МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Индивидуальная работа по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Вариант № 1 Выполнила: Проверил: д.ф.-м.н., профессор Аксенчик А. В. Минск 2014 Задача №1.1 Подбрасываются две игральные кости. Определить вероятность того, что сумма выпавших чисел равна восьми. Решение Событие А состоит в том, что сумма выпавших чисел будет равна восьми. Так как каждая игральная кость имеет 6 различных цифр от 1 до 6, то число всех возможных исходов n опыта равно числу размещений с повторением элементов из 6 по 2 : n A62 6 2 36 Методом перебора всех возможных ситуаций можем найти, что существует 5 нужных комбинаций чисел. Точнее, m будет равна 5. Вероятность того, что сумма выпавших чисел будет равна восьми: 𝑃(𝐴) = Ответ: 0,14. 𝑚 5 = = 0.14 𝑛 36 Задача № 2.1 2 Приведена схема элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5, 6 соответственно равны q1 = 0.1, q2 = 0.2, q3 = 0.3, q4 = 0.4, q5 = 0.5, q6 = 0.6. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход. 2 5 1 3 6 4 Решение Схема состоит из трех участков. Первый содержит элемент 1, второй – элементы 2, 3 и 4, а третий – элементы 5 и 6. Введем события: А1 – Элемент 1 исправлен; А2 – Элемент 2 исправлен; А3 – Элемент 3 исправлен; А4 – Элемент 4 исправлен; А5 – Элемент 5 исправлен; А6 – Элемент 6 исправлен. B – Сигнал проходит от точки a к точке b C - Сигнал проходит от точки b к точке c D - Сигнал проходит от точки c к точке d G - Сигнал проходит от точки a к точке d В нашем случае B = A1. ̅̅̅̅) = 0.9 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴1) = 1 − 𝑃(𝐴1 Событие С сработает, если будут рабочие элементы 2, 3 и 4. С = А2 + А3 + А4 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑃(𝐶) = 𝑃(𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4) = 1 − 𝑃(𝐴2 ∗ 𝐴3 ∗ 𝐴4) = 1 − 𝑞2 ∗ 𝑞3 ∗ 𝑞4 = 1 − 0.024 = 0.976 Событие D – если работают элементы 5 и 6. 𝑃(𝐷) = 𝐴5 + 𝐴6 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐴5 + 𝐴6) = 1 − 𝑃(𝐴5 ∗ 𝐴6) = 1 − 𝑞5 ∗ 𝑞6 = 1 − 0.3 = 0.7 Событие G – если сигнал прошел через все блоки. 𝑃(𝐺) = 𝑃(𝐵 ∗ 𝐶 ∗ 𝐷) = 𝑃(𝐵) ∗ 𝑃(𝐶) ∗ 𝑃(𝐷) = 0.9 ∗ 0.976 ∗ 0.7 = 0.6 Ответ: 0,6. Задача №3.1 3 На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% - вторым и 45% - третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99, на втором – 0,988 и на третьем – 0,98. Изготовленные в течение дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту. Решение Событие А состоит в том, что попавшаяся деталь не соответствует стандарту. Событие H1 – деталь принадлежит станку 1, все остальные станки исправны; H2 – деталь принадлежит станку 2, все остальные исправны; H3 – деталь принадлежит станку 3, все остальные исправны; H4 – все станки неисправны; H5 – неисправны только станки 1 и 2; H6 – неисправны только станки 2 и 3; H7 – неисправны только станки 1 и 3; B1 – станок 1 исправен; B2 – станок 2 исправен; B3 – станок 3 исправен. Сделаем следующие предположения: ̅̅̅̅ ⋂ 𝐵2 ⋂ 𝐵3 𝐻1 = 𝐵1 ̅̅̅̅ ⋂ 𝐵2 ̅̅̅̅ ⋂ 𝐵3 𝐻5 = 𝐵1 𝐻2 = 𝐵1 ⋂ ̅̅̅̅ 𝐵2 ⋂ 𝐵3 𝐻6 = 𝐵1 ⋂ ̅̅̅̅ 𝐵2 ⋂ ̅̅̅̅ 𝐵3 𝐻3 = 𝐵1 ⋂ 𝐵2 ⋂ ̅̅̅̅ 𝐵3 𝐻7 = ̅̅̅̅ 𝐵1 ⋂ 𝐵2 ⋂ ̅̅̅̅ 𝐵3 ̅̅̅̅ ⋂ 𝐵2 ̅̅̅̅ ⋂ 𝐵3 ̅̅̅̅ 𝐻4 = 𝐵1 ̅̅̅̅ ⋂ 𝐵2 ⋂ 𝐵3) = 𝑃(𝐵1 ̅̅̅̅) ∗ 𝑃(𝐵2) ∗ 𝑃(𝐵3) = (1 − 0.99) ∗ 0.988 ∗ 0.98 = 0.01 𝑃(𝐻1) = 𝑃 (𝐵1 ̅̅̅̅) ∗ 𝑃(𝐵3) = 0.99 ∗ (1 − 0.988) ∗ 0.98 = 0.01 𝑃(𝐻2) = 𝑃(𝐵1) ∗ 𝑃(𝐵2 ̅̅̅̅) = 0.02 𝑃(𝐻3) = 𝑃(𝐵1) ∗ 𝑃(𝐵2) ∗ 𝑃(𝐵3 𝑃(𝐻4) = 0.0000024 𝑃(𝐻5) = 0.0001176 𝑃(𝐻6) = 0.0002376 𝑃(𝐻7) = 0.0001976 По формуле полной вероятности, вероятность того, что взятая деталь окажется неисправной: 7 𝐴 𝑃(𝐴) = ∑ 𝑃(𝐻𝑖) ∗ 𝑃 ( ) = 0.04 𝐻𝑖 𝑖=1 Ответ:0,04 Задача №4.1 4 Вероятность изготовления стандартного изделия равна 0,95. Какова вероятность того, что среди 10 изделий не более одного нестандартного? Решение Вероятность того, что из n = 10 изделий k = 9 окажутся удачными, определим по формуле Бернулли: 𝑛! 10! ∗ 𝑝𝑘 ∗ (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 = ∗ 0.959 ∗ (1 − 0.95)1 (𝑛 𝑘! ∗ − 𝑘)! 9! 1! = 10 ∗ 0.63 ∗ 0.05 = 0.31 𝑃(𝑛, 𝑘) = 𝐶𝑛𝑘 ∗ 𝑝𝑘 ∗ (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 = Ответ: 0.31 Задача №5.1 5 Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения. xi 1 2 3 4 5 pi 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 Решение 1) Математическое ожидание и дисперсию величины Х: 𝑀[𝑋] = ∑ 𝑥𝑖 𝑝𝑖 = 0.2 + 0.4 + 0.6 + 0.8 + 1 = 3 𝑖 𝑀[𝑋 2] = ∑ 𝑥𝑖 2 𝑝𝑖 = 0.2 + 0.8 + 1.8 + 3.6 + 5 = 11.4 𝑖 𝐷[𝑋] = 𝑀[𝑋 2 ] − (𝑀[𝑋])2 = 11.4 − 9 = 2.4 2) Построим ряд распределения СВ X: xi pi 1 2 3 4 5 >5 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0 F ( xi ) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 𝑥 < 1, 𝐹(𝑥) = 0; 1 ≤ 𝑥 < 2, 𝐹(𝑥) = 0 + 0.2 = 0.2; 2 ≤ 𝑥 < 3, 𝐹(𝑥) = 0 + 0.2 + 0.2 = 0.4; 3 ≤ 𝑥 < 4, 𝐹(𝑥) = 0 + 0.2 + 0.2 + 0.2 = 0.6; 4 ≤ 𝑥 < 5, 𝐹(𝑥) = 0 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 = 0.8; 𝑥 > 5, 𝐹(𝑥) = 1; Построим график функции распределения: 6 1.2 1 0.8 Fi 0.6 Series1 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 Xi Задача №6.1 7 5 6 Случайная величина Х задана плотностью вероятности: 0, x a, x b, f ( x) ( x, c), a x b. Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал , . ( x, c) с* | x 1 |; a 1; b 3; 0,5; 1,5. Решение 1) Вычислим константу c исходя из условия нормировки: ∞ 3 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝐶 ∗ |𝑥 + 1|𝑑𝑥 = 8𝐶 = 1 ⇔ 𝐶 = 1/8 −∞ 2) −1 Определим математическое ожидание СВ Х: ∞ 3 𝑀[𝑋] = ∫ 𝑥 ∗ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1/8 ∫ 𝑥 ∗ |𝑥 + 1|𝑑𝑥 = 5/3 −∞ 3) −1 Определим дисперсию СВ Х: ∞ 𝐷[𝑋] = ∫ 𝑥2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑀2 [𝑋] = −∞ 4) 11 3 − 25 3 = 8/ 9 Определим функцию распределения величины Х: 𝑥 𝑥 𝐹(𝑥 < −1) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 0𝑑𝑡 = 0 −∞ −1 𝐹(−1 ≤ 𝑥 ≤ 3) = ∫ −∞ 𝑥 1 ∗ |𝑡 + 1|𝑑𝑡 = 1/16(𝑥 + 1)2 |𝑥 + 1| 8 −1 0𝑑𝑡 + ∫ −∞ −1 3 ∞ 𝐹(𝑥 > 3) = ∫ 0𝑑𝑡 + ∫ 1/8|𝑡 + 1|𝑑𝑡 + ∫ 𝑑𝑡 = 1 −∞ −1 1 x 1 0, F ( x) 1 / 16( x 2) 2 | x 1 |, 1 x 3 1, x3 5) Определим вероятность попадания величины Х в заданный интервал , : 𝑃(−0.5 ≤ 𝑥 ≤ 1.5) = 𝐹(1.5) − 𝐹(−0.5) = Ответ: C = 1/8, M[X] = 5/3, D[X] = 8/9, P(x) = -0.6 8 1 1 ∗ |1.5 + 1| − ( ) = −0.6 8 8(−0.5 + 1) Задача №7.1 Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=(X) и определить плотность вероятности g(y). ( X ) | x |, a 1, b 4. Решение 1) Построим график случайной величины Y | x | для x в интервале значений [1;4] определим диапазон значений Y : Y [0;4] 2.5 2 1.5 Y 1 Series1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 X 2) 3) В зависимости от числа обратных функций выделим следующие интервалы для Y : (; 0 ] [0; 4 ] k1 0 обратных функций не существует k 2 1 𝜔1 (𝑦) = √𝑦 2 [4; ∞) k3 0 Вычислим модули производных обратных функций: |𝝎𝟏 (𝒚)| = |√𝒚𝟐 | = 𝟏 1 1 , 1 x 4 , 1 x 4 f ( x) 4 (1) 5 0, x 1, x 4 0, x 1, x 4 9 и 4) Определим плотность вероятности величины Y : 0, 𝑦<0 𝑓𝑥 (√𝑦 2 ) ∗ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 4 𝑔(𝑦) = 0, 𝑦 > 4 { 10 Задача №8.1 Двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями (рисунок 4) области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B: c, f ( x, y ) 0, ( x, y ) B , иначе. Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y. Вариант x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 y2 8.1 0 0 1 1 1 1 1 2 Решение 1) Построим область B согласно координатам из таблицы и рисунку. 2.5 2 1.5 Series1 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Проанализируем рисунок: область B на промежутке x [0;1] ограничена сверху прямой y 2 , снизу y 0 Следовательно, совместная плотность вероятности примет вид: c, 0 y 2, 0 x 1 f ( x, y ) 0, иначе. 11 2) Найдём константу с из условия нормировки: ∞ ∫ ∞ 2 1 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫ 𝐶𝑑𝑥𝑑𝑦 = 2𝐶 ⇔ 𝐶 = 1/2 −∞ −∞ 0 0 Таким образом: 1 , 0 y 2, 0 x 1 f ( x, y ) 2 0, иначе. Проверим полученный результат геометрически. Объём тела равен 1, т.е: V h SB c SB 1 2 1 2 Следовательно, константа с рассчитана верно. 3) Вычислим математические ожидания: ∞ ∞ 2 1 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1/2 2 −∞ −∞ 0 0 ∞ ∞ 2 1 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑀𝑦 = ∫ ∫ 𝑦𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫ =1 2 −∞ −∞ 0 0 𝑀𝑥 = ∫ ∫ 𝑥𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫ 4) Вычислим дисперсии: ∞ ∞ 2 1 𝑥2 1 𝐷𝑥 = ∫ ∫ 𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 − =∫ ∫ − = 1/12 4 −∞ −∞ 0 0 2𝑑𝑥𝑑𝑦 ∞ ∞ 2 1 2 𝑦 𝐷𝑥 = ∫ ∫ 𝑦 2 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑀𝑦2 = ∫ ∫ − 1 = 1/3 −∞ −∞ 0 0 2𝑑𝑥𝑑𝑦 2 𝑀𝑥2 Вычислим корреляционный момент: 2 1 𝐾𝑥𝑦 = ∫ ∫ 0 5) 0 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 1 1 − 𝑀𝑥 𝑀𝑦 = − ∗ 1 = 0 2 2 2 Вычислим коэффициент корреляции между величинами X и Y: 𝐾𝑥𝑦 0 𝑅𝑥𝑦 = = =0 √𝐷𝑥 𝐷𝑌 √1 1 2∗3 Ответ: R XY 0 12 Задача №9.1 Вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а также определить их коэффициент корреляции Ruv 𝑈 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑋1 + 𝑎2 𝑋2 𝑉 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑋2 + 𝑏2 𝑋3 A0 -9 A1 -1 A2 9 B0 2 B1 -3 B2 5 M1 1 M2 -2 M3 2 D1 1 D2 4 D3 9 K12 1 K23 3 Решение Вычислим математические ожидания U и V 𝑚𝑢 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑚1 + 𝑎2 𝑚2 = −28 𝑚𝑣 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑚2 + 𝑏2 𝑚3 = 14 Вычислим дисперсии Du и Dv 𝐷𝑢 = 𝑎12 𝐷1 + 𝑎22 𝐷2 + 2𝑎1 𝑎2 𝐾12 = 307 𝐷𝑣 = 79 Рассчитаем корреляционный момент Kuv 𝐾𝑢𝑣 = 𝑀[𝑈𝑉] − 𝑚𝑢 𝑚𝑣 𝑀[𝑈𝑉] = 𝑀[(𝑎0 + 𝑎1 𝑋1 + 𝑎2 𝑋2 )(𝑏0 + 𝑏1 𝑋2 + 𝑏2 𝑋3 )] = 𝑀[−18 + 45𝑚2 − 45𝑚3 − 2𝑚1 + 3(𝑚1 𝑚2 + 𝐾12 ) − 5(𝑚1 𝑚3 + 𝐾13 ) + 45(𝑚2 𝑚3 + 𝐾23 ) − 27𝑚22 ] = −373.5 Таким образом 𝐾𝑢𝑣 = −373.5 + 392 = 18.5 Рассчитаем величину Ruv 𝑅𝑢𝑣 = 𝐾𝑢𝑣 √𝐷𝑢 𝐷𝑣 = 18.5 √307 ∗ 79 Ответ:Ruv = 0.11 13 = 0.11 K13 1.5 Задача №10.1 По выборке одномерной случайной величины: - получить вариационный ряд; - построить график эмпирической функции распределения F*(x); - построить гистограмму равноинтервальным способом; - построить гистограмму равновероятностным способом; - вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии; - вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95); - выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия 2 и критерия Колмогорова ( = 0,05). График гипотетической функции распределения F0(x) построить совместно с графиком F*(x) в той же системе координат и на том же листе. Одномерная выборка № 1: 0.19 0.97 0.59 0.01 0.94 1.10 0.23 0.86 0.38 0.13 0.53 0.92 1.07 0.12 1.32 0.20 0.13 0.35 0.38 0.58 3.35 0.94 1.27 1.98 0.22 2.25 0.73 0.03 1.18 1.06 1.12 0.41 2.73 0.99 0.84 1.15 0.14 0.36 0.53 1.10 0.04 0.84 0.18 1.32 0.29 0.17 0.29 0.93 1.13 0.04 0.08 0.23 0.01 0.04 0.38 0.11 0.72 0.31 0.47 0.59 0.17 0.50 0.02 0.07 1.11 0.62 0.97 0.08 0.69 1.51 0.26 1.26 2.06 2.50 4.13 1.13 0.16 1.15 0.18 0.15 1.33 0.26 0.42 1.14 0.37 0.96 0.84 1.14 0.02 0.87 0.13 1.07 0.27 1.60 1.01 0.91 1.46 0.81 0.19 0.80 Решение Построим гистограмму равноинтервальным способом. Для построения гистограммы составим интервальный статистический ряд, учитывая, что длина у всех интервалов должна быть одинаковая. M n 100 10 - количество интервалов X X 1 4.13 0.01 hj n 0,412 - ширина интервала; M 10 p*j f * j vj n p*j hj - частота попадания СВ X в j-ый интервал; - статистическая плотность в j-ом интервале. 14 j Aj Bj hj vj pj* fj* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,01 0,42 0,83 1,24 1,65 2,06 2,47 2,88 3,29 3,7 0,42 0,83 1,24 1,65 2,06 2,47 2,88 3,29 3,7 4,11 0,41 0,41 0,41 0,41 0,41 0,41 0,41 0,41 0,41 0,41 42 14 29 8 2 2 2 0 1 0 0,42 0,14 0,29 0,08 0,02 0,02 0,02 0 0,01 0 1,02439 0,341463 0,707317 0,195122 0,04878 0,04878 0,04878 0 0,02439 0 1.2 1 0.8 0.6 Series1 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Построим гистограмму равновероятностным способом Для построения гистограммы составим интервальный статистический ряд, учитывая что частота попадания СВ X в в каждый j-ый интервал должна быть одинаковая. 15 j Aj Bj hj vj pj* fj* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,01 1 0,165 0,245 0,38 0,59 0,85 0,98 1,13 1,325 1 0,165 0,245 0,38 0,59 0,85 0,98 1,13 1,325 4,13 0,99 -0,835 0,08 0,135 0,21 0,26 0,13 0,15 0,195 2,805 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,10101 -0,11976 1,25 0,740741 0,47619 0,384615 0,769231 0,666667 0,512821 0,035651 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Series1 0.4 0.2 0 -0.2 0 0.5 1 1.5 Вычислим точечные оценки математического ожидания и дисперсии: 1 n 100 M X* xi 0,758 n i 1 2 1 n100 D X* xi M X* 0,512 n 1 i 1 Вычислим интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95) DX I ( M X ) M X z ; M X z n z0,95 arg Ф0,475 1,96 DX n z arg Ф 2 0,512 0,512 I ( M X ) 0,758 1,96 ; 0,758 1,96 0,618; 0,898; 100 100 16 2 2 I ( D X ) D X z D X ; D X z DX n 1 n 1 2 2 0,512 1,96 0,512 ;0,512 1,96 0,512 0,369; 0,655; 99 99 По виду графика эмпирической функции распределения F * ( x) и гистограмм выдвигаем двухальтернативную гипотезу о законе распределения случайной величины X: H0 – величина X распределена по экспоненциальному закону: f ( x ) f 0 ( x ) e x ; F ( x) F0 ( x) 1 e x ; * 1 MX H1 – величина X не распределена по экспоненциальному закону f ( x) f 0 ( x); Таким образом получаем F ( x) F0 ( x) полностью определенную гипотетическую функцию распределения: F0 ( x) 1 e x MX 1 e x 0, 758 Проверим гипотезу о экспоненциальном законе по критерию Пирсона 2 . Вычислим значение критерия 2 на основе равноинтервального статистического ряда: 10 100 2 p j p*j 2 pj j 1 Теоретические вероятности попадания в интервалы вычислим по формуле: p j F0 ( B j ) F0 ( Aj ) e 17 Bj MX e Aj MX j Aj 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0,42 0,83 1,24 1,65 2,06 2,47 2,88 3,29 3,7 * j F0 ( A j ) F0 ( B j ) Pj P 0,42 0,013 0,83 0,425 1,24 0,665 1,65 0,805 2,06 0,887 2,47 0,934 2,88 0,962 3,29 0,978 3,7 0,987 100 0,992 Сумма: 0,425 0,665 0,805 0,887 0,934 0,962 0,978 0,987 0,992 1,000 0,412 0,240 0,140 0,081 0,047 0,028 0,016 0,009 0,005 0,008 1,000 0,42 0,14 0,29 0,08 0,02 0,02 0,02 0 0,01 0 1,000 Bj P * j Pj 2 Pj 0,000 0,042 0,161 0,000 0,016 0,002 0,001 0,009 0,004 0,008 0,243 Проверим правильность вычислений p j : 10 1 p j 0 0,01; j 1 Вычислим критерий Пирсона: 10 100 2 p j p *j pj j 1 2 24,3 ; Определим число степеней свободы: k M s 1 10 1 1 8; Выбираем критическое значения критерия Пирсона из таблицы [1, стр.63] для степени свободы k 8 и заданного уровня значимости 0,05 : 02,05;7 15,51 2 24,3 02,05;8 15,51 Так как условие не выполняется, то гипотеза H0 об экспоненциальном законе распределения не принимается (однако нет оснований ее отклонить). 18 Задача №10.1 По выборке двухмерной случайной величины: - вычислить точечную оценку коэффициента корреляции; - вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции 0,95 ; - проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости 0,05 ; - вычислить оценки параметров a0 и a1 линии регрессии y a0 a1x ; - построить диаграмму рассеивания и линию регрессии. Двумерная выборка №1: (-11.03;-10.74) (2.22; -8.72) (-5.28; -2.96) ( -1.86; -6.39) ( -2.81; 1.61) ( -6.39;-5.63) ( -3.04; -7.92) ( -1.26; -5.98) (-5.87; -3.86) (-2.84; -3.45) ( -3.75; -3.31) ( -9.25; -8.91) (-8.59; -5.81) ( -2.49; -3.04) ( -5.64;-11.00) ( -3.84; -7.75) (-4.12; -3.56) (-5.90; -5.63) (-2.46; -7.49) ( -0.06; -3.62) ( -4.70; -9.40) (2.57; -1.16) ( -7.37; -5.09) (-3.20; -3.43) (-7.20; -2.45) ( -0.73; -1.98) ( -5.99; -5.66) ( -2.76; -4.16) (-5.45; -2.52) (-9.00; -1.30) ( -0.10; -8.55) ( -6.24; -2.06) (-2.94; -4.68) (-1.54; -2.33) (-1.44; -9.95) (0.63; -6.17) (-4.71; 1.64) (-10.73; -1.48) (-4.44;-12.69) (-3.44; -7.23)(-1.23; -4.27) (-1.03; -7.81) (-7.06; -3.94) ( -5.22;-10.72) (-3.12; -8.23) (-3.23;-3.23) (-8.29; -5.97) (-0.35; -6.60) (-4.65; -2.56) (-2.92; -2.09) Решение Для удобства все промежуточные вычисления поместим в таблицу, вычислим: Оценки математических ожиданий по каждой переменной: 1 n m xi 4 n i 1 * X 1 n m y i -5,2 n i 1 * Y Оценки начальных моментов второго порядка по каждой переменной: 2* ( x) 1 n 2 xi 25,279 n i 1 2* ( y ) 1 n 2 yi 37,222 n i 1 Оценку смешанного начального момента второго порядка: 1 n xi yi 20,924 n i 1 Оценки дисперсий: 1*,1 ( x, y ) D X* n n 2* ( x) m X2 9,467 n 1 n 1 DY* Оценку корреляционного момента: * K XY n n 1*,1 ( x, y ) m *X mY* 0,127 n 1 n 1 19 n n 2* ( y ) mY2 10,39 n 1 n 1 Результаты промежуточных вычислений x y x2 y2 x*y -11,03 2,22 -5,28 -1,86 -2,81 -6,39 -3,04 -1,26 -5,87 -2,84 -3,75 -9,25 -8,59 -2,49 -5,64 -3,84 -4,12 -5,9 -2,46 -0,06 -4,7 2,57 -7,37 -3,2 -7,2 -0,73 -5,99 -2,76 -5,45 -9 -0,1 -6,24 -2,94 -1,54 -1,44 0,63 -4,71 -10,73 -4,44 -3,44 -1,23 -1,03 -7,06 -10,74 -8,72 -2,96 -6,39 1,61 -5,63 -7,92 -5,98 -3,86 -3,45 -3,31 -8,91 -5,81 -3,04 -11 -7,75 -3,56 -5,63 -7,49 -3,62 -9,4 -1,16 -5,09 -3,43 -2,45 -1,98 -5,66 -4,16 -2,52 -1,3 -8,55 -2,06 -4,68 -2,33 -9,95 -6,17 1,64 -1,48 -12,69 -7,23 -4,27 -7,81 -3,94 121,661 4,928 27,878 3,460 7,896 40,832 9,242 1,588 34,457 8,066 14,063 85,563 73,788 6,200 31,810 14,746 16,974 34,810 6,052 0,004 22,090 6,605 54,317 10,240 51,840 0,533 35,880 7,618 29,703 81,000 0,010 38,938 8,644 2,372 2,074 0,397 22,184 115,133 19,714 11,834 1,513 1,061 49,844 115,348 76,038 8,762 40,832 2,592 31,697 62,726 35,760 14,900 11,903 10,956 79,388 33,756 9,242 121,000 60,063 12,674 31,697 56,100 13,104 88,360 1,346 25,908 11,765 6,003 3,920 32,036 17,306 6,350 1,690 73,103 4,244 21,902 5,429 99,003 38,069 2,690 2,190 161,036 52,273 18,233 60,996 15,524 118,462 -19,358 15,629 11,885 -4,524 35,976 24,077 7,535 22,658 9,798 12,413 82,418 49,908 7,570 62,040 29,760 14,667 33,217 18,425 0,217 44,180 -2,981 37,513 10,976 17,640 1,445 33,903 11,482 13,734 11,700 0,855 12,854 13,759 3,588 14,328 -3,887 -7,724 15,880 56,344 24,871 5,252 8,044 27,816 20 -5,22 -3,12 -3,23 -8,29 -0,35 -4,65 -2,92 -11,03 2,22 Сумма: -200,14 -10,72 -8,23 -3,23 -5,97 -6,6 -2,56 -2,09 -10,74 -8,72 -260,23 27,248 9,734 10,433 68,724 0,123 121,661 4,928 27,878 3,460 1263,9 114,918 67,733 10,433 35,641 43,560 6,554 4,368 115,348 76,038 1861,1 55,958 25,678 10,433 49,491 2,310 11,904 6,103 118,462 -19,358 1046,2 Точечную оценку коэффициента корреляции: R * XY * K XY D X DY 1 50 ∗ 1263,9 − ∗ 16 = 9,44 49 49 1 50 𝐷𝑥 = ∗ 1861,1 − ∗ 27,04 = 10.39 49 49 1 50 𝐾𝑥𝑦 = ∗ 1046,2 − ∗ (−4)(−5,2) = 0,13 49 49 𝐷𝑥 = 𝑅𝑥𝑦 = 0,13 √98 = 0,01 Вычислим интервальную оценку коэффициента корреляции с заданной надёжностью 0,95 , По таблице функции Лапласа [1, стр, 61] z0,95 arg Ф(0,475) 1,96 : * 1 R XY a 0,5 ln * 1 R XY z 0,01 - 0,28 0,27 n3 * z 1 R XY b 0,5 ln 0,01 0,28 0,29 * n3 1 R XY Таким образом, доверительный интервал для коэффициента корреляции имеет вид: I ( R XY ) 0,27;0,29 Проверим гипотезу о корреляционной зависимости: H 0 : RXY 0; H1 : RXY 0. 21 Так как объём выборки велик (n>50), то критерий вычислим по формуле: Z R * XY n 1 R * XY 2 0,07 / 0,99 0.07 1 0,05 По таблицы функции Лапласа Z 0, 05 arg Ф 1,96 , 2 Так как Z Z , то гипотеза H 0 принимается, т,е, величины X и Y не коррелированны Вычислим оценки параметров линии регрессии: 1* * K XY 0,01 DX 0* mY* 1* m *X 0,53 22