( i ) X i  0  Y  0
 функция однородная первой степени (для однородной линейной
функции):=1
 эластичность замены факторов бесконечна:=0
 эластичности выпуска по факторам обратно пропорциональны его
средней производительности:  i ( X i )  a i 
Xi
 a i  AP( X i )
Y
Линейная функция применяется обычно для моделирования
крупномасштабных систем (крупная отрасль, народное хозяйство в целом), в
которых выпуск продукции является результатом одновременного
функционирования множества различных технологий.
Особую роль играет предпосылка о постоянстве предельных
производительностей факторов или об их неограниченной замещаемости.
II. II.Степенные функции: Y  a0  X 1a1  X a2 2  X an n ,
(5.3)
n
при этом часто предполагают, что ( i ) i  0,   i  1
(5.4)
i 1
Степенную функцию часто представляют в более удобном логарифмическом
виде:
n
ln Y  ln a 0   ai ln X i
(5.5)
i 1
Аппарат производственных функций начал использоваться для
исследования производственных процессов именно на основе степенных
функций, которые были предложены американским учёными К. Коббом и П.
Дугласом для описания связи между объемом общественного продукта (Y) и
двумя важнейшими ресурсами: трудовыми(X2) и основными фондами (X1):
(5.6)
Y  a0  X 1a1  X a2 2
Функции вида (5.3) – (5.6) называют функциями Кобба–Дугласа.
Рассмотрим предпосылки, выделяющие эти функции в отдельный класс (на
примере двухфакторной функции).
B
нуле
функция
принимает
нулевое
значение:
( i ) X i  0  Y  0
Предельная
производительность
каждого
пропорциональна его средней производительности:
MP=
фактора
Y
a 1
a
 a0a2  X 2 2  X 1 1 –предельная производительность труда
X 2
Y
AP=
 a 0  X 1 a1  X 2 a2 1 –средняя производительность.
X2
Предельная производительность получается из средней умножением на
коэффициент пропорциональности a2<1, поэтому MP<AP.
MP>0,поэтому функция монотонно возрастающая. В силу того, что
0  ai  1 при стремлении X i к нулю предельная эффективность J–го
ресурса стремится к бесконечности, а при стремлении X i к бесконечности
предельная эффективность стремится к нулю (при постоянных объемах
других ресурсов).
Эластичности выпуска по факторам постоянны:
Y X 1 a0  a1  X 1a1 1  X 2 a 2  X 1
1 ( X 1 ) 


 a1 .
X 1 Y
a0  X 1a1 X 2 a 2
Аналогично можно показать, что
Y X 2 a0  a2  X 1a1  X 2 a 2 1  X 2
2 ( X 2 ) 


 a2
X 2 Y
a0  X 1a1 X 2 a 2
3. Выполняется закон падающей эффективности:
  Y 

a 1
a
a 2
a
( a0  a1  X 1 1  X 2 2 )= a 0  a1  ( a1  1)  X 1 1  X 2 2 <0


X 1  X 1  X 1
(все сомножители кроме (a1-1) положительны, (a1-1)<0. Это означает, что,
если, например, увеличивать затраты труда без увеличения затрат основных
фондов производительность труда падает.
4. Функция является однородной первой степени: =1(так как
a1  a 2  1), следовательно, эластичность производства равна единице и
функция характеризует постоянную отдачу от расширения масштабов
производства.
Итак, степенная функция удовлетворяет всем четырем предположениям о
производственных функциях, сформулированных ранее.
Рассмотрим вопрос о замещаемости ресурсов:
Найдем предельную норму замещения:
 12
a 1
a
dX 1
a0 a2 X 2 2  X 1 1 a2 X 1


 
a1  1
a2
dX 2
a1 X 2
a0a1 X 1
 X2
(5.7)
Норма замещения факторов зависит от точки изокванты, в которой она
рассматривается (зависит от выбранной технологии). Предельные нормы
замещения являются линейными функциями отношения объемов ресурсов,
поэтому изоклинали степенной производственной функции–плоскости, а для
двухфакторной–прямые линии, выходящие из начала координат. При
пропорциональном росте объемов производственных ресурсов предельная
норма не изменяется.
При стремлении количества замещаемого ресурса к нулю предельная
норма замещения падает, но возможность замещения сохраняется при любых
малых (но не равных нулю) количествах замещаемого ресурса.
Изокванты степенной функции неограниченно приближаются к оси
координат при стремлении объема ресурса к бесконечности. Это означает,
что заранее заданное количество продукции может быть выпущено при сколь
угодно малом количестве одного из ресурсов, если имеется достаточное
количество другого ресурса. Это свойство изоквант для двухфакторной
функции переносится и на функции с любым числом факторов: одним
производственным ресурсом можно компенсировать недостаток всех
остальных ресурсов.
5.Эластичность замещения факторов постоянна и равна единице:
Представим отношение ресурсов
замещения:
X1
как функцию предельной нормы
X2
X 1 a1
=  .
X 2 a2
Найдем эластичность замещения:
d(
( X 1 , X 2 ) 
X1
a1 a 2 X 1
)
 
X2
a 2 a1 X 2



1
X1
X1
d
X2
X2
Равенство единице эластичности замещения вне зависимости от
параметров
функции
является
одним
из
важнейших
свойств
производственных функции этого типа. Оно показывает, что характеристика
замещения одного ресурса другим при выборе степенных функций задана
заранее вне зависимости от желания исследователя. В то же время это
является одним из недостатков степенной производственной функции.
Равенство единице эластичности замещения и неограниченная
возможность компенсации одних ресурсов другими часто вступает в
противоречие со свойствами моделируемых экономических процессов, В
связи с этим в последние десятилетия все чаще используются
производственные функции, близкие к степенной, но отличающиеся от нее
возможностями замещения ресурсов. Такие функции характеризуются
эластичностью замещения не равной единице.
Функция Кобба—Дугласа чаще всего используется для описания
среднемасштабных хозяйственных объектов (от производственного
объединения до отрасли), характеризующихся устойчивым, стабильным
функционированием (вовлечение новой единицы ресурса приносит эффект,
пропорциональный средней производительности имеющегося ресурса).
IV. Функция с фиксированными пропорциями факторов
(функция Леонтьева)
Y  Y0 min(
i
X1
;
0
X1
X2
X2

0
Xi
Xi

0
Xn
Xn
0
)
(5.6)
Предпосылки, выделяющие функции такого вида следующие:
X 0  ( X 10 , X 2 0 , X n 0 ) –вектор параметров, задающий рациональную
структуру использования ресурсов. Если ресурсы используются в
соответствии с вектором X 0 ,то выпуск продукции Y=Y0. Вектор X 0 можно
интерпретировать как вектор норм затрат ресурсов.
Если вектор ресурсов удовлетворяет соотношению X  t  X 0 ,
(5.7)
где t–неотрицательный скаляр, то ресурсы расходуются рационально, а
выпуск продукции определяется как Y  t  Y0 .
2. B
нуле
функция
принимает
нулевое
значение:
( i ) X i  0  Y  0
3. Замена ресурсов невозможна. Полагают, что эластичность замены
между любыми двумя факторами равна нулю (=0). Действительно, всякое
отклонение затрат ресурсов от структуры, заданной соотношением (5.7),
приводит к нерациональному использованию части ресурсов. Покажем это.
Пусть
затраты
ресурсов
задаются
0
вектором X  t  X  X  где
X   ( X 1 , X 2   X n1 ,0 ) . Посмотрим, приведут ли добавки ресурсов X 
к увеличению выпуска продукции. Вычислим выпуск продукции Y.
tX 1 0  X 1 tX 2 0  X 2  tX n1 0  X n1 tX n 0  0
Y  Y0 min(
;

;
)  t  Y0
0
0
0
0
X1
X2
X n1
Xn
Т.е. выпуск продукции имеет ту же величину, что и при затратах
X  t  X 0 . Следовательно, ресурсы, описываемые вектором X  , были
затрачены без какой либо пользы, они не смогли заменить недостающий n–
ый ресурс. Таким образом, замещение ресурсов здесь невозможно не только
тогда, когда какой либо ресурс отсутствует полностью, но и когда он
имеется. Это позволяет ввести понятие лимитирующего ресурса, т.е. такого,
для которого достигается min(
i
Xi
Xi
0
)
Остальные
ресурсы
являются
избыточными.
Увеличение
лимитирующего ресурса (их может быть несколько) приводит к повышению
выпуска продукции.
Если для всех ресурсов выполняется соотношение X  t  X 0 ,то все
ресурсы лимитирующие и избыточных нет.
Функция является однородной первой степени (=1),следовательно,
эластичность производства равна единице и функция характеризует
постоянную отдачу от расширения масштабов производства.
3. Рассмотрим двухфакторную функцию Леонтьева: Y  Y0 min(
Пусть
X1
0
X1

X2
X2
0
X1
X2
X1
X2
;
0
0
)
(5.9),
(первый ресурс является лимитирующим). Функция в этом случае
запишется:
Y  Y0
X1
Y
 00  X 1 .Тогда, если ресурс лимитирующий,
0
X1
X1
предельная эффективность первого ресурса MP=
Y0
X 10
, и равна нулю, если
MP
Y0/X1
0
C
X1
D
Рис.5.1
ресурс избыточный.
0
X1
В точке D X 1 
X2
0
 X 2 –это точка рационального расхода ресурсов, в
ней оба ресурса являются лимитирующими. После точки D первый ресурс
становится избыточным и его предельная эффективность равна нулю.
Построим изокванты этой функции.
X1
Если
0
X1
X2

X2
0
, (первый ресурс лимитирующий), то уравнение
X 10
изокванты для выпускаY1 будет: Y1  Y0 
или X 1 
 Y1 . Если
Y0
X 10
X
первый ресурс избыточный, то уравнение изокванты: Y1  Y0  20 или
X2
X1
X 20
X2 
 Y1 .
Y0
Дадим графическую иллюстрацию.
X2
S
Y2
Y1
B
O
X1
A
Рис.5.2
Линия OS–линия рационального расхода ресурсов, на ней выполняется
условие:
X1
X1
0

X2
X2
0
и оба ресурса –лимитирующие.
X 10
X 20
Точка B имеет координаты ( X 1 
 Y1 ; X 2 
 Y1 ).
Y0
Y0
Изокванты наглядно показывают, что увеличение затрат не
лимитирующего ресурса не приводит к возрастанию выпуска продукции:
например, на рисунке при X 1  A первый ресурс–избыточный и при его
увеличении мы все равно имеем объем выпуска, равный Y1.
Если увеличить лимитирующий ресурс X1, то увеличится выпуск
продукции и перейдем к другой изокванте, лежащей выше (дальше от начала
координат)
Анализируя свойства ПФ с постоянными пропорциями, можно прийти
к выводу о том, что функция позволяет ввести в модель понятие технологии
производства, задаваемой структурой затрат и зависимостью выпуска от
масштабов производства. Это делает функцию Леонтьева пригодной для
моделирования отдельных производств.
Функция Леонтьева предназначена для моделирования строго
детерминированных технологий, не допускающих отклонения от
технологических норм использования ресурсов на единицу продукции.
Обычно используется для описания мелкомасштабных или полностью
автоматизированных производственных объектов.
2.6. Функции затрат и производственные способы
Рассмотрим функцию выпуска с одним продуктом и единственным
ресурсом. Пусть эта функция непрерывно дифференцируема и удовлетворяет
f ' ( X )  0 п ри X  0
условиям: f ( 0 )  0,
(6.1)
В этом случае согласно известной теореме об обратной функции
существует непрерывно дифференцируемая обратная функция X=Н(Y). Это–
функция затрат. Она задана при тех значениях переменной Y, которые
принимает функция f(X) при всех X0. В качестве примера функции f(X)
можно рассмотреть функцию выпуска Y  X  ,для которой обратная функция
имеет вид: X  Y
1
.
Рассмотрим свойства функции затрат X=Н(Y). Из f(0)=0 следует
Н(0)=0,
(6.2)
т. е. в случае отсутствия выпуска продукции тратить ресурс нет
необходимости. Из f ' ( X )  0 следует, что
1
H ( Y ) 
0
(6.3)
f ( X )
т. е. с ростом выпуска продукции затраты ресурса растут. Функцию H ( Y )
принято называть предельными затратами ресурса. Как видно из (6.3),
предельные затраты ресурса обратно пропорциональны предельной
эффективности ресурса. Предположим, что для функции f(X) выполнено
пред-положение об убывании предельной эффективности ресурса, т. е.
f ( X )  0 . Тогда из (6.3) получаем, что функция H ( Y ) монотонно
возрастает и
H ( Y ) >0
(6.4)
X
.
Y
удовлетворяет
Введем понятие средних (удельных) затрат ресурса g(Y) =
Отношение предельных затрат ресурса к средним
соотношению:
dX
H ( Y )
dY  1 ,где (X)–эластичность выпуска по ресурсу X.

X
g( Y )
( X )
Y
При выполнении предположения о том, что f ( X )  0 , получаем (х) <
1. Поэтому в таком случае предельные затраты ресурса больше средних. Для
функции затрат (2.7), порождаемой функцией выпуска (2.6), получаем
Графики функций Н(у), Н’(у), Н’’(у),g( у) и
X Y
1

h(Y )
для функции затрат
g (Y )
при ==0,5 приведены на рис.6.1.
Подчеркнем, что функция выпуска с одним продуктом и единственным
ресурсом и соответствующая ей функция затрат эквивалентны: замена одной
из них на другую не может привести к новым представлениям или дать
преимущества при моделировании производственных единиц. Иное дело в
случае нескольких ресурсов.
Функция затрат для нескольких ресурсов и одного продукта имеет
следующий вид:
X i  h(Yi ), i  1, n
(6.5)
Потребление каждого из ресурсов задается однозначной функцией
количества выпускаемой продукции. Замещение ресурсов здесь невозможно.
Ресурсы в функции затрат являются взаимодополняющими: объемы
потребления ресурсов определяются жесткими технологическими условиями,
нехватка хотя бы одного из ресурсов не позволяет полностью использовать
остальные ресурсы. Таким образом, описание производства с помощью
функций затрат принципиально отличается от его описания с помощью
функ-ции выпуска, где, вообще говоря, замещение ресурсов допустимо
Относительно функций затрат (6.5) формулируются предположения,
близкие по характеру к свойствам функции затрат с одним ресурсом. Прежде
всего, для простоты часто предполагается, что функция Затрат является
дважды непрерывно дифференцируемой. Далее считается что
1. hi (0)  0 ,
i  i, n ,
(6.6),
т.е. при отсутствии производства ресурсы не нужны;
2. h(Y )  0,
(6.7)
i  i, n ,
т.е. рост производства требует увеличения количества используемых
ресурсов.
3. Иногда делается следующее предположение:
(6.8)
h(Y )  0, i  i, n ,
т.е. предельные затраты с ростом производства растут. Такое свойство может
иметь место при недостаточных темпах технического прогресса, как
свойство убывающей предельной производительности для функции выпуска.
Часто за счет концентрации производства имеется противоположный
эффект–с ростом объема производства предельные затраты падают. В таких
случаях вместо предположения (6.8) используется противоположное
предположение: h(Y )  0,
(6.9)
i  i, n ,
т.е с ростом производства предельные затраты не возрастают. В этом
случае предельные затраты h(Y ) оказываются не больше средних, причем
средние затраты также убывают с ростом выпуска продукции. Встречаются
также функции затрат, для которых в некоторых диапазонах затрат
выполняется соотношение (6.8), в других–соотношение (6.9). Такая ситуация
может возникнуть, если при росте выпуска Y сначала основное влияние
оказывает экономия ресурсов за счет концентрации производства, а при
слишком большом выпуске эффективность начинает падать
2.6. Применение производственных функций
ПФ позволяют количественно проанализировать важнейшие экономические зависимости в сфере производства. Основная цель такого анализа–
дать исходный материал для прогнозирования и рационального
планирования развития производства. В этом смысле выделяют 3
направления использования производственных функций:
1. Плановые решения, основываются на общих результатах анализа
производственных функций, т.е. выводы, следующие из этого анализа играют
существенную роль при разработке планов, хотя сами ПФ в плановых
расчетах непосредственно не участвуют.
2. ПФ непосредственно используются в расчетах на перспективный
период уровня и динамики основных производственных показателей. В этом
случае по статистическим данным для каждого конкретного производства
подбирается уравнение производственной функции и рассчитываются ее
параметры. На основе построенной производственной функции проводится
анализ и осуществляется прогнозирование.
3. Использование ПФ в оптимальном планировании, при принятии
оптимальных плановых решений. В этом случае ПФ чаще всего выступает в
качестве критерия оптимальности.
4.
2.7. Построение и расчет производственных функций
Вопрос о построении производственных функций(ПФ), т.е. о выборе
соотношений F(X,Y,A) = 0, связывающих результаты производственной
деятельности с затратами производственных ресурсов и об оценке
параметров этого соотношения является одним из основных при построении
экономико–математических моделей. моделей. От правильности описания
этих связей зависит адекватность моделей реальной действительности, а
следовательно и осуществимость планов, принимаемых на основе этих
моделей.
Можно выделить 2 направления исследований при построении ПФ:
1. анализ структуры производственной единицы и построение ее
структурной модели, которая должна служить основой для формулировки
ПФ.
2. анализ реакции производственной единицы на внешнее воздействие,
в частности на изменение структуры и количества производственных
ресурсов и построение функциональной модели, как основы для выбора ПФ.
Рассмотрим суть каждого подхода.
Структурный подход (СП)
При
использовании
структурного
подхода
изучаемую
производственную единицу разбивают на более элементарные, связанные
балансовыми соотношениями. Это деление производят до тех пор, пока не
удается дойти до простейших актов процесса производства, о которых
можно судить, например, по конструкторско– технологическим параметрам
оборудования.
Эти чисто технологические параметры определяются в процессе
конструирования и опытной эксплуатации оборудования и служат основой
для расчета нормативов, регламентирующих
затраты ресурсов,
производительность оборудования и прочее.
В свою очередь эти нормативы являются информационной основой для
построения
ПФ,
обычно
функции
затрат,
для
элементарных
производственных единиц (отдельных видов оборудования).
Например, известен расчет себестоимости изделий, в зависимости от их
технологических параметров, применяемый в машиностроении.
X = f(a,b , c, ….)
Себестоимость рассматривается как функция от параметров a,b ,c, и т.д.
Где a– вес изделия, b– мощность станка,c– потребляемая энергия.
В ряде случаев расчет этой ПФ позволяет довольно точно определить
уровень себестоимости новой машины в зависимости от выбранных
параметров, что является чрезвычайно важным, например, для
перспективного планирования.
На основе производственных функций для таких “самых элементарных”
производственных единиц можно было бы построить производственные
функции для более сложных экономических объектов — участков, цехов.
Модель предприятия, использующая производственные функции цехов,
должна позволить построить производственную функцию предприятия,
которая может служить основой для построения производственных функций
объединении, отраслей (или экономических районов) и в конце концов
народного хозяйства в целом. Такова в общих чертах программа первого
подхода к построению производственных функций.
Как уже отмечалось, в экономике большую роль играют социальноэкономические факторы, поэтому нормативы, рассчитанные на основе
технологических и технических параметров, будут характеризовать лишь
предельные возможности оборудования, а построенные на их основе ПФ
будут описывать идеальное производство.
В действительности же производительность оборудования и затраты
ресурсов могут значительно отличаться от нормативов. Ситуация становится
еще более сложной при переходе от простых производственных объектов к
более сложным типа участка, цеха и прочее.
Поэтому, если не учитывать социально–экономический фактор,
структурные модели можно использовать для построения теоретических ПФ,
опирающихся на предположения о рациональной организации производства.
На основе производственной функции можно составить представление об
идеально функционирующем производстве, оценить его потенциальные
возможности и на этой основе выявить потери, возникающие из-за
недостатков экономического механизма.
Построение адекватной, отражающей реальность производственной
функции при использовании структурного подхода требует описания
социально экономических процессов. Пока уровень современной науки не
позволяет построить такие экономические модели, поэтому в настоящее
время наибольшее распространение получили ПФ, опирающиеся на
функциональные модели производственных единиц.
Функциональный подход.
Построение функциональной модели некоторого объекта исследования
базируется на методе "ЧЕРНОГО ЯЩИКА", идея которого состоит в
следующем: вместо того, чтобы пытаться описать сложную внутреннюю
структуру объекта, следует построить относительно простые функции,
связывающие реакцию объекта на внешние воздействия с величинами этих
воздействий. При этом параметры функции выбирают так, чтобы она
приблизительно отражала результаты наблюдений за моделируемым
объектом.
При построении ПФ, "черным ящиком" является изучаемая
экономическая единица, внешними воздействиями (входами) обычно
являются затраты ресурсов, а реакцией (выходом)– получаемая продукция.
Xi
F
FF
Y
F(Xi)=Y
На основе функционального подхода, по существу, строится
эконометрическая модель производственного процесса, поэтому основные
этапы построения производственной функции соответствуют основным
этапам построения эконометрической модели, при этом при подготовке
исходных данных, выборе модели следует учитывать экономическую
сущность производственной функции и ее свойства.
Метод "черного ящика" в настоящее время является наиболее
распространенным. Главным недостатком этого метода является неявное
предположение о сохранении в ПФ тех тенденций, которые наблюдались в
прошлом, так как параметры ПФ выбираются на основе статистических
наблюдений,
которые имели место в прошлом. Даже если в
производственной функции учитывается в той или иной форме зависимость
производства от времени(скажем, технический прогресс),то эта зависимость
также строится на основе прошлого опыта. В результате при построении
производственной функции на основе функциональных моделей приходится
основываться на “взгяде в прошлое”. Если производственная единица
действовала в прошлом
неэффективно, то
ПФ также отразит эту
неэффективность, а планирование деятельности производственной единицы
на основе такой ПФ приведет к неэффективности производства в будущем.
Недостатки функционального и недостаточное развитие структурного
моделирования иногда пытаются компенсировать на основе синтеза этих
методов, а именно:
 исследуемую
производственную
единицу
разбивают
на
элементарные производственные единицы, которые описывают с
помощью функциональных моделей.
 на основе этих моделей строят производственную функцию
исследуемого объекта в целом.
При исследовании экономико–математических моделей необходимо
отчетливо представлять, что ПФ являются довольно условным описанием
реальных свойств производственных объектов. Поэтому при интерпретации
и использовании результатов исследования следует не выходить за пределы,
в которых модель верна. Это сильно ограничивает возможность
непосредственного применения экономико–математических методов в
практической деятельности и требует разработки специальных методов
анализа результатов экономико–математического исследования.