программа - Кафедра алгебры и геометрии

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОУ ВПО «ЧУВАШСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ И.Я. ЯКОВЛЕВА»
ПРОГРАММА
ГОСУДАРСТВЕННОЙ
АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
для специальности
«Информатика и математика»
ЧЕБОКСАРЫ 2010
Государственная аттестация по математике
Целью государственной аттестации по математике является контроль уровня общей математической культуры студентов специальности «Информатика» и проверка их подготовленности к
преподаванию математики в различных образовательных учреждениях.
Программа государственной аттестации по математике содержит ключевые вопросы программ курсов алгебры, геометрии, математического анализа, имеющие теоретическое и практическое значение в работе учителя с высшим педагогическим образованием.
Государственная аттестация студентов специальности «Информатика и математика» состоит
из трех испытаний:
-междисциплинарный экзамен по основной специальности «Информатика» – 10-й семестр;
-итоговый экзамен по отдельной дисциплине (по дополнительной специальности – математика) – 10-й семестр;
-защита выпускной квалификационной (дипломной) работы по информатике и методике ее
преподавания – 10-й семестр.
1. Системы линейных алгебраических уравнений
Системы линейных алгебраических уравнений. Равносильные системы. Элементарные преобразования СЛАУ. Метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных)
решения СЛАУ. Критерий совместности СЛАУ и следствия из него. Правило Крамера.
2. Матрицы
Определение матрицы. Виды матриц. Алгебраические операции над матрицами, их
свойства. Обратная матрица, условия ее существования и вычисление. Ранг матрицы, его
вычисление. Некоторые применения матриц.
3. Векторные пространства
Определение векторного пространства. Примеры векторных пространств. Простейшие свойства. Линейная зависимость и независимость системы векторов, их свойства. Базис и ранг системы векторов. Базис и размерность векторного пространства. Подпространства.
4. Линейные отображения и операторы векторных пространств
Линейные отображения и операторы векторных пространств. Матрица линейного
оператора. Ядро и образ линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение.
5. Элементы теории множеств
Множество. Подмножество. Способы задания множеств. Признак равенства двух
множеств. Операции над множествами и их свойства. Универсальное множество. Диаграммы Эйлера – Венна.
6. Элементы математической логики
Высказывания. Логические операции над высказываниями и их основные свойства.
Предикаты. Кванторы. Основные законы логики. Необходимые и достаточные условия.
Виды теорем.
7. Бинарные отношения
Соответствия и отношения. Однородные бинарные отношения, их виды. Отношения
эквивалентности и классификации. Отношение порядка. Отображения и функции. Бинарные отношения в школьной математике.
8. Отношение делимости в кольце целых чисел
Отношение делимости, его свойства. Простые и составные числа, их свойства. Основная теорема арифметики. НОД и НОК двух целых чисел, их свойства и способы их
вычисления. Методика изучения делимости натуральных чисел в школьной математике.
2
9. Элементы теории групп
Понятие группы. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Подгруппы. Признак
подгруппы. Смежные классы. Фактор - группы.
10. Кольца
Понятие кольца. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Гомоморфизмы и
изоморфизмы колец.
11. Поле
Понятие поля. Простейшие поля. Построение системы комплексных чисел, её геометрическая интерпретация. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного
числа.
12. Произведения векторов в трехмерном пространстве; приложения
Скалярное произведение, скалярный квадрат, модуль вектора, угол между векторами. Векторное произведение, площадь треугольника. Смешанное произведение, объемы
параллелепипеда, треугольной призмы и тетраэдра. Произведения векторов в координатной форме.
13. Группа движений и ее подгруппы
Определение движения, общие свойства движений. Движения первого и второго рода, аналитическое выражение движения. Классификация движений 1-го и 2-го рода, определения всех частных видов движений. Группа движений, схема ее подгрупп, их основные
инварианты. Равенство фигур.
14.Группа подобий и ее подгруппы
Гомотетия и подобие, их свойства. Подобие как произведение гомотетии на движение. Аналитическое выражение гомотетии и подобия. Классификация подобий 1-го и 2-го
рода, отличных от движений. Группа подобий, ее основные подгруппы, их инварианты.
Подобие фигур (треугольников, многоугольников, эллипсов, гипербол, парабол).
15. Линии второго порядка. Канонические уравнения
Определение эллипса, гиперболы, параболы, их канонические уравнения и основные
свойства. Директориальное свойство линии 2-го порядка. Девять видов кривых второго
порядка.
16. Прямая линия на плоскости. Основные задачи на прямую
Различные способы задания прямой на плоскости, угловой коэффициент прямой.
Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой, угол между двумя
прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Задание полуплоскости.
17. Плоскость. Основные задачи на плоскость
Способы задания плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Расстояние
от точки до плоскости, угол между двумя плоскостями, расстояние между параллельными
плоскостями.
18. Прямая в пространстве. Основные задачи
Способы задания прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в
пространстве, взаимное расположение прямой и плоскости. Углы между двумя прямыми,
прямой и плоскостью. Расстояние между параллельными и скрещивающимися прямыми.
3
19. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения
Определение эллипсоида, гиперболоидов, параболоидов, цилиндров и конусов, их
канонические уравнения и основные свойства. Прямолинейные образующие поверхностей
второго порядка.
20. Элементы геометрии Лобачевского
Система аксиом геометрии Лобачевского и простейшие следствия из нее. Параллельные и расходящиеся прямые, угол параллельности (функция Лобачевского). Модель
Кэли-Клейна (непротиворечивость системы аксиом Лобачевского, независимость аксиомы
параллельности евклидовой геометрии от аксиом абсолютной геометрии).
21. Поверхности в евклидовом пространстве
Понятие поверхности, гладкие поверхности, способы задания. Первая квадратичная
форма поверхности и ее приложения. Понятие о внутренней геометрии поверхности.
22. Функция. Предел функции в точке
Понятие отображения множеств функции. Область определения, множество значений функции, ее график. Предел функции в точке. Некоторые свойства предела функции
(единственность предела, ограниченность функции, имеющей конечный предел, предельный переход в неравенствах, предел суммы, произведения, частного).
23. Непрерывность функции
Различные формулировки определения непрерывности функции в точке. Непрерывность суммы, произведения и частного функций. Непрерывность сложной функции. Непрерывность обратной функции. Точки разрыва монотонной функции. Основные свойства
непрерывных функций на отрезке.
24. Дифференцируемость функции одной переменной
Дифференцируемость и производная. Геометрический и механический смысл производной. Непрерывность дифференцируемой функции. Производная суммы, произведения,
частного. Производная обратной функции. Производная сложной функции. Теорема Лагранжа. Монотонные и строго монотонные функции. Условия постоянства, монотонности,
строго монотонной функции.
25. Первообразная и неопределенный интеграл
Определение первообразной. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Интегрирование подстановкой. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей и некоторых иррациональных функций.
26. Определенный интеграл
Определение определенного интеграла. Условия существования интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование
подстановкой и по частям.
27. Числовые ряды
Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Остаток сходящегося
ряда. Необходимый и достаточный признак сходимости числового ряда (Критерий Коши).
Необходимое условие сходимости. Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда. Основные признаки сходимости положительного ряда (признак сравнения, признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак). Абсолютная и условная сходимость ряда. Примеры.
28. Функциональные ряды
Понятие функциональной последовательности и функционального ряда. Область
сходимости. Равномерная сходимость. Необходимый и достаточный признак равномерной
4
сходимости. Признак абсолютной и равномерной сходимости. Степенные ряды. Теорема
Абеля.
29. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. Решение дифференциального уравнения. Интегральные кривые. Начальные условия. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемые в квадратурах.
30. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Линейные дифференциальные уравнения. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
31. Основные элементы теории аналитических функций
Различные формы записи комплексного числа. Бесконечно удаленная точка. Аналитическая функция комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Основные элементарные функции комплексного переменного.
Примечания
1.
2.
3.
4.
5.
Ответ на вопрос предполагается в обзорном порядке.
Основные определения, теоремы и следствия следует формулировать точно.
В каждом вопросе привести доказательство одной теоремы или вывод формулы средней
трудности, остальные теоремы и формулы – без доказательства или вывода.
Приложение теорем, формул желательно уметь иллюстрировать на примерах.
По возможности дать применение излагаемых вопросов в школьном курсе математики.
5