Общие замечания. - Все численные расчёты в задании

Общие замечания.
- Все численные расчёты в задании – скучные и рутинные, школьная арифметика.
𝑀(𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) в некоторой
- Одновременно с заданием координат любой точки
фиксированной
декартовой
системе
координат
с
ортонормированным
базисом
(𝑒⃗1 ; 𝑒⃗2 ; 𝑒⃗3 ) автоматически определяется радиус-вектор этой точки, имеющий такие же
координаты
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) = 𝑒⃗1 𝑥 1 + 𝑒⃗2 𝑥 2 + 𝑒⃗3 𝑥 3
1. Точку пересечения трех плоскостей находим, решая систему любым методом. Здесь
ничего выдающегося помнить не нужно. Решили систему, нашли
𝑥 1 = 1,4; 𝑥 2 = 1,2; 𝑥 3 = 3,4
и определили точку 𝑀1 .
Теперь есть три точки, определяющие плоскость:
𝑀1 (1,4; 1,2; 3,4),
𝑀2 (4; 8; −1),
𝑀3 (−2; 1; 3).
2. Рассмотрим векторы
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀3 𝑀2 = 𝑂𝑀
2 − 𝑂𝑀3 = (6; 7; −4) и 𝑀3 𝑀1 = 𝑂𝑀1 − 𝑂𝑀3 = (3, 4; 0,2; 0,4)
Они с очевидностью не параллельны и в плоскости, проходящей через точки 𝑀𝑖 , могут
быть приняты за базис. Это означает, что радиус-вектор любой точки 𝑀, принадлежащей
этой плоскости, может быть записан, например, в виде:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) = 𝑂𝑀
3 + 𝜆 𝑀3 𝑀2 + 𝜇 𝑀3 𝑀1 = (−2; 1; 3) + 𝜆 (6; 7; −4) + 𝜇 (3, 4; 0,2; 0,4)=
(−2 + 6 𝜆 + 3,4 𝜇; 1 + 7 𝜆 + 0,2 𝜇; 3 − 4 𝜆 + 0,4 𝜇)
3. Требуется определить расстояние от заданной точки
𝑀0 (−9; 10; 2)
до плоскости. Расстоянием от точки до плоскости по определению называется
минимальное значение расстояния от данной точки до каждой точки плоскости. Тот факт,
что таким расстоянием является длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на
плоскость, есть следствие этого определения.
4. Воспользуемся этим определением напрямую без всяких перпендикуляров. Расстояние
(квадрат расстояния) от заданной точки 𝑀0 до любой точки 𝑀 по определению есть
2
2
2
𝑑2 = (𝑥 1 − (−9)) + (𝑥 2 − (10)) + (𝑥 3 − (2)) =
= (7 + 6 𝜆 + 3,4 𝜇)2 + (−9 + 7 𝜆 + 0,2 𝜇)2 + (1 − 4 𝜆 + 0,4 𝜇)2
Нам нужно определить значения параметров λ, μ , минимизирующих 𝑑2 .
5. Эта процедура хорошо известна:
𝜕⁄ 𝑑2 = 𝜕⁄ 𝑑2 = 0
𝜕𝜆
𝜕𝜇
1
После вычисления элементарных производных и причёсывания выражений, значения
параметров определяются как решения противной, но элементарной системы:
101 𝜆 + 20,2 𝜇 = 25
{
20,2 𝜆 + 11,76 𝜇 = −22,4
𝜆 = 0,957
{
𝜇 = −3,547
Подставляя значения параметров в п.4., находим
𝑑 = 5,25.
Всё.
При необходимости из п.2. по известным параметрам можно найти ту самую конкретную
точку плоскости, расстояние до которой минимально (с точки геометрической точки
зрения – основание перпендикуляра, опущенного и заданной точки на плоскость).
6. Можно, разумеется, получить решение задачи в самом общем виде и воспользоваться им.
Заданы три точки 𝑀1 , 𝑀2 , 𝑀3 , не лежащие на одной прямой и имеющие радиусы-векторы
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑹𝟏 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑹𝟐 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑹𝟑 . Тогда через них можно провести единственную плоскость. Любая точка
⃗⃗, который может быть
𝑀 плоскости может быть задана своим радиусом-вектором ⃗𝑹
представлен в виде
⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟏 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟐 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑹
𝑹𝟑 + 𝜆(𝑹
𝑹𝟑 ) + 𝜇(𝑹
𝑹𝟑 ),
⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟏 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟐 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ = (𝑹
где λ, μ – координаты вектора ( 𝑹
𝑹𝟑 ) в базисе 𝒂
𝑹𝟑 ), ⃗𝒃⃗ = (𝑹
𝑹𝟑 ).
Квадрат расстояния от любой точки пространства 𝑀0 с радиусом вектором ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑹𝟎 до точки 𝑀
определяется
⃗⃗)2
⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟑 + 𝜆(𝑹
⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟏 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟐 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ + 𝜆𝒂
⃗⃗ + 𝝁𝒃
𝑑2 = (𝑹
𝑹𝟎 )2 = (𝑹
𝑹𝟑 ) + 𝜇(𝑹
𝑹𝟑 ) − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑹𝟎 )2 = (𝒄
⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
где 𝒄
𝑹𝟑 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑹𝟎 .
Расстоянием от точки 𝑀0 до плоскости будет минимальное значение величины 𝑑2 .
Отсюда должно быть:
𝜕⁄ 𝑑2 = 𝜕⁄ 𝑑2 = 0
𝜕𝜆
𝜕𝜇
Это даёт систему двух уравнений:
⃗⃗) = 0
⃗⃗ ∙ (𝒄
⃗⃗⃗ + 𝜆𝒂
⃗⃗ + 𝝁𝒃
𝒂
⃗𝒃⃗ ∙ (𝒄
⃗⃗) = 0
⃗⃗⃗ + 𝜆𝒂
⃗⃗ + 𝝁𝒃
Или
⃗⃗ ∙ ⃗𝒃⃗) = −(𝒂
⃗⃗ ∙ 𝒄
⃗⃗⃗)
𝜆𝑎2 + 𝜇(𝒂
⃗⃗) + 𝝁𝒃𝟐 = −(𝒃
⃗⃗ ∙ 𝒄
⃗⃗ ∙ 𝒃
⃗⃗⃗)
𝜆(𝒂
2
Решая систему, находим:
𝜆=−
𝜇=
⃗⃗ ∙ ⃗𝑵
⃗⃗])
⃗⃗⃗ ∙ [𝒃
(𝒄
⁄ 2
𝑁
⃗⃗])
⃗⃗⃗ ∙ [𝒂
⃗⃗ ∙ ⃗𝑵
(𝒄
⁄ 2
𝑁
⃗⃗ = [𝒂
⃗⃗ ∙ ⃗𝒃⃗] – векторное произведение.
где вектор ⃗𝑵
⃗⃗⃗⁄ – вектор нормали к плоскости.
⃗⃗ = 𝑵
Очевидно, что 𝒏
𝑁
Подставляя найденные значения в формулу для квадрата расстояния, находим
⃗⃗⃗∥ )2
𝑑 2 = (𝒄
⃗⃗⃗∥ = 𝒏
⃗⃗⃗) - составляющая вектора 𝒄
⃗⃗⃗ вдоль нормали к плоскости или другими
⃗⃗ ∙ (𝒏
⃗⃗ ∙ 𝒄
где 𝒄
⃗⃗⃗ , перпендикулярная к плоскости .
словами составляющая вектора 𝒄
Это и есть искомое расстояние. Порядок действий очевиден.
3