Линейная функция. График линейной функции Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, kR. Здесь х – независимая переменная, принимающая произвольные значения (аргумент), у – функция, k и b – параметры. Если k=0, то линейная функция становится постоянной y=b. 1. Область определения – множество всех вещественных чисел D(f)=R. 2. Множество значений E(f)=R, если k0, и одно число b, если k=0. 𝑏 3. Функция пересекает оси координат в точках (0; b) и (− ; 0). 𝑘 4. Функция является четной, если k=0; нечетной, если b=0; и ни четной, ни нечетной, если k0 и b0. 5. Функция не периодичная k(xT)+bkx+b при Т0. 6. Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Ее производная в каждой точке равна k. 7. Промежутки знакопостоянства (зависят от k): если k>0, то у>0 при x>0, y<0 при x<0; если k<0, то у>0 при x<0, y<0 при x>0. 8. Экстремумов (точек максимума и минимума) нет. 9. Промежутки монотонности: если k>0, то у возрастает на всей числовой оси; если k<0, то у убывает на всей числовой оси. 10. Наибольших и наименьших значений нет. 11. Функция при k0 не ограничена, при k=0 ограничена. 12. Функция имеет обратную функцию 𝑦 = линейной функцией. 𝑥−𝑏 𝑘 , которая также является Графиком линейной функции у=kx (прямой пропорциональной зависимости между переменными х и у) является прямая, проходящая через начало координат. Изобразим на плоскости прямую y=kx+b. Углом наклона этой прямой к оси Ох называется угол α, отсчитываемый от положительного направления оси Ох против хода часовой стрелки. Если прямая параллельна оси Ох, то угол наклона считается равным нулю. Коэффициент k в коэффициентом прямой. уравнении называется y=kx+b угловым Прямая y=kx+b параллельна прямой y=kx. Из треугольника МОР (Р=90о) видно, что 𝑘 = 𝑦0 𝑥0 = 𝑀𝑃 𝑂𝑃 = tg 𝛼. Он равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси Ох, т.е. k=tgα. При положительных k этот угол острый, при отрицательных – тупой. Это соответствует характеру монотонности линейной функции: при k>0 она возрастает, при k<0 убывает. Графиком функции y=kx+b является прямая, параллельная прямой у=kx, 𝑏 сдвинутая вдоль оси Ох на х=− при k0. 𝑘 Для построения графика линейной функции y=kx+b достаточно знать угловой коэффициент k и одну точку, лежащую на графике. Если прямая y=kx+b проходит через точку (х0; у0), то будет верным равенство у0=kх0+b. Если координаты некоторой точки (х; у) удовлетворяют уравнению прямой y=kx+b, то они будут удовлетворять и уравнению у – у0=k(х – х0). Уравнение у – у0=k(х – х0) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку (х0; у0). Пусть прямая y=kx+b проходит через две точки (х1; у1) и (х2; у2), тогда имеем два верных числовых равенства у1=kx1+b, y2=kx2+b. Отсюда получаем равенство y2 – y1=k(x2 – x1). Так как прямая y=kx+b не параллельна оси Оу, то х2х1. Следовательно, 𝑘= . Это формула углового коэффициента прямой, проходящей через 𝑦2 −𝑦1 𝑥2 −𝑥1 две данные точки. Примеры решения задач Пример 1. Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом 3, проходящей через точку Т(- 2; 1). Решение. Пусть у=3х+b – уравнение искомой прямой. Подставив в него координаты точки Т, получим уравнение 1=3( - 2)+b, откуда b=7. Следовательно, искомое уравнение у=3х+7. Ответ: у=3х+7 Пример 2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки М( - 2; 9) и Р(4; - 3). Решение. Пусть y=kx+b – уравнение искомой прямой. Подставив в него 9 = −2𝑘 + 𝑏, координаты точек М и Р, получим систему уравнений { . −3 = 4𝑘 + 𝑏 Решив эту систему уравнений, найдем k= - 2, b=5. Следовательно, уравнение искомой прямой у= - 2х+5. Ответ: у= - 2х+5 Пример 3. Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом 2, проходящей через точку (3; - 1). Решение. В уравнение у – у0=k(х – х0) подставим k=2, х0=3 и у= - 1. Получим уравнение прямой у+1=2(х – 3), т.е. у=2х – 7. Ответ: у=2х – 7 Пример 4. Написать уравнение прямой, проходящей через точки ( - 1; 7) и (2; 4). Решение. Угловой коэффициент прямой найдем по формуле 𝑘 = 4−7 𝑦2 −𝑦1 𝑥2 −𝑥1 = = - 1. 2+1 Запишем уравнение прямой с угловым коэффициентом – 1, проходящей через точку (- 1; 7): у – 7= - 1(х+1), т.е. у= - х+6. Ответ: у= - х+6 Взаимное расположение графиков линейных функций Графики двух линейных функций представляют собой прямые, которые либо пересекаются, либо параллельны. Пересечение графиков означает, что они имеют общую точку. В этом случае найдется такое значение х, которому соответствует одно и то же значение у для обеих функций. Графики двух линейных функций, заданные формулами вида 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏, пересекаются, если коэффициенты при х различны, и параллельны, если коэффициенты при х одинаковы. Доказательство. Пусть 𝑦 = 𝑘1 𝑥 + 𝑏1 и 𝑦 = 𝑘2 𝑥 + 𝑏2 - две различные линейные функции. Рассмотрим уравнение 𝑘1 𝑥 + 𝑏1 = 𝑘2 𝑥 + 𝑏2 . Имеем 𝑘1 𝑥 − 𝑘2 𝑥 = 𝑏2 − 𝑏1 ; (𝑘1 − 𝑘2 )𝑥 = 𝑏2 − 𝑏1 . Если 𝑘1 ≠ 𝑘2 , то это уравнение имеет единственный корень. В этом случае графики пересекаются. Если 𝑘1 = 𝑘2 и 𝑏2 ≠ 𝑏1 , то уравнение не имеет корней. В этом случае графики функций параллельны. Упражнения 1. Укажите угловой коэффициент прямой: 𝑥 1) 𝑦 = 3𝑥 + 8 2) 𝑦 = 9 − 5) 𝑦 = 𝑥 + 1 6) 𝑦 = 12𝑥 − 7 9) 𝑦 = 3,5𝑥 − 7 10) 𝑦 = 5 − 1,5𝑥 12 3) 𝑦 = − 7𝑥 12 7) 𝑦 = 9 − 4𝑥 2 4) 𝑦 = 4 + 𝑥 3 𝑥 8) 𝑦 = − 4 6 2. Укажите угловой коэффициент прямой, изображенной на рисунке: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 3. Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М, если: 1 1) 𝑘 = − , 𝑀(−1; −2) 2) 𝑘 = −√100, 𝑀(−4; 1) 1 3) 𝑘 = , 𝑀(−2; 0) 9 2 2 4) 𝑘 = 4, 𝑀(−1; 4) 5) 𝑘 = , 𝑀(7; −1) 6) 𝑘 = 2, 𝑀(1; −1) 8) 𝑘 = −2, 𝑀(3; 0) 9) 𝑘 = √121, 𝑀(2; 6) 3 2 7) 𝑘 = , 𝑀(3; 6) 3 10) 𝑘 = −1, 𝑀(0; 3) 4. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А и В, если: 1) 𝐴(1; −2), 𝐵(−3; 2) 2) 𝐴(−1; −2), 𝐵(2; 3) 3) 𝐴(1; 1), 𝐵(4; 4) 4) 𝐴(−6; 3), 𝐵(−1; −1) 5) 𝐴(2; 5), 𝐵(3; 0) 6) 𝐴(−1; 2), 𝐵(3; −3) 7) 𝐴(0; −1), 𝐵(1; 0) 8) 𝐴(0; −1), 𝐵(3; 2) 9) 𝐴(−4; −5), 𝐵(2; 1) 10) 𝐴(2; 3), 𝐵(−3; 2) 5. Составьте уравнение прямой проходящей через точку Р и параллельной данной прямой, если: 𝑥 1) 𝑃(−1; − 1), 𝑦 = 5 − 𝑥 2) 𝑃(−5; 2), 𝑦 = − 1 3) 4) 𝑃(−5; 3), 𝑦 = 4𝑥 − 7 5) 𝑃(−5; 2), 𝑦 = √𝜋 + 0,1𝑥 6) 𝑃(4; 1), 𝑦 = 5 − 𝑥 7) 𝑃(−5; 2), 𝑦 = √5 − 0,7𝑥 8) 𝑃(−5; −1), 𝑦 = −𝑥 + 5 9) 𝑃(−5; 2), 𝑦 = 6 − 𝑥 3 4 10) 𝑃(2; −3), 𝑦 = −𝑥 + 5 6. Составьте уравнение прямой: 1) Параллельной прямой 4(х+2у) – 8=5х – 2 и проходит через точку пересечения прямых у=2х и у=х+3 2) Проходящей через точку А(3; 1) и пересекающей ось Ох под углом 30о 3) Пересекающей ось Ох под углом 30о и проходящей через точку пересечения прямых у=5 – х и у=х – 3 4) 5) Параллельной прямой 4(х+2у) – 8=5х – 2 и проходит через точку пересечения прямых у=2х - 3 и х=9 6) Проходящей через точку А(3; 1) и пересекающей ось Ох под углом 120о 7) Пересекающей ось Ох под углом 30о и проходящей через точку пересечения прямых у=1 – 2х и у=2х – 3 8) Проходящей через точку А(3; 1) и пересекающей ось Ох под углом 60о 9) Параллельной прямой 4(х+2у) – 8=5х – 2 и проходит через точку пересечения прямых у=4х и у=х – 3 10) Пересекающей ось Ох под углом 30о и проходящей через точку пересечения прямых х+3у= - 7 и 2х +15у= - 11 7. 1) Под каким углом пересекает ось Ох прямая, проходящая через точки М( - 1; 2) и N( - 4; - 1)? 2) Найдите угловой коэффициент прямой у=kx+5, если она пересекается с прямой у= -0,5х – 1 в точке с абсциссой, равной 0,8. 3) 4) 5) Под каким углом пересекает ось Ох прямая, проходящая через точки М(1; 2) и N(5; - 2)? 6) Найдите угловой коэффициент прямой у=kx - 1, если она пересекается с прямой у=8х+2 в точке с абсциссой, равной - 0,2. 7) 8) 9) 10) 8. Найдите корни линейных функций: 1) 𝑦 = 𝑥 + 5 2) 𝑦 = 3 − 𝑥 2 2 3) 𝑦 = (𝑥 − 1) + 1 3 4) 𝑦 = 0,01𝑥 + 1 5) 𝑦 = 1 − 𝑥 6) 𝑦 = 6(𝑥 − 1) + 2 7) 𝑦 = 0,5𝑥 + 4,5 9) 𝑦 = 3𝑥 + 4 10) 𝑦 = −3(2 − 𝑥) + 1 8) 𝑦 = 15 − 3𝑥 9. Решите уравнение: 1) 2𝑥 + 3 = 5𝑥 − 1 2) 1 = 𝑎𝑥 + 𝑏 1 𝑥+1 5) 𝑥 + 1=0 6) 9) −2(1 − 𝑥 − 3(𝑥 + 2)) = 𝑥 10) 2 𝑥−1 3) 3𝑥+5 = 𝑥−3 = 2𝑥−1 2𝑥+1 7) =2 2−𝑥 𝑥+2 4) 8) 1 4 10. Решите неравенство: 1) 2𝑥 + 7 > 0 2) 7𝑥 + 3 ≥ 𝑥 − 2 3) 5) 2 + 5𝑥 ≤ 5 6) −3(2 − 𝑥) ≥ 𝑥 9) −3 + 2𝑥 < 0 10) 1 𝑥+5 7) 3 2−𝑥 ≤0 2 3𝑥+1 4) 1 3−2𝑥 <0 8) 3𝑥 − 1 < 0 ≥0 >0 Дополнительные задания 1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке: 1) у=2х+1 на [ - 1; 1] 2) у=х+0,5 на [ - 1; +∞) 3) 4) 5) у=2 - х на [0; 5] 6) 7) 8) 9) у=2 - 3х на ( - ∞; 2] 10) 2. Постройте график линейной функции: 1) 𝑦 = 2𝑥 − 3 𝑥 2) 𝑦 = −𝑥 + 4,5 1 5) 𝑦 = + 1 6) 𝑦 = 𝑥 − 3 9) 𝑦 = −2𝑥 + 1 10) 𝑦 = 0,2𝑥 + 5 2 2 3) 𝑦 = 𝑥 + 1,5 4) 𝑦 = −3𝑥 + 4 7) 𝑦 = −𝑥 − 3,5 8) 𝑦 = −𝑥 + 3 3. Принадлежит ли графику функции точка: 1) 𝑦 = 1,2𝑥 − 7 𝐴(110; 113) 2) 𝑦 = −0,5𝑥 𝐴(0; −1) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 4. Каково взаимное расположение графиков функций? 1) 𝑦 = 7𝑥 − 4 и 𝑦 = 7𝑥 + 8 2) 𝑦 = 3𝑥 − 5 и 𝑦 = −6𝑥 + 1 3) 𝑦 = −20𝑥 + 13 и 𝑦 = −8 − 20𝑥 4) 𝑦 = 10𝑥 + 8 и 𝑦 = −10𝑥 + 6 5) 𝑦 = 12𝑥 и 𝑦 = −8𝑥 6) 𝑦 = −1,5𝑥 + 6 и 𝑦 = 0,5𝑥 + 10 7) 𝑦 = −4𝑥 и 𝑦 = −4𝑥 − 5 8) 𝑦 = 0,5𝑥 − 4 и 𝑦 = 0,5𝑥 + 8 9) 𝑦 = 7𝑥 и 𝑦 = 7𝑥 − 3 10) 𝑦 = 3𝑥 + 1 и 𝑦 = −4𝑥 + 1 5. Найдите точки пересечения графиков функций: 1) 𝑦 = 10𝑥 − 8 и 𝑦 = −3𝑥 + 5 2) 𝑦 = 37𝑥 − 8 и 𝑦 = 25𝑥 + 4 3) 𝑦 = 14 − 2,5𝑥 и 𝑦 = 1,5𝑥 − 18 4) 𝑦 = 14𝑥 и 𝑦 = 𝑥 + 26 5) 𝑦 = 20𝑥 − 70 и 𝑦 = 70𝑥 + 30 6) 𝑦 = −5𝑥 + 16 и 𝑦 = −6 7) 𝑦 = −6𝑥 + 9 и 𝑦 = 2𝑥 − 7 8) 𝑦 = −0,5𝑥 + 2 и 𝑦 = 2,5𝑥 − 10 9) 𝑦 = 𝑥 и 𝑦 = −3𝑥 − 3,6 10) 𝑦 = 0,2𝑥 − 9 и 𝑦 = 0,2𝑥 + 1