Содержательная часть программы итогового
реклама
СОДЕРЖАНИЕ Общие положения.................................................................................................................... 4 Комплекс требований к выпускнику................................................................................................................................. 5 Комплекс заданий, предназначенных для предъявления выпускнику на экзамене........................................................................................................................................ 8 Содержательная часть программы итогового междисциплинарного экзамена....................................................................................................................................... 13 Список литературы................................................................................................................ 36 Методические указания по проведению итогового междисциплинарного экзамена........................................................................................................................................ 40 Требования к ответу выпускника и критерии оценки знаний при сдаче итогового междисциплинарного экзамена.................................................................. 41 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Порядок проведения и программа государственного экзамена по направлению подготовки дипломированных специалистов «Прикладная математика», определяются вузом на основании методических рекомендаций и соответствующей примерной программы, разработанных УМО по образованию в области электроники и прикладной математики и УМО по образованию в области авиации, ракетостроения и космоса, Положения об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений, утвержденного Министерством образования России, и настоящего государственного образовательного стандарта. ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПУСКНИКУ В соответствии с Законом Российской Федерации «Об образовании» и Федеральным законом «О высшем и послевузовском профессиональном образовании» освоение образовательных программ высшего профессионального образования завершается обязательной итоговой аттестацией выпускников. Положение об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений Российской Федерации, утвержденное приказом Минобразования РФ от 25 марта 2003 г. № 1155, распространяется на выпускников, обучающихся по всем формам получения высшего профессионального образования. 3 Государственный образовательный стандарт по специальности 230401.65 «Прикладная математика» устанавливает следующие требования к квалификации и профессиональной подготовленности специалиста 1. Квалификация выпускника – инженер-математик. 2. Объекты профессиональной деятельности Объектами профессиональной деятельности выпускников по направлению подготовки дипломированного специалиста «Прикладная математика» являются математические модели, методы и наукоемкое программное обеспечение, предназначенное для проведения анализа и выработки решений в производственной, хозяйственной, экономической, социальной, управленческой деятельности, в науке, технике, медицине, образовании. 3. Требования к профессиональной подготовленности выпускника. Выпускник должен уметь решать задачи, соответствующие его квалификации, в том числе знать и уметь использовать: основные понятия и методы математического анализа и теории функций; основные понятия и методы аналитической геометрии, линейной и общей алгебры; основные понятия и методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений; основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики; основные понятия и методы дискретной математики; основные понятия и методы теории функций комплексного переменного; основные понятия и методы функционального анализа; основные понятия и методы исследования задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных; основные понятия и методы математической логики, теории алгоритмов, теории графов и комбинаторики; основные методы построения математических моделей; синтаксис, семантику и формальные способы описания языков программирования, современные технологии программирования, методы и основные этапы трансляции, способы и механизмы управления данными; принципы организации, состав и схемы работы операционных систем, принципы управления ресурсами, методы организации файловых систем, принципы построения сетевого взаимодействия, основные методы разработки программного обеспечения; основные модели данных и их организации, принципы построения языков запросов и манипулирование данными, методы построения баз данных и интеллектуальных систем; 4 принципы моделирования и основные математические модели систем и процессов, возникающих в прикладных областях; основные понятия и методы теории случайных процессов; основные понятия и методы теории оптимизации и теории управления; основные понятия и методы, используемые в исследовании операций; современные численные методы решения математических задач; основные понятия, методы и средства компьютерной графики; современные методы и средства программирования, современные языки программирования, системные программные средства, операционные системы, офисные приложения, Интернет и электронную почту; иметь опыт: аналитического и численного решения задач математического анализа, аналитической геометрии, линейной и общей алгебры, теории функций; аналитического и численного решения вероятностных и статистических задач; аналитического и численного решения задач дискретной математики; аналитического и численного решения алгебраических уравнений; аналитического и численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений; аналитического и численного решения задач теории функций комплексного переменного, функционального анализа, математической логики, теории графов и комбинаторики, теории алгоритмов: использования основных приемов обработки экспериментальных данных; моделирования и исследования моделей с учетом их структуры; вероятностного и статистического анализа и моделирования стохастических объектов; системного анализа и построения математических моделей для процессов, возникающих в прикладных областях; анализа и расчета характеристик стохастических систем; решения задач оптимизации, теории управления и исследования операций; создания прикладных баз данных и интеллектуальных систем разработки, отладки, тестирования и документирования прикладного программного обеспечения; программирования на основных алгоритмических языках; работы на различных типах ЭВМ. Программа включает разделы следующих дисциплин: алгебра и аналитическая геометрия, математический анализ, теория функций комплексного переменного, дискретная математика, теория вероятностей и математическая статистика, программные и аппаратные средства информатики, компьютерные дисциплины, дифференциальные уравнения, функциональный анализ, теория случайных процессов уравнения в частных 5 производных, математическое моделирование, методы оптимизации, численные методы, теория игр и исследование операций, математические методы в промышленности, вычислительные методы решения задач линейной алгебры, методы решения интегральных уравнений, специальные функции и их применение к задачам математической физики, теория дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами, обобщенные ряды Фурье, тензорное исчисление, операционное исчисление. Программа содержит методические указания по подготовке к междисциплинарному экзамену, указания по проведению итогового междисциплинарного экзамена, критерии оценки, список литературы. КОМПЛЕКС ЗАДАНИЙ, ПРЕДНАЗНАЧЕННЫХ ДЛЯ ПРЕДЪЯВЛЕНИЯ ВЫПУСКНИКУ НА ЭКЗАМЕНЕ 1. Алгебра. Алгебраическая система. Определение, примеры групп. Основные свойства групп. Подгруппа. Гомоморфизм и изоморфизм групп. Кольцо, простейшие свойства кольца. Примеры. Гомоморфизм, изоморфизм колец. Классы вычетов по данному модулю. Кольцо классов вычетов. Поле, простейшие свойства поля. Подполе. Примеры. Изоморфизм полей. Поле комплексных чисел. 2. Логические связки. Формальные теории. Исчисление высказываний. Исчисление предикатов. Автоматическое доказательство теорем. 3. Комбинаторные задачи. Перестановки. Биномиальные коэффициенты. Разбиения. Принцип включения и исключения. Формулы обращения. Производящие функции. 4. Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Однородная система линейных уравнений, свойства ее решений, фундаментальный набор решений. Связь решений произвольной системы линейных уравнений и соответствующей однородной системы линейных уравнений. 5. Перестановки и подстановки. Понятие матрицы. Квадратная матрица. Определитель n-го порядка. Основные свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Правило Крамера. Методы вычисления определителей n-го порядка. 6. Операции над матрицами и их свойства. Строчечный и столбцевой ранг матрицы. Ранг матрицы. Критерий совместности системы линейных уравнений. Обратная матрица. Существование обратной матрицы. Способы вычисления обратной матрицы. Решение матричных уравнений. Решение СЛУ в матричном виде. 7. Кольцо многочленов от одной переменной над Р. Делимость многочленов и ее свойства. Деление с остатком. НОД многочленов. Алгоритм Евклида. Взаимно-простые многочлены и их свойства. Неприводимые над Р многочлены, их свойства. Корни многочлена. Теорема Безу. Схема Горнера. Производные многочлена. Формула Тейлора. Кратные множители многочлена. Выделение кратных множителей. Число корней многочлена. 6 8. Линейные преобразования линейного пространства, простейшие свойства линейных операторов. Матрица линейного оператора в данном базисе. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Операции над линейными операторами. Область значений и ядро линейного преобразования. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Условие приводимости матрицы линейного преобразования к диагональной форме. Линейные преобразования с простым спектром. 9. LU – разложение матриц. Решение линейных систем и обращение матриц с помощью LU – разложения. 10. Решение СЛАУ методом итераций. Метод Зейделя. 11. Решение СЛАУ методом Якоби. 12. Собственные значения и собственные векторы матрицы, простейшие свойства. Вычисление наибольшего по модулю собственного числа и соответствующего ему собственного вектора степенным методом. SPалгоритм. 13. Линейная парная регрессия, коэффициенты корреляции. Оценка параметров парной регрессионной модели. Теорема Гаусса-Маркова. 14. СМО при поступлении смешанного потока требований. Система автозаправки. 15. Топологическое пространство. Топологические инварианты. N-мерное многообразие. 16. Системы координат в трехмерном евклидовом пространстве. 17. Геометрия плоскости в трехмерном евклидовом пространстве. 18. Геометрия прямой в трехмерном евклидовом пространстве. 19. Кривые второго порядка на плоскости. 20. Поверхности второго порядка в евклидовом пространстве. 21. Преобразования плоскости. Основные свойства движений, подобий, аффинных преобразований. 22. N-мерные аффинные, евклидовы и псевдоевклидовы пространства, метрический тензор. 23. Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. 24. Определение тензоров. Классификация тензоров. Тензорная алгебра. 25. Тензорные поля на дифференцируемом многообразии. Ковариантные производные тензора. 26. Множества. Числовые последовательности. 27. Производная и дифференциал функции одной и нескольких переменных. Свойства. Приложения. 28. Неопределенный, определенный и несобственные интегралы. Свойства. Приложения. 29. Кратные интегралы. Свойства. Приложения. 30. Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье. Свойства. Приложения. 7 31. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого и высшего порядков. Методы их решения. 32. Мера Лебега. Интеграл Лебега. Основные теоремы. 33. Дифференцирование и интегрирование функции комплексной переменной. Вычеты и их приложения. 34. Случайные величины. Статистические методы изучения зависимости между случайными величинами. 35. Основные понятия моделирования. Виды моделей. Оценка точности результатов моделирования. 36. Математические модели надежности технических объектов. 37. Статистически методы моделирования. Оптимальные экономические модели. 38. Моделирование процессов на основе известных формул. Метод аналогий. 39. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка и основные методы их решения. 40. Классификация дифференциальных уравнений второго порядка. Приведение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к каноническому виду. 41. Дифференциальные уравнения в частных производных гиперболического типа и основные методы их решения. 42. Дифференциальные уравнения в частных производных параболического типа и основные методы их решения. 43. Дифференциальные уравнения в частных производных эллиптического типа и основные методы их решения. 44. Интегральные уравнения Вольтера и методы их решения. 45. Интегральные уравнения Фредгольма и методы их решения. 46. Операционные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. 47. Ряды Фурье в тригонометрической и показательной форме. Связь рядов Фурье с рядами Лорана. Равенство Парсеваля. 48. Ортогональные системы функций. Системы ортогональных многочленов. Неравенство Бесселя. 49. Случайные функции. Свойства. Марковские случайные процессы и их приложения. 50. Методы и модели принятия оптимальных решений в условиях неопределенности и конфликтов. Модель матричной игры. 51. Информатика как наука. История возникновения и развития информатики. Объект и предмет информатики. Структура информатики. Место информатики в системе наук. Информатизация общества. Правовые и социальные аспекты информатики. 52. Информация, ее виды и свойства. Информационные процессы. Количество информации. Различные подходы к измерению количества информации. Системы счисления. Представление различных видов информации и различных типов данных в ЭВМ. 8 53. Основные этапы компьютерного решения задач. Постановка задачи и спецификация программы. Алгоритм. Исполнитель. Свойства алгоритмов. Способы записи алгоритмов. Основные алгоритмические конструкции. Структурная теорема. Формализация понятия алгоритма. Нормальные алгоритмы Маркова. Машины Тьюринга. Алгоритмически неразрешимые задачи. 54. Языки программирования высокого и низкого уровня. Интерпретация и компиляция программ. Структура языка программирования. Основные элементы программы. Концепция типа данных. Основные типы данных в языке программирования. Реализация основных алгоритмических структур в языках программирования. 55. Процедуры и функции в языке программирования. Виды параметров. Модули. Методы структурного программирования. Отладка и тестирование программных средств. 56. Методология объектно-ориентированного программирования. Основные принципы ООП. Наследование классов. Типы методов. Полиморфизм. Абстрактные классы. Особенности программирования для Windows. Сообщения и события. Программирование, управляемое событиями. Проектирование интерфейса. Библиотеки компонентов. Технологии взаимодействия программ. 57. Архитектура ЭВМ. Принципы фон Неймана. История развития вычислительной техники. Поколения ЭВМ. Устройства ЭВМ, их характеристики. Архитектура процессора. 58.Логическое устройство оперативной памяти. Ассемблер. Основные команды процессора. Виды адресации. Прерывания. Порты ввода-вывода. Архитектура процессора. CISC и RISC архитектура. 59. Основные понятия и функции ОС. Поколения операционных систем. Классификация ОС. Обзор современных ОС. Управление процессами. Обработка прерываний. Механизмы взаимоисключения. Предотвращение тупиковых ситуаций. 60. Базы данных. Системы управления базами данных. Модели и типы данных. Иерархическая, сетевая, реляционная модели. Реляционная алгебра. Средства и методы проектирования БД. Метод нормальных форм. Метод «сущность-связь». Средства автоматизированного проектирования. Структурированный язык запросов SQL. 61. Задачи искусственного интеллекта и методы их решения. Области применения искусственного интеллекта. Экспертные системы, взаимодействие пользователя с системой, принятие решений. Представление знаний в интеллектуальных системах. 62. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Схема вычислительного эксперимента. Требования к вычислительным методам. Виды погрешностей. Основные задачи теории погрешностей, способы их решения. Применение дифференциального исчисления при оценке погрешности. Обратная задача теории погрешностей. Оценка погрешностей вычислений, возникающих в ЭВМ. 9 63. Приближенное решение нелинейных уравнений: постановка задачи, отделение корней, уточнение корней (методы половинного деления, Ньютона, хорд, простых итераций). Алгоритм и расчетные формулы, геометрическая интерпретация, сходимость методов, сопоставление методов. 64. Численное решение систем нелинейных уравнений. Методы простой итерации, Ньютона и их модификации. Оценка погрешности методов. 65. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Прямые методы решения СЛАУ: основные идеи методов, условия применимости, вычислительные затраты. Итерационные методы решения СЛАУ: примеры методов, условия сходимости, оценка погрешности методов. 66. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона–Котеса. Формула прямоугольников, трапеций, формула Симпсона. Погрешность квадратурных формул. Интегрирование с помощью степенных рядов. Метод Монте-Карло. 67. Численное дифференцирование. Особенность задачи численного дифференцирования. Дифференцирование на основе интерполяционных многочленов. Оценка погрешности. 68. Интерполирование функций. Интерполяция алгебраическими многочленами (многочлены Лагранжа и Ньютона). Погрешность интерполяционных формул. Интерполирование сплайнами. 69. Численное решение задачи Коши для дифференциальных уравнений. Методы Эйлера, Рунге–Кутта. Многошаговые методы. Метод прогнозакоррекции. 70. Методы обработки экспериментальных данных. Подбор эмпирических формул. Определение параметров эмпирической зависимости. Метод наименьших квадратов. 71. Методы оптимизации. Основные понятия. Задачи с ограничениями. Линейное программирование. Геометрический метод. Симплекс–метод. Симплекс-таблицы. Задача о ресурсах. 72. Прикладные математические пакеты, их назначение и основные возможности. Матричные операции. Визуализация данных. Символьные преобразования. Языки программирования, встроенные в математические пакеты. 73. Основные понятия компьютерной графики. Визуализация, моделирование, проектирование. Применение компьютерное графики. 74. Программный и аппаратный уровень компьютерной графики. Цвет в компьютерной графике. Виды компьютерной графики. Растровая, векторная, инженерная, трёхмерная графика. 75. Плоскость и пространство в компьютерной графике. Системы координат. Типы пространств и проекций в компьютерной графике. Аффинные преобразования геометрических фигур и тел. Содержательная часть программы итогового междисциплинарного экзамена 10 Алгебра и аналитическая геометрия Элементы векторной алгебры Определение вектора, линейные операции над векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора относительно базиса пространства, преобразование координат вектора при замене базиса. Ориентация пространства. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Метод координат Аффинная система координат на плоскости и в пространстве. Решение простейших задач на плоскости и в пространстве в аффинной системе координат и в ПДСК. Связь между координатами точек при переходе от одной системы координат к другой. Полярная система координат на плоскости. Цилиндрические и сферические координаты в трёхмерном пространстве. Задание фигур в данной системе координат. Уравнения окружности и сферы. Применение метода координат к решению задач. Прямая и плоскость в пространстве Различные способы задания прямой на плоскости и в пространстве (параметрические уравнения, канонические уравнение, уравнения «в отрезках» на плоскости), общее уравнение прямой на плоскости. Метрическая теория прямой на плоскости. Геометрический смысл неравенств первой степени на плоскости. Различные способы задания плоскости в пространстве. Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение двух и трёх плоскостей в пространстве. Метрическая теория плоскости. Задание прямой как пересечение двух плоскостей. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Геометрический смысл неравенств первой степени в пространстве. Кривые и поверхности второго порядка Каноническое уравнение эллипса, гиперболы, параболы, директориальное свойство этих кривых. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Классификация кривых второго порядка. Поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды, цилиндры и конусы. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида. Классификация поверхностей второго порядка. Преобразования плоскости Движение плоскости и его свойства. Частные виды движения. Подобие плоскости и его свойства. Гомотетия как частный случай подобия. Аффинное преобразование плоскости и его свойства. Родство и сжатие. Геометрия п-мерного Евклидова пространства N-мерное векторное пространство. Базис и координаты вектора. N-мерное аффинное пространство. К-мерные плоскости. N-мерное Евклидово пространство. Элементы топологии 11 Топологическая структура и топологическое пространство. Замкнутые множества. Внутренние, внешние, граничные и точки прикосновения множества. Гомеоморфное отображение. Отделимость, компактность, связность. N-мерное многообразие. Эйлерова характеристика. Классификация двумерных многообразий. Алгебраические структуры Бинарные операции. Алгебра. Алгебраическая система. Полугруппы, моноиды. Определение, примеры групп. Основные свойства групп. Подгруппа. Гомоморфизм и изоморфизм групп. Кольцо, простейшие свойства кольца. Подкольцо. Примеры. Гомоморфизм, изоморфизм колец. Классы вычетов по данному модулю. Кольцо классов вычетов. Поле, простейшие свойства поля. Подполе. Примеры. Изоморфизм полей. Поле комплекных чисел. Арифметическое векторное пространство Арифметический n-мерный вектор. Операции над векторами. Арифметическое n-мерное пространство. Линейная зависимость и независимость векторов. Свойства линейной зависимости. Базис и ранг конечной системы векторов. Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Равносильные системы уравнений. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Однородная система линейных уравнений, свойства ее решений, фундаментальный набор решений. Связь решений произвольной системы линейных уравнений и соответствующей однородной системы линейных уравнений. Матрицы и определители Перестановки и подстановки. Понятие матрицы. Квадратная матрица. Определитель n-го порядка. Основные свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Правило Крамера. Методы вычисления определителей n-го порядка. Операции над матрицами и их свойства. Строчечный и столбцевой ранг матрицы. Ранг матрицы. Критерий совместности системы линейных уравнений. Обратная матрица. Существование обратной матрицы. Способы вычисления обратной матрицы. Решение матричных уравнений. Решение СЛУ в матричном виде. Определитель произведения двух матриц. Векторные и евклидовы пространства Скалярное произведение векторов, его простейшие свойства. Евклидово пространство. Ортогональная система векторов. Необходимые и достаточные условия ортонормированности базиса. Изоморфизм евклидовых пространств. Ортогональные дополнения. Векторные пространство, простейшие свойства. Подпространство. Необходимый и достаточный признак подпространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис векторного пространства. Конечномерные пространства. Координаты вектора в данном базисе. Связь между базисами векторного пространства. Матрица перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат вектора при 12 изменении базиса. Сумма и пересечение линейных подпространств. Линейные многообразия. Задание подпространств и многообразий. Изоморфизм векторных пространств. Линейные преобразования Линейные преобразования линейного пространства, простейшие свойства линейных операторов. Матрица линейного оператора в данном базисе. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Операции над линейными операторами. Область значений и ядро линейного преобразования. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Условие приводимости матрицы линейного преобразования к диагональной форме. Линейные преобразования с простым спектром. Поле комплексных чисел Построение поля С с помощью упорядоченных пар действительных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическое представление комплексных чисел и операции над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия в тригонометрической форме. Первообразные корни и их свойства Многочлены от одной переменной над полем P Кольцо многочленов от одной переменной над Р. Функциональное и алгебраическое равенство многочленов. Делимость многочленов и ее свойства. Деление с остатком. НОД многочленов. Алгоритм Евклида. Взаимно-простые многочлены и их свойства. Неприводимые над Р многочлены, их свойства. Разложение многочлена в произведение неприводимых множителей. Корни многочлена. Теорема Безу. Схема Горнера. Производные многочлена. Формула Тейлора. Кратные множители многочлена. Выделение кратных множителей. Число корней многочлена. Математический анализ Введение в анализ Элементы теории множеств. Действительные числа, числовые множества. Предел числовой последовательности. Числовые функции, предел функции в точке. Непрерывные функции. Дифференциальное исчисление Производная и дифференциал функции, их геометрический и механический смысл. Основные теоремы дифисчисления, их смысл. Исследование функций, построение графиков. Геометрические и физические приложения. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл. Определенный интеграл и его свойства. Геометрические и физические применения интегрального исчисления. Функции нескольких переменных 13 Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных. Криволинейные интегралы. Векторные поля. Элементы дифференциальной геометрии. Теория рядов Числовые ряды, приемы исследования, суммирования и оценок суммы ряда. Функциональные ряды. Степенные ряды. Ряды Тейлора. Ряды Фурье. Теория функций комплексного переменного Плоскость комплексных чисел Понятие комплексного числа, его геометрическое изображение. Операции над комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Геометрическая интерпретация операций над комплексными числами. Свойства модуля аргумента комплексного числа. Различные формы записи комплексного числа. Топология комплексной плоскости Расширенная комплексная плоскость и стереографическая проекция. Изоморфизм R2 и C. Топология комплексной плоскости. Последовательность комплексных чисел. Предел последовательности комплексных чисел (определение, примеры, основные теоремы). Бесконечно большая последовательность. Числовые ряды комплексных чисел. Абсолютная сходимость. Функция комплексного переменного Функция комплексного переменного, её действительная и мнимая части. Понятие однолистности функции. Предел функции, его геометрическое толкование и связь с пределами действительной и мнимой частей функции. Непрерывность функции комплексного переменного, необходимое и достаточное условие непрерывности. Свойства непрерывных функций. Равномерная непрерывность функции. Дифференцируемость функции комплексного переменного Понятие производной и дифференциала функции. Свойства дифференцируемых функций. Условия Коши - Римана дифференцируемости функции комплексного переменного. Аналитические функции Аналитические функции и их свойства. Действительная и мнимая части аналитической функции как сопряжённые гармонические функции. Восстановление аналитической функции по её действительной или мнимой части. Геометрический смысл аргумента и модуля производной аналитической функции Геометрический смысл аргумента и модуля производной аналитической функции. Понятие о конформном отображении. Линейная функция и задаваемое ею отображение. Функциональные и степенные ряды в комплексной области Функциональные последовательности и ряды. Поточечная и равномерная сходимость функционального ряда. Условия равномерной сходимости функционального ряда (критерий Коши, признак Вейерштрасса). Степенные 14 ряды в комплексной области. Теорема Абеля и теорема Коши - Адамара для степенных рядов. Круг и радиус сходимости. Непрерывность суммы степенного ряда. Дифференцирование степенных рядов. Показательная функция Функция w=expz и её свойства. Отображение с помощью показательной функции. Логарифмы комплексных чисел Логарифмы в комплексной области и их свойства. Логарифмическая функция комплексного переменного, её свойства. Отображение с помощью логарифмической функции. Области однолистности. Степень с произвольным комплексным показателем Степенная функция с натуральным показателем. Степень с произвольным комплексным показателем. Тригонометрические функции в комплексной области Тригонометрические функции в комплексной области. Формула Эйлера. Гиперболические функции и их свойства. Интегрируемость функции комплексного переменного Определение интеграла от функции комплексного переменного. Интеграл функции комплексного переменного по кусочно - гладкому пути. Основные свойства интеграла. Интегральная теорема Коши. Интегральная теорема Коши и её обобщение для многосвязной области. Интеграл с переменным верхним пределом Интеграл с переменным верхним пределом. Первообразная и её свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Тема 15. Интегральная формула Коши. Интегральная формула Коши. Равномерно сходящиеся функциональные ряды. Непрерывность суммы, почленное интегрирование функционального ряда. Ряд Тейлора. Разложение функции, представимой интегралом Коши, в ряд Тейлора. Неравенство Коши для коэффициентов степенного ряда. Теорема Лиувилля об ограниченной целой функции. Основная теорема алгебры. Теорема Морера и её следствия. Тема 16. Нули аналитической функции. Нули аналитической функции. Кратность нуля. Изолированность нулей. Аналитическое продолжение функции. Теорема о единственности аналитической функции. Понятие об аналитическом продолжении функции. Элементарные функции комплексного переменного как аналитическое продолжение с действительной оси. Сохранение функциональных соотношений при аналитическом продолжении. Ряд Лорана Ряд Лорана. Разложение аналитической функции в кольце ряд Лорана. Изолированные особые точки. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции и их классификация. Теорема Сохоцкого. Поведение аналитической функции в окрестности устранимой особой точки, в окрестности полюса. Связь между нулями и полюсами аналитической функции. Поведение аналитической функции в окрестности существенно особой точки. Бесконечно удалённая особая точка 15 аналитической функции. Классификация аналитических функций по их особым точкам: целые и мероморфные функции. Вычеты Определение вычета аналитической функции. Основная теорема о вычетах. Теорема о вычислении вычета в изолированной особой точке. Вычисление вычетов в устранимой особой точке, в простом полюсе, в кратном полюсе, в существенно особой точке. Приложения вычетов Вычисление с помощью вычетов интегралов по замкнутому контуру, определённых и несобственных интегралов. Дискретная математика Логические исчисления Логические связки. Формальные теории. Исчисление высказываний. Исчисление предикатов. Автоматическое доказательство теорем. Комбинаторика Комбинаторные задачи. Перестановки. Биномиальные коэффициенты. Разбиения. Принцип включения и исключения. Формулы обращения. Производящие функции. Теория графов Понятие графа и мультиграфа; различные способы их представления. Степень вершины графа. Теорема о сумме степеней вершин графа и ее следствие. Подграф. Путь, цепь, простая цепь, цикл, простой цикл. Эйлеровы графы. Теория графов Связные графы. Компоненты связности графа, их число. Изоморфные графы. Критерий эйлеровости. Эйлеровы графы. Гамильтоновы графы. Деревья. Характеризационная теорема. Планарные графы. Укладка графа. Теорема Жордана (без доказательства). Плоские графы. Не планарность графов К5 и К3,3. Раскраска вершин графа. Хроматическое число графа. Двудольные графы. Теорема Кенига. Раскрашиваемость вершин планарного графа пятью красками. Теорема о четырех красках (без доказательства). Теория алгоритмов и сложности вычислений Вычислимые функции и алгоритмы. Теория рекурсивных функций. Нормальный алгоритм Маркова. Машины Тьюринга. Синтез и оценки сложности схем. Метод Шеннона. Мощностный метод получения нижней оценки для сложности схем. Теория автоматов Конечные автоматы. Канонические уравнения автомата. Не полностью описанные автоматы. Теория вероятностей и математическая статистика Основные понятия теории вероятностей. Поле событий. Классическое определение вероятности. Последовательность независимых испытаний. Предельные формы. 16 Случайные величины. Виды случайных величин. Функция распределения вероятностей случайной величины. Плотность вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые характеристики случайной величины. Массовые явления и закон больших чисел. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Многомерные случайные величины. Законы распределения и числовые характеристики систем случайных величин. Энтропия и информация. Энтропия случайных событий и величин. Количество информации. Случайные процессы и случайные функции. Классификация случайных функций. Марковские процессы. Цепи Маркова. Предмет математической статистики. Метод сплошных наблюдений. Выборочный метод, выборка, принципы ее получения, генеральная совокупность. Оценка параметров распределений и статистические гипотезы. Принцип наибольшего правдоподобия. Точечные оценки параметров по случайным выборкам. Метод моментов для точечного оценивания. Распределение Пирсона, Стьюдента. Интервальное оценивание: доверительные интервалы для генерального среднего, дисперсия нормальной величины, вероятности. Определение параметров эмпирических формул. Элементы корреляционного анализа. Линейная, нелинейная, множественная корреляция. Проверка статистических гипотез. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости. Метод наименьших квадратов для прямой линии. Моделирование стохастических систем. Случайные числа. Генерирование последовательности случайных чисел с заданным законом распределения. Имитационное стохастическое моделирование. Программные и аппаратные средства информатики Информация и информационные процессы Понятие информации, общая характеристика процессов сбора, передачи, обработки и накопления информации; технические и программные средства реализации информационных процессов Операционные системы. Операционные оболочки Операционные системы (ОС) как средство распределения и управления ресурсами. Развитие и основные функции ОС. Понятие интерфейса. Однозадачные и многозадачные ОС. Многопользовательские ОС. Понятие файловой системы. Драйверы. ОС MS DOS. Основные характеристики. Начальная загрузка. Помещение на диск. Файловая система. Интерфейс пользователя. Внутренние и внешние команды. Команды работы с логическими дисками, файлами и каталогами. Запуск приложений. Командные файлы. ОС Windows XP Professional. Основные характеристики. 17 Интерфейс пользователя. Работа с приложениями (установка, запуск, завершение работы, удаление). Технология Plug and Play. Начальная загрузка. Помещение на диск. Файловая система. Приложения, обслуживающие файловую систему. Обмен данными между приложениями. Настройка. Справочная система. Возможности запуска приложений MS DOS. ОС UNIX (Linux). Основные характеристики. Файловая система. Интерфейс пользователя. Программы-оболочки. Назначение. Основные характеристики. Оболочки Norton Commander/Far. Основные характеристики. Интерфейс. Работа с дисками, файлами, каталогами. Запуск приложений. Конфигурация и настройка. Меню пользователя. Оболочки Windows XP Professional. Основные характеристики. Вспомогательные системные программы Вспомогательные программы. Их назначение. Основные характеристики. Диагностика, тестирование и обслуживание ЭВМ. Восстановление удаленных данных. Проверка дисков на наличие логических и физических ошибок. Оптимизация дисков. Системы программирования Языки программирования и их классификации. Понятие о системе программирования, ее основные функции и компоненты. Принципы работы сред программирования. Интерпретаторы и компиляторы. Трансляция программ и сопутствующие процессы. Алгоритмизация и программирование; языки программирования высокого уровня Локальные и глобальные сети эвм, интернет и электронная почта Общее понятие о локальных и глобальных сетях ЭВМ; основы защиты информации и сведений, составляющих государственную тайну; методах защиты информации. Работа в сети Интернет. Обработка текстовой информации на ЭВМ. Текстовые редакторы Программы обработки текста. Назначение. Основные возможности. Принцип WYSIWYG. Редакторы документов и издательские системы. Стандартный набор операций с текстом и его расширения. Редакторы специальных текстов. Текстовый редактор MS Word. Справочная система. Набор текста. Редактирование текста. Работа с блоками текста. Параметры страницы, абзаца, символа. Проверка орфографии. Оформление документа с помощью стилей. Вставка объектов. Взаимное расположение объекта и текста. Работа с таблицами. Колонтитулы. Сноски. Списки. Многоколоночная верстка. Шаблоны. Управление печатью. Макропрограммирование. Редактор научных текстов ТЕХ. Основные возможности. Набор текста. Компиляция. Просмотр. Печать. Редактор научных текстов Scientific Place. Основные возможности. Системы машинного перевода. Сканирование текстов и проблема распознавания образов. Пакеты сканирования и распознавания текста (FineReader, CuneForm). Обработка графической информации на ЭВМ. Системы машинной графики 18 Системы машинной графики. Системы векторной и растровой графики. Типы графических файлов, конвертирование различных форматов. Графический редактор Paint. Редактор векторной графики CorelDraw. Обработка табличной информации на ЭВМ. Табличные процессоры Табличные процессоры. Назначение. Основные возможности. Общие принципы работы с табличными процессорами. Табличный процессор MS Excel. Справочная система. Содержимое ячеек. Работа с листами. Вставка объектов. Произведение математических расчетов. Макропрограммирование. Базы данных. Системы управления базами данных Базы данных и системы управления базами данных (СУБД). Основные функции СУБД. СУБД MS Access. Создание таблиц. Поиск и сортировка информации. Фильтрация. Создание форм и отчетов. Представление об языках управления реляционными базами данных. Решение математических задач на ЭВМ. Математические пакеты Прикладные инструментальные пакеты для решения математических задач на ЭВМ. Решение математических задач на ЭВМ. Обзор пакетов символьных вычислений (Matematica, Derive, Maple Y, MathCAD). Основы работы MathCad. Назначение и возможности пакета. Основное меню. Системные команды, работа с файлами, режимы работы, редактирование документов, управление окнами, типы данных. Операторы и функции. Решение алгебраических и дифференциальных уравнений. Построение графиков. Обработка экспериментальных данных. Специальные виды математических и физических расчетов. Программирование в MathCAD. Компьютерные дисциплины Алгоритмические языки и программирование Основные этапы компьютерного решения задач. Постановка задачи и спецификация программы. Алгоритмы. Способы записи алгоритмов. Основные алгоритмические конструкции. Реализация основных алгоритмических структур (следования, ветвления и циклов) в языке программирования. Языки программирования (ЯП). Классификация ЯП. Способы описания ЯП. Основные элементы ЯП: алфавит, лексемы, синтаксис, семантика. Виды трансляторов. Этапы трансляции. Системы программирования. Концепция типа данных. Основные стандартные (простые) типы данных в императивных языках программирования. Массивы, строки, записи, множества, файлы в языках программирования. Указатели. Данные с динамической структурой. Связанные списки, стеки, очереди. Нелинейные структуры данных. Бинарные деревья. Процедуры и функции в языке программирования. Виды параметров. Рекурсия. Модули и библиотеки. Методы структурного программирования. Парадигмы и стили программирования. Информатика Понятие информации, общая характеристика процессов сбора, передачи, обработки и накопления информации. Технические и программные средства 19 реализации информационных процессов. Позиционные системы счисления: алгоритмы перевода чисел из одной системы счисления в другую. Типовая схема ЭВМ, принципы фон Неймана. Алгоритмы сортировки элементов массивов. Прикладное программное обеспечение Типология прикладного программного обеспечения. Вспомогательные программы (утилиты). Средства борьбы с вредоносными программами. Утилиты для файловой системы. Архиваторы. Офисные приложения. Пакеты программ. Графические системы. Математические пакеты. Вычислительные возможности. Построение графиков. Программирование. Операционные системы и оболочки Назначение и функции ОС; эволюция и поколения ОС, виды ОС. Обзор семейства ОС Windows. Традиционные и современные системы Unix. Управление процессами и потоками. Обработка прерываний. Синхронизация процессов. Управление вводом-выводом; синхронный и асинхронный вводвывод; кэширование операций. Управление файлами и каталогами; функции и архитектура файловой системы. Управление памятью; виртуальная память, подкачка, фрагментация и загрузка разделами; страничная и сегментная организация памяти. Командные файлы Windows; основные команды для работы с файлами и каталогами; управляющие команды. Командные файлы Unix; основные команды для работы с файлами и каталогами; управляющие команды. Утилиты для обслуживания дисков и устройств. Архиваторы. Антивирусное ПО. Компьютерная графика Основные понятия компьютерной графики. Области применения компьютерной графики. Растровая и векторная графика. Графические устройства. Графические API. Системы машинной графики. Применение систем машинной графики для решения различных задач. Построение реалистических изображений. Удаление невидимых линий и поверхностей. Отсечение. Алгоритм Кируса-Бека. Алгоритмы заполнения. Заполнение с затравкой. Алгоритмы построения отрезков и окружностей. Целочисленные алгоритмы Брезенхема. Основные виды проекций: ортографическая, аксонометрическая, косоугольная. Перспективное преобразование. Стереографическая проекция. Пространственные преобразования. Однородные координаты в пространстве. Двумерные преобразования. Однородные координаты на плоскости. Базы данных Системы управления базами данных (СУБД). Состав СУБД. Основные функции СУБД. Возможности современных СУБД. Связь СУБД с системами программирования. Особенности архитектуры «клиент-сервер». Модели данных. Иерархическая модель данных. Сетевая модель данных. Реляционная модель данных. Реляционная алгебра. Операции над отношениями. Жизненный цикл баз данных. Методы проектирования баз данных. Информационно-логическое проектирование баз данных. Метод 20 «сущность-связь». Даталогическое проектирование баз данных. Метод нормальных форм. Основы объектно-ориентированного программирования Методология объектно-ориентированного программирования. Основные принципы ООП. Понятия класса, объекта, метода, их реализация в языке программирования. Области видимости. Конструкторы и деструкторы. Наследование классов. Типы методов. Полиморфизм. Инкапсуляция. Свойства (property). Особенности программирования для Windows. Сообщения и события. Программирование, управляемое событиями. Компоненты. Визуальное проектирование интерфейса. Библиотеки компонентов. Обработка исключений. Обработка исключительных ситуаций. Преобразование типов. Многофайловые программы. Архитектура вычислительных систем и компьютерных сетей Понятие архитектуры вычислительной системы. Архитектура как набор взаимодействующих компонентов. Основные компоненты вычислительной системы и их характеристики. Архитектура процессора. CISC и RISC архитектура. Методы адресации и типы команд. Основные команды языка Ассемблер. Принципы построения и архитектура компьютерных сетей. Классификация сетей. Основные виды сетевого оборудования. Сетевые возможности операционных систем. Классификация сетевых протоколов, их описание, строение, применение. Иерархия протоколов и режимы их работы, Стеки протоколов. Функциональные и архитектурные особенности сети Интернет. Сервисы и службы Интернет. Дифференциальные уравнения Общие понятия и определения обыкновенных дифференциальных уравнений (д.у.). Основные задачи теории обыкновенных д.у. Геометрическая интерпретация д.у. первого порядка. Постановка задачи Коши. Примеры задач, приводящих к понятию д.у. Д.у. вида у = f(x,y). Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные д.у. и уравнения, приводящиеся к однородным. Линейные д.у. первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной. Уравнения Бернулли и Риккати. Д.у. в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Д.у. высших порядков, допускающие понижение порядка. Принцип сжатых отображений (теорема С. Банаха). Условие Липшица. Доказательство теоремы существования и единственности решения задачи Коши для д.у. 1-го порядка на основании принципа сжатых отображений. Замечания. Д.у. первого порядка, неразрешенные относительно производной. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Метод введения параметра. Д.у. Лагранжа и Клеро. Особые решения. Методы нахождения особых решений. Вектор-функция и ее свойства. Условие Липшица для векторзначной функции. Теорема существования и единственности решения задачи Коши 21 для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и нормальной системы линейных уравнений. Линейные д.у. первого порядка. Понятие линейного дифференциального оператора и его свойства. Общие свойства решений однородного линейного дифференциального уравнения (л.д.у.). Линейная зависимость и независимость системы функций на промежутке. Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости. Достаточное условие линейной независимости. Примеры линейно независимых систем функций. Необходимое и достаточное условие линейной независимости решений однородного л.д.у. Фундаментальная система частных решений д.у. Теорема о существовании фундаментальной системы частных решений однородного л.д.у. Теорема об общем решении однородного л.д.у. Некоторые свойства фундаментальной системы решений однородного л.д.у. Однородные л.д.у. с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Теоремы о связи решений однородного л.д.у. с корнями характеристического уравнения. Построение общего решения однородного л.д.у. в случаях, когда корни характеристического уравнения действительны и различны и когда корни действительны, но среди них есть кратные. Построение общего решения однородного л.д.у. в случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются комплексные решения. Неоднородные л.д.у. с переменными коэффициентами. Структура общего решения неоднородного л.д.у. Построение общего решения неоднородного л.д.у. методом вариации произвольных постоянных. Неоднородные л.д.у. с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения п-го порядка. Математические модели колебательных систем. Свободные колебания в среде без сопротивления. Свободные колебания в среде с сопротивлением. Вынужденные колебания в среде с сопротивлением. Резонанс. Общие свойства решений однородной системы л.д.у. Фундаментальная система частных решений однородной системы л.д.у. Теорема об общем решении однородной системы л.д.у. Неоднородная система л.д.у. Метод вариации произвольных постоянных. Система л.д.у. с постоянными коэффициентами. Видоизмененный метод Эйлера решения систем ЛДУ с постоянными коэффициентами. Функциональный анализ Мощность множеств Мощность множеств. Счетные множества, континуум. Булеан множества, существование множеств сколь угодно большой мощности. Антиномия Кантора. 22 Линейные, метрические нормированные, евклидовы и гильбертовы пространства Линейные, метрические пространства. Линейные нормированные пространства, евклидовы пространства, неравенство Коши-Буняковского. Топология метрического пространства. Непрерывные отображения метрических пространств. Свойства непрерывных отображений компактов, теоремы Вейерштрасса и Кантора. Фундаментальные последовательности и их свойства. Полные метрические пространства. Гильбертово пространство. Ортогональные системы в гильбертовом пространстве. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Полнота и замкнутость. Примеры. Многочлены Лежандра, Эрмита. Теория меры Мера множества по Жордану и Лебегу. Измеримые функции. Интеграл Лебега и его связь с интегралом Римана. Пространства Lp, их полнота. Линейные операторы и функционалы Непрерывные линейные операторы. Непрерывность и ограниченность оператора. Норма оператора. Норма композиции и сужения. Пространство линейных операторов, его полнота. Ядро и образ линейного оператора. Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе. Линейные непрерывные функционалы в Lp, в гильбертовых пространствах. Оператор сжатия и его свойства. Теорема Банаха о сжимающем операторе в полном метрическом пространстве и её приложения. Теория случайных процессов Случайные последовательности Мартингалы. Ряды независимых случайных величин. Эргодические теоремы. Процесс восстановления. Цепи Маркова. Цепи Маркова со счётным числом состояний. Марковские процессы Марковский случайный процесс (СП). Дискретная марковская цепь (ДМЦ). Переходные вероятности. Уравнение Колмогорова-Чепмена. Однородность ДМЦ. Применение производящих функций для исследования ДМЦ. Классификация состояний ДМЦ. Блочная структура матрицы переходных вероятностей в случае разложимой ДМЦ, в случае неразложимой периодической ДМЦ. Стационарные процессы Строгая и слабая стационарность. Эргодичность СП по математическому ожиданию в смысле сходимости в среднем квадратичном. Условия эргодичности по математическому ожиданию. Гауссовские процессы Семейство конечномерных распределений СП. Теорема Колмогорова. Моментные функции СП, свойства корреляционной функции. Гауссовский (нормальный) случайный вектор. Характеристическая функция нормального 23 случайного вектора. Линейное преобразование нормального случайного вектора, частные и условные распределения его компонент. Вырожденный нормальный случайный вектор. Стохастические интегралы Определение случайной функции. Гауссовы случайные функции. Гильбертовы случайные функции. Стохастические меры и интегралы. Интегральные представления случайных функций. Уравнения в частных производных Дифференциальные уравнения в частных производных. Основные понятия. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Вывод уравнения колебаний струны. Постановка основных начально-граничных задач. Вывод уравнения теплопроводности. Постановка начально-граничных задач. Задачи, приводящие к уравнению Пуассона и Лапласа. Постановка основных граничных задач. Понятие о корректно поставленной задаче для дифференциальных уравнений. Примеры некорректных краевых задач. Задача Коши. Теорема Коши - Ковалевской. Типы линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Понятие характеристики. Приведение к каноническому виду дифференциальных уравнений второго порядка от двух независимых переменных. Первая начально-граничная задача для уравнений колебаний струны. Задача Коши для уравнения колебания струны. Формула Даламбера. Задачи Гурса и Дарбу для уравнения струны. Метод последовательных приближений. Метод Римана для построения решения задач Коши и Гурса. Решение первой начально-граничной задачи для уравнения струны методом разделения переменных. Общие сведения об эллиптических уравнениях. Гармонические функции. Теорема Кельвина. Внутренний принцип экстремума гармонических функций. Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге и кольце методом разделения переменных. Формула Пуассона. Свойства гармонических функций. Граничный принцип экстремума для гармоничных функций. Задачи Неймана и Пуанкаре для уравнения Пуассона. Первичная начально-граничная задача для уравнения теплопроводности. Распространение тепла в бесконечном стержне (Задача Коши). Решение первой начально-граничной задачи для уравнения теплопроводности в одномерном случае. Математическое моделирование Построение математической модели и формулировка задач. Анализ размерностей в математическом моделировании. Уравнения математической физики при моделировании процессов трубопроводного транспорта. Метод аналогий при моделировании процессов переноса. Волновой характер 24 решений уравнений гиперболического типа. Решение краевых задач методом Фурье. Решение обратных задач трубопроводного транспорта. Математические модели надежности в трубопроводном транспорте. Структурные свойства систем. Основные понятия и характеристики эксплуатационной надежности. Измерение показателей надежности. Модель отказов. Модель формирования постепенного отказа. Математические модели замены оборудования, подверженного износу. Стратегии замены оборудования. Математические модели замены оборудования. Методы оптимизации Предмет и история развития методов оптимизации. Общая постановка задачи оптимизации и основные положения. Методы минимизации функции одной переменной: деление отрезка пополам, золотого сечения, Фибоначчи, Ньютона. Теорема Вейерштрасса о достижении нижней грани функции на множестве. Методы минимизации функций многих переменных: наискорейшего спуска, сопряженных градиентов, конфигураций Ньютона. Задача линейного программирования: постановка задачи, примеры. Каноническая задача линейного программирования. Теоремы Данцига для ЗЛП. Симплекс-метод. Поиск начального базиса. Элементы двойственности в линейном программировании и основная теорема двойственности. Целочисленное программирование. Элементы выпуклого анализа: выпуклые и сильновыпуклые функции и их свойства (основные теоремы). Методы условной оптимизации. Необходимые и достаточные условия условного экстремума. Правило множителей Лагранжа для задач с ограничениями типа равенств и неравенств. Теорема о штрафных функциях. Метод штрафных функций. Задачи вариационного исчисления. Основные леммы вариационного исчисления, дифференциал функционала. Теорема о необходимом условии экстремума. Уравнение Эйлера. Виды задач вариационного исчисления. Динамические макроэкономические модели. Численные методы Численные методы решения скалярных уравнений Отделение корней. Приближенное вычисление корня уравнения с заданной точностью методом половинного деления. Метод простой итерации численного решения уравнений. Условия сходимости итерационной последовательности. Практические схемы вычисления приближенного значения корня уравнения с заданной точностью методом простой итерации. Сходимость и устойчивость численного метода. Численные методы решения систем линейных и нелинейных уравнений Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений. Полные метрические пространства. Теорема о сжимающих отображениях в полном метрическом пространстве и ее следствия. Применение теоремы о сжимающих отображениях при решении системы линейных уравнений: простые итерации, метод Зейделя. Погрешности округления при 25 практической реализации итерационного процесса. Число операций при решении системы линейных уравнений методом Гаусса. Оценка погрешности решения системы линейных алгебраических уравнений. Понятие об обусловленности. Достаточное условие сжатости отображения для системы нелинейных уравнений. Понятие о методе Ньютона решения такой системы. Практические схемы решения на ЭВМ. Среднеквадратичные приближения Теорема о существовании элемента наилучшего приближения в линейном нормированном пространстве. Необходимое и достаточное условие, которому удовлетворяет элемент наилучшего приближения в пространстве со скалярным произведением. Единственность этого элемента, его нахождение. Ортогонализация линейно независимой системы Приближение по ортогональной системе, Неравенство Бесселя. Многочлены Лежандра, их свойства. Дискретный вариант среднеквадратичных приближений. Ортогональные на сетке многочлены. Переопределенная система линейных уравнений. Понятие об определении параметров функциональной зависимости. Интерполирование функций Задачи, приводящие к аппроксимации одной функции другой. Алгебраический интерполяционный многочлен: единственность, форма Лагранжа, оценка погрешности интерполирования, схема Эйткена. Разделенные разности. Первый и второй многочлены Ньютона. Связь разделенной разности и производной. Практическая оценка погрешности интерполирования. Обратное интерполирование. Многочлены Чебышева, их применение для минимизации оценки погрешности интерполирования. Понятие о сходимости интерполяционного процесса. Обобщенная задача интерполирования. Многочлены Эрмита. Понятия о сплайнах, практические схемы интерполирования на ЭВМ. Численное дифференцирование и интегрирование Постановка задачи численного дифференцирования. Численное дифференцирование на основе интерполяционных многочленов. Оценка погрешности численного дифференцирования в точке, не лежащей внутри отрезка интерполирования. Численное вычисление первой производной во внутреннем узле таблицы. Общий случай вычисления производной произвольного порядка. Метод неопределенных коэффициентов. Неустранимая погрешность формул численного дифференцирования. Численное дифференцирование на ЭВМ. Постановка задачи приближенного вычисления определенного интеграла, формула прямоугольников. Формулы Ньютона-Котеса. Метод неопределенных коэффициентов. Формула трапеций, Практическая оценка погрешности квадратурных формул. Формула Симпсона. Квадратурная формула Гаусса, оценка порядка убывания погрешности. Вычислительная погрешность квадратурных формул. Метод Монте-Карло, Численное интегрирование на ЭВМ. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных 26 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта. Решение краевой задачи для линейного уравнения 2-го порядка сведением к разностной краевой задаче. Метод прогонки. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на ЭВМ. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных Решение дифференциальных уравнений в частных производных с помощью построения разностных схем. Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Понятие о спектральном признаке устойчивости. Явные, неявные разностные схемы. Понятие о решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа сведением к системе линейных уравнений с последующим ее решением методом Монте-Карло или итерационным методом. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных на ЭВМ. Теория игр и исследование операций Основные понятия и математическая модель операции Понятие операции, оперирующей стороны, цели, решения, целерационального поведения. Математическое моделирование процессов принятия решений. Оптимизационные задачи в науке, технике, экономике. Общая математическая модель операции. Понятие стратегии. Неконтролируемые факторы (фиксированные, случайные, неопределенные). Понятие целевой функции (критерия, функции полезности, функции выигрыша). Аксиоматика теории полезности. Принятие решений в условиях полной информации, риска, неопределенности и многокритериальности. Принципы оптимальности (конструктивный и аксиоматический подходы). Классические оптимизационные задачи Введение в оптимизацию. Локальный и глобальный экстремум. Теоремы существования. Одномерная и многомерная оптимизация. Безусловный экстремум: необходимые и достаточные условия. Условный экстремум: функция Лагранжа, метод множителей Лагранжа, необходимые и достаточные условия. Примеры. Линейное программирование Постановка задачи, геометрический смысл, примеры. Симплекс-метод. Двойственные задачи и теоремы двойственности. Транспортная задача, метод потенциалов. Целочисленное линейное программирование. Методы отсечения и ветвей и границ. Нелинейное программирование Общая постановка задачи нелинейного программирования. Выпуклое программирование, двойственность, теорема Куна-Таккера. Численные методы решения (градиентные, возможных направлений, множителей Лагранжа, Ньютона, штрафных функций). Динамическое программирование Многошаговые задачи принятия решений. Формулировка задачи динамического программирования, примеры (задачи распределения 27 ресурсов, управления запасами, сетевые). Метод динамического программирования. Принцип оптимальности и функция Беллмана. Многокритериальная оптимизация Проблема многокритериальное. Многокритериальность и неопределенность. Формализация понятия оптимальности. Задание предпочтений на множестве альтернатив. Парето оптимальность. Методы свертки, идеальной точки, лексикографии, ограничений, уступок, попарных сравнений. Целевое программирование. Примеры (задача Марковица управления портфелем ценных бумаг, планирование сценариев). Игры в нормальной форме Определение игры. Информированность и принципы поведения. Гарантированный результат. Биматричные игры. Доминирующие и доминируемые стратегии. Разрешимость по доминированию. Равновесие по Нэшу. Равновесие и паретооптимальность. Антагонистические игры. Матричная игра. Определение понятия цены антагонистической игры. Смешанные стратегии. Существование цены игры и равновесия в смешанных стратегиях. Методы решения матричных игр и нахождения равновесных ситуаций. Примеры. Теория статистических решений. Принятие решений в условиях неопределенности. Критерии максимального среднего выигрыша и минимального среднего риска. Принятие решений в условиях риска. Критерии Вальда, Лапласа, Сэвиджа и Гурвица. Позиционные игры Игры в развернутой форме. Дерево игры. Игры с полной и неполной информацией. Информационные множества. Метод обратной индукции. Теорема Куна (разрешимость по доминированию и существование равновесия по Нэшу для конечной игры с полной информацией). Совершенное равновесие. Иерархические игры. Классификация игр двух лиц. Игры с неполной информацией. Игры с природой. Статистические решения. Матрица рисков. Критерии Вальда, Лапласа, Гурвица, Сэвиджа. Позиционные игры со случайными ходами. Равновесие Байеса-Нэша. Теория массового обслуживания Основные понятия и определения. Одноканальные и многоканальные системы массового обслуживания (СМО). Пуассоновский поток событий. Обслуживание с отказами, ожиданиями, приоритетами. Оптимизация обслуживания. Метод имитационного моделирования СМО. ДИСЦИПЛИНЫ СПЕЦИАЛИЗАЦИИ Математические методы в промышленности Оптимизация топливно-энергетического баланса экономического региона. Модель оптимизации топливно-энергетического баланса предприятия. Модели оптимизации уровня электрификации. Морской порт для разгрузки судов как система массового обслуживания с ожиданием и неограниченным потоком требований. Система автозаправки как система массового обслуживания при поступлении смешанного потока требований. Нефтеналивной причал как система массового обслуживания при групповом поступлении заявок. Обобщенная линейная модель планирования 28 материальных потоков. Задача оперативного управления приготовлением котельных и дизельных топлив. Задача оперативного управления приготовлением бензинов. Оптимальное разделение нефти. Календарное планирование производства бензинов. Оптимальное смешение котельных и моторных топлив с учетом старения. Вычислительные методы решения задач линейной алгебры Решение линейных уравнений. Линейные задачи наименьших квадратов. Несимметрическая проблема собственных значений. Симметрическая проблема собственных значений и сингулярное разложение. Итерационные методы для линейных систем. Итерационные методы для задач на собственные значения. Методы решения интегральных уравнений Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Элементы теории линейных операторов. Существование собственного значения у самосопряженного вполне непрерывного оператора. Построение последовательности собственных значений и собственных функций вполне непрерывного самосопряженного оператора. Теорема Гильберта-Шмидта. Неоднородные уравнения Фредгольма 1 рода с симметричным ядром. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. Неоднородные уравнения Фредгольма 2 рода с малыми λ. Уравнение Вольтера 2 рода. Уравнения с вырожденными ядрами. Теоремы Фредгольма. Задача Штурма-Лиувилля. Интегральные уравнения Фредгольма 1 рода. Метод регуляризации А.Н. Тихонова. Результаты из общей теории приближенных методов анализа. Аппроксимативные свойства полиномиальных сплайнов минимальных степеней. Метод Галеркина. Метод наименьших квадратов. Метод подобластей. Метод коллокации. Метод механических квадратур. Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Прямые методы решения интегральных уравнений. Периодический случай. Прямые методы решения интегральных уравнений Фредгольма. Непериодический случай. Специальные функции и их применение к задачам математической физики Основы теории специальных функций Дифференциальные уравнения для специальных функций. Полиномы и интегральные представления. Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования. Классические ортогональные полиномы Основные свойства. Качественное поведение и асимптотические свойства полиномов Якоби, Лагерра, Эрмита. Разложение функций по ортогональным полиномам. Задачи на собственные значения. Сферические функции. Функции второго рода. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. Цилиндрические функции 29 Дифференциальное уравнение Бесселя и его решение. Основные свойства цилиндрических функций. Интегральное представление Зоммерфельда. Специальные классы цилиндрических функций. Теоремы сложения. Квазиклассическое приближение. Гипергеометрические функции Уравнения гипергеометрического типа и их решения. Основные свойства функций гипергеометрического типа. Представление некоторых функций через гипергеометрические. Определенные интегралы, содержащие функции гипергеометрического типа. Некоторые частные виды специальных функций Гамма-функция. Пси-функция. Интегральные функции: показательная, логарифмическая, синус и косинус. Интеграл Эйри. Интеграл вероятностей. Дзета-функция. Решение некоторых задач математической физики Приведение уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям различными методами. Краевые задачи математической физики. Решение некоторых основных задач квантовой механики. Применение специальных функций в некоторых задачах вычислительной математики. Теория дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом Классификация дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Постановка начальной задачи. Методы интегрирования уравнений с запаздывающим аргументом. Метод шагов решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и с запаздыванием. Линейные дифференциальные уравнения с запаздыванием. Дифференциальные уравнения Бернулли с запаздыванием. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах с запаздыванием. Необходимые и достаточные условия. Примеры Периодические решения Периодические решения линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и с запаздыванием. Периодические решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и с запаздыванием. Комплексная форма ряда Фурье для периодической функции. Отыскание частного периодического решения линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с запаздыванием разложением правой части уравнения в ряд Фурье. Комплексная форма ряда Фурье для периодической функции. Отыскание частного периодического решения линейных неоднородных 30 уравнений с постоянными коэффициентами и с запаздыванием разложением правой части уравнения в ряд Фурье. Приближенное решение дифференциальных уравнений с запаздыванием Метод разложения по степеням запаздывания. Приближенный метод Пуанкаре нахождения периодического решения квазилинейного уравнения с малым параметром и с запаздыванием. Примеры. Применение дифференциальных уравнений с запаздыванием к решению прикладных задач Экономический цикл Колецкого. Дифференциальное уравнение с запаздыванием для функции K(t), показывающей запас наличного основного капитала в момент t. K(t)=aK(t)-bK(t-l), a=const, b=const. Анализ характеристического уравнения, отвечающего дифференциальному уравнению для функции K(t). Случай комплексного решения квазиполинома для уравнения, отвечающего К ( t ) ( i ). Дифференциальное уравнение для функции Y(t), показывающей национальный доход в моделях с лагами капитальных вложений при условии, что Ct - 1 Yt , где C(t) функция потребления Yt Yt 0 , (a=const, p=const ). Анализ решения дифференциального уравнения с запаздыванием Yt 1 B Yt 1 B C0 rt (функция потребления C(t) увеличивается с непрерывным ростом, т.е., C(t)=C(0) exp(rt) ,где r - темп прироста). Обобщенные ряды Фурье Обобщённые функции Пространство обобщённых функций. Полнота пространства обобщённых функций. Носитель обобщённой функции. Регулярные обобщённые функции. Меры. Формулы Сохоцкого. Замены переменных в обобщённых и функциях Обобщённые функции медленного роста Пространство обобщённых функций медленного роста. Простейшие операции. Структура обобщённых функций медленного роста Прямое произведение и свёртка. Преобразование Фурье обобщённых функций медленного роста Преобразования Фурье обобщённых функций. Свойства преобразования Фурье. Преобразование Фурье с компактным носителем. Преобразование Фурье свёртки. Ряды Фурье периодических обобщённых функций Определение и свойства периодических обобщённых функций. Ряды Фурье периодических обобщённых функций. Свёрточная алгебра. Тензорное исчисление Тензорная алгебра Векторные пространства. Базис и координаты вектора. Линейные операторы. Ковекторные пространства. Сопряжённый базис, сопряжённый оператор. Тензорные пространства. Координаты тензора и их преобразования. Тензорные операции. Операции симметрирования и альтернирования. Симметричные и косимметричные тензоры. Внешние 31 формы. Евклидовы и псевдоевклидовы векторные пространства. Метрический тензор. Опускание и поднимание индекса. Дикриминанатный тензор. Аффинные и псевдоевклидовы пространства, m- плоскости. Тензорный анализ Тензорные поля и их дифференциал. Производная по направлению. Векторные поля и их интегральные линии. Коммутатор. Внешние дифференциальные формы. Внешний дифференциал. Криволинейные координаты в аффинном пространстве, натуральный репер. Формы и коэффициенты связности. Тензорные поля в криволинейных координатах. Абсолютный дифференциал и ковариантная производная. Приложение тензорного исчисления к некоторым вопросам механики и физики. Операционное исчисление Краткий исторический очерк развития идей операционного (символического) исчисления. Понятие о преобразовании Лапласа. Оригинал и изображение. Оригинал и изображение. Примеры вычислений изображений. Теоремы существования изображения и единственности оригинала. Правила выполнений операций при преобразовании Лапласа (свойства преобразования Лапласа). Некоторые основные теоремы операционного исчисления. Дифференцирование и интегрирование оригиналов. Дифференцирование и интегрирование изображений. Свертка функций. Теорема свертывания (умножения изображений). Обратное преобразование Лапласа. Теорема обращения преобразования Лапласа. Частные методы определения оригинала по изображению. Применение операционного исчисления. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение систем дифференциальных уравнений. Решение линейных дифференциальных уравнений в частных производных в частных производных. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Бахвалов Н.С. Численные методы. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Житков, Г.М. Кобельков. – М.: Бином, 2003. – 632 с. 2. Бен-Ари М. Языки программирования. Практический сравнительный анализ / М. Бен-Ари – М.: Мир, 2000. – 366 с. 3. Бобровский В.В. Delphi5 / Бобровский В.В. – СПб.: Питер, 2001.– 640 с. 4. Васильков Ю.В. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании / Ю.В. Васильков Н.Н. Василькова. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 256 с. 5. Вентцель Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров / – М.: Издат. центр «Академия», 2003. – 448 с. 6. Вентцель Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель – М.: Высшая школа, 2001. – 575 с. 7. Вержбицкий В.М. Основы численных методов / В.М. Вержбицкий – М.: Высшая школа, 2002. – 840 с. 8. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров, В.В. Жаринов – М.: Физматлитиздат, 2003. – 400 с. 32 9. Гаврилов Г.П. Задачи и упражнения по дискретной математике / Г.П. Гаврилов, А.А Сапоженко – М.: Физматлит, 2005. – 271 с. 10. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple / Д.П. Голосков – СПб.: Питер, 2004. – 539 с. 11. Гордеев А.В. Системное программное обеспечение / А.В. Гордеев, А.Ю. Молчанов – Спб.: Питер, 2001-2003. – 736с. 12. Дейт. Введение в системы баз данных / М. – Спб.: Издательский дом «Вильямс». – 2000. – 848с. 13. Джон Вейскас. Эффективная работа с Ms Access 2000. / – Спб.: Питер, 2001.- 1040с. 14. Иванова Г.С. Основы программирования / Г.С. Иванова – М.: МГТУ им. Баумана, 2001г. – 392 с. 15. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов / B.И. Игошин – М.: Академия, 2004. – 448 с. 16. Ильин В.Л, Основы математического анализа. В 2 ч./ В А. Ильин, Э.Г. Позняк – М.: Физматлит, 2002. ч. 1 – 648 с, ч.2 – 464 с. 17. Ильин В.Л. Математический анализ./ В.Л. Ильин, В.Л. Садовничий, Б.Х. Сендов – М.: Наука, 1987. – 359 с. 18. Инженерная и компьютерная графика / Под ред. Э.Т. Романычевой. – М.; Высшая школа, 1996. – 367 с. 19. Карлащук, В.И. Электронная лаборатория на IBM IРC. Программа Еlectronics Workbench и ее применение / В.И. Карлащук. – 2-е изд., доп. и перераб. – М. : Сонон-Р, 2001. – 506 с. 20. Карпова Т.С. базы данных. Модели, разработка, реализация / Т.С. Карпова – СПб.: Питер, 2001г. – 340с. 21. Конноли Т. Базы данных: проектирование, реализация, сопровождение / Т. Конноли, К. Бегг, А. Страчан – Пер. с англ. М.: Издательский дом «Вильямс», 2000. – 1120с. 22. Кострикин А.И. Введение в алгебру/ А.И. Кострикин – М.: Физматлит, 2001, (2 тома). – 496 с. 23. Кострикин А.И. Линейная алгебра и геометрия/ А.И. Кострикин – СПб.: Лань, 2005. – 304 с. 24. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. / Л Д Кудрявцев – М: Дрофа, 2003. – 704с. 25. Курячий, Г. В. Операционная система Linux / Г.В. Курячий; К.А. Маслинский. – М.; Интернет-Университет информационных технологий, 2005. – 392 с. 26. Лавров И. А. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов / И.А. Лавров, Л.Л. Максимова – М: Физматлит, 2003. – 256 с. 27. Математический анализ в вопросах и задачах / Под ред. В.Ф. Кутузова. – М.: Физматлит, 2001. – 480 с. 28. Никитин В.В. Курс теоретической механики / Н.Н. Никитин – М.: Высшая школа, 2003. – 719 с. 33 29. Никольский С.М. Курс математического анализа / С.М. Никольский – М.: Физматлит, 2001. – 592 с. 30. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов / Ф.А. Новиков - СПб.: Питер, 2003. – 363 с. 31. Олифер В.Г. Сетевые операционные системы / В.Г. Олифер, Н.А. Олифер – СПб.: Питер, 2003. – 539 с. 32. Олифер В.Г. Компьютерные сети. Принципы, технологии, протоколы / В Г. Олифер, Н. А. Олифер. –СПб.: Питер, 2001. – 672 с. 33. Опалева Э.Я. Языки программирования и методы трансляции. / Э.А. Опалева, В.П. Самойленко. – Спб.: БХВ – Санкт-Петербург, 2005. – 480с. 34. Основы операционных систем. Курс лекций. Учебное пособие. / В.Е. Карпов, К.А. Коньков / Под ред. В.П. Иванникова. – М.: ИНТУИТ.РУ «Интернет-Университет информационных технологий», 2004. – 632 с. 35. Пантелеев А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах: Учеб. пособие / А.В. Пантелеев, А.С. Якимова, А.В. Босов – М.: Высшая школа, 2001. – 376 с. 36. Пестриков В.М. Механика разрушения твердых тел / В.М. Пестряков, Е.М. Морозов. – СПб.: Профессия, 2002. – 320 с. 37. Петров М.Н, Компьютерная графика / M.Н. Петров, В П. Молочков – СПб: Питер, 2003. – 736 с. 38. Подбельский В.В. Язык C++ / В.В. Подбельский – М.: Финансы и статистика, 2003. – 600 с. 39. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре / И.В. Проскуряков. – СПб: Физматлит Невский диалект, 2001. – 382 с. 40. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика / В.С. Пугачев – М.: Физматлит, 2002. – 496 с. 41. Пухальский, Г.И. Проектирование микропроцессорных систем / Г.И. Пухальский. – СПб.: Политехника, 2001 – 544с. 42. Пытьев Ю.П. Математические методы интерпретации эксперимента / Ю.П. Пытьев – М.: Высш. школа, 1989. – 351 с. 43. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики / К.Б. Сабитов – М.: Высшая шк., 2003. – 255 с. 44. Самарский А.А. Математическое моделирование / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. – М.: Физматлит, 2001. – 320 с. 45. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики /А.А. Самарский, А.В. Гулин – М.: Научный мир, 2000. – 316 с. 46. Судоплатов С.В. Элементы дискретной математики / С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова – Новосибирск: HГТУ, 2002. – 280 с. 47. Тихонов А.Н. Дифференциальные уравнения / А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников – М.: Физматлит, 2002. – 256 с. 48. Успенский В.А. Вводный курс математической логики / В.А. Успенский, Н.K. Верещагин, В.Е. Плиско – М.: Физматлит, 2002. – 128 с. 34 49. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для ВУЗов / Д.К. Фадеев – Санкт- Петербург: Лань, 2002. – 416 с. 50. Фаронов В.В. Delphi. Руководство разработчика баз данных / В.В. Фаронов, П.В. Шумаков – М.: «Нолидж», 2001. – 640с. 51. Фаронов В.В., Delphi. Программирование на языке высокого уровня / ВВ. Фаронов - СПб.: Питер, 2004 г. – 640 с. 52. Фридман А.Л. Основы объективно-ориентированного программирования на языке СИ++ / А.Л. Фридман. – М.: Горячая линия – Телеком, Радио и связь, 1999. – 208с. 53. Хансен Г. Базы данных: разработка и управление / Г. Хансен, Д. Хансен – М. ЗАО «Издательство БИНОМ», 1999. – 704с. 54. Циглер Ф. Механика твердых тел и жидкостей/ Ф. Циглер – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. – 912 с. 55. Ширяев А.Н. Вероятность. В 2 кн./А.Н. Ширяев – М.: МЦНМО, 2004 – Кн.1 – 520 с., Кн.2 – 407 с. 56. Яблонский СВ. Введение в дискретную математику / С.В. Яблонский – М: Высшая школа, 2002. – 312 с. Дополнительная литература 1. Будак Б.М. Кратные интегралы и ряды/ Б.М. Будак, С.М. Фомин – М.: Наука, 1965. – 598 с. 2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман – М.: Высшая школа, 2004. – 404 с. 3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман – М.: Высшая школа, 2004. – 479 с. 4. Зорич В. А. Математический анализ / В. А. Зорич – М.: Наука, 1981. – ч. 1, 543 с., 1998 – ч. 2 – 787 с. 5. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа/ Л.А. Люстерник, В.И. Соболев – М.: Наука, 1965. – 52 с. 6. Протасов И.Д. Теория игр и следование операций/ И.Д. Протасов – М.: Гелиос АРВ, 2003. – 368 с. 7. Смирнов В. И. Курс высшей математики / В. И. Смирнов – М.: Наука, 1981. – том 1. – 471 с., 1981. – том 2. – 655 с. 8. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа/ Г.М. Фихтенгольц – СПб.: Лань, 2001. – том 1/ - 448 с, том 2. – 464 с. 9. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ИТОГОВОГО МЕЖДИСЦИПЛИНАРНОГО ЭКЗАМЕНА Итоговый междисциплинарный экзамен (ИМЭ) по специальности является одним из заключительных этапов подготовки специалистов, проводится согласно графику учебного процесса после преддипломной практики и имеет целью: оценить теоретические знания, практические навыки и умения; 35 проверить подготовленность выпускника к профессиональной деятельности. Программа ИМЭ по специальности должна включать базовые общетеоретические и практически значимые вопросы по дисциплинам общепрофессиональной и специальной подготовки. Программа наряду с требованиями к содержанию отдельных дисциплин должна учитывать общие требования к выпускнику, предусмотренные Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования поданной специальности (специализации). К итоговому междисциплинарному экзамену по специальности 230401.65 «Прикладная математика» допускаются лица, завершившие полный курс обучения по основной образовательной программе и успешно прошедшие все предшествующие аттестационные испытания, предусмотренные учебным планом на момент проведения экзамена. Выпускник должен продемонстрировать знание следующих основных и специальных дисциплин: алгебра и аналитическая геометрия, математический анализ, теория функций комплексного переменного, дискретная математика, теория вероятностей и математическая статистика, программные и аппаратные средства информатики, компьютерные дисциплины, дифференциальные уравнения, функциональный анализ, теория случайных процессов, уравнения в частных производных, математическое моделирование, методы оптимизации, численные методы, теория игр и исследование операций, математические методы в промышленности, вычислительные методы решения задач линейной алгебры, методы решения интегральных уравнений, специальные функции и их применение к задачам математической физики, теория дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами, обобщенные ряды Фурье, тензорное исчисление, операционное исчисление. Выпускник должен обладать глубокими профессиональными знаниями; уметь критически анализировать различные точки зрения по вопросам моделирования различных процессов; уметь изложить собственное мнение, приводя доказательные аргументы. ТРЕБОВАНИЯ К ОТВЕТУ ВЫПУСКНИКА И КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ЗНАНИЙ ПРИ СДАЧЕ ИТОГОВОГО МЕЖДИСЦИПЛИНАРНОГО ЭКЗАМЕНА На государственном итоговом междисциплинарном экзамене по специальности 230401.65 «Прикладная математика». Студент должен четко и ясно формулировать ответ на вопрос билета. Студент-выпускник должен глубоко разбираться во всем круге вопросов по получаемой специальности 230401.65 «Прикладная математика». Пересдача экзамена на повышенную оценку запрещается. Результат итогового междисциплинарного экзамена по специальности 230401.65 «Прикладная математика» определяется дифференцированно 36 оценками «отлично», «хорошо», «удовлетворительно», «неудовлетворительно», которые объявляются в тот же день после оформления в установленном порядке протоколов заседаний аттестационной комиссии. Студент, не сдавший итоговый междисциплинарный экзамен по специальности 230401.65 «Прикладная математика», допускается к нему повторно, но не ранее, чем через год. Срок повторной сдачи устанавливает ректор университета в соответствии с федеральным законном «Об образовании» по согласованию с председателем ГАК в период очередной сессии ГАК. Студент, имеющий неудовлетворительную оценку по итоговому междисциплинарному экзамену, не допускается к следующему виду аттестационных испытаний – защите выпускной квалификационной работы. Результаты итогового междисциплинарного экзамена по специальности 230401.65 «Прикладная математика» вносятся в зачетную книжку студента и заверяются подписями всех членов экзаменационной комиссии, присутствующих на заседании. Выставляемая оценка должна характеризовать уровень теоретических знаний и практических навыков выпускника. Примерный вариант критериев оценки знаний. Оценка «отлично». Ответы на поставленные вопросы в билете излагаются логично, последовательно и не требуют дополнительных пояснений. Демонстрируются глубокие базовые знания, понимание логической структуры дисциплин, причинно-следственных связей между разделами, свободное владение излагаемым материалом. При ответе соблюдаются нормы литературной речи. Оценка «хорошо». Ответы на поставленные вопросы излагаются систематизировано и последовательно. Базовые знания используются в достаточном объеме. Материал излагается уверенно. Демонстрируется умение анализировать материал, но не все выводы аргументированы. В целом соблюдаются нормы литературной речи. Оценка «удовлетворительно». Неполно раскрываются поставленные вопросы, демонстрируются поверхностные знания вопроса, а имеющиеся практические навыки с трудом позволяют решать конкретные задачи. Допускаются нарушения в последовательности изложения. Имеются затруднения с выводами. Допускаются нарушения норм литературной речи. Оценка «неудовлетворительно». Материал излагается непоследовательно, сбивчиво, не представляет определенной системы знаний по дисциплине. Не раскрываются все поставленные вопросы. Имеются заметные нарушения норм литературной речи. 37