S 1 - Якутский медицинский колледж

Министерство здравоохранения Республики Саха (Якутия)
Государственное бюджетное образовательное учреждение
Якутский базовый медицинский колледж
Учебно-методический комплекс
По дисциплине «Математика»
Тема: «Определенный интеграл»
Для студентов всех специальностей первого года обучения
Преподаватель:
Подрясова Сардаана Федоровна
Якутск 2011
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА ЗАНЯТИЯ
Тема №5. Вычисление площади плоской фигуры
Специальность:
Вид занятия: лекция
Время: 2 часа
Место проведения занятия: аудитория
Образовательная цель: Находить площади плоской фигуры с
использованием определенного интеграла. Владеть теорией – при
выполнении упражнений.
Студент должен знать: Формулы вычисления длины дуги плоской
кривой, вычисления объема тела вращения.
Студент должен уметь: Строить графики функций. Вычислять длины
дуги плоской кривой, вычислять объемы тела вращения.
Воспитательная цель: Формирование умений анализировать проблему и
планировать способы ее решения, развитие навыков самостоятельной
работы с дополнительной литературой и развитие наблюдательности,
формировать
чувства
ответственности,
уверенности
в
себе,
взаимовыручки,
самоконтроля,
собранности,
организованности.
Воспитывать требовательность к себе, внимание, четкость выполнения
заданий.
Методическая цель: Показать учащимся на примерах из жизни
применение интеграла. Научить использовать интегралы при решении
многих задач прикладного характера.
Внутрипредметная связь: Предел функции. Производная. Дифференциал
функции. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл
Оснащение занятия: Таблица первообразных
Литература для студентов:
1. Омельченко В.П., Курбатова «Математика», 1-е издание,
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное
пособие, 5-е изд. – М.: Высшая школа, 2002.
3. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для средних специальных
учебных заведений. – М.: Академия, 2003.
4. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.:
Просвещение, 2007.
Литература для преподавателей:
5. Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: компьютерные
технологии в медицине» 2-е издание, 2010год
6. Зайцев В.М.,Лифляндский В.Г., Маринкин В.И. «Прикладная
медицинская статистика» СПб ООО «Издательство Фоллиант», 2003
7. Морозов Ю.В. «Основы высшей математики и статистики:
учебник»-М;Медицина, 1998.
8. Киселева Л.В. Пособие по математике для студентов медицинских
училищ и колледжей. – М.: ФГОУ «ВУНМЦ Росздрава», 2005.
Структура занятия:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Организационный момент – 5 мин.
Целевая установка занятия – 5 мин.
Актуализация базовых знаний – 15 мин.
Формирование новых знаний – 60 мин
Подведение итогов занятия 3 мин.
Задание на дом 2 мин.
Ориентировочная основа действий (ООД)
№ Этапы
занятия
Врем
я
Цели этапов
Ориентировочны Ориентировоч
е
действия ные действия
преподавателя
студентов
Проверка
Рапорт
готовности
дежурного
студентов
к
занятию, отметка
присутствующих,
запись в журнале
1
Организац 5 мин
ионный
Создание
условий для
мотивации
студентов
к
изучению
темы.
2
Целевая
установка
Активизация
Ознакомление
с Записывают
мыслительной планом
занятия. тему и цели
деятельности Акцент
на урока
основные вопросы.
3
Актуализа 15
ция
мин
базовых
знаний
Повторение и Фронтальный
закрепление
опрос
базовых
знаний
Отвечают
на
вопросы
преподавателя
4
Формиров 35
ание
мин
новых
знаний
Формировани
е углубление
и закрепление
знаний,
правил
Раскрытие темы,
обсуждение
основных вопросов
темы, объяснение
примеров решения
задач
Записывают
основные
определения,
правила,
формулы.
5
Закреплен 20
ие новых мин
знаний
Контроль
усвоения
полученных
Объяснение
примеров
Решают
примеры,
отвечают
вопросы,
5 мин
на
знаний
6
Подведен 5 мин. Релаксация
ие итогов
занятия
7
Задание
на дом
2 мин. УИРС
дополняют,
исправляют,
анализируют.
Объяснение
Запись
выполнения
домашнего
домашнего задания задания
ГБОУ Якутский базовый медицинский колледж
Тезисы лекций
Тема «Применение определенного
интеграла к решению прикладных задач»
Для всех специальностей
Студентов 1 года обучения
Преподаватель:
Подрясова С.Ф.
Тема: Применение определенного интеграла к решению прикладных задач
Определенный интеграл широко применяется при вычислениях
различных геометрических и физических величин.
Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная функция y=f(x)≥0.
Фигура, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу – осью
Ox, сбоку – прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.
y
y=f(x)
x
a
b
Рис.1
Геометрический смысл определенного интеграла:
Определенный интеграл от неотрицательной функции равен
площади криволинейной трапеции.
b
s = ∫ f(x) dx
a
По формуле Ньютона-Лейбница
b
s = ∫a f(x) dx = F(a) − F(b) (1)
Если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ox (f(x)<0),
то ее площадь может быть найдена по формуле
b
s = − ∫ f(x) dx
a
Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x), прямыми
x=a и x=b ( при условии f2(x) >f1(x)) см. рис.2, можно найти по формуле
b
b
b
s = ∫a f2 (x) dx − ∫a f1 (x) dx = ∫a (f2 (x) − f1 (x)) dx (2)
y
y=f2(x)
x
y=f1(x)
a
b
Рис.2
Если плоская фигура имеет «сложную» форму (см. рис.3), прямыми
параллельными оси Oy, ее следует разбить на части так, чтобы можно
было применить уже известные формулы.
y
S2
S3
S1
x
а
с
d
b
Рис.3
Рассмотрим примеры:
Определить площадь фигуры, образованной функцией y=x2+1 и осью при
изменении x от 1до 4.
Решение:
4
S=∫
1
(x 2
4
x3
43
13
+ 1) dx =
+ x|=
+ 4 − − 1 = 24
3
3
3
1
Ответ: S= 24 кв.ед.
Вычислить площадь между линиями y=x2+1 и y=2x+1.
Решение:
Найдя точки пересечения данных линий, мы определим границы
интегрирования.
x2+1=2x+1
x2-2x =0
х (х-2)=0
х=0 и х=2
2
s = ∫ ((2x + 1) −
(x 2
0
2x 2 x 3 2
8
1
+ 1)) dx =
−
| =4− =1
2
3
3
3
0
Вычисление длины дуги плоской кривой. Если кривая y=f(x) на
отрезке [а:в] имеет непрерывную производную, то длина дуги этой кривой
находится по формуле:
𝒃
𝑳 = ∫ √𝟏 + (𝒚′ )𝟐 𝒅𝒙
𝒂
Пример. Найти длину дуги кривой у2=х3 на отрезке [0:1]
Решение: Уравнение кривой у=х3/2, тогда 𝑦 ′ =3/2х1/2
𝟏
𝑳 = ∫ √𝟏 + 𝟗/𝟒х𝒅𝒙
𝟎
Сделав замену 𝟏 + 𝟗/𝟒х=и, 9/4 𝒅𝒙= 𝒅и, получим
4/9∫и1/2 𝒅и=4/9*2/3и2/3
Вернемся к первоначальной переменной:
𝑳=4/9*2/3(1+9/4х)3/20│1=8/27(13/4)3/2-8/27=8/27(13/8√13-1)≈1,44
Вычисление объема тела вращения. Если криволинейная трапеция,
ограниченная кривой y=f(x)и прямыми х=а и х=в, вращается вокруг оси
ох, то объем вычисляется по формуле:
𝑏
2
V=π∫𝑎 (𝑓(𝑥)) 𝑑𝑥
Пример:
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры,
ограниченной функцией у=х/2+2 и линиями х=0, х=4
Решение:
Вычисление пути, пройденного точкой.
Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой
с переменной скоростью v=f(t)≥0 за промежуток времени от t1 и t2
вычисляется по формуле
t2
S=∫t1 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
Пример:
скорость
движения
точки
изменяется
по
закону
v=(3t2+2t+1) м/с. Найти путь, пройденный точкой за 10 с от начала
движения.
Решение:
Согласно условию, находим по формуле
10
S=∫0 (3t2 + 2t + 1)𝑑𝑡=t3+t2+t=103+102+10=1110(м)
Вычисление работы силы.
Работа, произведенная переменной силой 𝑓(х) при перемещении по
оси ох материальной точки от х=а, до х=в, находится по формуле
𝑏
А=∫𝑎 𝑓(х) 𝑑𝑥
При решении задач на вычисление работы силы часто используется
закон Гука:
F=k x
Где F – сила, Н; х- абсолютное удлинение пружины, м, вызванное
силой F, а к – коэффициент пропорциональности, Н/м
Вычисление силы давления жидкости
Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку
зависит от глубины погружения х этой площадки, т.е. от расстояния
площадки до поверхности жидкости.
Сила давления Н на горизонтальную площадку вычисляется по
формуле Р=9807δSх
Где δ-плотность жидкости, кг/м3; S-площадь площадки, м2; х –
глубина погружения площадки,м
Если
площадка,
испытывающая
давление
жидкости,
не
горизонтальна, то давление на нее различно на разных глубинах,
следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее
погружения Р(х).
ГБОУ Якутский базовый медицинский колледж
Практические работы
Тема «Применение определенного
интеграла к решению прикладных задач»
Для всех специальностей
Студентов 1 года обучения
Преподаватель:
Подрясова С.Ф.
Самостоятельная работа
Задания: Найти площадь фигур, ограниченных следующими линиями
y=5x, x=2, y=0.
Отв.10
y=3x-1, x=2, x=4, y=0.
Отв.16
x-y+1=0, 3x+2y-12=0, y=0.
Отв.7.5
x-4y+2=0, x+y-3=0, y=0.
Отв.2.5
y=32-x2, y=-4x.
Отв.288
y=√𝑥, y=1/x, x=16.
Отв.42-ln 16
y2=4x, x=4, x=9.
Отв.152/3
y2=8x, 2x-3y+8=0.
Отв.4/3
x=27-y2, x=-6y.
Отв. 288
y=x3, y=2x.
Отв.2
x2=9y, x-3y+6=0.
Отв.27/2
4x2-8x-y+5=0, 2x-y+1=0.
Отв.9/2
x2-6x-4y+13=0, x-2y-1=0.
Отв.1/3
3y2-16x+32=0, 4x-3y-8=0
Отв.2
6y2-25x-50=0, 5x-6y+10=0.
Отв. 5
Алгоритм вычисления площади плоских фигур:
1 Найти точки пересечения линий, то есть определить границы
интегрирования.
2 Построить графики функций, для определения линий f1(x) и f2(x),
аналогично рис.2.
3 Вычислить площадь по формуле (2)
4 Оформить ответ.
Проверочная работа по разделу «Интегральное исчисление»
Вариант 1
1∫(8x 3 − cos x) dx
2 Вычислить интеграл методом замены переменных
∫(7 − 2x)5 dx
3 Интегрирование по частям
∫ x cos x dx
1
4 ∫−2 x dx
5 Найти площадь фигур, ограниченных линиями
y = 2x,
y = 0,
x = 3.
Вариант 2
1∫(3x − 1)dx
2 Вычислить интеграл методом замены переменных
∫
dx
(4 − 3x)2
3 Интегрирование по частям
∫ x sin x dx
4 dx
4 ∫1
x
5 Найти площадь фигур, ограниченных линиями
x − y + 4 = 0,
x + y − 5 = 0,
x1 = 2,
y = 0.
Вариант 3
dx
1∫ 2
√x +4
2 Вычислить интеграл методом замены переменных
∫
x dx
(3x 2 + 5)3
3 Интегрирование по частям
∫(1 − x) cos x dx
1
4 ∫−2
dx
x+3
5 Найти площадь фигур, ограниченных линиями
y = −x 2 + 4, y = 0.
Вариант 4
dx
1∫
√2+x2
2 Вычислить интеграл методом замены переменных
x 2 dx
∫
(5x 3 + 2)2
3 Интегрирование по частям
∫ x 2 cos x dx
π
4 ∫0 sin x dx
5 Найти площадь фигур, ограниченных линиями
4
y= ,
x
x1 = 1,
x2 = 4.
Вариант 5
dx
1∫ 2
3+x
2 Вычислить интеграл методом замены переменных
x 3 dx
∫
(5x 4 + 3)2
3 Интегрирование по частям
∫
ln x
dx
x3
2 dx
4 ∫−1
x2
5 Найти площадь фигур, ограниченных линиями
y = x2,
y = 0,
x2 = 3.
Вариант 6
dx
1∫ 2
9+x
2 Вычислить интеграл методом замены переменных
6x 2 dx
∫
(1 − 2x 3 )4
3 Интегрирование по частям
∫ ln2 x dx
4
4 ∫1 √x dx
5 Найти площадь фигур, ограниченных линиями
y = −x 2 − 2x − 8,
y = 0.
Вариант 7
1∫(x 9 − 10x 4 + 3)dx
2 Вычислить интеграл методом замены переменных
∫
x dx
(x 2 + 5)3
3 Интегрирование по частям
∫ x 2 lnx dx
9 dx
4 ∫1
√x
5 Найти площадь фигур, ограниченных линиями
y = −x 2 + 6x,
y = 0.
Вариант 8
1∫
x2 −25
x−5
dx
2 Вычислить интеграл методом замены переменных
∫
sin √x
√x
dx
3 Интегрирование по частям
∫ x ex dx
π/4 dx
4 ∫0
1+x2
5 Найти площадь фигур, ограниченных линиями
y 2 = x, x1 = 1,
x2 = 4
Вариант 9
1∫
x2 −3
x2
dx
2 Вычислить интеграл методом замены переменных
∫
cos x dx
√1 − sin x
3 Интегрирование по частям
∫ x 2 ex dx
2 x2 −9
4 ∫−1
x+3
dx
5 Найти площадь фигур, ограниченных линиями
y = x2,
y − x − 2 = 0.
Вариант 10
1∫ x 2 √x dx
2 Вычислить интеграл методом замены переменных
∫ x 3 cos x 4 dx
3 Интегрирование по частям
∫ ex cos x dx
1
4 ∫0 (2x 3 − 1)x 2 dx
5 Найти площадь фигур, ограниченных линиями
y = x2,
y = 8 − x2.
Вариант 11
1∫
x2 −2x+5
x2
2 Вычислить интеграл методом замены переменных
∫ x cos(x 2 + 1) dx
3 Интегрирование по частям
∫ ex sin x dx
1 5dx
4 ∫0
√4−3x
5 Найти площадь фигур, ограниченных линиями
y = −x 2 − 4x + 4,
y − x = 0.
Вариант 12
dx
1∫
√4−x2
2 Вычислить интеграл методом замены переменных
x 5 dx
∫
1 + x6
3 Интегрирование по частям
∫ arctg x dx
1
xdx
4 ∫−2 (x2
+1)2
5 Найти площадь фигур, ограниченных линиями
y = −x 2 + 2x + 3,
y = 0.
Вариант 13
dx
1∫ 2
x −4
2 Вычислить интеграл методом замены переменных
ln3 x dx
∫
x
3 Интегрирование по частям
∫ arcsin x dx
1
4 ∫0 (x 2 − 1)4 dx
5 Найти площадь фигур, ограниченных линиями
y = −x 2 + 10x − 16,
y − x + 2 = 0.
Вариант 14
dx
1∫ 2
x −9
2 Вычислить интеграл методом замены переменных
x 4 dx
∫ 10
(x + 1)
3 Интегрирование по частям
x
∫ x cos dx
2
2 xdx
4 ∫1
x2 +1
5 Найти площадь фигур, ограниченных линиями
y = x2,
y − 4 = 0.
Вариант 15
dx
1∫ 2
√x +9
2 Вычислить интеграл методом замены переменных
∫
sin x dx
a2 + cos 2 x
3 Интегрирование по частям
x
∫ ln dx
2
1
4 ∫0
x
(x2 +1)5
dx
5 Найти площадь фигур, ограниченных линиями
4
y= ,
x
y − x = 0,
x = 4.
Контрольная работа по математическому анализу
Вариант 1
Вариант 2
Найти пределы:
Найти пределы:
2 x 2  5x  3
x 3 x 2  5 x  6
1. lim
2x 2  x  1
x 1 2 x 2  3 x  1
2. lim
3x 2  6 x 3
x 
x3  x
2. lim
Найти производные следующих функций:
Найти производные следующих функций:
1. lim
1

y   x 8  88 x 3 
4

y  ln x x
1.
2.
8x 2  6 x 5
x  x 3  x 6
3
Найти неопределенный интеграл:
 2

1. 
2.
3.
x 3 dx

3

x

1 x
x3
1
x
4

3.
y  x  2 x2  7
4.
y
x2
ln x 2  3x


12

Найти неопределенный интеграл:
 x  2 2
1.  
 x2

2 

x 3 
(МЗП)
2.

x 2 dx
x 4 1




(МЗП)
2
dx

3. ( 2 x  3 x )dx
0
Вариант 3
Найти пределы
Вариант 4
Найти пределы
4x 2  7 x  2
x 0 2 x 2  x  6
1. lim
3x 2  x  5
x  x 2  x  9
2. lim
1. lim
2. lim
4 x 2  25 x  25
x 2 2 x 2  15 x  25
x 2  6x3
x  x 3  5 x
Найти производные следующих функций:


y  5x 2  44 x 5  3
1 x
y  ln
1 x
5.
6.
Найти производные следующих функций:

3
7.
y  5x 4  8 x 3
8.
y  ln

3
x
Найти интегралы:
Найти интегралы:
 1
4
3 

1.  
 x 3 x 5 3 
x 

2.

2
x dx

2.
 3x  1
(МЗП)
x 3 1
 1
2
x 

 x x
1.
dx
2



(МЗП)
2
2
3.
 x
0
4x
2
3.

1
3
dx (МЗП)
 5x  1 dx
2
0
Вариант 5
Вариант 6
Найти пределы
Найти пределы
2 x 2  5x  3
x  2 3 x 2  4 x  15
1. lim
2. lim
7 x 2  26 x
x 
2x 2  x
2. lim
Найти производные следующих функций:
Найти производные следующих функций:
x 2  3x  2
x 3 2 x 2  x  6
1. lim


9
9. y   8 x  2
 6 
x x


7x  4
10. y  ln 7
x 2
6 x 2  13x
x  3 x 2  8 x  5
5
Найти неопределенный интеграл:


5
11. y   3x 4 

2

4
x


1  5x
12. y  ln
1  5x
3
Найти неопределенный интеграл:
1.
2.
 x  3x  5dx
 x
3
x dx

(МЗП)
1 x4
1
3.
 1

1. 
2.
dx
 3x  1
4

5
4 x dx
 x
2

1
3
5 


x3 
(МЗП)
3

3. 6 x 2  8 xdx
0
1
Вариант 7
Вариант 8
Найти пределы
Найти пределы
2 x 2  5x  3
x 3 x 2  5 x  6
1. lim
2 x 2  5x  3
x 3 x 2  5 x  6
2. lim
3x 2  6 x 3
x 
x3  x
2. lim
Найти производные следующих функций:
Найти производные следующих функций:
1. lim
1 8

x  88 x 3 
4

14. y  ln x x
3x 2  6 x 3
x 
x3  x
3
1 8

x  88 x 3 
4

16. y  ln x x
3
13. y  
15. y  
Найти неопределенный интеграл:
Найти неопределенный интеграл:
 2

1. 
2.

3
3.

1
x

x 3 dx
1 x4
x3
x
2 

x 3 
(МЗП)
 2

1. 
2.

3
dx
3.

1
x

x 3 dx
1 x4
x3
x
dx
2 

x 3 
(МЗП)