4. Районные и городские олимпиады по математике 8

Районная олимпиада (2005 год.)
9-1. Три члена жюри по пути на математическую конференцию в Италии решили
посмотреть Рим. Билет от аэропорта до Рима и из Рима до аэропорта стоит одинаково, а пицца стоит 6,5 Евро. При покупке билетов до Рима 1-й член жюри заплатил 25 Евро, а 2-й – 5 Евро. За три пиццы в пиццерии заплатил 2-й член жюри, а
поездку в аэропорт оплатил 3-й. Кто кому сколько должен?
9-2. Найти натуральное число Х, если из трех следующих утверждений два верны,
а одно – неверно:
1) Х + 20 есть точный квадрат;
2) последняя цифра числа Х есть 2;
3) Х – 69 есть точный квадрат.
9-3. Какое из двух чисел больше: √2003 + √2005 или 2√2004?
9-4. АВСD – равнобедренная трапеция, АD ∥ ВС. N – точка пересечения серединного перпендикуляра к стороне АВ с прямой ВС. Оказалось, что AN и СD перпендикулярны. Найдите углы трапеции.
9-5. Найдите все натуральные k, для которых число k 2 можно представить как
сумму k различных попарно взаимно простых чисел (т.е. таких чисел, что НОД
любых двух из них равен 1)
Районная олимпиада (2005 год.)
9-1. Три члена жюри по пути на математическую конференцию в Италии решили
посмотреть Рим. Билет от аэропорта до Рима и из Рима до аэропорта стоит одинаково, а пицца стоит 6,5 Евро. При покупке билетов до Рима 1-й член жюри заплатил 25 Евро, а 2-й – 5 Евро. За три пиццы в пиццерии заплатил 2-й член жюри, а
поездку в аэропорт оплатил 3-й. Кто кому сколько должен?
9-2. Найти натуральное число Х, если из трех следующих утверждений два верны,
а одно – неверно:
1) Х + 20 есть точный квадрат;
2) последняя цифра числа Х есть 2;
3) Х – 69 есть точный квадрат.
9-3. Какое из двух чисел больше: √2003 + √2005 или 2√2004?
9-4. АВСD – равнобедренная трапеция, АD ∥ ВС. N – точка пересечения серединного перпендикуляра к стороне АВ с прямой ВС. Оказалось, что AN и СD перпендикулярны. Найдите углы трапеции.
9-5. Найдите все натуральные k, для которых число k 2 можно представить как
сумму k различных попарно взаимно простых чисел (т.е. таких чисел, что НОД
любых двух из них равен 1)
Районная олимпиада (2006 – 2007 уч.год)
9-1. У Пети в бутылке было на 10% больше морса, чем у Васи. Петя отпил из своей
бутылки 11% ее содержимого, а Вася из своей – 2% содержимого. У кого после
этого осталось больше морса?
9-2. У Васи есть много монеток достоинством в 1 и 2 рубля, которые он накопил на
новый мяч. Вася подсчитал, что заплатить за мяч он может 100 разными способами
( например, способы 1 + 1 + 2 и 2 + 2 различны, а способы 1 + 2 + 1 и 1 + 1 + 2 –
одинаковы). Сколько может стоить мяч?
9-3. Можно ли расставить по кругу все целые числа от 1 до 30 таким образом, чтобы каждое число делилось на разность своих соседей? Если да – покажите , как это
сделать, если нет – объясните, почему.
9-4. Длина высоты АВ прямоугольной трапеции АВСD равна сумме длин оснований АD и ВС. В каком отношении биссектриса угла делит сторону СD?
9-5. Прямоугольник размером 3×20 со сторонами, нарисованными черным цветом,
разбит синими линиями на клетки 1×1. Двое по очереди перекрашивают в черный
цвет синие отрезки, соединяющие две стороны прямоугольника. Запрещается перекрашивать один отрезок дважды. Проигрывает тот, после хода которого впервые
появится клетка, все стороны которой – черные. Кто выигрывает при правильной
игре: тот, кто делает первый ход, или его партнер, и как ему для этого надо сыграть?
Районная олимпиада (2006 – 2007 уч.год)
9-1. У Пети в бутылке было на 10% больше морса, чем у Васи. Петя отпил из своей
бутылки 11% ее содержимого, а Вася из своей – 2% содержимого. У кого после
этого осталось больше морса?
9-2. У Васи есть много монеток достоинством в 1 и 2 рубля, которые он накопил на
новый мяч. Вася подсчитал, что заплатить за мяч он может 100 разными способами
( например, способы 1 + 1 + 2 и 2 + 2 различны, а способы 1 + 2 + 1 и 1 + 1 + 2 –
одинаковы). Сколько может стоить мяч?
9-3. Можно ли расставить по кругу все целые числа от 1 до 30 таким образом, чтобы каждое число делилось на разность своих соседей? Если да – покажите , как это
сделать, если нет – объясните, почему.
9-4. Длина высоты АВ прямоугольной трапеции АВСD равна сумме длин оснований АD и ВС. В каком отношении биссектриса угла делит сторону СD?
9-5. Прямоугольник размером 3×20 со сторонами, нарисованными черным цветом,
разбит синими линиями на клетки 1×1. Двое по очереди перекрашивают в черный
цвет синие отрезки, соединяющие две стороны прямоугольника. Запрещается перекрашивать один отрезок дважды. Проигрывает тот, после хода которого впервые
появится клетка, все стороны которой – черные. Кто выигрывает при правильной
игре: тот, кто делает первый ход, или его партнер, и как ему для этого надо сыграть?
Районная олимпиада (2006 – 2007 уч.год)
8-1. Иван Иванович купил собаку. Саша думает, что эта собака – черный пудель, Паша
считает ее белой болонкой, а Маша – белым бультерьером. Известно, что каждый из ребят верно угадал либо породу, либо цвет шерсти собаки. Назовите породу собаки и цвет
ее шерсти. Ответ обоснуйте.
8-2. Из единичных кубиков составили куб, после чего покрасили некоторые (хотя бы одну, возможно что все) грани большого куба. В результате ровно у 1000 меленьких кубиков все грани остались неокрашенными. Чему равна сторона большого куба? (Найдите
все варианты, покажите, что они возможны, и докажите, что других нет)
8-3. Можно ли расставить по кругу все целые числа от 1 до 30 таким образом, чтобы
каждое число делилось на разность своих соседей? Если да – покажите, как это сделать,
если нет – объясните, почему.
8-4. Докажите, что при всех n >10 полоску размера n ×
15 клеточек можно разрезать на пятиклеточные фигурки, нарисованные справа. Каждую фигурку можно поворачивать и переворачивать.
8-5. Прямоугольник размером 3×20 со сторонами, нарисованными черным цветом, разбит синими линиями на клетки 1×1. Двое по очереди перекрашивают в черный цвет синие отрезки, соединяющие две стороны прямоугольника. Запрещается перекрашивать
один отрезок дважды. Проигрывает тот, после хода которого впервые появится клетка,
все стороны которой – черные. Кто выигрывает при правильной игре: тот, кто делает
первый ход, или его партнер, и как ему для этого надо сыграть?
Районная олимпиада (2006 – 2007 уч.год)
8-1. Иван Иванович купил собаку. Саша думает, что эта собака – черный пудель, Паша
считает ее белой болонкой, а Маша – белым бультерьером. Известно, что каждый из ребят верно угадал либо породу, либо цвет шерсти собаки. Назовите породу собаки и цвет
ее шерсти. Ответ обоснуйте.
8-2. Из единичных кубиков составили куб, после чего покрасили некоторые (хотя бы одну, возможно что все) грани большого куба. В результате ровно у 1000 меленьких кубиков все грани остались неокрашенными. Чему равна сторона большого куба? (Найдите
все варианты, покажите, что они возможны, и докажите, что других нет)
8-3. Можно ли расставить по кругу все целые числа от 1 до 30 таким образом, чтобы
каждое число делилось на разность своих соседей? Если да – покажите, как это сделать,
если нет – объясните, почему.
8-4. Докажите, что при всех n >10 полоску размера n ×
15 клеточек можно разрезать на пятиклеточные фигурки, нарисованные справа. Каждую фигурку можно поворачивать и переворачивать.
8-5. Прямоугольник размером 3×20 со сторонами, нарисованными черным цветом, разбит синими линиями на клетки 1×1. Двое по очереди перекрашивают в черный цвет синие отрезки, соединяющие две стороны прямоугольника. Запрещается перекрашивать
один отрезок дважды. Проигрывает тот, после хода которого впервые появится клетка,
все стороны которой – черные. Кто выигрывает при правильной игре: тот, кто делает
первый ход, или его партнер, и как ему для этого надо сыграть?
Городская олимпиада (2007 – 2008 уч.год)
8-1. Прямоугольник разбит на 9 меньших прямоуголь6
х
ников. Периметры трех из них указаны на рисунке.
Какие значения может принимать периметр прямо30
33
угольника х?
8-2. Наташа и Инна купили по одинаковой коробке чая в пакетиках. Известно, что
одного пакетика хватает на две или три чашки чая. Наташе коробки хватило ровно
на 41 чашку чая, а Инне – ровно на 58. Сколько пакетиков было в коробке?
8-3. На доске написаны числа 1, 2, 3, …10. Разрешается выбрать любое нецелое
число а и ко всем числам, меньшим а, прибавить 1, а из всех чисел, больших а, вычесть 1. Можно ли несколькими такими операциями получить на доске только единички и тройки?
8-4. Два кота играют в такую игру. Имеется 100 сосисок, соединенных между собой в линию. За один ход кот разгрызает одну перемычку между двумя соседними
сосисками. Если при этом образуется несколько одиночных сосисок, то кот все их
съедает. Ходы делаются по очереди, пропускать их нельзя. Игра заканчивается, когда съедены все сосиски. Выигрывает тот кот, который съел больше сосисок. Какой кот может обеспечить себе победу вне зависимости от действий другого кота –
начинающий или делающий второй ход?
8-5. Вычислите углы равнобедренного треугольника, если его высота, опущенная
на основание, вдвое меньше биссектрисы угла при основании.
Городская олимпиада (2007 – 2008 уч.год)
8-1. Прямоугольник разбит на 9 меньших прямоуголь6
х
ников. Периметры трех из них указаны на рисунке.
Какие значения может принимать периметр прямо30
33
угольника х?
8-2. Наташа и Инна купили по одинаковой коробке чая в пакетиках. Известно, что
одного пакетика хватает на две или три чашки чая. Наташе коробки хватило ровно
на 41 чашку чая, а Инне – ровно на 58. Сколько пакетиков было в коробке?
8-3. На доске написаны числа 1, 2, 3, …10. Разрешается выбрать любое нецелое
число а и ко всем числам, меньшим а, прибавить 1, а из всех чисел, больших а, вычесть 1. Можно ли несколькими такими операциями получить на доске только единички и тройки?
8-4. Два кота играют в такую игру. Имеется 100 сосисок, соединенных между собой в линию. За один ход кот разгрызает одну перемычку между двумя соседними
сосисками. Если при этом образуется несколько одиночных сосисок, то кот все их
съедает. Ходы делаются по очереди, пропускать их нельзя. Игра заканчивается, когда съедены все сосиски. Выигрывает тот кот, который съел больше сосисок. Какой кот может обеспечить себе победу вне зависимости от действий другого кота –
начинающий или делающий второй ход?
8-5. Вычислите углы равнобедренного треугольника, если его высота, опущенная
на основание, вдвое меньше биссектрисы угла при основании.
Городская олимпиада (2007 – 2008 уч.год)
9-1. Квадрат разбили на пять прямоугольников так, как показано
на рисунке. (У двух нижних прямоугольников горизонтальная
сторона больше вертикальной, у трех верхних – наоборот.) У
всех пяти прямоугольников отношение большей стороны к
меньшей равно одному и тому же числу. Какие значения может
принимать это число?
9-2. Встретились несколько друзей. Каждый из них обменялся рукопожатием с каждым,
кроме Федота Вредняева, который из вредности некоторым пожал руку, а некоторым –
нет. Всего было сделано 100 рукопожатий. Сколько рукопожатий сделал Федот?
9-3. На доске написаны числа 1, 2, 3, …10. Разрешается выбрать любое нецелое число а и
ко всем числам, меньшим а, прибавить 1, а из всех чисел, больших а, вычесть 1. Можно
ли несколькими такими операциями получить на доске только единички и тройки?
9-4. Два кота играют в такую игру. Имеется n сосисок (n > 2), соединенных между собой в линию. За один ход кот разгрызает одну перемычку между двумя соседними сосисками. Если при этом образуется несколько одиночных сосисок, то кот все их съедает.
Ходы делаются по очереди, пропускать их нельзя. Игра заканчивается, когда съедены все
сосиски. Выигрывает тот кот, который съел больше сосисок. Какой кот в зависимости от
n, может обеспечить себе победу вне зависимости от действий другого кота – начинающий или делающий второй ход?
9-5. Вычислите углы равнобедренного треугольника, если его высота, опущенная на основание, вдвое меньше биссектрисы угла при основании
Городская олимпиада (2007 – 2008 уч.год)
9-1. Квадрат разбили на пять прямоугольников так, как показано
на рисунке. (У двух нижних прямоугольников горизонтальная
сторона больше вертикальной, у трех верхних – наоборот.) У
всех пяти прямоугольников отношение большей стороны к
меньшей равно одному и тому же числу. Какие значения может
принимать это число?
9-2. Встретились несколько друзей. Каждый из них обменялся рукопожатием с каждым,
кроме Федота Вредняева, который из вредности некоторым пожал руку, а некоторым –
нет. Всего было сделано 100 рукопожатий. Сколько рукопожатий сделал Федот?
9-3. На доске написаны числа 1, 2, 3, …10. Разрешается выбрать любое нецелое число а и
ко всем числам, меньшим а, прибавить 1, а из всех чисел, больших а, вычесть 1. Можно
ли несколькими такими операциями получить на доске только единички и тройки?
9-4. Два кота играют в такую игру. Имеется n сосисок (n > 2), соединенных между собой в линию. За один ход кот разгрызает одну перемычку между двумя соседними сосисками. Если при этом образуется несколько одиночных сосисок, то кот все их съедает.
Ходы делаются по очереди, пропускать их нельзя. Игра заканчивается, когда съедены все
сосиски. Выигрывает тот кот, который съел больше сосисок. Какой кот в зависимости от
n, может обеспечить себе победу вне зависимости от действий другого кота – начинающий или делающий второй ход?
9-5. Вычислите углы равнобедренного треугольника, если его высота, опущенная на основание, вдвое меньше биссектрисы угла при основании
Городская олимпиада (2008 – 2009 уч.год)
8-1. Петя и Вася купили на рынке по дыне. Весы показали 3 кг и 2 кг. Когда они положили на весы обе дыни, весы показали 4,5 кг. «Разве два плюс три равно четыре с половиной?» – воскликнул Петя. «У весов сдвинута шкала!» – догадался Вася. Сколько же
весили дыни на самом деле?
8-2. На встречу собрались все Магистры трех Тайных Орденов. До встречи каждый Магистр знал только всех Магистров своего Ордена. После встречи Магистр первого Ордена сказал: «Теперь я знаю в два раза больше Магистров, чем вчера». Магистр второго
Ордена сказал: «А я – в четыре раза больше, чем вчера». Магистр третьего Ордена сказал: «А я – в пять раз больше, чем вчера». Сколько всего было Магистров в трех Тайных
Орденах?
8-3. В четырехугольнике АВСD E, F, и G – середины сторон АВ, ВС и АD соответственно. При этом GE ⊥ AB, GF⊥ BC, ∠АВС = 960 . Найдите ∠АСD.
8-4. На каждом поле доски 5 × 10 находится по шашке. За один ход можно: или выбрать
какие-то две шашки и каждую из них подвинуть на соседнюю по стороне клетку; или если на какой-то клетке оказалось хотя бы две шашки, то можно с этой клетки снять ровно
две шашки. Можно ли при помощи этих операций снять с доски все шашки?
8-5. По кругу расположено 2008 полей, в которых записаны натуральные числа, в каждом поле по одному числу. На одно из полей ставится фишка. Ход состоит в том, что
фишку сдвигают по часовой стрелке на число полей, написанное там, где она была, а затем увеличивают на единицу число там, куда она пришла. Докажите, что через некоторое
время фишка побывает на всех полях.
Городская олимпиада (2008 – 2009 уч.год)
8-1. Петя и Вася купили на рынке по дыне. Весы показали 3 кг и 2 кг. Когда они положили на весы обе дыни, весы показали 4,5 кг. «Разве два плюс три равно четыре с половиной?» – воскликнул Петя. «У весов сдвинута шкала!» – догадался Вася. Сколько же
весили дыни на самом деле?
8-2. На встречу собрались все Магистры трех Тайных Орденов. До встречи каждый Магистр знал только всех Магистров своего Ордена. После встречи Магистр первого Ордена сказал: «Теперь я знаю в два раза больше Магистров, чем вчера». Магистр второго
Ордена сказал: «А я – в четыре раза больше, чем вчера». Магистр третьего Ордена сказал: «А я – в пять раз больше, чем вчера». Сколько всего было Магистров в трех Тайных
Орденах?
8-3. В четырехугольнике АВСD E, F, и G – середины сторон АВ, ВС и АD соответственно. При этом GE ⊥ AB, GF⊥ BC, ∠АВС = 960 . Найдите ∠АСD.
8-4. На каждом поле доски 5 × 10 находится по шашке. За один ход можно: или выбрать
какие-то две шашки и каждую из них подвинуть на соседнюю по стороне клетку; или если на какой-то клетке оказалось хотя бы две шашки, то можно с этой клетки снять ровно
две шашки. Можно ли при помощи этих операций снять с доски все шашки?
8-5. По кругу расположено 2008 полей, в которых записаны натуральные числа, в каждом поле по одному числу. На одно из полей ставится фишка. Ход состоит в том, что
фишку сдвигают по часовой стрелке на число полей, написанное там, где она была, а затем увеличивают на единицу число там, куда она пришла. Докажите, что через некоторое
время фишка побывает на всех полях.
Городская олимпиада (2008 – 2009 уч.год)
9-1. Трудолюбивый школьник Вася упражняется в решении квадратных уравнений. Для
этого он берет квадратное уравнение с натуральными десятизначными коэффициентами, и
решает его. Затем он увеличивает каждый из коэффициентов уравнения на 1, и снова решает его. Затем он опять увеличивает каждый из коэффициентов уравнения на 1, и снова
решает его и так далее, каждый раз он увеличивает коэффициенты уравнения на 1. Докажите, что рано или поздно у Васи получится уравнение, у которого не будет корней.
9-2. На встречу собрались все Магистры трех Тайных Орденов. До встречи каждый Магистр знал только всех Магистров своего Ордена. После встречи Магистр первого Ордена
сказал: «Теперь я знаю в два раза больше Магистров, чем вчера». Магистр второго Ордена
сказал: «А я – в четыре раза больше, чем вчера». Магистр третьего Ордена сказал: «А я – в
пять раз больше, чем вчера». Сколько всего было Магистров в трех Тайных Орденах?
9-3. На каждом поле доски 5 × 10 находится по шашке. За один ход можно: или выбрать
какие-то две шашки и каждую из них подвинуть на соседнюю по стороне клетку; или если
на какой-то клетке оказалось хотя бы две шашки, то можно с этой клетки снять ровно две
шашки. Докажите, что при помощи этих операций нельзя снять с доски все шашки.
9-4. Две равные окружности 𝑆1 и 𝑆2 касаются изнутри окружности S в точках А и В соответственно. М – произвольная точка окружности S, С и D – точки пересечения АМ и ВМ с
окружностями 𝑆1 и 𝑆2 соответственно. Докажите, что прямые АВ и СD параллельны.
9-5. Среди всех чисел вида 6𝑛 − 5𝑚 , где m и n – натуральные числа, рассмотрим те, которые являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что количество таких чисел
четно.
Городская олимпиада (2008 – 2009 уч.год)
9-1. Трудолюбивый школьник Вася упражняется в решении квадратных уравнений. Для
этого он берет квадратное уравнение с натуральными десятизначными коэффициентами, и
решает его. Затем он увеличивает каждый из коэффициентов уравнения на 1, и снова решает его. Затем он опять увеличивает каждый из коэффициентов уравнения на 1, и снова
решает его и так далее, каждый раз он увеличивает коэффициенты уравнения на 1. Докажите, что рано или поздно у Васи получится уравнение, у которого не будет корней.
9-2. На встречу собрались все Магистры трех Тайных Орденов. До встречи каждый Магистр знал только всех Магистров своего Ордена. После встречи Магистр первого Ордена
сказал: «Теперь я знаю в два раза больше Магистров, чем вчера». Магистр второго Ордена
сказал: «А я – в четыре раза больше, чем вчера». Магистр третьего Ордена сказал: «А я – в
пять раз больше, чем вчера». Сколько всего было Магистров в трех Тайных Орденах?
9-3. На каждом поле доски 5 × 10 находится по шашке. За один ход можно: или выбрать
какие-то две шашки и каждую из них подвинуть на соседнюю по стороне клетку; или если
на какой-то клетке оказалось хотя бы две шашки, то можно с этой клетки снять ровно две
шашки. Докажите, что при помощи этих операций нельзя снять с доски все шашки.
9-4. Две равные окружности 𝑆1 и 𝑆2 касаются изнутри окружности S в точках А и В соответственно. М – произвольная точка окружности S, С и D – точки пересечения АМ и ВМ с
окружностями 𝑆1 и 𝑆2 соответственно. Докажите, что прямые АВ и СD параллельны.
9-5. Среди всех чисел вида 6𝑛 − 5𝑚 , где m и n – натуральные числа, рассмотрим те, которые являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что количество таких чисел
четно.
Городская олимпиада (2009 – 2010 уч.год)
8-1. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится единица, а в остатке 16. Если же к квадрату разности цифр этого числа
прибавить произведение его цифр, то получится данное число. Найдите это число.
Решите задачу, если задано одно лишь первое условие.
𝟖 − 𝟐. Упростите алгебраическое выражение:
b2 − 3b − (b − 1)√b 2 − 4 + 2
b 2 + 3b − (b + 1)√b 2 − 4 + 2
∙√
b+2
b−2
8-3. В прямоугольный треугольник АВС вписана окружность радиуса 5, которая
касается гипотенузы ВС в точке D. Известно, что ВD : DС = 2 : 3. Найдите периметр треугольника АВС.
𝟖 − 𝟒. При каких значениях параметра а уравнение 4|4|х| − а2 | = х −
а
имеет ровно три
2
корня? Найдите эти корни. Решите задачу, построив графики функций в левой и
правой частях уравнения.
8-5. Найдите такие цифры, которые при подстановке вместо букв в выражение
4 – НАЛИМ = ЛИМАН давали бы верное равенство (различным буквам соответствуют различные цифры).
Городская олимпиада (2009 – 2010 уч.год)
8-1. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном
получится единица, а в остатке 16. Если же к квадрату разности цифр этого числа прибавить произведение его цифр, то получится данное число. Найдите это
число. Решите задачу, если задано одно лишь первое условие.
𝟖 − 𝟐. Упростите алгебраическое выражение:
b2 − 3b − (b − 1) √b 2 − 4 + 2
b+2
∙ √
b−2
b 2 + 3b − (b + 1) √b 2 − 4 + 2
8-3. В прямоугольный треугольник АВС вписана окружность радиуса 5, которая
касается гипотенузы ВС в точке D. Известно, что ВD : DС = 2 : 3. Найдите периметр треугольника АВС.
𝟖 − 𝟒. При каких значениях параметра а уравнение 4|4|х| − а2 | = х −
а
имеет ровно три
2
корня? Найдите эти корни. Решите задачу, построив графики функций в левой и
правой частях уравнения.
8-5. Найдите такие цифры, которые при подстановке вместо букв в выражение
4 – НАЛИМ = ЛИМАН давали бы верное равенство (различным буквам соответствуют различные цифры).
Городская олимпиада (2009 – 2010 уч.год)
9-1. В прямоугольный треугольник АВС вписана окружность радиуса 5, которая
касается гипотенузы ВС в точке D. Известно, что ВD : DС = 2 : 3. Найдите периметр треугольника АВС.
9-2. Постройте график функции у = х2 − |4х + 6| − 3 на отрезке [−2; 3] и
найдите наименьшее и наибольшее значение функции на данном отрезке.
9-3. Найдите натуральные х и у, для которых выполняется равенство
2х − 15 = у2
9-4. Для каждого значения параметра а решите неравенство
х + √10х ≤ а + 2 + √а + 9х + 2
9-5. Пусть Т – множество всех таких двенадцатизначных натуральных чисел,
для каждого из которых выполняются два условия: оно является квадратом целого числа и в его десятизначной записи в разряде десятков стоит цифра 9. Докажите, что все числа из множества Т четные и оно содержит более 10000 чисел
Городская олимпиада (2009 – 2010 уч.год)
9-1. В прямоугольный треугольник АВС вписана окружность радиуса 5, которая
касается гипотенузы ВС в точке D. Известно, что ВD : DС = 2 : 3. Найдите периметр треугольника АВС.
9-2. Постройте график функции у = х2 − |4х + 6| − 3 на отрезке [−2; 3] и
найдите наименьшее и наибольшее значение функции на данном отрезке.
9-3. Найдите натуральные х и у, для которых выполняется равенство
2х − 15 = у2
9-4. Для каждого значения параметра а решите неравенство
х + √10х ≤ а + 2 + √а + 9х + 2
9-5. Пусть Т – множество всех таких двенадцатизначных натуральных чисел,
для каждого из которых выполняются два условия: оно является квадратом целого числа и в его десятизначной записи в разряде десятков стоит цифра 9. Докажите, что все числа из множества Т четные и оно содержит более 10000 чисел
Городская олимпиада (2010-2011 уч. год)
8-1. 2010 человек выстроились в шеренгу. Каждый из них – рыцарь или лжец (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). Каждый, кроме двух крайних, заявил: «И слева и справа от меня есть рыцари». Сколько рыцарей могло быть в шеренге? Перечислите все варианты и докажите, что других нет.
х+𝑢 у+𝑢
𝟖 − 𝟐. Даны такие четыре попарно различных числа х, у, 𝑢, 𝑣, что
=
х+𝑣 у+𝑣
Найдите сумму этих чисел, то есть найдите х + у + u +v.
8-3. На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС отмечены точки K, L и M соответственно такие, что АL – биссектриса, а АК = АМ. Лучи КМ и ВС пересекаются
в точке Х. Оказалось, что ∠ХАС = ∠АВС. Докажите, что прямая КМ делит отрезок
АL пополам.
8-4. Передние покрышки автомобиля стираются через 30 000 км пути, а задние через 20 000 км пути. Когда нужно поменять покрышки местами, чтобы они
стерлись одновременно?
8-5. У Васи есть 9 палочек по 5 см и 9 палочек по 6 см. Он хочет, разломав несколько палочек, сложить из всех получившихся кусков 11 – угольник с равными
длинами всех сторон. Каким наименьшим количеством разломов он может обойтись? Палочку можно ломать в нескольких местах.
Городская олимпиада (2010-2011 уч. год)
8-1. 2010 человек выстроились в шеренгу. Каждый из них – рыцарь или лжец (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). Каждый, кроме двух крайних, заявил: «И слева и справа от меня есть рыцари». Сколько рыцарей могло быть в шеренге? Перечислите все варианты и докажите, что других нет.
х+𝑢 у+𝑢
𝟖 − 𝟐. Даны такие четыре попарно различных числа х, у, 𝑢, 𝑣, что
=
х+𝑣 у+𝑣
Найдите сумму этих чисел, то есть найдите х + у + u +v.
8-3. На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС отмечены точки K, L и M соответственно такие, что АL – биссектриса, а АК = АМ. Лучи КМ и ВС пересекаются
в точке Х. Оказалось, что ∠ХАС = ∠АВС. Докажите, что прямая КМ делит отрезок
АL пополам.
8-4. Передние покрышки автомобиля стираются через 30 000 км пути, а задние через 20 000 км пути. Когда нужно поменять покрышки местами, чтобы они
стерлись одновременно?
8-5. У Васи есть 9 палочек по 5 см и 9 палочек по 6 см. Он хочет, разломав несколько палочек, сложить из всех получившихся кусков 11 – угольник с равными
длинами всех сторон. Каким наименьшим количеством разломов он может обойтись? Палочку можно ломать в нескольких местах.
Городская олимпиада (2010-2011 уч. год)
9-1. 2010 человек выстроились в шеренгу. Каждый из них – рыцарь или лжец (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). Каждый, кроме двух крайних, заявил: «И слева и
справа от меня есть рыцари». Сколько рыцарей могло быть в шеренге? Перечислите все варианты и докажите, что других нет.
9-2. Передние покрышки автомобиля стираются через 30 000 км пути, а задние через
20 000 км пути. Когда нужно поменять покрышки местами, чтобы они стерлись одновременно?
9-3. В треугольнике АВС угол А равен 600 . Серединный перпендикуляр к стороне АС пересекает луч АВ в точке Х, серединный перпендикуляр к стороне АВ пересекает луч АС в
точке Y. Докажите, что XY = ВС.
9-4. У Васи есть 9 палочек по 5 см и 9 палочек по 6 см. Он хочет, разломав несколько палочек, сложить из всех получившихся кусков 11 – угольник с равными длинами всех сторон.
Каким наименьшим количеством разломов он может обойтись? Палочку можно ломать в
нескольких местах.
9-5. Имеется таблица размера 2×5 (2 строки и 5 столбцов) и 10 карточек с числами 1, 2, …,
10. Дима и Вова по очереди выкладывают эти карточки на клетки таблицы. После того, как
все карточки выложены, в каждом столбце находится наименьшее число, и все эти
наименьшие числа складываются. Если полученная сумма делится на 9, то выигрывает Вова, а если не делится – то Дима. Первым ходит Дима. Кто из мальчиков может выиграть в
этой игре вне зависимости от действий соперника? Предъявите для этого игрока выигрышную стратегию и докажите, что следуя ей игрок действительно выиграет.
Городская олимпиада (2010-2011 уч. год)
9-1. 2010 человек выстроились в шеренгу. Каждый из них – рыцарь или лжец (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). Каждый, кроме двух крайних, заявил: «И слева и
справа от меня есть рыцари». Сколько рыцарей могло быть в шеренге? Перечислите все варианты и докажите, что других нет.
9-2. Передние покрышки автомобиля стираются через 30 000 км пути, а задние через
20 000 км пути. Когда нужно поменять покрышки местами, чтобы они стерлись одновременно?
9-3. В треугольнике АВС угол А равен 600 . Серединный перпендикуляр к стороне АС пересекает луч АВ в точке Х, серединный перпендикуляр к стороне АВ пересекает луч АС в
точке Y. Докажите, что XY = ВС.
9-4. У Васи есть 9 палочек по 5 см и 9 палочек по 6 см. Он хочет, разломав несколько палочек, сложить из всех получившихся кусков 11 – угольник с равными длинами всех сторон.
Каким наименьшим количеством разломов он может обойтись? Палочку можно ломать в
нескольких местах.
9-5. Имеется таблица размера 2×5 (2 строки и 5 столбцов) и 10 карточек с числами 1, 2, …,
10. Дима и Вова по очереди выкладывают эти карточки на клетки таблицы. После того, как
все карточки выложены, в каждом столбце находится наименьшее число, и все эти
наименьшие числа складываются. Если полученная сумма делится на 9, то выигрывает Вова, а если не делится – то Дима. Первым ходит Дима. Кто из мальчиков может выиграть в
этой игре вне зависимости от действий соперника? Предъявите для этого игрока выигрышную стратегию и докажите, что следуя ей игрок действительно выиграет.
Районная олимпиада (2002 год.)
9-1. На доске записан квадратный трехчлен р(х) = х2 + bx + c не имеющий корней. Вместо трехчлена р(х) записывают трехчлен р(х + 2003) − 2003. Докажите, что после нескольких таких замен все получаемые в дальнейшем трехчлены будут иметь по два корня.
9-2. Двое играют в следующую игру. В прямоугольнике из клеток размера
13 × 2002 они по очереди закрашивают несколько незакрашенных клеток, образующих
квадрат (возможно размера 1 × 1). Проигрывает тот игрок, кто не может сделать очередной ход. Кто из игроков (первый или второй) выигрывает при правильной игре, вне зависимости от игры соперника, и как он должен для этого играть?
9-3. В компании из 2n человек (n >1) каждый знаком ровно с тремя. Верно ли, что для
каждого n эту компанию можно разбить на n пар так, чтобы в каждой паре люди были
знакомы друг с другом?
9-4. Около непрямоугольного треугольника АВС описана окружность. А1 и В1 – основания высот треугольника из вершин А и В. Докажите, что прямая А1 В1 параллельна касательной к окружности в вершине С.
9-5. Для 10 – ти произвольных натуральных чисел посчитали все их попарные НОД. Могут ли полученные 45 чисел павняться 1, 2, 3,…, 45?
Районная олимпиада (2002 год.)
9-1. На доске записан квадратный трехчлен р(х) = х2 + bx + c не имеющий корней. Вместо трехчлена р(х) записывают трехчлен р(х + 2003) − 2003. Докажите, что после нескольких таких замен все получаемые в дальнейшем трехчлены будут иметь по два корня.
9-2. Двое играют в следующую игру. В прямоугольнике из клеток размера
13 × 2002 они по очереди закрашивают несколько незакрашенных клеток, образующих
квадрат (возможно размера 1 × 1). Проигрывает тот игрок, кто не может сделать очередной ход. Кто из игроков (первый или второй) выигрывает при правильной игре, вне зависимости от игры соперника, и как он должен для этого играть?
9-3. В компании из 2n человек (n >1) каждый знаком ровно с тремя. Верно ли, что для
каждого n эту компанию можно разбить на n пар так, чтобы в каждой паре люди были
знакомы друг с другом?
9-4. Около непрямоугольного треугольника АВС описана окружность. А1 и В1 – основания высот треугольника из вершин А и В. Докажите, что прямая А1 В1 параллельна касательной к окружности в вершине С.
9-5. Для 10 – ти произвольных натуральных чисел посчитали все их попарные НОД. Могут ли полученные 45 чисел павняться 1, 2, 3,…, 45?