Образец оформления работы - Средняя общеобразовательная

۞ Комментарии эксперта к тексту написаны в таком
формате;
۞ Из работы удалены доказательства утверждений.
Пропущенная часть текста заменена знаком – <…>
____________________________________________________
КРАСНОЯРСКАЯ РЕГИОНАЛЬНАЯ ДЕТСКО-МОЛОДЕЖНАЯ ОБЩЕСТВЕННАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ «НАУЧНОЕ ОБЩЕСТВО УЧАЩИХСЯ»
МОУ «Лицей №174»
Сравнительный анализ замечательных соотношений по геометрии треугольника и геометрии тетраэдра
Краевой форум «Молодежь и наука»
Выполнил: уч-ся 9кл. МОУ «Лицей №174»
г.Зеленогорска
Николай Владимирович Квашин
Научный руководитель: учитель
математики МОУ «Лицей №174»
Меньших Лариса Львовна
۞ Вначале указывается имя автора, а после его регалии;
۞ Научный руководитель – научный сотрудник, имеющий степень;
۞ Страница не отформатирована.
КРАСНОЯРСК 2007
2
Содержание
I Введение
II Глава 1 1.1 Геометрия треугольника. Исторический аспект.
1.2 3амечательные соотношения по геометрии треугольника:
1.2.1) центры тяжестей треугольника;
1.2.2) ортоцентры треугольника;
1.2.3) прямая Эйлера треугольника.
1.3 Метод аналогии:
III Глава 2. 2.1 Замечательные соотношения по геометрии тетраэдра:
2.2.1) центр тяжести тетраэдра;
2.2.2) ортоцентр тетраэдра;
2.2.3) прямая Эйлера тетраэдра.
2.2 Самостоятельное решение задач по геометрии тетраэдра.
Заключение.
Список используемой литературы.
Приложение.
3
5
6
6
6
7
8
11
11
12
14
15
21
22
23
۞ Введение не нумеруется;
۞ Главы и приложения должны иметь названия;
۞ В нумерации скобки не нужны;
۞ Вместо «Список используемой литературы» используется «Список литературы» или «Библиографический сп исок», или «Библиография».
3
ВВЕДЕНИЕ
Тема моей работы «Сравнительный анализ замечательных соотношений по
геометрии треугольника и геометрии тетраэдра».
۞ Тема в начале введения не пишется
В действующем школьном курсе геометрии абсолютное большинство стереометрических фактов излагаются без установления внутрипредметных связей
с аналогичными планиметрическими фактами. Примером тому может служить
изолированное изложение таких тем, как «Треугольник и его свойства», «Тетраэдр и его свойства». Это противоречие послужило основанием для проведения исследования по теме: «Сравнительный анализ замечательных соотношений по геометрии треугольника и геометрии тетраэдра».
Замечательные соотношения геометрии треугольника были изучены мною
в прошлом году. Полученные результаты были представлены в работе «Траектории замечательных точек треугольника Понселе» на городской научнопрактической конференции 2005–2006 учебного года.
Объект исследования: свойства тетраэдра.
Предмет исследования: сравнительный анализ замечательных соотношений по геометрии треугольника и геометрии тетраэдра посредством метода
аналогии.
Гипотеза: в геометрии тетраэдра существуют свойства аналогичные свойствам треугольника.
Цель: получение замечательных соотношений по геометрии тетраэдра.
۞ Цель должна предшествовать объекту
Задачи:
1. Изучить замечательные соотношения по геометрии треугольника;
2. Ознакомиться с методами аналогии;
3. Освоить метод аналогии применительно к темам «Треугольник и его
свойства» и «тетраэдр и его свойства»;
4. Проанализировать и сравнить полученные свойства треугольника и
тетраэдра.
Актуальность данной работы очевидна: параллельное рассмотрение
свойств треугольника и тетраэдра облегчает понимание и усвоение курсов
планиметрии и стереометрии.
۞ Актуальность работы должна предшеств овать цели
4
При сравнительном анализе свойств данных геометрических фигур развиваются такие интеллектуальные способности, как логическое мышление, гибкость и практичность ума, которые просто необходимы в современном, стремительно развивающемся мире.
۞ Это замечание преждевременное, поскольку сам ан ализ ещё не проделан. Это замечание нужно поместить в в ыводы
5
ГЛАВА 1
1. 1. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПО ГЕОМЕТРИИ ТРЕУГОЛЬНИКА. ИСТОРИЧЕСКИЙ АСПЕКТ
۞ нумерация и названия параграфов должны соответствовать Содержанию (см. ст р.2)
В книге IV «Начал» Евклид решает задачу: «Вписать круг в данный треугольник». Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к
сторонам треугольника в их серединах, также пересекаются в одной точке —
центре описанного круга. Архимеду Папу, Проклу уже было известно, что три
высоты треугольника пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника.
Архимед доказал, что точка пересечения медиан — барицентре треугольника
— центр тяжести. Эти четыре точки были названы «замечательными» или
«особенными» точками треугольника.
Л. Эйлер доказал, что в любом треугольнике 4 точки: ортоцентр, барицентр и центры вписанной и описанной окружностей лежат на одной прямой.
В 20-хх годах XIX века французские математики установили, что основания медиан, основания высот и середины отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и той же окружности —
окружности девяти точек (окружность К. Фейербаха, окружность Эйлера).
К.Фейербах установил, что центр окружности Эйлера лежит на прямой
Эйлера. Большой вклад в развитие геометрии треугольника внесли математики
Леуман, Брокар, Тебо и другие. [5]
۞ Ссылка не корректна в силу своей неопред еленности;
۞ Основные определения и ключевые слова нужно выд елять.
6
1.2. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПО ГЕОМЕТРИИ ТРЕУГОЛЬНИКА
1.2.1. Центр тяжести треугольника
Теорема 1. Медианы треугольника АВС пересекаются в одной точке G и
делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины, причем 3PG  PA  PB  PC (1),
где P – любая точка плоскости или пространства. (Рис.1)
۞ При такой формулировке теоремы создается впеча тление, что исследуется конкретный (один) тр еугольник
АВС. И точка пересечения медиан уже дана, как точка G.
Что же тогда доказывать? Теоремы необходимо формулировать в общем виде, а при доказательстве вводится чертеж с
обозначениями, но перед этим говориться «Рассмотрим пр оизвольный треугольник АВС».
۞ В этой формулировке теоремы не понятно, зачем соединены два разных факта: первый – планиметрический (про
существование точки пересечения медиан), второй – стереометрический (про произвольную точку Р).
Доказательство:
<…>
Вывод: все три медианы треугольника пересекаются в одной точке G,
определяемой соотношением (1).
1. 2. 2. Ортоцентр треугольника
Теорема 2. Высоты треугольника АВС пересекаются в одной точке Н, причем OH  OA  OB  OC
(2), где О – центр окружности описанной около треугольника. (Рис.2)
۞ Здесь применимы замечания, сделанные нами выше (систематическая
ошибка школьника);
۞ Факт пересечения в одной точке трех высот затемнен
введением соотношения (2). Связь ортоцентра и центра
описанной окружности лучше вынести в отдельную теор ему;
7
۞ Нумерация рисунков должна быть оформлена единообразно во всём тексте.
Доказательство:
<…>
Вывод: высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н, определяемой
соотношением (2). Данная теорема справедлива и для прямоугольного треугольника.
۞ Цель последнего предложения не ясна. Фа кт совпадения ортоцентра с вершиной прямоугольного треугольника
уместно оформить в виде отдельного сле дствия.
۞ Отсутствует отдельная теорема (утверждение) о
существовании точки пересечения биссектрис.
1.2.3. Прямая Эйлера в треугольнике
Теорема 3. Центр О описанной окружности, центроид G и ортоцентр H
любого треугольника лежат на одной прямой, причем точка G лежит между
точками О и Н и OG : GH  1 : 2 .
۞ Неконтролируемое введение нового названия: центр
тяжести стал называться центроидом.
Доказательство:
<…>
Прямая, на которой лежат точки О, G и Н, называется прямой Эйлера.
۞ Отклонение от определения прямой Эйлера в истор ической справке;
۞ Определяемые и ключевые слова необходимо выд елять.
1.3. МЕТОД АНАЛОГИЙ
Нередко в практике обучения математике большая часть учебного времени тратится на изучение алгоритмов, на решение вычислительных задач и недостаточно внимания уделяется развитию логического мышления. В этой связи
представляется полезным рассмотрение основных вопросов логики математических рассуждений, таких как:
а) классификация математических понятий;
8
б) индуктивные и дедуктивные умозаключения;
в) метод математической индукции;
г) прямые и обратные теоремы;
д) необходимые и достаточные условия и др.
К числу этих тем также относится вопрос о сравнении и обобщении в математике, в частности, вопрос о роли аналогии при изучении математики.
۞ Необходимо сослаться на источник, подтверждающий
упомянутую выше «полезность». Сам школьник исследованием этой « полезности» не занимался.
Под аналогией понимается подобие, сходство каких-то свойств, признаков или отношений у различных в целом объектов. Установление сходства (или
различия) между объектами осуществляется в результате их сравнения. Сравнение математических правил, теорем, операций, задач помогает систематизации и переосмыслению знаний, приобретенных в разное время. [7]
Если делается логический вывод о наличии какого-либо свойства, признака, отношения изучаемого объекта на основании установления его сходства с
другими объектами, то этот вывод называют умозаключением по аналогии.
۞ Использование в этой фразе слова «вывод» не целес ообразно, поскольку слово «вывод» применяется как извлеч ение следствия из доказанного факта.
Выводы в умозаключениях по аналогии всегда дают только вероятное знание. Сама по себе аналогия не дает ответа на вопрос о правильности предположения. Эта правильность должна проверяться другими средствами.
Существуют различные типы выводов по аналогии. Вывод по аналогии
может иногда и не подтвердиться полностью, или подтвердиться лишь частично. Но общим для них является то, что во всех случаях непосредственному исследованию подвергается один объект, а вывод делается о другом объекте. Поэтому вывод по аналогии в самом общем смысле можно определить как перенос информации с одного объекта на другой. При этом первый объект, который
собственно и подвергается обследованию, именуется моделью, а другой объект,
на который переносится информация, полученная в результате исследования
первого объекта (модели), называется оригиналом (иногда - прототипом, образцом и т. д.).
<…>
Аналогия важна тем, что она наводит нас на догадки, подает мысль о том
или ином предположении. Все это очень важно как в развитии науки, так и в
9
обучении математике. Аналогия помогает находить предположительное решение новых вопросов, учебных проблем и этим способствует активизации познавательного процесса, способствует эффективному развитию самостоятельного
продуктивного мышления, математической интуиции. Аналогии являются важнейшем источником ассоциаций, обеспечивающих глубокое и прочное усвоение предмета. [5]
۞ Ссылка не корректна в силу своей неопределенности.
10
ГЛАВА 2
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПО ГЕОМЕТРИИ ТЕТРАЭДРА
С помощью метода аналогии проведем исследование по замечательным
соотношениям геометрии тетраэдра
2.1.1. Центр тяжести тетраэдра
Определение. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом
противоположной грани, называется медианой тетраэдра.
Предположим, что свойство медиан тетраэдра аналогично свойству медиан треугольника.
P
Теорема 4. Четыре медианы тетраэдра ABCD пеD
ресекаются в одной точке G, которая делит каждую из
них в отношении 3:1, считая от вершины тетраэдра,
G
C
G’
A
Рис.3
B
причем 4PG  PA  PB  PC  PD (3), где P – любая точка
пространства. (Рис.3)
۞ Здесь применимы замечания, сделанные нами выше к
теореме 1 (систематическая ошибка школ ьника).
Доказательство:
<…>
Вывод: что все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке G,
удовлетворяющей соотношению (3). Точка G, называется центром тяжести (или
центроидом) тетраэдра.
Предположение по аналогии подтвердилось полностью.
۞ Определение центроида необходимо ввести до предп оложения.
2. 1. 2. Ортоцентр тетраэдра
Определение. Высотой тетраэдра называется отрезок, проведенный из вершины тетраэдра перпендикулярно противолежащей грани.
Высоты треугольника всегда пересекаются
в одной точке. По аналогии можно предположить, что высоты любого тетраэдра также пересекаются в одной точке. Однако это не так.
Для примера рассмотрим тетраэдр ABCD с
рис.4
прямым двугранным углом при ребре AB, в ко-
11
тором AC = BC, но AD ≠ BD (рис. 4).
Попробуем найти все тетраэдры, у которых высоты пересекаются в одной
точке.
Пусть высоты тетраэдра ABCD, проведенные из вершин C и D , пересекаются в точке H (рис. 5).
۞ Постановка задач, переход от рассуждения к новой
задаче (фактически, к обратной) требует стилистического
оформления, например, выделением жирным шри фтом
Тогда CH’  AB и DH’’  AB, т.е. прямая AB перпендикулярна к двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости CDH, следовательно, AB  DC.
Аналогично доказывается, что если две другие высоты тетраэдра ABCD проходят через ту же точку H, то AC  BD и AD  BC. Итак, если все высоты тетраэдра пересекаются в одной точке, то противоположные ребра тетраэдра взаимно
перпендикулярны. Такой тетраэдр называется ортоцентрическим.
۞ Введение названий необходимо
шрифтом или словом «определение».
выделять: жирным
Теорема 5. Четыре высоты ортоцентрического тетраэдра ABCD пересекается в одной точке H, причем если O – центр сферы, описанной около тетраэд1
2
ра, то OH  (OA  OB  OC  OD) . (Рис.6)
Доказательство:
<…>
Будем доказывать теорему тем же способом, что и теорему 3 для треугольника: строить разными способами точку Н, удовлетворяющую соотношению
(4). <…>
Вывод: высоты ортоцентрического тетраэдра пересекаются в одной точке
Н, определяемой соотношением (4).
۞ Соотношение (4) не обозначено
Предположение по аналогии подтвердилось частично.
Теорема 6. Центр О описанной сферы, центроид G и ортоцентр Н ортоцентрического тетраэдра ABCD лежат на одной прямой, причем точки О и Н симметричны относительно точки G.
Доказательство: <…>
12
Прямую, на которой лежат точки О, G, Н, можно назвать прямой Эйлера ортоцентрического тетраэдра.
Предположение по аналогии подтвердилось частично.
۞ Не хватает контрпримера о неверности рассуждения
по аналогии в общем случае (как в случае с теоремой 5)
13
2.2 САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Решим задачу, применяя выведенные свойства.
Задача 1: Найти в тетраэдре точку, сумма квадратов расстояний от которой до вершин тетраэдра была бы наименьшей. Найти минимум этой суммы.
(Рис.7)
<…>
Задача 2: Биссектральная плоскость двугранного угла тетраэдра делит две
другие грани пропорционально прилежащим граням. Выразить площади этих
частей через площади граней тетраэдра. [7]
<…>
Определение. Биссектральной D плоскостью тетраэдра называется геометрическое место точек, равноудаленных от граней двугранного угла.
Задача 3: Найти в тетраэдре точку, сумма квадратов расстояний от которой до вершин тетраэдра была бы наименьшей. Найти минимум этой суммы.[7]
<…>
Задача 4: Пусть в тетраэдре все плоские углы при вершине D -прямые. Доказать, что площадь каждой грани с прямым углом есть среднее геометрическое
между площадью проекции этой грани на грань ABC и площадью грани ABC.
[7]
<…>
Следствие. cos 2   cos 2   cos 2   1 , где  ,  ,  – линейные углы двухгранных углов при ребрах грани.
۞ Слово следствие должно быть выделено .
14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Для достижения поставленной цели в своей работе я использовал линейноконцентрический подход к изучению тем « Треугольник и тетраэдр, и их свойства». Параллельное рассмотрение данных тем стало возможным только с использованием метода аналогии. Такой подход в большей степени, чем традиционный, дает возможность проводить глубокие сравнения, широкие обобщения,
выдвигать гипотезы и предположения, переносить знания, умения и навыки в
новую ситуацию, переосмысливать с новых, более общих позиций уже изученный ранее материал. Цель работы – получение замечательных соотношений по
геометрии тетраэдра – достигнута. Гипотеза – в геометрии тетраэдра существуют свойства аналогичные свойствам треугольника – подтверждена частично.
Результаты исследования носят не только научное, но и прикладное значение. Полученные знания об объекте исследования расширили базовое представление о нем. Замечательные соотношения треугольника и тетраэдра используются в задачах на нахождение наибольшего и наименьшего. Задачи такого характера носят название «экстремальных».
Изучение данной темы можно рекомендовать старшеклассникам в классах
с углубленным изучением математики и учащимся, проявляющим повышенный
интерес к предмету.
15
ЛИТЕРАТУРА
۞ В заголовке и в Содержании пишется «Список лит ературы» или «Библиографический список», или «Библиогр афия».
1. Адамар Ж., Элементарная геометрия, ч.1, «Планиметрия». Учпедгиз,
1948, ч. II, Стереометрия, 1952
2. Готман Э., Прямая Эйлера.
3. Матизен В., Дубровский В., Из геометрии тетраэдра. Приложение к
"Кванту", 1996, № 3.
4. Матизен В.. Равногранные и каркасные тетраэдры. Приложение к "Кванту", 1995, № 1.
5. Международная информационная сеть Internet
6. Н.И.Кондаков, Логика, Учпедгиз, 1953.
7. Пойа Д., Как решать задачи, Учпедгиз, М.,1959.
8. Шклярский и др. Элементарные задачи и теоремы («Библиотека математического кружка»), Геометрия, ч.2, Планиметрия, Гостехиздат, 1952
9. Эрдниев П.М., Сравнение и обобщение при обучении математике.
۞ Список литературы не соответствует правилам
оформления библиографического списка. Вначале пишется
фамилия автора, инициалы, название, место издания, назв ание издательства, год издания, количество стра ниц (подробные правила оформления см. на сайте www.krasnou.ru)
۞ Ссылки на ресурсы сети Интернет указываются по лностью. Например,
Зимняя И.А. Общая культура и социал ьнопрофессиональная компетентность человека // Инте рнетжурнал "Эйдос", 2006, 4 мая.
http://www.eidos.ru/journal/2006/0504.htm.
۞ Список сортируется по алфавиту.
Приложение. Биография Леонарда Эйлера