УДК 626 - Московский государственный университет

УДК 626.83
ОПРЕДЕЛEНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОТОКА НА ВОДОСЛИВЕ
ПРАКТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ
С.Н. Карамбиров – д-р техн. наук; Э.С. Беглярова – канд. техн. наук;
А.П. Гурьев – канд. техн. наук
ФГОУ ВПО «Московский государственный университет природообустройства»,
г. Москва, Россия
Реализация программы комплексного использования водных ресурсов сопряжена со
строительством и эксплуатацией низконапорных и средненапорных гидроузлов,
включающих в свой состав водосбросные сооружения различной пропускной
способности, работающих по схеме водослива практического профиля.
В мировой научно-технической литературе известно значительное количество
теоретических и экспериментальных работ по гидравлическому расчету водослива
практического профиля криволинейного очертания. При исследованиях работы таких
водосбросов были использованы различные теории и гидравлические законы: уравнение
движения центра тяжести секундного расхода, принципы наибольшего расхода, закон
сохранения количества движения, закон сохранения энергии, теория пограничного слоя.
На основании проведенного анализа представляется необходимым проведение
дополнительных теоретических исследований в этой области, поскольку повышается роль
гидроузлов не только как фактора, регулирующего забор и распределение воды, но и как
контролирующего фактора, дающего возможность учета стока воды на гидроузлах.
При
выводе
расчетных
зависимостей принята схема течения
по
рис.1. Предполагалось, что
жидкость идеальная, несжимаемая с
постоянной плотностью , течение
безвихревое. Компоненты скорости
Vх, Vz и давление P зависят от двух
координат X и Z. Таким образом,
требовалось
написать
систему
уравнений для трех функций Vx(X, Z),
Vz(X, Z) и P(X, Z). Распределение
скоростей по глубине потока найдем
Рис. 1.Схема истечения через водослив
следующим образом. Из условия
Р – атмосферное давление; b – ширина
несжимаемости жидкости имеем
водосливного фронта в сету;  – текущая
уравнение
неразрывности
в
координата точки потока по нормали к
векторной форме: div = 0, или для
водосливу; r – полярный прадиус точки в потоке;
компонентов скорости
 – угол касательной профиля с горизонтом
V X VZ
(полярный угол); H – толщина струи; R – радиус
(1)

0
кривизны профиля водослива; Q – объемный
X
Z
расход через водослив; S – длина дуги по
Второе уравнение получено из
поверхности водослива; P – координаты
предположения отсутствия вихря в
произвольной точки в потоке; z, x – координаты
жидкости. В векторной форме
профиля;
уравнение имеет вид: rоt V = 0. В
 –плотность жидкости;  – ускорение
прямоугольной системе координат
свободного падения
уравнение запишется в виде
VZ V X
(2)

0
X
Z
Описание профиля скорости в сечении АВ (рис. 1) наиболее удобно в локальной
полярной системе координат r,, которые выражаются через X и Z следующим образом:
X  X 0  r  sin θ ; Z  Z 0  r  cos θ ,
где Х0, Z0 – начало полярной системы координат.
Начало полярной системы координат профиля водослива привязывается к
произвольной точке А так, что расстояние СА по нормали к свободной границе равно
радиусу кривизны R свободной границы водослива. Компоненты скорости Vx и Vz, в
полярной системе координат, выражаются через Vr и V следующим образом:
V X  V cos   Vr sin  ; VZ  V sin   Vr cos  ,
с учетом чего из (2) получим уравнение
V V Vr 1
(2а)


  0.
r
r
 r
Дополнительно к принятым системам координат использовалась местная декартовая
система S, Y, где S – длина дуги по поверхности водослива, отсчитываемая от точки О
(гребень водослива), Y – расстояние от точки А по нормали к поверхности водослива. Эта
система координат дает следующую связь между координатами r,  и S, Y
(3)
Y  r  R , ds  Rdθ ,
Выразим компоненты скорости Vs, Vy в местной системе координат через функцию
тока  = (S, Y):

 ;
.
(4)
VY  
VS 
S
Y
Выразим функцию тока  = (S, Y) в виде степенного разложения по Y c точностью до
алых 3 порядка переменной Y
(5)
 S ,Y   0 S   AS Y  BS Y 2 .
На поверхности водослива Y = 0, нормальная компонента Vу = 0 (условие
непроникания жидкости через поверхность водослива при отсутствии фильтрации).
Запишем это условие с помощью (4) и (5)

(6)
VY Y 0   0  0 .
S
Из (6) следует, что  0 – постоянная величина. Поскольку значение постоянной не
влияет на поле скорости (4), то ее можно выбрать, равной нулю
0(S) = 0.
(7)
Воспользуемся тем, что через любое сечение АВ протекает одно и тоже количество
жидкости, секундный объем которой равен расходу Q. Используя зависимости (4), (5) и
(7), получим уравнения для определения функций А и В:
H
Q B

  VS dy  
dy   S , Y  YY 0H
b
A
0
Y
или
Q.
.
(8)
b
Второе уравнение для определения функций А и В получим из условия (2) или (2a)
отсутствия вихря в потоке. Принимая во внимание, что в сечении АВ V = Vs, Vr = Vу  0,
уравнение (2а) запишется в виде
VS VS
(9)

 0.
Y
R
Тогда коэффициенты А и В будут иметь значения:
1
1
Q 
Н  .
Q
Н  ;
(10)
B
А  1 
1 


2 RHb  2 R 
b  2R 
Подставляем (7) и (10) в выражение для функции тока (5) ,получим функцию тока и
профиль скорости в сечении струи АВ:
АS H  BS H 2 
1
Q Y
Y 2 
H  ,
 S , Y    
1 

b  H 2 RH  2 R 
(11)
1

Q  Y 
H 
Q 
H  2Y  .
(12)
VS 

1  1 
 
1 

Y Hb  R  2 R 
Hb  2 R  H 
Глубину потока и распределение давления в нем найдем следующим образом.
Для определения давления в слое с координатой Z следует воспользоваться
уравнением энергии в виде
P
V2
P
P V2
P .
(13)
 Z  H 
 a ; E0  H   a 
Z
2g
g g
g 2 g
g
Входящий в него квадрат скорости определяем из (12), с учетом чего после
соответствующих преобразований получим, приняв допущение, что кривизны
поверхности водослива R >> h толщины струи:
Q 
H  2Y  ;
(14)
V  VS 
1 

Hb 
2R 
PY   Pa
Q2  H  Y 
(15)
 Zi  H   Y cos  
1 
 .
g
2 gH 2b2 
R 
В уравнениях (14) и (15) входит расход Q, который остается пока неизвестной
величиной. Расход Q через водослив определяется следующим образом. Для его
определения можно использовать дополнительный постулат «максимума расхода»,
известный в инженерной практике [4]. Рассмотрим сечение 0-0. В нем Zi = 0; cos = 1,
тогда при Н = Н  следует Q = 0, что физически отвечает нулевой скорости на гребне
водослива. Аналогично, расход равен нулю и при Н = 0. Тогда непрерывная функция
расхода Q = Q(Н) должна достигнуть максимума на отрезке (О...Н  ). Из постулата
«максимума расхода» это значение реализуется при течении через водослив. Поскольку
при Z = 0, функция X = X(Z) или ее производные могут быть не определены, дальнейшие
рассуждения касаются окрестности точки Z = 0. Из уравнения (13) при Z  0; X  0; cos  1
можем получить
2
2Q2
 2R  H  2
(16)
 Н   Н 
 Н .
2
gb
 RH 
Для приведения к безразмерному виду, обозначим r = R/Н  , К = Н/Н  . Тогда (21)
примет вид
2
2Q2
 2r  K 
 Н 3 К 2 1  К 
 .
2
gb
 rK 
2
Введем функцию
 2r  K 
F r , K   K 1  K 
 .
 rK 
2
2
Тогда
2Q 2
 Н 3 F r , К  .
2
gb
(17)
В выражении (17) правая часть при
заданном профиле и уровне воды перед
водосливом
Н
является
функцией
безразмерного напора К. Вид этой функции при
r = 2 изображен на рис. 2. Согласно постулата
«максимума расхода» необходимо найти
экстремум этой функции по К считая
r
параметром. Критическая точка определяется из
уравнения
F
2
1
3r  1

 0  K 2   3  K  2  0  K 2 
r 0
K
r
r
2

Рис. 2. Вид функции f(r, k) при r = 2
 2r  K 
F(rK) = K (1-K) 

 rK 
2
2
Откуда находим
2

3r  1
3r  1  1
1
r
 3r  1 
(18)
K1, 2 
 
 r 
  2
,
2
2  4
4 3r  12 
 4 
так как величина К не может быть больше единицы, в последнем выражении следует
выбрать знак минус.
С учетом К и r имеем
2
3
Q2
3 К К
 Н
.
(19)
2 gb 2
1 К r
Используя известное соотношение расхода через водослив
Q2
(20)
 Н 3 m2 .
2 gb2
где m – коэффициент расхода, сравнивая (19) и (20) получим
 K
(21)
m  K 1  K  1   .
r

Рассмотрим некоторые следствия этого выражения. Для водовыпускного сооружения
с прямолинейной вставкой имеем:
2
2
r; K  ; m
 0,385 .
3
3 3
Для водослива практического профиля получаем m = 0,437...0,476, что согласуется с
опытными данными m = 0,436... 0,482.
Основной частью профиля Кригера-Офицерова являетcя участок, близкий к
очертанию нижней поверхности струи, переливающейся при расчетном напоре через
вертикальную тонкую стенку. По имеющейся таблице Xi, Yi задающей координаты
профиля водослива, можно определить функциональную зависимость
X = X(Z).
(22)
Для cos, входящего в уравнения (23), и радиуса кривизны R можно воспользоваться
формулами:
tg
dx dz
,
(23)
cos  

2
2
1  tg 
1  dx dz 
d cos 
d 2 x dz 2
1

 .
3
2
dz
1  dx dz  2 R
Исходя из полученных результатов, можно предложить простой теоретический
метод расчета свободной границы. Метод иллюстрируется на примере водослива КригераОфицерова [3].


Для расчета функции cos и R по заданным опорным значениям Xi, Yi профиля
водослива предлагается следующая методика. Профиль X(Z) аппроксимирует полиномом
по степеням Z
X Z   A1  A2 Z  A3Z  A4 Z 2  A5Z 2  A6 Z 2 .
Отсюда легко вычисляются все необходимые функции:
1
1
1
dx 1
3
5
 A2 Z 2  A3  A4 Z 2  2 A5 Z  A6 Z 2 ,
dz 2
2
2
2
3
1
1
d x 1
3
15
 A2 Z 2  A4 Z 2  2 A5  A6 Z 2 .
2
dz
4
4
4
Коэффициенты A1……..А6 определяются методом наименьших квадратов. Система
уравнений такова:
3
5
n
A1n   Ak 1 k   X j ;
k 1
n
k 1
6
k 1
j 1
k 1
j 1
n
j 1
k 1
j 1
n
6
n
k 1
j 1
2
 Ak k 3   X j Z j ;
где
n
6
 Ak k 1   X j Z j ;
n
6
 Ak k   X j Z j ;
j 1
6
5
3
 Ak k 2   X j Z j 2 ;
5
 Ak k 4   X j Z j 2 ,
m
 m   Z j 2 ; m = 1,2,….10.
j 1
Результаты расчета по определению толщины слоя при Н = 1,00
№№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Z
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
1,200
1,400
1,600
1,800
2,000
2,200
2,400
2,600
2,800
3,000
3,200
3,400
3,600
3,800
4,000
X
0,606
0,902
1,136
1,336
1,514
1,675
1,825
1,965
2,098
2,224
2,346
2,463
2,576
2,686
2,792
2,896
2,998
3,097
3,193
3,287
Cos (Teta)
0,867
0,790
0,731
0,684
0,645
0,613
0,586
0,563
0,543
0,526
0,512
0,499
0,487
0,476
0,466
0,457
0,448
0,439
0,436
0,422
R
2,12
3,01
3,80
4,67
5,66
6,79
8,07
9,50
11,06
12,73
14,47
16,22
17,91
19,45
20,77
21,82
22,54
22,94
23,01
22,79
H
0,487
0,440
0,405
0,378
0,356
0,338
0,323
0,309
0,298
0,287
0,277
0,269
0,261
0,254
0,247
0,241
0,235
0,230
0,225
0,220
P/(Gamma)
9,922
9,957
9,966
9,975
9,984
9,993
10,00
10,01
10,01
10,02
10,02
10,02
10,02
10,02
10,01
10,01
10,01
10,00
10,00
9,99
После того как Q, Zi, R и cos определены, выражение (15) становится нелинейным
уравнением для определения толщины слоя Н, которое можно решить, например, методом
деления отрезка пополам. Результаты расчета приведены на рис. 3 и в таблице.
Проанализируем расчеты на примере аппроксимации по корню. Давление на профиле
близко к атмосферному, что отражает условия его построения. Отклонение давления от
атмосферного не превышает 1 %, что является достаточно хорошим показателем и
согласуется с данными эксперимента, где наблюдаются вариации давления примерно в
том же диапазоне. Весьма незначительные отклонения объясняются эмпирическим
характерам профиля, погрешностями аппроксимации, сделанными допущениями и
ошибками эксперимента. Следует иметь в виду, что только при напорах близких к
профилирующему (расчетному) на
поверхности водослива имеет место
давление близкое к атмосферному. При
более высоких напорах образуется зона с
давлением
меньше атмосферного. При
некотором значении вакуума возможно
образование «воздушных жгутов» и отрыв
потока. Условие вакуума будет иметь
следующий вид
Q2  H 
(24)
Zi  H  
1    0 .
2 gH 2b 2 
R
Умножим обе части неравенства на 1 (R/Н)
Q 2  H  H 
 H
Zi  H  1   
1  1    0
R  2 gH 2b2 
R 
R

(25)
Воспользуемся уравнением (15) и
найдем из него расход и подставим это
Рис. 3. Сравнение теоретического и
выражение в последнее неравенство. После
экспериментального профиля свободной
упрощений получим условие отрыва
поверхности
H  H
H
Z 
При Н=44 см  эксперим. ■ теоретич.
(26)
1   cos   2 1  i  .
H 
R
R  H 
Н=40 см △ эксперим. ▲ теоретич.
Н=38 см ☉ эксперим. ● теоретич.
Соответственно, если фактический напор
Н=36 см X\ эксперим. X теоретич.
меньше
номинального,
давление
на
профиле больше атмосферного на всем его
протяжении. Эпюры скоростей и давлений становятся пологими уже в верхней части водослива.
Теоретический
профиль
свободной
поверхности
хорошо
согласуется
с
экспериментальным при напорах, близких к номинальным (рис. 3). По мере повышения
Н  сходимость результатов ухудшается, что можно объяснить нарушением допущения о
тонком слое.
В работе предложена методика расчета свободной поверхности водослива по
заданным опорным точкам профиля водослива. Методика чисто теоретическая, без
использования эмпирических параметров, позволяет с помощью компьютерной
технологии просто вычислять координаты свободной поверхности и распределение
скоростей и давлений. Сравнение с экспериментом показывает хорошее согласие
расчетных и наблюдаемых параметров. Теоретические значения коэффициента расхода
близки к данным, полученным из эксперимента. В рамках рассматриваемого метода на
новом уровне решен комплекс вопросов, связанных с совершенствованием способов
определения расходов воды на водосбросах крупных гидроузлов.
Разработанные рекомендации по определению пропускной способности
водосбросных сооружений, имеющих практических профиль криволинейного очертания,
позволяют обеспечить надежное определение пропускной способности водосбросных
сооружений крупных гидроузлов.
Библиографический список
Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. – М.: Наука, 1979. 536 с.
Милн-Томсон Л. Теоретическая гидродинамика. – М.: Мир, 1964. 655 с.
Гидравлические расчеты водосбросных гидротехнических сооружений. Справочное
пособие. – Д.Д. Лапко, А.В. Беслер, Т.Г. Войнич–Сяноженцкий и др. – М.:
Энергоатомиздат, 1988 – 624 с.
4. Серков В.С., Воробьев А.С., Гурьев А.П. и др. Пропускная способность водосбросов
гидроэлектростанций. – М.: Энергия, 1974.119 с.
5. Кочин М.Е., Кибель Н.А., Розен Н.В. Теоретическая гидромеханика. – М.:
Физматгиз, 1963. Ч. 1.
6. Koх, Карстаньен М.. Основы практической гидродинамики. – М.-Л.: ОНТИ, 1933. 180с.
1.
2.
3.