25. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Определение. Квадратичная функция k ( x) на линейном пространстве L называется положительно определенной, если x L, x 0, k ( x) 0 ; отрицательно определенной, если x L, x 0, k ( x) 0 . Пусть в некотором базисе квадратичная функция записана в виде квадратичной формы k ( x) b11 x12 ... bnn xn2 2 1i j n bij xi x j (1) с матрицей B (bij ) Лемма. Квадратичная форма тогда и только тогда является положительно определенной, когда она приводится к диагональному виду n z i 1 2 i i , i 0, i 1,..., n (2) ⇔ n к каноническому виду k ( y ) yi2 . (3) i 1 Замечание. От вида (2) к каноническому виду (3) можно перейти в результате замены yi i zi , i 1,..., n . Доказательство леммы. То, что диагональная форма со всеми положительными коэффициентами n или каноническая форма k ( y ) yi2 является положительно определенной, ясно. i 1 Обратно, допустим, что данная положительно определенная квадратичная форма k ( x) имеет p канонический вид k yi2 i 1 pq y i p 1 2 i . Если, вопреки доказываемому, p n k (0,..., 0,1) 0 , что противоречит положительной определенности. Теорема (Критерий Сильвестра). Для положительной определенности квадратичной формы k ( x) в Rn необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры её матрицы B, имеющие вид b11 m det b12 ... b1m b21 b22 ... b2 m ... ... ... ... bm1 bm 2 ... bmm , m 1, n (bij b ji , i, j ) , были положительными. Доказательство критерия Сильвестра. Достаточность: дано, что все главные миноры матрицы квадратичной формы положительны, надо доказать, что она является положительно определенной. Воспользуемся методом математической индукции и леммой. Для n 1 достаточность очевидна. Допустим, что n 1 и из положительности главных миноров матрицы квадратичной формы порядка до n 1 включительно следует возможность приведения квадратичной формы от n 1 переменных x1 , n 1 , xn1 к виду k ( x ) xi2 . i 1 Покажем, что в этом случае достаточность будет иметь место и для квадратичной формы, зависящих от n переменных. В выражении для квадратичной формы, зависящей от n переменных x1 , слагаемые, содержащие xn : n 1 n 1 n 1 j 1 i 1 j 1 , xn1 , xn , выделим k ( x) b ji x j xi 2 b jn x j xn bnn xn2 . n 1 n 1 Двойная сумма b ji x j xi k *( x1 , , xn1 ) в правой части этого равенства есть квадратичная j 1 i 1 форма k ( x) , зависящая от n 1 переменной, причем главные миноры её матрицы совпадают с главными минорами k ( x) до порядка n 1 включительно, которые, по условию, положительны. Отсюда следует, по предположению индукции, что квадратичная форма k ( x) положительно определенная и для неё существует невырожденная замена переменных n 1 x j ji yi ; j 1, , n 1 , i 1 n 1 приводящая её к каноническому виду: k ( x ) yi2 . i 1 Запишем квадратичную форму k ( x) в новых переменных: n 1 n 1 i 1 i 1 k yi2 2 bin yi xn bnn xn2 и выделим полные квадраты по y1 , , yn1 : n 1 n 1 n 1 i 1 i 1 i 1 xn2 , k ( yi2 2bin yi xn bin 2 xn2 ) (nn bin 2 ) xn2 zi2 bnn n 1 bnn bin 2 ; zi yi bin xn ; где bnn i 1, n 1 . ( xn пока не заменяли) i 1 В матричном виде эту замену переменных можно записать как z1 z2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 b1, n b2, n y1 y2 1 0 bn1,n 1 yn 1 xn zn 1 xn 0 0 и поскольку определитель ее матрицы отличен от нуля, то эта замена невырожденная. Наконец, вспомним, что определитель матрицы квадратичной формы сохраняет знак при замене базиса. Определитель матрицы B квадратичной функции в исходном базисе положительный, поскольку этот определитель является главным минором порядка n. Но из выражения для k ( x) в конечном базисе мы получаем, что определитель матрицы квадратичной xn , в результате чего . Поэтому bnn 0 и можно ввести переменную zn bnn формы k равен bnn получаем канонический вид квадратичной формы n k zi2 . i 1 Следовательно, квадратичная функция k ( x) положительно определена. Достаточность доказана. Необходимость. Дано, что квадратичная функция положительно определенна, и надо доказать положительность главных миноров ее матрицы. Снова применим индукцию по числу переменных n. Для n 1 это ясно. Пусть n 1 и для форм от меньшего числа переменных утверждение теоремы верно. Поскольку квадратичная форма k ( x) из доказательства достаточности также является положительно определенной (ее значения – это значения k ( x) при xn 0 ), то по предположению индукции ее главные миноры, совпадающие с главными минорами матрицы B до порядка n 1 , положительны. А определитель самой матрицы B, который является главным минором порядка n, n положителен, поскольку k ( x) приводится к каноническому виду k zi2 , и определитель i 1 матрицы полученной при этом квадратичной формы равен 1 и имеет такой же знак, как и определитель матрицы B. Теорема полностью доказана. Следствие. (Критерий отрицательной определенности). Для отрицательной определенности квадратичной формы k ( x) в Rn необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры её матрицы B имели чередующиеся знаки, начиная с минуса, т.е. (1) m m 0, m 1,..., n . Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму k ( x) 0 с матрицей B ' B (bij ) : для нее, по критерию Сильвестра, b11 b12 ... b1m 'm det b21 b22 ... b2 m (1) m m 0 ... ... ... ... bm1 bm 2 ... bmm , m 1, n , ч.т.д.