ЕН.Ф.2 Интегральное исчисление

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мурманский государственный гуманитарный университет»
(ФГБОУ ВПО «МГГУ»)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
ЕН.Ф.02
МАТЕМАТИКА:
интегрального исчисление
Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности
050202.00 – Информатика
050202.00 – Информатика с дополнительной специальностью
Утверждено на заседании кафедры
математики и математических методов
в экономике факультета
физико-математического образования,
информатики и программирования
(протокол № 6 от 27 февраля 2013 г.)
Зав. кафедрой _______________О.М. Мартынов
Мурманск
Структура учебно-методичес кого комплекса дисциплины
РАЗДЕЛ 1. Программа учебной дисциплины.
Структура программы учебной дисциплины.
1. 1. Автор программы: старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ Шупова
Г.М.
1.2. Рецензенты: доцент, кандидат физ.-мат. наук Мартынов О. М., к.п.н., к.т.н., профессор кафедры
естественно-математического образования МОИПКРО Бродский И. Л.
1.3. Пояснительная записка:
Цель.
Заложить фундаментальные знания, необходимые для применения математических методов.
Все эти методы должны базироваться на прочной основе математических дисциплин.
В профессиональной подготовке математика курс занимает особое положение. Данным курсом
предусматривается изучение дифференциального и интегрального исчислений функции одной
переменной, дифференциального и интегрального исчислений
функций многих переменных.
Знакомство с основными понятиями, положениями и методами интегрального исчислеения, получение
навыков построения математических доказательств путем логически непротиворечивых рассуждений, с
широким использованием идей двойственности и выпуклости, уже рассматривавшихся в рамках курсов
алгебры и геометрии и топологии за первый семестр, навыков решения прикладных задач. Заложить
фундаментальные знания, необходимые для применения математических методов. Все эти методы
должны базироваться на прочной основе математических дисциплин.
Главная цель курса – научить студента основам математической культуры, необходимой для
научного обоснования курса математики, сформировать практические навыки решения задач.
Предлагаемый курс имеет естественные межпредметные связи с курсами уравнений
математической физики, линейной алгебры и аналитической геометрии, информатики, физики.
 Залачи. В профессиональной подготовке математика курс занимает особое положение. Данным
курсом предусматривается изучение основных методов решения различных типов интегральных
уравнений и применение изученного на практике, используя методы математического моделирования.
Известно, что в качестве математических моделей реальных процессов могут быть использованы
дифференциальные уравнения. Роль обыкновенных дифференциальных уравнений в математике
велика. Данный курс знакомит студентов с прикладными аспектами математики, позволяет показать
связь математики с решением физических задач.
 Место курса в общей системе подготовки специалиста. Настоящая программа предназначена
для изучения курса Основы интегрального исчисления студентами, обучающими по специальности
«Информатика» (050202).
Профессиональный уровень экономиста, работающего в области современной информатики, во
многом определяется уровнем освоения современного математического аппарата и умением
использовать его при анализе сложных экономических процессов, построении моделей и, в частности,
непрерывных моделей изучаемых процессов и, основанных на данных моделях, информационных
систем. Следовательно, изучение математики вообще и ее специальных разделов при профильной
подготовке информатиков-экономистов должно занимать значительное место.
 Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате изучения курса студенты
должны знать: основные понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины,
доказательства теорем.
должны уметь: решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал, творчески
подходить к решению профессиональных задач, строить математические модели
физических задач, приводить их к нужному виду, выбирать и реализовывать
наиболее рациональный метод решения поставленной задачи.
 Ссылки на авторов и программы, которые использовались в подготовке. Программа
составлена в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования Минобразования РФ и содержит в себе сведения из следующих
рассматривавшихся на первом курсе разделов. Введение: числовые и абстрактные множества и
отношения, действительные и комплексные числа, алгебраические уравнения; элементы линейной
алгебры и аналитической геометрии. Собственно функционально аналитические сведения,
представленные в данной программе, сгруппированы вокруг базовых понятий различных типов
функциональных пространств (в частности, банаховых), изометрий, линейных функционалов, принципа
неподвижных точек и вариаций. Программа содержит также основы вариационного исчисления и
теории конусов. Программа дополняет и расширяет основной курс «Математика», относясь таким
образом к списку программ тех специальных его разделов, которые изучаются студентами в рамках
других отдельных курсов: «Математическая логика и дискретная математика», «Математические
методы в исследовании экономики», «Численные методы в экономике»... Включенные в программу
темы могут быть рекомендованы для факультативного изучения. Литература к этим темам приведена в
списке дополнительной литературы.
1.4. Извлечение из ГОС ВПО (в виде ксерокопии)
Программа курса составлена на основе Государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования по специальности 050202 -информатика.
ЕН.Ф.01
Математика.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра; последовательности и ряды;
дифференциальное и интегральное исчисления; дифференциальные
уравнения; функции комплексного переменного; элементы
функционального анализа.
1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы
№
Шифр и
Курс Семестр
Виды учебной работы в часах
п/п
наименование
Трудоем Всего
ЛК ПР/ ЛБ
Сам.
специальности
кость
аудит.
СМ
Работа
1.
2.
050202.00
–
информатика с
дополнительной
специальностью
050202.00
–
информатика
382
Вид
итогового
контроля
(форма
отчетности)
2
3
90
50
24
26
–
36
экзамен
2
3
90
54
30
24
–
36
экзамен
1.6. Содержание дисциплины.
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени:
Количество часов
№
п/п
Наименование раздела,
темы.
Вариант 1
для специальности
Всего ЛК
ауд.
1.
2.
Неопределенный интеграл
Определенный интеграл
3.
Последовательности
ряды.
ИТОГО:
Вариант 2
для специальностей
ПР
ЛБ
Сам.
раб.
16
14
8
6
8
8
-
16
10
Всег
о
ауд.
18
18
ЛК
ПР/
СМ
ЛБ
Сам.
раб.
10
10
8
8
-
16
10
и 20
10
10
-
10
18
10
8
-
10
50
24
26
-
36
54
30
24
-
36
1.6.2. Содержание разделов дисциплины.
3 семестр
1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Прямоугольная система координат.
Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости. Полярные координаты.
Уравнение линии на плоскости. Линии первого порядка. Линии второго порядка.
Общее уравнение линии второго порядка. Определители и матрицы, способы решений
систем линейных уравнений.
2. Элементы дифференциального исчисления. Отношения и функции. Элементы
дифференциального исчисления. Исследование функций
3. Последовательности и ряды. Определение числовой последовательности.
Ограниченные, возрастающие, убывающие, монотонные последовательности. Предел
числовой последовательности. Ряды. Основные понятия. Основные свойства рядов.
Абсолютная и условная сходимость.
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.
№
Наименование раздела
Форма самостоятельной
п/
дисциплины.
работы
п
Тема.
Дополнительное
основных
математики.
изучение - вопросы для
разделов самостоятельного
изучения,
- рефераты,
- контрольные работы.
Колво
часов
36
Форма контроля
выполнения
самостоятельной
работы
- выполнение
тестов,
- защита рефератов,
- проверка
контрольных работ.
1.6.2. Содержание разделов дисциплины.
1.
2.
3.
Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования. Интегрирование
рациональных функций, тригонометрических, иррациональных функций, «берущиеся” и
“неберущиеся” интегралы.
Определенный интеграл. Геометрический и физический смысл определенного интеграла.
Вычисления определенного интеграла. Несобственные интегралы. Геометрические и
физические приложения определенного интеграла, приближенные вычисления.
Последовательности и ряды. Определение числовой последовательности.
Ограниченные, возрастающие, убывающие, монотонные последовательности. Предел
числовой последовательности. Ряды. Основные понятия. Основные свойства рядов.
Абсолютная и условная сходимость.
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.
№
п/п
Наименование раздела
дисциплины.
Тема.
Форма самостоятельной
работы
Дополнительное
изучение - вопросы для
основных
разделов самостоятельного
математики по данным темам
изучения,
- рефераты,
- контрольные работы.
Кол-во
часов
36
Форма контроля
выполнения
самостоятельной
работы
- выполнение тестов,
- защита рефератов,
- проверка
контрольных работ.
1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
Практические занятия по теме «Последовательности и ряды».
Понятие последовательности, виды последовательностей. Понятие числового ряда.
Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд.
Теоремы сравнения. Признак Даламбера. Признак Коши. Интегральный признак Коши
сходимости числового ряда. Ряд Дирихле. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Оценка остатка ряда. Абсолютная и условная сходимость рядов.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости, интервал сходимости степенного
ряда. Формулы Адамара-Даламбера-Коши. Теоремы дифференцирования и интегрирования
степенных рядов. Обобщенный степенной ряд. Теорема о единственности разложения в
степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена. Необходимое и достаточное условие сходимости
x
ряда Маклорена. Разложение в степенные ряды функций sin x, cos x, e , shx, chx ,
ln x, ln(1  x ), ln
1 x
, (1  x) m , arctgx. Применения степенных рядов.
1 x
Предел последовательности комплексных чисел. Числовые ряды с комплексными
членами. Степенные ряды с комплексными членами. Формулы Эйлера.
Тригонометрический ряд и его основные свойства. Единственность разложения в ряд Фурье.
Определение и сходимость ряда Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Ряд
Фурье с периодом 2l . Комплексная форма ряда Фурье. Интегральная формула Фурье.
Интеграл Фурье. Комплексная форма интегральной формулы Фурье. Преобразование Фурье и
его обращение. Спектральная функция. Свойства преобразования Фурье. Свертка и
преобразование Фурье. Дельта-функция.
 Темы практических занятий по дисциплине “Неопределенный интеграл».
Неопределенный интеграл. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства
неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования (замена
переменной и интегрирование по частям). Интегрирование дробно-рациональных функций. Метод
Остроградского.
Интегрирование
тригонометрических
выражений
и
функций
вида
R ex  .
Интегрирование иррациональных функций.
 Темы практических занятий по дисциплине “Определенный интеграл».
Определенный интеграл. Определение определенного интеграла. Основные свойства
определенного интеграла. Оценки интегралов. Формула среднего значения. Условия существования
определенного интеграла. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Связь между
неопределенным и определенным интегралами. Формула Ньютона – Лейбница. Замена переменной в
определенном интеграле. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
Несобственные интегралы. Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора.
Длина дуги кривой. Дифференциал дуги и его геометрическое истолкование. Площадь поверхности
вращения. Объем тела вращения. Центр тяжести кривой и криволинейной трапеции. Теоремы Гульдена.
Работа переменной силы.
Практические занятия по теме «Последовательности и ряды».
Понятие последовательности, виды последовательностей. Понятие числового ряда. Свойства
сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд. Теоремы сравнения.
Признак Даламбера. Признак Коши. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда. Ряд
Дирихле. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда. Абсолютная и условная
сходимость рядов.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда.
Формулы Адамара-Даламбера-Коши. Теоремы дифференцирования и интегрирования степенных рядов.
Обобщенный степенной ряд. Теорема о единственности разложения в степенной ряд. Ряды Тейлора и
Маклорена. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Маклорена. Разложение в степенные
ряды
функций
sin x, cos x, e x , shx, chx ,
ln x, ln(1  x), ln
1 x
,
1 x
(1  x) m ,
arctgx. Применения степенных рядов.
Предел последовательности комплексных чисел. Числовые ряды с комплексными членами.
Степенные ряды с комплексными членами. Формулы Эйлера.
Тригонометрический ряд и его основные свойства. Единственность разложения в ряд Фурье.
Определение и сходимость ряда Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Ряд Фурье с
периодом 2l . Комплексная форма ряда Фурье. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье.
Комплексная форма интегральной формулы Фурье. Преобразование Фурье и его обращение.
Спектральная функция. Свойства преобразования Фурье. Свертка и преобразование Фурье. Дельтафункция.
Литература:
Основная:
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие
издания].
2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. - М.: Наука, 1969 [и
последующие издания].
Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов./Под ред. Б.П. Демидовича. - М., Наука,
1970 (и послед. издания).
3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и
последующие издания].
5. Сборник задач по математике для ВТУЗов: линейная алгебра и основы математического анализа (Под
ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. – М.: Наука, 1981, 1986)
6. П. Е. Данко и др. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч.1,2. М.: Высшая школа, 1997.
7. Д. Письменный. Конспект лекций по высшей математике, 1,2 ч. М.: Айрис пресс, 2004.
8. В. С. Шипачев. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1998.
Дополнительная:
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.: в 2-
х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.
1.8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1. Рекомендуемая литература:
 Основная литература.
1. Баврин И.И. Курс высшей математики, М., 1992
2. Шипачев В.С. Основы высшей математики, М., 1989
3. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1990
4. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу.
М., 1973
5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1964
6. Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянский М.Л., Цветков А.Т.
Задачник по курсу математического анализа, часть 1 и часть 2, М., 1971
7. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. М., 1988
8. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. М.,
Просвещение, 1977.
9. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М., 1999.
10. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Вышейшая школа, Минск, 1967.
11. Боярчук А.К., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике. Дифференциальные
уравнения в примерах и задачах. М., 2001.
12. Боярчук А.К. Функции комплексного переменного: теория и практика (справочное пособие по
математике). М., 2001
13. Очан Ю. С. Сборник задач по математическому анализу. М., Просвещение, 1981.
14. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу, М.,
Дрофа, 2003.
15. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Наука, 1979.
16. Алексеев В.М., Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М., Наука, 1984.
17. Цлаф Л.Я Вариационное исчисление и интегральные уравнения, Лань, 2005.
18. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. М., Высшая школа,
2005.
19. Вуколов Э.А., Ефимов А.В. и др. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ. Методы
оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990.
 Дополнительная литература
1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М, Наука, 1990.
2. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике.
Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл. М., 2001.
3. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому
анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. М., Наука, 1984.
4. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому
анализу. Интегралы. Ряды. М., Наука, 1986.
5. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому
анализу (функции нескольких переменных). М., 1994.
6. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу.
М., 1973
7. Рыб К.А., Бодрякова Н.О. Физические задачи на экстремум функции, МШ № 3, 1993, с. 15 – 20.
8. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Начала
анализа., М., Наука, 1990.
9. Ветрова В.Т. Сборник физических задач по общему курсу высшей математики. Минск,
Вышейшая школа, 1997.
10. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. ЛГУ,
1955.
11. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М., Наука, 1978.
12. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1965.
13. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1952.
14. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1950.
15. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М., 1951.
16. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функции комплексного
переменного. М., Наука, 1976.
17. Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. М., 1958.
18. Соломенцев Е.Д. Функции комплексного переменного и их применения. М., 1988.
19. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного.
Операционное исчисление. Теория устойчивости. М., Наука, 1965.
20. Евграфов М.А., Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И., Бежанов К.А. Сборник задач по
теории аналитических функций. М., 1969
21. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций
комплексного переменного. М., 1975
22. Болгов В.А., Ефимов А.В., Каракулин А.Ф., Коган С.М., Лунц Г.Л., Поспелов А.С., Фролов С.В.,
Шостак Р.Я., Янпольский А.Р. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные
разделы математического анализа. М., Наука, 1986.
23. Буслаев В.С. Вариационное исчисление. СПб, ЛГУ, 1980.
24. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1965.
25. Овчинников П.Ф., Лисицын Б.М., Михайленко В.М. Высшая математика, Киев, Выща
школа,1989
26. Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. Изд-во МГУ, 1989.
1. 9. Материально-техническое обеспечение дисциплины.
Не предусмотрено учебным планом.
1.10. Примерные зачетные тестовые задания.
Не предусмотрено учебным планом.
1.11. Примерный перечень вопросов к экзамену
МАТЕМАТИКА: Интегральное исчисление
1. Функция, область ее определения.
2. Исследование функции по графику.
3. Класс элементарных функций.
4. Четность и нечетность функций. Периодичность функции. Монотонность функции.
5. Обратная функции. Примеры.
6. Преобразования графика функции.
Производная функции одной переменной:
7. Производная. Определение и геометрический смысл.
8. Производные тригонометрических функций.
9. Производные показательной и логарифмической функций.
10.Производная сложной функции.
11.Производная обратных тригонометрических функций.
Неопределенный интеграл:
12. Дифференциал.
13. Свойства неопределенного интеграла.
14. Простейшие табличные интегралы и их доказательство.
15. Методы интегрирования подстановкой и по частям.
Определенный интеграл:
16. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
17. Основные свойства определенного интеграла.
18. Теорема Ньютона-Лейбница.
19. Интегрирование по частям и замена переменных в определенном интеграле.
20. Вычисление площади плоской фигуры и объема тела.
10. Примерная тематика рефератов:
1. Схемы применения определенного интеграла.
2. Формула трапеций.
3. Формула парабол(Симпсона).
4. Интегрирование дифференциального бинома.
1.12. Комплект экзаменационных билетов
Билет № 1
1. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, механический и
геометрический смысл производной.
2. Физические приложения определенного интеграла (Центр тяжести криволинейной трапеции. 2-ая
теорема Гульдена. Работа переменной силы.) Примеры.
x
2
3. Найти дифференциал: y  x 4  x 2  4 arcsin .
0
4. Вычислить определенный интеграл:
 (x
2
 5x  6) cos 2 xdx.
2
Билет № 2
1. Понятие дифференцируемости функции. Связь между понятиями дифференцируемости
и
непрерывности.
2. Физические приложения определенного интеграла (Центр тяжести кривой. 1-ая теорема Гульдена.)
Примеры.

3t 2  1
x 
3t 3
3. Найти производную y x' : 
 y  sin( t 3  t )
3

4. Найти неопределенный интеграл:

x3  1
dx.
x2  x
Билет № 3
1. Вывод общих правил дифференцирования (производная суммы, произведения, вынесение
постоянного множителя за знак производной).
2. Геометрические приложения определенного интеграла (Объем тела). Примеры.
3. Найти дифференциал: y  ln tg
x
x

.
2 sin x
0
4. Вычислить определенный интеграл:
 (x
2
 4) cos 3xdx.
2
Билет № 4
1. Вывод общих правил дифференцирования (производная частного двух функций, производная
сложной функции, обратной функции).
2. Геометрические приложения определенного интеграла (Площадь поверхности вращения). Примеры.
 x  1  t 2
3. Найти производную y : 
 y  tg 1  t
3x 3  1
4. Найти неопределенный интеграл:  2
dx.
x 1
'
x
Билет № 5
1. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Механический и
геометрический смысл производной.
2. Геометрические приложения определенного интеграла (Длина дуги кривой). Примеры.
3. Найти дифференциал: y  arctg
x2  1
.
x
0
4. Вычислить определенный интеграл:
 (x
2
 4 x  3) cos xdx.
1
Билет № 6
1. Производные элементарных функций (показательной функции, обратных тригонометрических
функций ). Таблица производных.
2. Геометрические приложения определенного интеграла (Площадь криволинейной трапеции. Площадь
криволинейного сектора.). Примеры.
 x  2t  t 2

1
3. Найти производную y x' : 
y  3
(t  1) 2

x 3  17
dx.
4. Найти неопределенный интеграл:  2
x  4x  3
Билет № 7
1. Производные элементарных функций (производные тригонометрических функций, логарифма,
степенной функции).
2. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Признак сходимости несобственных интегралов.
3. Найти дифференциал: y  3
x2
.
x2
0
 ( x  2)
4. Вычислить определенный интеграл:
2
cos 3xdx.
2
Билет № 8
1. Понятие дифференцируемости функции. Связь между понятиями дифференцируемости и
непрерывности.
2. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
 x  arcsin(sin t )
 y  arccos(cos t )
3. Найти производную y x' : 
4. Найти неопределенный интеграл:
2x 3  5
dx.
x2  x  2

Билет № 9
1. Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал сложной функции.
Инвариантность формы дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
Таблица формул для дифференциалов.
2. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле.
x
 1).
2
3. Найти дифференциал: y  arctg (tg
0
4. Вычислить определенный интеграл:
 (x
2
 7 x  12) cos xdx.
4
Билет № 10
1. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Физический смысл второй
производной.
2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Основная теорема дифференциального и
интегрального исчислений. Связь между определенным и неопределенным интегралами.
 x  ln(t  t 2  1)
3. Найти производную y : 
 y  t t 2  1
2x 3  1
4. Найти неопределенный интеграл:  2
dx.
x  x6
'
x
Билет № 11
1. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование. Дифференцирование функций,
заданных неявно.
2. Достаточное условие интегрируемости функции .
1
3. Найти производную: y  (arctgx ) ( 2 ) ln arctgx .
4. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными
линиями:
  3 cos 2 .
Билет № 12
1. Теорема Ферма. Теорема Ролля.
2. Необходимое условие интегрируемости функции.
1 2
x2
2
2
3. Найти производную: y 
( x  8) x  4 
arcsin , x  0.
24
16
x
4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

x
2

dx
.
 2x  5
Билет № 13
1. Теорема Лагранжа. Теорема Коши . Правило Лопиталя. Примеры.
2. Оценки определенных интегралов. Формула среднего значения.
3. Найти производную: y  (sin x ) ln sin x .
4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
1

0
3
dx
.
2  4x
Билет № 14
1. Возрастание и убывание функций. Максимумы и минимумы функций. Необходимое и достаточное
условия существования экстремума. Исследование функций на экстремум с помощью второй
производной. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
2. Определение определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла.
3. Найти производную: y 
4x  1
1
4x  1

arctg
2
16 x  8 x  3
2
2
4. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии:
x  2 cos3 t , y  2 sin 3 t .
Билет № 15
1. Исследование на выпуклость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты. Построение графиков
функций. Примеры.
2. Интегрирование иррациональных функций. Примеры.
8 ln ( x sin x )
3. Найти производную: y  ( x sin x )
;
4. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объем тела, полученного вращением фигуры
Ф вокруг указанной оси координат:
Ф: y 2  4  x; x  0; Oy.
Билет № 16
1. Формула Тейлора. Применение формулы Тейлора к элементарным функциям. Приближенные
формулы.
2. Интегрирование тригонометрических выражений и функций вида


  . Примеры.
R ex
3. Найти производную: y  2 x  ln 1  1  e 4 x  e  2 x arcsin( e 2 x ).
4. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь поверхности, образованной
вращением дуги кривой L вокруг указанной оси:
L: y 
x3
1
1
(   x  ), Ox.
3
2
2
Билет № 17
1. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Механический и
геометрический смысл производной.
2. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
3. Найти производную: y  ( x 3  4) tgx .
4. Найти координаты центра масс однородной плоской кривой L:
L: полуокружность x 2  y 2  R 2 , расположенная над осью Ox.
Билет № 18
1. Вывод общих правил дифференцирования ( производная суммы, произведения, вынесение
постоянного множителя за знак производной).
2. Таблица основных интегралов (с доказательствами).
3. Найти производную: y 
2
1  2x  x 2
2 x  x 2  ln
.
x 1
x 1
4. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, ограниченной данными линиями:
Ф: треугольник, стороны которого лежат на прямых x  y  a , x  0, y  0.
Билет № 19
1. Производные элементарных функций (показательной функции, обратных тригонометрических
функций ). Таблица производных.
2. Основные методы интегрирования (замена переменной интегрирования, интегрирование по частям).
Примеры.
3. Найти производную: y  ( x 4  5) ctgx .
4. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии:
x  2(cos t  t sin t ), y  2(sin t  t cos t ), (0  t   ).
Билет № 20
1. Понятие дифференцируемости функции. Связь между понятиями дифференцируемости и
непрерывности.
2. Интегрирование дробно-рациональных функций (выделение правильной рациональной дроби,
разложение правильной рациональной дроби на простейшие, метод неопределенных коэффициентов,
интегрирование правильных рациональных дробей). Примеры.
x4
3 1
3. Найти производную: y 
arcsin  ( x 2  18) x 2  9 , x  0.
81
x 81
4. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объем тела, полученного вращением фигуры
Ф вокруг указанной оси координат:
Ф:
x  y  2 ; x  0; y  0, Ox.
Билет № 21
1. Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал сложной функции.
Инвариантность формы дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
Таблица формул для дифференциалов.
2. Интегрирование дробно-рациональных функций (интегрирование простейших рациональных
дробей).
3. Найти производную: y  ( x 2  1) cos x .
4. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь поверхности, образованной
вращением дуги кривой L вокруг указанной оси: L:   2 cos , полярная ось.
1.13. Примерная тематика рефератов
Не предусмотрено учебным планом.
1.14. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрено учебным планом.
1.15. Примерная тематика дипломных работ
Не предусмотрено учебным планом.
1.16. Методика исследования
Нет
1.17. Бально-рейтинговая система, используемая преподавателем для оценивания знаний
студентов по данной дисциплине
Экзаменационная оценка (отлично, хорошо, удовлетворительно, неудовлетворительно)
Раздел 3. Содержательный компонент теоретического материала
Неопределенный интеграл. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства
неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования (замена
переменной и интегрирование по частям). Интегрирование дробно-рациональных функций. Метод
Остроградского.
Интегрирование
тригонометрических
выражений
и
функций
вида
R ex  .
Интегрирование иррациональных функций.
Определенный интеграл. Определение определенного интеграла. Основные свойства
определенного интеграла. Оценки интегралов. Формула среднего значения. Условия существования
определенного интеграла. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Связь между
неопределенным и определенным интегралами. Формула Ньютона – Лейбница. Замена переменной в
определенном интеграле. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
Несобственные интегралы. Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора.
Длина дуги кривой. Дифференциал дуги и его геометрическое истолкование. Площадь поверхности
вращения. Объем тела вращения. Центр тяжести кривой и криволинейной трапеции. Теоремы Гульдена.
Работа переменной силы.
Раздел 4. Словарь терминов (глоссарий)
(страницы указаны в кн. Л.Д.Кудрявцева
"Курс математического анализа" . Все тома есть в электронной библиотеке факультета )
Часть 1
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа , т. 1
688 стр. М.: "Высшая школа", 1981
Абеля неравенство 582
- преобразование 582
- признак 585
- теорема о сходимости степенного ряда 621, 624
Архимеда свойство действительных чисел 43
Архимеда спираль 511
Асимптота 236, 243
Асимптотическое равенство 146, 397
- разложение 661—664
Асимптотический ряд 657
Астроида 286, 501, 511
Безу теорема 400
Базис стандартный пространства 317
Бернулли неравенство 74
Биективное отображение (биекция) 10
Больцано—Вейерштрасса теорема 63, 297
Бонне теорема 481
Валлиса формула 478
Вейерштрасса признак равномерной сходимости 603, 609
- теорема 121, 332
Вектор-функция 248, 320, 481, 653
Верхняя (нижняя) грань множества 38, 40, 42, 60, 90
Взаимно однозначное отображение или соответствие (инъекция) 9, 78, 83
Винтовая линия 272
Гамильтона символ (набла) 365
Гёльдера неравенство 465, 565
Гейне—Бореля лемма 314
Градиент функции 362, 364
Граница множества 306
График функции 8, 92, 239, 242, 321
Гульдина теорема 510
Даламбера признак 559, 578
Дарбу интегралы (верхний и нижний) 446
- суммы 443, 444, 445
Двоичная запись чисел 81
Дедекинда принцип 19
- признак 591
Декарта лист 247
Десятичная дробь 77, 78
Десятичное приближение 77
Диаметр множества 340
Дини теорема 615
Дирихле признак 534, 583, 609
- функция 92, 326, 443
Дифференциал функции 159, 161, 165, 177, 190, 251, 343, 345, 346, 350, 355, 362
Дифференциальный бином 426
Длина вектора 317
- кривой 268
Допустимое преобразование параметра 258
Дробь рациональная 95, 406, 410
Дуга кривой 263
Дю Буа Реймона признак 591
e (число) 62, 141, 159, 589
Евклида алгоритм 405
Евклидово пространство 317
Жордана теорема 309
Замена переменной 108, 121, 384, 474
Замыкание множества 302
Изоморфизм 30, 82, 677
Интеграл абсолютно сходящийся 530
- неопределенный 379
- несобственный 512
- определенный 440
Интегралы табличные 383
- эллиптические 437, 501
Интегральный признак к сходимости рядов 561
Интегрирование подстановкой 385
- по частям 387, 477
Интервал 34
- выпуклости вверх (вниз) 231
- сходимости ряда 634
Инъекция 9
Кантора теорема о несчетности действительных чисел 85
- - о равномерной непрерывности 336, 340
Кардиоида 287, 497
Касательная 164, 265, 361
Колебание функции на множестве 340, 341
Компакт 309, 315
Компактности свойство 63
Композиция функций 11, 94
Контур 256
Координаты полярные 286
Корень из числа 23, 130, 392
- многочлена 399, 400
Коши—Адамара формула 629
- критерий 66, 113, 530, 551, 600, 606
- признак 560, 578
- теорема о среднем 199
- форма остаточного члена формулы Тейлора 213, 638
- Шварца неравенство 289, 319
Кратность корня 400
Кривая 255, 260, 263, 307
- гладкая 266
- кусочно-гладкая 266
- ориентированная 262
- параметрически заданная 259, 262
- плоская 256, 273
- спрямляемая 268
Кривизна кривой 278
Кривизны радиус 279
- центр 283
Круг сходимости степенного ряда 622
Лагранжа теорема 196
- форма остаточного члена в формуле Тейлора 213, 638
- формула 197, 200
Лейбница признак 567
- формула 186
Лемниската 511
Линейность интеграла 454
Логарифмическая спираль 502
Ломаная 267
Лопиталя правило 201, 202, 204
Мажоранта 526
Маклорена формула 212, 216
Максимальный элемент числового множества 36
Минимальный элемент числового множества 37
Минковского неравенство 465, 565
Многочлен(полином) 95, 131, 214
Множество замкнутое 302
- линейно связное 308
- неограниченное 35—37
- несчетное 84
- ограниченное 35—37
- открытое 299
- пустое 6
- счетное 83
Множества равномощные 82
Модуль действительного числа 29
- комплексного числа 390
- непрерывности 337
Морфизм 8
Набла (символ Гамильтона) 365
Наибольшее значение функции 91
Наименьшее значение функции 91
Неопределенности 201, 204, 219, 220
Непрерывность действительных чисел 18, 30, 31, 44
Неравенство треугольника 317
Нормаль главная 281
- к кривой 281
Носитель кривой 261
- точки кривой 261
Ньютона—Лейбница формула 471, 472, 517
Область 308, 309
- выпуклая 309
- замкнутая 309
- определения функции 8, 91
Образ 10
Общий делитель 403
- - наибольший 403
Окрестность точки 34, 96, 291, 293, 301
- - проколотая 96, 323
Окружность соприкасающаяся 287
Остаток ряда 547, 593
Остроградского метод 419
Отображение 8
- взаимно однозначное (инъекция) 9
- отрезка 255
Отрезок 5, 34
Пара 8
- упорядоченная 8
Пеано аксиомы 12
- форма остаточного члена формулы Тейлора 212
Первообразная 378, 474, 482
Период 645
Площадь (мера) открытого множества 485
- поверхности вращения 505
Подпоследовательность 58, 295
Покрытие множества 311
Поле 27
Поле действительных чисел 29, 31
- комплексных чисел 395
- упорядоченное 29
Полнота действительных чисел 31
Полуинтервал 34
Полукубическая парабола 234, 285
Последовательность 12, 48, 295, 327, 396, 591, 665
- бесконечно большая 53, 553
- - малая 67—68, 397
- кратная 665
- монотонная 61
- ограниченная 59, 297, 592
- стремящаяся к бесконечности 298, 666
- сходящаяся 49, 54, 295, 592, 595
- фундаментальная 65
Последовательности одного порядка 397
- эквивалентные 397
Предел вектор-функции 249
- последовательности 49, 50, 51, 53, 54, 87, 88, 295, 303
- функции 97—106, 249, 322, 323, 441
Представление кривой 257, 258, 260, 263
Признак сравнения 524, 555
- сходимости ряда, интегральный 561, 562
Принцип вложенных отрезков 43
Произведение множеств 8
- последовательностей 68
- ряда на число 548
Производная 157, 184, 186
- бесконечная 157
- вектор-функции 251
- логарифмическая 181
- обратной функции 173, 188
- параметрически заданной функции 189
- по направлению 363
- сложной функции 175, 188, 367
- функции, заданной неявно 180
- частная 341
- - смешанная 370
Промежуток 34
Прообраз 9, 10
Пространство n-мерное 289, 317
Равномерная непрерывность 334
Радиус сходимости степенного ряда 622, 632, 634
Разбиение отрезка 267, 438
Расстояние 288, 289, 306
Расширенное множество действительных чисел 33
Римана интегральная сумма 439, 445
- теорема о перестановке членов ряда 580
Ролля теорема 194
Ряд 545
- гармонический 551, 587
- знакопеременный 567
- кратный 668, 672
- Лейбница 650
- степенной 621, 624
- суммируемый 590
- сходящийся 592, 666, 672
- - абсолютно 569, 592, 669
- - равномерно 602
- Тейлора 636, 637, 640, 655
- функциональный 591
Сечение 17
Символ всеобщности 13
- существования 13
Скалярное произведение векторов 317
Скорость вращения вектор-функции 276
Соответствие (отображение) 7, 8
Степень многочлена 399
- числа 23, 133
Стирлинга формула 651
Сужение функции 10
Сумма кривых 263
- (объединение) множеств 6
- последовательностей 67
Сумма ряда 546, 666
- - частичная 547, 592, 666
- - - прямоугольная 667
- - - сферическая 667
- - - треугольная 667
- рядов 549
Суперпозиция функций 11, 94
Сюръекция 9
Тейлора многочлен 212, 214
- ряд 636, 637, 640, 655
- формула 212, 216, 218, 637, 638, 646
Точка 20
- возрастания (убывания) функции 225
- кривой 256, 261
- - кратная 256, 261
- - неособая 266
- - особая 266
- максимума(минимума) функции 222, 227
- множества внутренняя 299
- - граничная 306
- - изолированная 302
- - предельная 302
- перегиба 234
- прикосновения множества 303
- разрыва функции 118, 119
- устранимого разрыва 118
- экстремума 222
- n-мерного пространства 288
Ферма теорема 192
Френе формула 281
Френеля интегралы 543
Функции гиперболические 182, 183
- одного порядка 145
- тригонометрические 139
Функция 7, 8, 11, 89
- аналитическая 630, 635
- бесконечно большая 110
- - малая 110, 149
- векторная 248
- возрастающая (убывающая) 111, 125, 221
- выпуклая вверх (вниз) 230, 231, 232
- дифференцируемая 159, 163, 185, 344, 348, 372, 477
- заданная параметрически 189
- интегрируемая 439, 512
- кусочно-непрерывная 463
- кусочно-непрерывно дифференцируемая 477
- логарифмическая 137
- многозначная (однозначная) 11
- непрерывная в точке 115, 119, 131, 162, 327, 330, 398, 468, 469
- - на множестве 121, 328, 332, 469
- непрерывно дифференцируемая 185, 348, 372
- неявная 94
- обратная 126, 130
- ограниченная 90, 145
- периодическая 14, 645
- показательная 134—136, 159
- равномерно непрерывная 334, 335, 336
- - стремящаяся к нулю 349
- рациональная 95, 131, 421
- сложная 94, 120, 330, 351, 353, 354
- степенная 138
- строго монотонная 125
- трансцендентная 96
- четная 14
- элементарная 332
Цепная линия 499
Циклоида 189
Числа действительные (вещественные) 15, 16, 20, 31, 78, 79, 80, 85
- иррациональные 15, 23, 86
- комплексные 15, 389, 394
- натуральные 12, 15, 43
- отрицательные 15
- рациональные 15, 23, 83
- целые 23
Число существенно комплексное 390
Шлемильха—Роша форма остаточного члена 213
Эволюта кривой 283
Эйлера подстановки 424
- постоянная 587
- формулы 644
Эквивалентность отображений отрезка 259
- функций 146, 152
Экстремум 222—229
Эллипс 501
Часть 2
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа , т. 2
584 стр. М.: "Высшая школа", 1981
База топологии 567, 568
Базис пространства 423, 446
Бета-функция 322
Вихрь (ротор) 275, 278, 290
Вложение пространства 478
Вложения теоремы 435
Гельдера условие 365—366
Гомеоморфизм 52, 71, 257
Градиент вектора 274
- функции 245, 273
Дельта-функция (\delta-функция) 512, 523, 524
Дивергенция 275, 278, 285
Диффеоморфизм 68
Дифференциал отображения 62
Зависимость системы функций 85
Изоморфное отображение 425, 439, 454, 491
Интеграл Дарбу 149
- Дирихле 353, 393
- зависящий от параметра 158, 298, 303
- криволинейный 189, 192
- Лапласа 402
- несобственный 219, 303, 327
- поверхностный 264, 265, 266, 270, 272
- повторный 158
- Пуассона 222
- Римана 131
- Фурье 391
- Эйлера первого рода (гамма-функция) 322
- - второго рода (бета-функция) 322
Контур граничный 201
- ограничивающий поверхность 287
Координаты 447
- криволинейные 184
- сферические 187, 223
- цилиндрические 187
Коэффициенты Фурье 346, 389, 483, 484
Край поверхности 233
Кривая Пеано 129
Липшица условие 366
Лист Мёбиуса 259, 260
Матрица линейного оператора 56
- Якоби 35, 65, 86
Мера Жордана 114
Метод касательных (метод Ньютона) 547, 548, 550, 553
- хорд 548
Метрика (расстояние) 411, 440
Многочлен интерполяционный 553, 555
- Тейлора 9
- тригонометрический 373
Множество измеримое по Жордану 114
- квадрируемое 115
- кубируемое 115
- ограниченное 313, 437
- плотное в пространстве 415, 444, 468
Множители Лагранжа 96
Мультиндекс 11
Неравенство Бесселя 379, 485
- Коши-Буняковского 450
- - Шварца 448
- Минковского обобщенное 167
Норма 59, 426, 430, 431, 433
Носитель поверхности 237
- функции 349
Область односвязная 211, 294
Оператор 55, 519
- Лапласа 82, 218
- линейный 433, 436
- непрерывный 519, 520
- ограниченный 432, 433, 447
Ориентация границы 198, 202
- контура 198
- края поверхности 262
- поверхности 254, 261
Ортогональность 343, 471
Отображение 45
- дифференцируемое 61, 68
- линейное 55
- локально гомеоморфное 71
- непрерывное 45, 46, 52, 519—520
- обратное 52
- равномерно непрерывное 49
- регулярное 238
Отождествление 415, 416, 439, 454, 579
Плоскость касательная 242
Площадь (мера) поверхности 251
Поверхность 233, 236
- гладкая 246
- дифференцируемая 234, 239
- заданная неявно 240
- кусочно-гладкая 258, 263
- неориентируемая (односторонняя) 261
- ориентированная 255, 262
- ориентируемая (двусторонняя) 259, 261, 263
Подпространство 412, 422
- натянутое на векторы 103
Поле векторное 273
- - потенциальное 276, 294, 297
- - соленоидальное 291, 297
- скалярное 273
Полиномы Лежандра 473, 480, 490
Полунорма 426, 449
Пополнение пространства 419, 456, 467
Последовательность асимптотическая 335
- дельта-образная 516, 525
- сходящаяся 413, 436, 437, 516, 521, 530
- фундаментальная 411, 440
Последовательности эквивалентные 416
Потенциал 273, 342
Поток векторного поля через поверхность 277, 278, 297
Предел отображения по фильтру 574
- последовательности точек 413, 516
- фильтра 573, 575
Преобразование Фурье 398, 399, 401, 406, 410, 509, 533—542
Приближение наилучшее 484
Продолжение функции 13, 347
- функционала 519
Произведение полускалярное 447, 498
- скалярное 447
Производная отображения 62
Пространство банахово 481
- гильбертово 455, 496
- линейное 421
- метрическое 411
- нормированное 426
- обобщенных функции 524, 531
- полунормированное 426
- сопряженное 519
- со сходимостью 517
- топологическое 567
Равенство Парсеваля 380, 487, 488, 497, 498
Ряд асимптотический 335
Ряд Стирлинга 340
- Тейлора 19, 544
- тригонометрический 343, 346
- Фурье 346, 359, 360, 362, 365, 377, 381, 385—388, 484
Свертка функций 406, 407
Система замкнутая 490
- ортогональная 471
- полная 376, 444, 445, 478
Сумма Дарбу 141
- интегральная Римана 131, 195
- Фейера 368
- Фурье 352, 355
Точка особая 72, 345
- поверхности 233, 237
- - внутренняя 237
- - краевая 237
- - самопересечения 80, 233, 237
Узлы 553, 559
Фильтр 569, 570
Финитная функция 349, 350, 502
Формула Грина 199, 202, 203, 218
- квадратурная 556, 558
- обращения 398
- Остроградского—Гаусса 283, 284, 285
- прямоугольников 556
- Симпсона 558
- Сохоцкого 526
- Стирлинга 334
- Стокса 287, 289
- Тейлора 4, 5, 8, 11, 543, 545, 546
- трапеций 556, 557
Функции координатные 45, 54
Функционал 57, 515, 517
Функция абсолютно интегрируемая 328
- гармоническая 92
- интегрируемая 132, 219
- Лагранжа 96
- локально интегрируемая 522
- обобщенная 522, 525, 526, 527, 528, 529
- характеристическая 349
- Хевисайда 514, 528
Циркуляция 276, 278, 287
Числа Бернулли 340
Член остаточный интерполяции 555
- - формулы Тейлора 4, 7
Эквивалентности отношение 414, 459, 565
Экстремум 20, 93
Ядро Дирихле 353
- отображения 424
- Фейера 368
Якобиан (определитель Якоби) 35, 67
Часть 3
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа, т. 3
352 стр. М.: "Высшая школа", 1989
Абсолютно интегрируемая функция 8
- сходящийся интеграл 8
Аксиомы расстояния 96
- Фреше 275
Алгебраическая сумма подмножеств линейных пространств 144
Арцела Ч. 134
База топологии пространства 331, 332
- фильтра 335
Базис пространства 140, 167
Банах С. 111, 163
Банахово пространство 163
Бесконечномерное линейное пространство 147
Бессель Ф. 51
Билинейное отображение 147, 148
Буняковский В.Я. 192
Вандермонд А.Т. 316
Вектор 139
Вес 322
Вложение пространств 227
Вольтерра В. 113
Вполне ограниченное множество метрического пространства 121
Гато Р. 183
Гёльдер О. Л. 36, 38
Гильберт Д. 98, 201
Гильбертов кирпич 123
Гильбертово пространство 97, 98, 201
Главное значение интеграла 79, 80
Гомеоморфизм 132
Грам И. 221
периодическая, абсолютно, интегрируемая, функция, 2\pi, 19
Действительное линейное пространство 137, 138
Дельта-последовательность 41, 284, 285
Дельта-функция 269, 282, 283
Диаметр подмножества 105
Дичи У. 24
Дирихле Л. 17
Дирак П. 269, 274
Дифференциал Гато 184
- отображения 180
- Фреше 180
Дифференцируемое в точке отображение 180
- - - по заданному направлению отображение 183
Единичная функция 287
Естественное вложение 215
- отображение 209
\varepsilon-окрестность 100
\varepsilon-сеть 121
Замкнутая ортогональная система 239
Изометричное соответствие 99
Изометричные пространства 99
Изоморфизм 146, 159, 179
Изоморфное отображение 146, 159, 179
Изоморфные линейные пространства 146, 159, 179, 200
Интеграл Дирихле 17
- Фурье 69
- - в комплексной форме 81
Интегральное уравнение Вольтерра 113, 114
Интегралы Лапласа 86
Интервал в линейном нормированном пространстве 183
Интерполяционный многочлен 316
- - Лагранжа 317
Квадратурная формула 318, 322
- - точная для многочленов данной степени 322
Класс эквивалентности 205, 206
Компакт в метрическом пространстве 120, 121
Комплексное линейное пространство 138
Конечное покрытие 127
Конечномерное линейное пространство 140
Константа вложения 227
Континуум 133
Коши О. 101, 105, 109, 192, 243, 341
Коэффициенты разложения элемента по данному базису 168
- Фурье 9, 231, 233
Критерий линейной независимости элементов 221
Кронекер Л. 140
Кусочно-непрерывная производная 55
Лагранж Ж.-Л. 317
Лежандр А.М. 143
Лаплас П. 86
Лебег А. 23, 154
Лейбниц Г. 31
Лемма Л.Шварца 185, 186
Линейная комбинация элементов пространства 139
- оболочка множества 140
Линейно зависимая система векторов 139
- независимая система векторов 139
Линейное отображение 145
- пространство 192
- - с почти скалярным произведением 192
- - со скалярным произведением 192
- - - сходимостью 275
Линейность дифференциала 182
- квадратурной формулы 322
- преобразования Фурье 83
Линейный оператор 145
- функционал 255, 276
Липшиц Р. 37
Локальная база топологии пространства 332
Локально интегрируемая функция 281
Метод "вилки" 309
- касательных (метод Ньютона) 312, 315
- хорд 310, 312
Метрика 96
- порожденная заданной нормой пространства 161
Метрическое пространство 96
Минимальное свойство коэффициентов Фурье 232
Многочлены Лежандра 143
- Чебышева 143, 144
Мультилинейное отображение 148
Наилучшее приближение элемента с помощью линейных комбинаций 233
Направление 334
Натуральный фильтр 333
Неподвижная точка отображения 111
Непрерывное отображение в точке 107, 108, 111
- - пространства в пространство 108, 158, 159, 278, 279
Непрерывный функционал 276
Неравенство Бесселя 51, 234
- Коши-Буняковского 192, 194
- Коши-Шварца 243
- треугольника 149, 192
n-мерное пространство 140
n-мерный вектор 140
Норма 149
- билинейного отображения 176
- порожденная скалярным произведением 193
Нормированное линейное пространство 149
Носитель функции 12
Нулевой функционал 277
- элемент 138
Ньютон И. 312
Обобщенная функция 281
- - медленного роста 291
Образ фильтра 337
Обратное преобразование Фурье 82
Обращение в нуль обобщенной функции на интервале 285
Ограниченное билинейное отображение 176
- множество 105, 158
- по полунорме (по норме) множество 158
Ограниченный оператор 171
Окрестность точки топологического пространства 331
Определитель Вандермонда 316
- Грама 221
Ортогонализация 225
Ортогональная проекция элемента в подпространство 251
- система элементов 6, 220
Ортогональное дополнение множества 250
Ортогональные элементы 220
Ортонормированная система элементов 220
Остаточный член интерполяции 317
Открытое подмножество топологического пространства 331
Отношение эквивалентности 205, 329
Отрезок в линейном нормированном пространстве 183
Парсеваль М. 52, 236
Периодическое продолжение функции 10
Пикир Ш.Э. 111
Планшерелъ М. 265
Плотное множество в пространстве 116, 165
Подпространство 98, 139, 249
Подфильтр 334
Покрытие множества 127
Полная система функций в смысле равномерного приближения 47
- - - - - среднего квадратичного приближения 48
- - элементов пространства 165, 166, 226, 227, 237
Полное линейное нормированное пространство 163
- метрическое пространство 102
Полный фильтр 335
Положительная определенность скалярного произведения 191
- полуопределенность почти скалярного произведения 191
Полунорма 148, 149
- порожденная почти скалярным произведением 193
Полунормированное линейное пространство 148, 149
Пополнение пространства 116, 120, 164, 202, 285
Последовательность Коши 101, 105, 106
Постоянная обобщенная функция 282
Почти скалярное произведение 191, 192
Правильное разбиение 8
Предгильбертово пространство 201
Предел отображения 107
- - по направлению 339
- - - фильтру 338, 340
- последовательности точек метрического пространства 100
- фильтра 337
Предкомпактное множество 134
Преобразование Фурье 81, 82, 266
- - обобщенной функции 297
Признак Дини 24, 26
Принцип неподвижной точки Пикара-Банаха 111, 113
- локализации 21
- сжимающих отображений 111, 113
Продолжение функционала 278
Произведение линейных пространств 147, 174
- фильтров 336
- элемента линейного пространства на число 138
Производная Гато 183
- n-го порядка 187, 188
- обобщенной функции 286
- по направлению 183
- Фреше 182
Простая гармоника 27
Пространство обобщенных функций 283
- - - медленного роста 291
- основных функций D 280
- - - S 289, 290
- со сходимостью см, также, указатель, основных, обозначений, 275
Противоположные элементы 138
Прямая сумма подпространств 145
Равенство обобщенных функций 285
- Парсеваля 52
- Парсеваля-Стеклова 236
Равномерно непрерывное отображение 108
- ограниченное семейство функций 134
- сходящаяся последовательность отображений 109
Равностепенно непрерывное семейство функций 134
Разложение логарифма в степенной ряд в комплексной области 65, 66
- элемента пространства по базису 167
Разность элементов линейного пространства 138
Расстояние 96
- порожденное заданным скалярным произведением 193
Регулярная точка 23
Риман Б. 11, 154
Ряд в линейном нормированном пространстве 166
- Лейбница 31
- обобщенных функций 289
- Фурье 9, 62, 233
- - в комплексной форме 64
- - для нечетной функции 28, 63
- - - четной функции 27, 28, 63
Свертка функций 90
Связное метрическое пространство 133
Сепарабельное пространство 127, 166
Сжимающее отображение 111
Сильный дифференциал 184
Символ Кронекера 140, 141
Симметричная билинейная форма 188
Симпсон Т. 319
Скалярное произведение 191, 192
Слабая производная 184
Слабый дифференциал 184
Соболев С.Л. 274
Сопряженное пространство 256, 278
Сохоцкий Ю.В. 285
Среднее квадратичное отклонение 48
Стеклов В.А. 236
Ступенчатая функция 259
Сумма ряда 65, 167, 198
- Фейера 39
- Фурье 9, 16
- элементов линейного пространства 138
Сходящаяся по полунорме (по норме) последовательность элементов пространства 156
- последовательность отображений 108
- - точек метрического пространства 99
- - функционалов 277
- - функций 280, 290
Сходимость в смысле p-среднего 157
- - - среднего квадратичного 157
Сходящийся интеграл 8
- ряд 65, 166, 198, 289
Счетное покрытие 127
Теорема Арцела 134, 137
- о замкнутых и полных системах 239, 240
- - композиции непрерывных отображений метрических пространств 110
- - конечных приращениях отображений линейных нормированных пространств 186, 187
- - линейных функционалах гильбертовых пространств 256, 258
- - неподвижной точке сжимающих отображении 111, 113
- - пополнении линейного нормированного пространства 164, 165
- - - - пространства со скалярным произведением 201, 202
- - - метрического пространства 116, 120
- - - пространства CL_ 2, 216, 217
- - порядке приближения интегралов с помощью квадратурных формул 324, 326
- - последовательности Коши подмножеств полного метрического пространства 106, 107
- - почленном дифференцировании тригонометрического ряда Фурье 54
- - - интегрировании тригонометрического ряда Фурье 58, 60
- - пределе отображения по фильтру 341, 343
- - - фильтра 338
- - представлении функции интегралом Фурье 75, 78
- - преобразовании Фурье в пространстве S 293, 295
- - - - - - S' 299
- - разложении множества на подмножества, состоящие из эквивалентных элементов 329, 330
- - - пространства в прямую сумму его ортогональных подпространств 254, 255
- - существовании ортонормированных базисов 240
- - сходимости тригонометрического ряда Фурье в данной точке 37, 38
- об изоморфизме гильбертовых пространств 240, 242, 243
- - ортогонализации 224, 225
- - эквивалентности нормированных конечномерных линейных пространств 151, 153
- Римана о коэффициентах ряда Фурье абсолютно интегрируемой функции 11, 15, 16
- Фейера 42, 44
Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций тригонометрическими и
алгебраическими многочленами 45, 46, 48
- о единственности рядов Фурье 238, 248
- - компактах в метрическом пространстве 126, 127, 131, 133
- - линейных ограниченных операторах 172, 175
- - минимальном свойстве коэффициентов Фурье 50, 52, 230, 232
- - непрерывных отображениях метрических пространств 132, 133
- - полноте тригонометрических и алгебраических многочленов в пространствах непрерывных функций
48, 50
- - преобразованиях Фурье абсолютно интегрируемых функций 86, 89, 93, 94
- - производных отображений в линейных нормированных пространствах 182, 183
- - равномерно сходящихся тригонометрических рядах Фурье 7, 8, 56, 58, 249
- - сходимости рядов Фурье 52, 53, 235, 238, 245
- об ограниченных билинейных отображениях 176, 177, 179, 180
- - ортогональных проекциях 251, 254
- Планшереля 265, 268
Топология пространства 331
Точка пространства 96, 139
T-периодическая функция 9, 10
Треугольная матрица 142
Тригонометрическая система функций 6
Тригонометрический многочлен 44
- ряд 6
- - Фурье 9
Узел 322
- интерполяции 316
Упорядоченное множество 334
Условие Гёльдера 36
- Липшица 37
Фейер Л. 39, 41
Раздел 5. Практикум по решению задач (практических ситуаций) по темам лекций (одна из
составляющих частей итоговой государственной аттестации)
Пример 1.
1


u  ln x; dv  3 dx; 

ln x
ln x
1 1
ln x 1 dx
ln x


x
   2    2  dx   2   3   2 
 x 3 dx  1
2 x
2x
2x x
2x
2x
du  dx; v   1 ;
2 

x
2x 
1 1
ln x
1

  x  2   C   2  2  C.
2 2
2x
4x

Пример 2.
u  ln x; dv  xdx; 
2
x2 1
x 2 ln x 1
x 2 ln x x 2

 x
2
 x ln xdx  du  1 dx; v  x ;  2 ln x   2  x dx  2  2  xdx  2  4  C 


x
2 

x2

(2 ln x  1)  C.
4
Задачи для самостоятельного решения.
Пример 1.
1 21 1
t 21
(2 x  1) 21
20
20 1


(
2
x

1
)
dx

2
x

1

t
;
dt

2
dx
;

t

dt

t


C


C

C

 2 21 2
42
42
Пример 2.

2  x2  2  x2
4 x
x
 arcsin
 C.
2
4
Пример 3.
dx  
2  x2  2  x2
2 x
2
2 x
2
dx  
dx
2 x
2

dx
2 x
2
 ln x  x 2  2 
cos x

 sin
dx 
sin 3 x
3/ 2
x cos xdx  sin x  t ; dt  cos xdx 
2
 2 sin 1 / 2 x  C  
sin x
t
3/ 2
dt  2t  1 / 2  C 
 C.
Пример 4.
u  x 2 ; dv  e 5 x dx; 
1 5x
x 2e5x 2

 1 5x 2
2 5x
5x
x
e
dx


e
x

e
2
xdx

  xe5 x dx 

e  5


5
5
5
;
du  2 xdx; v 
5 

u  x; dv  e 5 x dx; 
1 5 x  x 2 e 5 x 2 xe5 x
2

 x 2 e 5 x 2  xe5 x




e dx  


e 5 x dx 
1 5x 



5
5
5
5
5
25
25


du  dx; v  e ;
5


x 2 e 5 x 2 xe5 x 2e 5 x e 5 x  2 2 x 2 




 .
x 
5
25
125
5 
5 25 
Пример 5.
dx

 x 2  2x  8

dt
32  t 2
 arcsin
Раздел 6.
dx

 x 2  2x  1  9
 dx  d ( x  1)  
d ( x  1)
9  ( x  1) 2
 x  1  t 
t
x 1
 C  arcsin
 C.
3
3
Изменения в рабочей программе, которые произошли после утверждения
программы.
Характер
изменений в
программе
Номер и дата
протокола заседания
кафедры, на котором
было принято данное
решение
Подпись заведующего
кафедрой,
утверждающего
внесенное изменение
Подпись декана факультета
(проректора по учебной
работе), утверждающего
данное изменение
Раздел 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание
и степень
преподавателя
Старший
преподаватель
кафедры МА и МПМ
Шупова Г.М.
Учебный
год
Факультет
2008-2009
ФМФ
Специальность
050202.00 – информатика с
дополнительной специальностью
Указания по использованию формы программы учебной дисциплины:
- программа составляется по каждой из закрепленных за кафедрой дисциплин;
форма программы хранится на кафедре в электронном варианте и на бумажном носителе, на
котором ставятся подписи лиц, утверждающих программу (распечатывается кафедрой).