Давление жидкости на плоские и криволинейные поверхности

Федеральное агентство по образованию
Московский государственный горный университет
Кафедра физики горных пород и процессов
Допущено Учебно-методическим объединением
вузов Российской Федерации по образованию в области
горного дела в качестве учебного пособия для студентов
вузов, обучающихся по направлению подготовки
«Горное дело»
И. М. Шведов
СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ГИДРОМЕХАНИКЕ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ
ЗАНЯТИЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Давление жидкости на плоские и криволинейные поверхности
ЧАСТЬ II
Москва 2008
1
УДК 532.5(075.8):622.5
Шведов И.М. Сборник задач и упражнений по гидромеханике для практических занятий и самостоятельной работы. - Учебное пособие.
Часть II. Давление жидкости на плоские и криволинейные поверхности,
М.: МГГУ, 2008. – 102 с.
Рассмотрены основные понятия и положения гидромеханики раздела гидростатики – определение величины гидростатического давления на поверхности различной конфигурации. Приведены примеры расчета устойчивости плоских стенок и
построения эпюр давления, определение величины полной силы гидростатического
давления на криволинейные поверхности.
По каждому из разделов предложены задачи различной сложности для практических занятий и варианты заданий для самостоятельных работ. Приведены указания к решению задач и ответы для самопроверки.
Сборник содержит 163 практических заданий, из них 56 вариантов для самостоятельной работы, 92 задачи из раздела гидростатического давления на плоские и
криволинейные поверхности, подробно разобраны решения 15 типовых задач.
Сборник рекомендован для студентов вузов, обучающихся по направлению
подготовки «Горное дело».
Рецензенты:
Астрахан И.М., канд. физ.-мат. наук, профессор кафедры «Нефтегазовая и подземная гидромеханика» Российского государственного университета нефти и газа;
Бинги В.Н., докт. физ.-мат. наук, заведующий лабораторией Института общей физики РАН
© Московский государственный горный университет, 2008
© И.М.Шведов, 2008
2
Содержание
Введение………………………………………………………………….....6
4. ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА ПЛОСКИЕ СТЕНКИ
4.1. Нахождение полной силы давления и центра давления………..……8
4.2. Построение эпюр давления……………..……………………...……...9
4.3. Примеры решения задач ………...…………………...………...…….14
4.4. Задачи для практических занятий ……………….…………...….…..28
4.5. Варианты заданий для самостоятельной работы……..………..…...47
4.6. Ответы, указания к решению задач …………..……………………..50
5. ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
5.1. Нахождение полной силы давления, построение тела давления…..54
5.2. Примеры решения задач…………...………………...…………….....55
5.3. Задачи для практических занятий………..……………...……….…..64
5.4. Варианты заданий для самостоятельной работы……..….....………79
5.5. Ответы, указания к решению некоторых задач ……………….……82
ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Координаты центра тяжести и момент инерции
некоторых плоских фигур ………………………………...……...……...85
ПРИЛОЖЕНИЕ Д. Координаты центра тяжести и моменты инерции
некоторых объемных фигур ………………………………/……….…….90
ПРИЛОЖЕНИЕ Е. Вычисления центра тяжести произвольных плоских
и объёмных фигур…………………………………….………..................98
Список использованных источников……………………………..…….102
3
Условные обозначения
ρ
- плотность, кг/м3
M, m
Ω,
- масса, кг
- объём, м3
ω
- площадь, м2
γ
- удельный вес, Н/м3
G
- вес (сила тяжести), Н
g
- ускорение свободного падения, м/с2
- сила механическая Ньютона , Н
D
- диаметр внешний, м
d
- диаметр внутренний, м
h
- глубина (высота), м
L, l
- длина, м
B,b
ширина, м
HТ
глубина погружения центра тяжести, м
pабс
- давление полное (абсолютное), Па
po
- давление внешнее, Па
pатм
- давление атмосферное, Па
pизб
- давление избыточное, Па
pман
- давление манометрическое, Па
hp
- высота пьезометрическая, м
LТ
- координата центра тяжести, м
LД
- координата центра давления, м
ε
- эксцентриситет, м
J0
центральный момент инерции площадки, м4
Mуд
- момент удерживающий, Н·м
Mопр
- момент опрокидывающий, Н·м
kуст
- коэффициент устойчивости
R
- полная сила гидростатического давления , Н
4
Rx(y)
- горизонтальные составляющие полной силы давления, Н
Rz
- вертикальная составляющая полной силы давления, Н
δ
- толщина стенки трубы, м
σ
- нормальные напряжения, Па
5
Введение
Данный сборник часть II, является продолжением части I «Сборника задач и упражнений по гидромеханике для практических занятий и
самостоятельной работы», содержит задачи по гидростатике, относящиеся к разделам “Давление жидкости на плоские стенки” и “Давление
жидкости на криволинейные поверхности“.
В сборник включены апробированные задачи, предлагаемые на
практических занятиях и контрольных работах для студентов, обучающихся по направлению «Горное дело», а также ряд оригинальных задач
для самостоятельного решения, для углубления полученных знаний по
курсу «Гидромеханика».
Выдержанный в единой структуре представления материала, каждый раздел сборника содержит необходимые минимальные теоретические сведения и рабочие формулы, касающиеся материала данного раздела, необходимые для повторения и закрепления пройденного лекционного материала, методические указания и примеры решения типовых
задач
В трёх приложениях представлены материалы справочного характера, вполне достаточные для самостоятельного решения задач.
Наличие в сборнике обширного и разнообразного материала позволяет составить индивидуальное задание для каждого студента для самостоятельной и контрольной работы.
6
Методически, после ознакомления с соответствующим теоретическим материалом и указаниями по решению типовых задач, следует переходить к самостоятельному выполнению полученного задания.
В решениях задач константу ускорения свободного падения принять g =
9,81 кг/м2, плотность воды ρ = 1000 кг/м3 .
Свойства жидкостей и процессы определять (если в задаче не конкретизированы) при стандартных физических условиях (t = 20 0C, атмосферное давление р = 101,325 кПа = 760 мм рт. ст. = 10 м вод. ст.).
Учебное пособие подготовлено в полном соответствии с рядом
разделов примерной программы учебной дисциплины ОПД Ф.02 « Механика. Курс «Гидромеханика» для студентов, обучающихся по направлению подготовки 130400 «Горное дело».
7
4. ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА ПЛОСКИЕ СТЕНКИ
4.1. Нахождение полной силы давления и центра давления
Величина полной силы давления R на плоскую стенку определяется как:
R = (p0 + ρgHт)ω,
(4.1)
где p0 - величина внешнего давления, Hт– глубина погружения центра
тяжести смоченной площади ω плоской поверхности стенки.
Расстояние Lт от свободной поверхности жидкости до центра тяжести С смоченной площади ω, выраженное через глубину погружения
центра тяжести Hт и угол наклона Θ поверхности стенки к горизонту
определяется следующим образом:
Lтsin Θ = Hт
(4.2)
Координата центра давления Lд (точка приложения полной силы
давления R) определяется как:
Lд = Lт + ε ,
(4.3)
где ε – эксцентриситет, величина смещения центра давления D относительно положения центра тяжести смоченной площади ω.
Величина эксцентриситета определяется через J0 – центральный
момент инерции смоченной площади ω рассматриваемой плоской фигуры:
ε = J0/ Lтω
(4.4)
Величина координаты Lд полностью определяет положение центра давления на оси симметрии, проходящей через центр тяжести смоченной площади ω перпендикулярно оси OY.
Для асимметричных плоских поверхностей для нахождения положения центра давления необходимо определять вторую его координату. Для этого используют уравнение моментов сил относительно прямой, проходящей через центр тяжести стенки перпендикулярно оси OY.
8
На рис.4.1. приведены положения центра тяжести и центра давления
плоской прямоугольной поверхности ω, наклоненной под углом Θ к горизонту.
Рис.4.1. Положение центра давления для наклонной плоской прямоугольной поверхности.
4.2. Построение эпюр давления
Эпюрой давления жидкости называется графическое изображение
распределения изменения гидростатического давления жидкости по
твёрдой поверхности, соприкасающейся с ней, и при ее построении учитывается только избыточное давление.
Эпюра давления в покоящейся жидкости изменяется пропорционально глубине залегания от поверхности согласно основному уравнению гидростатики:
р=р0+ρgh или р=ра+ρgh,
(4.5 )
где ра - атмосферное давление на поверхности (или в общем виде р0 –
внешнее давление над свободной поверхностью жидкости) будет постоянно для всей глубины. Избыточное давление ρgh изменяется по закону
прямой линии и на поверхности будет равно нулю.
9
Если рассматриваемая жидкость – вода, то ρg= γ = 9810 Н/м3, тогда при глубине h1=1м избыточное давление равно ρg·h1=9810 Па (откладывается в задаваемом масштабе). Для глубины h2=2 м избыточное
давление будет ρg·h2=9810·2 Па и т.д. Очевидно, прямая давления для
воды будет наклонена под углом α=45°.(рис.4.2).
Рис.4.2. Эпюра гидростатического давления на вертикальную стенку
Эпюра давления строится со стороны жидкости. Стрелками на
эпюре показывают направление действия давления (вернее, направление действия нормальных напряжений, возникающих от действия давления, т.к. согласно 2-му основному свойству гидростатическое давление скалярно). Размер стрелки (ордината) откладывается в масштабе и
количественно соответствует величине давления. Пример построения
эпюр давления на различные поверхности приведены на рис.4.3.
10
а)
б)
Рис.4.3. Пример построения эпюр давления на различные плоские (а), и
криволинейные (б) поверхности
Для вертикально расположенной стенки, например АБГД, эпюрой
давления является треугольник АКГ (рис.4.4). Пространственная эпюра
давления на вертикальную стенку будет представлять собой треугольную призму, площадь основания которой равна ρgH2/2, а высота – ширине стенки В. Тогда объем призмы численно равен величине силы давления на данную прямоугольную стенку.
11
Рис.4.4. Эпюра гидростатического давления на вертикальную плоскую
поверхность
Если стенка наклонена к горизонтальной плоскости под углом α,
как показано на рис.4.5, то эпюром гидростатического давления является треугольник БАВ, с углом β=90° в точке В. Полная сила давления на
стенку вычисляется по формуле:
R = ρgH2B/2sinα
(4.6)
Рис.4.5 Эпюра гидростатического давления на наклонную плоскую поверхность
При действии жидкости на вертикальную стенку, например CNOP
с двух сторон Н1 и Н2 (рис 4.6), необходимо построение эпюр давления с
каждой стороны и нахождение результирующей эпюры полной силы
давления. Так, эпюра давления с левой стороны стенки соответствует
треугольнику ANC, с правой - треугольнику KCL.
12
Эпюрой общего давления будет трапеция MENC, полученная как разность эпюр ANC и KCL. Полная сила давления находится как разность
давлений слева и справа:
(4.7)
Рис.4.6 Построение обобщенной эпюры давления при двухстороннем
действии жидкости
Эпюры давления служат исходными данными для проведения
расчётов на прочность и устойчивость конструкций, взаимодействующих с жидкостями: подпорных стенок бассейнов, баков, резервуаров,
цистерн. Расчёты ведутся методами сопротивления материалов и строительной механики.
На практике в большинстве случаев строят эпюры только для избыточного (манометрического) давления. Атмосферное давление не
учитывают из-за его взаимокомпенсации с той и другой стороны ограждающей конструкции.
13
1.3. Примеры решения задач
Пример 1. Прямоугольная подпорная стенка высотой H и шириной B испытывает гидростатическое давление воды глубиной h
(рис.4.7). Плотность кладки стенки ρкл = 2500 кг/м3 .
Требуется выполнить:
1. Построить эпюру гидростатического давления.
2. Определить величину гидростатического давления (избыточного)
на 1 погонный метр длины стенки.
3. Определить координату центра давления.
4. Определить Куст подпорной стенки на опрокидывание.
5. Вычислить ширину стенки В при запасе устойчивости kуст =3.
Рис.4.7
Решение. Для построения эпюры гидростатического давления на
стенку определяем величину в точках А и В избыточного (манометрического) давление по формуле:
р изб = ρвgh ,
где h – глубина погружения данной точки под уровень воды, м., ρв плотность воды, кг/м3.
14
При построении эпюры гидростатического давления следует помнить,
что давление всегда направлено по нормали к площадке, на которую
оно действует (рис.4.8).
Рис.4.8
Величина полной силы избыточного гидростатического давления R на
плоскую стенку вычисляется по формуле (4.1):
R = pтω,
где pт. – давление в центре тяжести смоченной поверхности, Па (Н/м2);
ω – площадь смоченной поверхности, м2.
Точка приложения суммарной силы избыточного гидростатического
давления D называется центром давления. Положение центра давления
определяется по формуле (4.3) :
Lд = Lт + ε = Lт + J0/ Lт·ω ,
где Lд– расстояние на плоской стенке от центра давления до пьезометрической поверхности (в данном случае - свободного уровня жидкости),
м; Lт – расстояние на плоской стенке от центра тяжести стенки до пьезометрической поверхности (в данном случае -свободного уровня жидкости), м;
15
ω – площадь смоченной поверхности, м;
J0– центральный момент инерции смоченной плоской площадки относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести. Для плоской прямоугольной фигуры:
J0 = L·h3/12 ,
где L- длина стенки ( в данной задаче L = 1 пог. м).
Удерживающий момент относительно точки О равен:
Муд = G·B/2 ,
где G – вес подпорной стенки, кН, G = Ω·ρкл , где Ω – объем стенки,
ρкл – плотность кладки.
Опрокидывающий момент равен:
Мопр = R·(h - Lд) .
Коэффициент устойчивости (запас устойчивости) на опрокидывание равен отношению удерживающего момента сил относительно точки О к
опрокидывающему моменту:
kуст = Муд/ Мопр .
Если значение kуст получится меньше трех, то следует определить ширину стенки L, которая бы удовлетворяла запасу устойчивости kуст = 3
(полученное значение следует округлить до 5 сантиметров в большую
сторону).
16
Пример 2. Определить величину R - равнодействующую гидростатического давления жидкости c в = 10 кН/м3, и координату её приложения Lд на плоскую вертикальную стенку (рис.4.9). В одной части
бака жидкость находится на уровне h1 = 2 м, в другой – на уровне
h2 = 1 м.
Рис.4.9
Решение. Гидростатическое давление воды на 1 погонный метр
длины стенки равно:
с левой стороны R1 = в h12/2 = 20 кН;
с правой стороны R2 = в h22/2 = 5 кН.
Рис.4.10
Следовательно, равнодействующая давления будет представлять алгебраическую сумму давлений R1 и R2, т.е. R = 20 - 5 = 15кН.
Точка приложения этой равнодействующей (рис.4.10) может быть
найдена из уравнения моментов. Lд – расстояние от поверхности воды
до центра давления на прямоугольную стенку: Lд1 = 2/3h1 и Lд2 = 2/3h2;
Lд1 = 1,3 м и Lд2 = 0,67 м.
17
Уравнение моментов: М = М1 – М2  R Lд = R1 Lд1 – R2 Lд2
½ в (h12 – h22) Lд = 1/3 в (h13 – h23) откуда Lд = 2(h13 – h23) /3(h12 – h22) =
1,56 м.
Ответ: R = 15 кН; Lд = 1,56 м.
Пример 3. В плоскодонной лодке с осадкой h1 = 2 м на дне находится вода на уровне h2 = 0,5 м. Угол наклона борта  = 600; объёмный
вес воды в = 9,81 кН/м3. Определить гидростатическое давление на
борт лодки (на 1 погонный метр длины) и построить эпюру этого давления.
Решение. Гидростатическое давление воды на 1 пог.м длины борта лодки снаружи:
R1 = в h12/2sin = 22,57 кН.
Гидростатическое давление воды на 1 пог.м длины лодки изнутри:
R2 = в h22/2sin = 1,37 кН.
Равнодействующая гидростатического давления есть алгебраическая сумма давлений R1 и R2. Следовательно, R = R1 - R2 = 21,2 кН
Рис.4.11
Для построения эпюры давления определяем величину гидростатического давления в точках А и В слева и точках L и В справа
18
(рис.4.11). Откладываем в выбранном масштабе от данных точек полученные величины давлений, нормально к поверхности действия, и соединяем полученные вновь точки. Полученные треугольники АСВ и
DBL есть эпюры давлений, соответственно, слева и справа на поверхность АВ. Результирующая эпюра давления на поверхность АВ равна
разности ΔАВС – ΔDBL и представляет собой трапецию АКFB.
Ответ : R = 21,2 кН.
Пример 4. Для выпуска воды из резервуара у его дна устроен дисковый затвор А высотой а = 0,4 м и шириной b = 1,0 м (рис.4.12). Глубина воды в резервуаре Н = 4 м. Требуется определить силу, передающуюся на ось затвора и глубину погружения центра давления.
Рис.4.12
Решение. Сила давления жидкости, действующая на затвор равна:
R =   Hт = а b в (Н – а/2) = 14,92 кН,
где Нт – глубина погружения центра тяжести затвора, ω – площадь поверхности затвора.
Глубину погружения центра давления найдем по формуле (4.3):
Lд = Lт + J0/ ·Lт = Lт + J0/ ·Lт ,
где J0 - центральный момент инерции смоченной поверхности затвора
(прямоугольник), Lт – координата центра тяжести прямоугольной поверхности затвора.
В данном случае координата L совпадающая с плоскостью стенки
19
направлена вертикально вниз, и величина Lт будет совпадать со значением Hт.
Откуда глубина погружения центра давления LД ( или координата
yд ,если направление оси y выбрано вертикально вниз) будет равно:
а 3b
а

12
уд   Н   
 3,803 м
2

 аb Н - а 


2

Ответ : R = 14,92 кН; Lд = 3,803 м.
Пример 5. В жидкости находится прямоугольная призма, размеры
которой показаны на рис.4.13. Найти сумму сил, действующих на переднюю и нижнюю грани призмы, если давление жидкости равно
2·105 Па. Чему будет равна сумма сил, действующих на призму?
Рис.4.13
Решение. Сила гидростатического давления, действующая на поверхность призмы : F = p·ω (рис.4.14). Находим значения площадей поверхности ωн = ωn , ω3 и значения сил для правой Fn, нижней Fн и
наклонной Fн поверхностей призмы:
20
Рис.4.14
ωн = ωn = 0,1 . 0,1 = 0,01 м2;
Fн = Fn = 2 . 105 . 0,01 = 2000 H;
F1 = Fн . 2 = 2000 2 H (см.рис.4.15);
ω3 = (0,1 2 ) . 0,1 = 0,01 2 м2;
F3 = 2 . 105 . 0,01 2 = 2000 2 H.
Рис.4.15
F3 уравновешивает F1; давления на боковые стенки также уравновешиваются  F2 = F3 = 0, поэтому сумма всех сил, действующий на призму,
будет равна нулю (рис.4.16) :
Рис.4.16
Ответ: F1 = 2000 2 H; FΣ = 0
21
Пример 6. Результирующая сила, действующая со стороны сжатой жидкости на три грани правильного тетраэдра, равна F. Длина ребра
тетраэдра равна а. Определить давление жидкости.
Решение. Из условия равновесия следует, что на 4-ую грань тетраэдра также действует сила F. Поскольку площадь 4-ой грани (как и всех
остальных) равна ω =
3 /4 . a2, то
р = F/ω = 4F/ 3 a2
Ответ: р = 4F/ 3 a2
Пример 7. Бетонный куб с ребром 20 см погружен в воду
(рис.4.17). Нижняя грань куба удалена от свободной поверхности воды,
находящейся под внешним атмосферным давлении р0 = 1 ат, на глубину 1 м. Определить величину силы, действующей со стороны воды на
нижнюю, верхнюю и боковую грани куба. Найдите векторную сумму
сил, действующих со стороны воды на куб.
Рис.4.17
22
Решение. Площадь каждой грани равна ω = 0,04 м2, значение абсолютного давления:
р = р0 +  g h, где р0 = 105 Па – внешнее давление, h – расстояние от
пьезометрической поверхности до центра тяжести рассматриваемой поверхности площади ω. Сила давления :
F = рω = (р0 +  g h) ω = р0 ω +  g h ω;
а) для нижней грани h = 1м и Fн = 4392 Н;
б) верхняя грань h = 0,8м и Fв = 4314 Н;
в) боковая грань h = 0,9м и Fб = 4353 Н.
Все силы, действующие на боковые грани, уравновешивают друг друга
F = Fн - Fв = 78 H
Ответ: Fн = 4392 Н, Fв = 4314 Н, Fб = 4353 Н, F = 78 Н.
Пример 8. Пирамида представляет собой правильный тетраэдр,
нижняя грань которого а, полностью погружена в жидкость плотностью , находится на глубине h (рис.4.18). Определить силу, действующую со стороны жидкости на боковую грань тетраэдра, если атмосферное давление равно р0.
Рис.4.18
23
Решение. Сила давления жидкости на боковую грань пирамиды: F
= (P0 +  g hб) ω = (P0 +  g hб) 3 /4 . a2 = 3 /4 P0 a2 + 3 /4 . a2 g hт , где
hт – расстояние от центра тяжести наклонной поверхности (треугольника) до пьезометрической поверхности.
hт = h – OF = h – 1/3 OD (т.к. NK = 1/3 DК)
АО = 2/3 АК = 2/3 3 /2 a = а/ 3 , высоту пирамиды находим как:
ОD = АD2 – АО2 = а2 – а2/3 = 2 / 3 а.
Отсюда глубина погружения центра тяжести треугольной поверхности СDB будет:
hт = h – 2 /3 3 а = (3 3 h - 2 a) / 3 3
, и искомая величина силы F:
F = 3 Р0 а 2  3 ga 2  3 3h  2а  3 Р0 а 2  1 ga 2  (3 3h  2а) .
4
4
3 3
4
12
Ответ: F = 1 ga 2  (3 3h  2а)  1 Р0 а 2 3 .
12
4
Пример 9. Вертикальная стенка шириной L= 3 м (в направлении,
перпендикулярном плоскости чертежа), шириной b = 0,7 м и высотой Н
= 2,5 м разделяет бассейн с водой на две части. В левой части поддерживается уровень воды Н1 = 2 м, в правой – Н2 = 0,8 м. Найти величину
опрокидывающего момента, действующего на стенку, определить kуст,
сделать вывод: будет ли стенка устойчива против опрокидывания.
Плотность материала стенки ст = 2500 кг/м3.
24
Рис.4.19
Решение. Найдем силу давления воды на стенку слева. Так как на
поверхности давление атмосферное, то пьезометрическая плоскость
совпадает со свободной поверхностью жидкости. Давление в центре
тяжести смоченной поверхности (рис.4.19) слева: Рт =  g H1/2; сила
давления R1 =  g H1/2.L.H1 = 58,8 кН.
Координата центра давления смоченной поверхности стенки слева: LД1 = Lт + J0/ Lт ω.
Для прямоугольной стенки J0 = LH13/12,тогда
Н
l Д1  1 
2
lH 13
4
 м.
Н
3
12 1 Н 1l
2
Точно так же справа: R2 =  g H2/2.L.H2 = 9,41 кН;
LД2 = 2/3 Н2 = 0, 533 м.
Опрокидывающий момент, т.е. момент сил давления жидкости относительно точки О:
Мопр = R1(Н1 – 2/3Н1) –R2(Н2 – 2/3Н2) = 3,67∙104 Н·м.
Удерживающий момент силы тяжести относительно точки О:
Муд = Н·L·b·стg b/2 = 4,5∙104 Н·м.
Коэффициент устойчивости kуст = Муд/Мопр = 1,23.
Ответ. Запас устойчивости составляет 1,23, поэтому стенка будет
устойчива при данных условиях.
25
Пример 10. Для слива жидкости из бензохранилища имеется квадратный патрубок со стороной h = 0,3 м, закрытый крышкой и шарнирно
закрепленной в точке О (рис.4.20). Крышка расположена под углом  =
45° к горизонту. Определить силу натяжения троса Т, необходимую для
открытия крышки АО, если уровень бензина Н = 3 м, а давление над
ним, измеренное манометром, составляет Рм = 5 кПа, плотность бензина
принять 700 кг/м3, вес крышки и трение в шарнире не учитывать.
Рис.4.20
Решение. Давление над свободной поверхностью отличается от
нормального атмосферного давления, поэтому определим высоту пьезометрической поверхности hр:
hр = (р0 – рa)/ g = р/ g = рм / g = 0,729 м.
Найдем силу давления на стенку АО. Рассматриваемая поверхность является наклонной квадратной стенкой с высотой, равной h/sin, и шириной h. Найдем площадь поверхности: ω = h2/sin.
Центр тяжести этой стенки находим на глубине:
Нт = Н – h/2, p = pм, т.е.
R = [Pм +  g (H – h/2)]ω = 3,13 кН.
Расстояние от центра тяжести стенки до пьезометрической поверхности
(находится по координате L –идущей вдоль поверхности стенки до пересечения с пьезометрической плоскостью) Lт (рис.4.21).
26
Рис.4.21
Тогда lТ 
hП  Н 
sin 
h
2
= 5,06 м.
Центральный момент инерции квадратной стенки относительно
горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести стенки: J0 =
(h/sin)3 h/12 = h4/12sin3.
Расстояние между центром давления и центром тяжести крышки эксцентриситет ε - определяем по формуле (4.4):
ε = J0/Lт ω =( h4/12sin)/12 Lт sin3 h2 = h2/12 Lт sin2 = 0,003 м.
Найдем силу натяжения троса из уравнения моментов сил, взятых
относительно оси шарнира О: Т. OA·cos - R (OС +ε) = Т·h – R (OC +
ε) = 0 , выражая из равенства значение для Т и подставляя численные
значения параметров, найдём:
Т = [R (OС +ε)]/h = [R (h/2sin + ε)]/h = 2,24 кН.
Ответ: Сила натяжения троса Т = 2,24 кН.
27
4.4. Задачи для практических занятий
1. Прямоугольный щит шириной 2 м соединен шарнирно по горизонтальной оси с дном сооружения, а сверху поддерживается крюками
(рис.4.22). Определить реакцию шарнира Rш и реакцию крюков Rк от
давления жидкости.
Рис.4.22
2. Построить эпюры гидростатического давления на дно одинаковых
цилиндрических резервуаров (рис.4.23). Угол наклона дна во втором
случае составляет 300. Определить величину силы давления и координату центра давления в каждом из случаев.
Рис.4.23
3.Определить силу давления воды и координату центра давления на
прямоугольную стенку шириной b (рис.4.24). Стенка испытывает двустороннее гидростатическое давление. Толщину стенки не учитывать.
28
Рис.4.24
4. Плоская стенка АВ наклонена к горизонту
под углом  = 60°. Отверстие в стенке закрыто щитом в виде равностороннего треугольника высотой h = 2 м, вращающегося относительно оси О-О (рис.4.25). Глубина воды в резервуаре Н = 4 м. Найти
вертикальную силу Т, которую надо приложить к щиту (точка В),
чтобы он находился в равновесии.
Рис.4.25
5. Вертикальная стенка высотой Н = 3 м, толщиной d = 1 м и шириной L
= 4 м разделяет бассейн с водой на две части с глубинами H1 = 1,2 м и
H2 = 2,6 м (рис.4.26). Плотность материала стенки 2400 кг/м3. Определить kуст стенки.
29
Рис.4.26
6. Для налива креозота из резервуара хранилища имеется выпускной
насадок – прямоугольный патрубок размером h = 0,4 м х 0,2 м. Патрубок закрыт крышкой и шарнирно закреплен в точке О. Крышка расположена под углом  = 55° к горизонту (рис.4.27). Определить силу
натяжения троса Т (без учёта сил трения в шарнире и веса крышки), необходимую для открытия крышки АО, если уровень креозота в резервуаре Н = 3 м, а манометрическое давление над свободной поверхностью
ним, измеренное манометром составляет Рм = 5 кПа. Вес крышки и трение в шарнире не учитывать.
Рис.4.27
7. Клапан АВ герметичного резервуара, расположенный под углом  =
45°, закрывает отверстие в круглой трубе диаметром d = 0,2 м. Глубина
воды в резервуаре составляет Н = 5 м. Манометр показывает давление
над свободной поверхности Р0 = 90 кН/м2 (рис.4.28). Определить величину момента, который необходимо создать в центре тяжести щита, яв30
ляющемся центром вращения, чтобы клапан находился в равновесии.
Рис.4.28
8. Отверстие в наклонной стенке резервуара закрыто круглым щитом
диаметром 2 м. Угол наклона стенки к горизонту  = 30° (рис.4.29).
Определить силу гидростатического давления воды на щит и точку
приложения, если центр тяжести находится на глубине 3 м.
Рис.4.29
9. Определить глубину Н в резервуаре (рис.4.30) и силу гидростатического давления на вертикальную стенку АВ высотой h = 1,5 м, шириной b = 1 м, если сила гидростатического давления R на горизонтальную стенку АС длиной а = 3 м составляет 135 кН.
Рис.4.30
31
10. Проверить устойчивость подпорной стенки на опрокидывание
(рис.4.31). Плотность кладки 2500 кг/м3, размеры кладки даны на рисунке. Ширина кладки 5 м. Глубина воды перед стенкой Н = 1,8 м, а1
= 0,9 м, а2 = 1,3 м.
Рис.4.31
11. Построить эпюру избыточного давления на вертикально расположенный прямоугольный щит АВ (рис.4.32). Определить силу давления на щит.
Рис.4.32
12. Наклонный щит испытывает давление с двух сторон (рис.4.33).
Построить результирующую эпюру давления. Определить результирующую силу давления графоаналитическим способом.
Рис.4.33
32
13. Наклонный под углом 45 градусов к горизонтальной плоскости прямоугольный щит испытывает с одной стороны гидростатическое давление (рис.4.34). Построить эпюру давления и определить силу давления
воды на щит.
Рис.4.34
14. Определить результирующую силу R давления воды на наклонный
прямоугольный затвор. Ширина затвора b = 4 м, h1 = 3 м, h2 = 1 м. Угол
наклона затвора к горизонту 60 градусов (рис.4.35). Превышение над
уровнем воды затвора составляет: а = 0,6 м.
Рис.4.35
15. Определить координату центра давления наклонного прямоугольного затвор, если ширина затвора 4 метра, глубина воды перед затвором 3
метра, за затвором 1 метр (рис.4.36) Угол наклона к горизонту затвора 
= 60°. Превышение оси затвора О над уровнем воды перед затвором составляет 0,6 метра.
33
Рис.4.36
16. Определить силу Т, необходимую для подъема прямоугольного щита шириной 4 м, если глубина воды перед затвором 3 м, за затвором –
1 метр (рис.4.37). Угол наклона затвора к горизонту 60 градусов. Затвор
может вращаться вокруг горизонтальной оси. Превышение оси вращения над уровнем воды перед затвором 0,6 метра.
Рис.4.37
17. Найти графоаналитическим методом полную силу давления на прямоугольный щит шириной 4 метра, если глубина воды перед щитом 3 м,
за ним 1 м (рис.4.38). Угол наклона щита к горизонту 600. Превышение
уровня воды перед затвором составляет 0,6 метра.
Рис.4.38
34
18. Определить графоаналитическим методом координату центра давления прямоугольного щита шириной 4 м, представленного на рисунке
4.39.
Рис.4.39
19. Определить координату центра давления и оценить устойчивость
подпорной стенки (рис.4.40), если плотность кладки 1870 кг/м3.
Рис.4.40
20. Определить Куст трапециевидной стенки, если верхнее основание
равно 6 м, а нижнее 3 м (рис.4.41). Плотность кладки 2000 кг/м3.
Рис.4.41
35
21. Наклонная поверхность - треугольник с основанием 6 м, вершина
треугольника испытывает манометрическое давление 39,24 кПа
(рис.4.42). Определить полную силу давления и положение центра давления, если угол наклона поверхности к горизонту равен 300.
Рис.4.42
22. Определить устойчивость треугольной призмы (рис.4.43): основание
равно 6 м, толщина 2 м, плотность материала 1900 кг/м3.
Рис.4.43
23. Наклонная поверхность - трапеция: нижнее основание 4 м, верхнее
основание - 6 м. Угол наклона к горизонту 45° (рис.4.44). Определить
величину вертикальной составляющей полной силы давления и координату её приложения.
Рис.4.44
36
24. Смоченная поверхность стенки, плотностью 2350 кг/м3 представляет
собой трапецию, верхнее основание 6 м, нижнее основание - 3 м. Толщина стенки 2 м (рис.4.45). Определить коэффициент устойчивости
стенки.
Рис.4.45
25. Ширина бетонной дамбы с плотностью = 2200 кг/м3 составляет 4 м
(рис.4.46). Определить устойчивость сооружения.
Рис.4.46
26. Наклонная смоченная поверхность – треугольник с основание 6 м,
глубина погружения вершины под свободной поверхностью составляет
1 м (рис.4.47). Определить величину горизонтальной составляющей
полной силы давления и координату центра давления.
Рис.4.47
37
27. Наклонный прямоугольный шит плотины шарнирно закреплен на
оси О. При каком уровне воды Н щит опрокинется, если а = 1,3 м, угол
наклона щита к горизонту 60° (рис.4.48)? Силой тяжести щита пренебречь.
Рис. 4.48
28. Смоченная поверхность щита - трапеция с основаниями 8 и 6 метров. Глубина погружения малого основания под свободной поверхностью 5,5 м. Угол наклона к горизонту 600 (рис.4.49). Определить величину полной силы давления на щит.
Рис.4.49
29. Сливной затвор диаметром d = 0,5 м полностью погружен в резервуар с нефтью, имеющий наклонную прямоугольную стенку АВ, по ширине соответствующую диаметру затвора. Глубина нефти в резервуаре
составляет 2 м, расстояние h = 1 м, угол наклона поверхности АВ составляет 450(рис.4.50). Определить силу давления на затвор и на поверхность АВ, найти координаты их центров давления.
38
Рис.4.50
30. Бетонная дамба (плотность 1850 кг/м3) шириной 4 м, в сечении
представляет собой правильную треугольную призму (рис.4.51). Определить коэффициент устойчивости для дамбы, если h1 = 5 м, h2 = 3 м.
Рис.4.51
31. Прямоугольный бак с квадратным дном со стороной 2 м и высотой
Н = 3 м, разделен плоской вертикальной стенкой в отношении 2:1 по
дну (рис 4.52) и заполнен водой на разные уровни (h = 1,6 м). Найти
равнодействующую гидростатического давления и точку ее приложения.
Рис.4.52
32. Определить коэффициент устойчивости стенки (рис 4.53) на опрокидывание при следующих параметрах: Н = 3 м; h = 2,8 м; h1 = 1,4 м; b =
3 м; с = 1,5 м. Плотность кладки 2100 кг/м3 .
39
Рис.4.53
33. Построить эпюры давления воды на вертикальную и наклонную поверхности стенки. Определить координаты центра давления на каждой
из поверхностей. Для построения принять h = 4 м, d = 2 м, Н = 4,5 м, b =
3 м, с = 1 м.
Рис.4.54
34. Построить в масштабе эпюру избыточного давления на наклонённый к горизонту под углом 600 прямоугольный щит (рис.4.55). Определить величину результирующей силы давления аналитическим и графоаналитическими методами. Сравнить полученные результаты.
Рис.4.55
40
35. Определить устойчивость подпорной стенки (рис.4.56), если плотность кладки 1950 кг/м3.
Рис.4.56
36. Найти полную силу давления воды на вертикальную стенку, имеющую форму трапеции, нижнее основание которой а =4 м, верхнее основание b= 8 м и высота h = 6 м, если уровень погружения нижнего основания составляет 12 м.
37.Равносторонняя призма, в основании которой прямоугольник со сторонами: а = 2 м, b= 4 м, заполнена до высоты h = 1,2 м ацетоном
(рис.4.57). Найти силу, действующую со стороны боковых стенок на
дно сосуда.
Рис.4.57
38. Аварийный радиобуй плавает на поверхности морской воды (ρ
=1020 кг/м3), имеет плотно закрытый плоской крышкой люк диаметром
D = 0,8 м. Внутри радиобуя давление вакуума составляет р = 2 кПа
41
(рис.4.58). Определить величину полной силы гидростатического давления на крышку. Найти координату центра давления.
Рис.4.58
39. Горизонтальный цилиндрический резервуар наполовину заполнен
водой. Торец резервуара диаметром D =1,2 м закрыт заглушкой А
(рис.4.59). Определить величину минимальной силы, которую нужно
приложить с внешней стороны заглушки (на уровне свободной
поверхности жидкости), чтобы удержать её в равновесии. Определить
положение центра давления Lд .
Рис.4.59
40. По условию предыдущей задачи (№ 39) определить величину вакуума над свободной поверхностью воды, при котором заглушка А без её
закрепления смогла бы удерживать жидкость в резервуаре.
42
41. Определить полную силу давления на плоскую вертикальную треугольную стенку (рис.4.60), если: а = 3 м, b = 4 м, с = 5 м, Н = 2 м.
Определить координату центра тяжести и центра давления стенки.
Рис.4.60
42. Наклонный прямоугольный щит испытывает одностороннее гидростатическое давление (рис.4.61). Построить эпюру давления, определить
полную силу давления на щит и координату центра давления, если угол
наклона щита к горизонту 600 , глубина воды перед щитом Н = 4 м.
Рис.4.61
43. Камера герметичного двухкамерного резервуара заполнена наполовину ртутью, свободная поверхность которой находится при давлении
p1 = 1 атм. В перегородке резервуара имеется люк, закрытый плоской
крышкой диаметром D = 1 м. Глубина наполнения ртутью камеры со43
ставляет h = 0,9 м (рис.4.62). Определить полную силу давления R на
крышку если р2 = 3p1. Найти величину р2 при которой значение R =0.
Рис.4.62
44. В резервуар (рис.4.63) налит керосин (удельный вес 8600 Н/м3).
Определить положение центра давления на крышку, если уровень керосина Н = 8 м, диаметр крышки D = 0,75 м, расстояние от центра крышки
до дна h = 1 м. Чему равна полная сила давления на крышку?
Рис.4.63
45. Бетонная призма – в сечении равносторонний треугольник, высотой
h = 1,8 м, погружена на глубину 10 м в морскую воду. Ширина призмы
3 м. Определить силу давления призмы на дно.
46. Бетонная трапецеидальная дамба высотой h = 2 м находится на глубине 3,5 м, имеет размеры: А = 4 м, В = 3 м. Ширина дамбы 3 м. Определить силу давления дамбы на грунт (рис.4.64).
44
Рис.4.64
47.Прямоугольный затвор, шириной b = 4 м, высотой Н = 3,5 м, испытывает двустороннее давление: глубина воды слева от затвора h1 = 3 м, а
справа h2 = 1,2 м, толщина затвора 8 см. Определить величину равнодействующей силы давления на плоский затвор и положение центра
давления. Решить задачу аналитическим и графоаналитическим способами.
48. Вертикальная стенка эллиптической формы (рис.4.65) с параметрами
осей: a = 7 м , b = 3м, погружена в воду. Расстояние от центральной оси
эллипса до свободной поверхности Н = 5 м. Определить величину полной силы давления на стенку и координату центра давления Lд.
Рис.4.65 .
49. Определить величину Т – силу натяжения троса (рис. 4.66) при
подъеме прямоугольного затвора шириной b = 3 м и массой 1,7 т за45
крепленного на шарнире в точке О. Сила тяги действует нормально к
плоскости затвора. Глубина воды перед затвором h1 = 4 м, h2 = 2,2 м, a =
0,6 м. Угол наклона затвора α = 60º .
Рис.4.66
50. Определить полную силу давления и положение центра давления
для прямоугольного щита шириной b = 4 м (рис.4.66). Глубина воды перед затвором h1 = 3 м, h2 = 1,2 м, a = 0,5 м. Угол наклона затвора α = 60º .
Решить задачу графоаналитическим способом.
46
4.5. Варианты заданий для самостоятельной работы
Задание. Вычислить полную силу давления воды на вертикально расположенную плоскую поверхность. Определить положение центра давления Lд. Номер варианта приведен в таблице 4.1.
Таблица 4.1
Вариант
Форма поверхности
Вариант
1
7
2
8
3
9
4
10
5
11
6
12
47
Форма поверхности
Продолжение таблицы 4.1
Вариант
Форма поверхности
Вариант
13
18
14
19
15
20
16
21
17
22
48
Форма поверхности
Окончание таблицы 4.1
23
27
24
28
25
29
26
30
49
4.6. Ответы, указания к решению задач
1. Определить величину сил давления и точки из их приложения с каждой стороны щита. Найти равнодействующую этих сил. Величины сил
реакций находить из уравнения моментов сил. Rк = 40,47 кН, Rш = 76,85
кН.
2. R = 15,2 кН, Lд = 3,8 м.
3. R = (1/2)[ ρgb(h22 – h12); Lд = 2h2/3 – h12 /3 (h1 + h2).
4. Составить уравнение моментов сил относительно точки О , откуда Т
= 47,4 кН.
5. Определить силу давления воды на стенку и координаты центров
давления слева и справа. Сравнить опрокидывающий момент силы R с
удерживающим моментом от силы тяжести G относительно точки О.
Определить kуст , сделать вывод.
6. Определить силу давления и центр давления смоченной прямоугольной поверхности со стороной АО с учетом величины давления над свободной поверхностью. Составить уравнение моментов относительно оси
шарнира О, откуда найти величину силы натяжения троса Т.
7. Определить положение пьезометрической поверхности. Площадь
клапана представляет собой эллипс. Положение центра давления от пьезометрической поверхности определять по координате, совпадающей по
направлению с плоскостью поверхности клапана АВ. М = 620 Н·м.
8. R = 92,3 кН; Lд = 6,01 м.
12. Построить в выбранном масштабе эпюры гидростатического давления на щит слева и справа. Разность площадей этих эпюр (площадь трапеции), умноженная на ширину щита, будет численно равна искомой
силе R.
13. Силу давления рассчитывать на 1 м ширины щита.
14. Результирующая сила R равна алгебраической сумме сил R1 и R2
давлений воды слева и справа. R = 180,30 кН.
50
15. Lд = 0,77 м.
16. Составить уравнение моментов сил R1 и R2 и Т относительно оси
вращения затвора. Т = 126,13 кН.
17. Построить в выбранном масштабе эпюры гидростатического давления на щит слева и справа. Разность площадей этих эпюр (площадь трапеции) умноженная на ширину щита будет численно равна искомой силе R. Для нахождения центра давления D необходимо определить центр
тяжести полученной после построения фигуры, и провести через него
перпендикуляр к плоскости затвора. Примеры нахождения центра тяжести некоторых плоских фигур приведены в Приложении Г (см. Таблицу
Г.2).
18. Для нахождения положения центра давления необходимо определить центр тяжести полученной трапеции (из разности эпюр треугольников), через который провести перпендикуляр к плоскости щита. Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью щита является искомым
центром давления. Измерив отрезок от пьезометрической поверхности
до центра давления и умножив эту величину на выбранный масштаб,
получим координату Lд.
19. Lд = 3,33 м; kуст = 4,37
20 -26. Использовать табличные значения для определения координат
центров тяжести, центрального момента инерции. ( См. Приложение Г
Таблица Г.1) или учебник [1].
27. Щит опрокинется при условии, что центр давления будут совпадать
или быть выше центра закрепления оси О. Н ≥ 3,38 м.
36. R = 1007,16 Н.
37. Сила давления жидкости на боковую наклонную стенку: F =
(ρgh2b)/2sinα. Сила f, с которой боковые стенки действуют на дно сосуда, направлена вверх и равна: f = 25806 Н.
38. R = 1,42 кН; Lд = 0,051 м.
39. R= 2247 Н, Lд = 0,347 м.
51
40. рвак = 19,82 Па.
41. R = 168 кН; Lт = 2,8 м, Lд = 2,91 м.
42. Полная сила давления численно равна объёму эпюры давления (треугольная призма шириной 1 м).
43. Полную силу давления находить по правилу сложения векторов.
44.R = 26,582 кН; Lд = 7,005 м.
45 - 46. Учесть вес призмы и величину вертикальной составляющей Ry .
Плотность бетона принять за 2000 кг/м3.
47. R = 148,3 кН; Lд = 1,89 м. Для нахождения центра давления графоаналитическим способом необходимо найти центр тяжести трапеции
KFBC (см. Приложение Г), через центр тяжести провести силу R перпендикулярно поверхности затвора. Измерить расстояние от пьезометрической поверхности (в данном случае свободной) до точки пересечения силы R с поверхностью (точка D) получим величину Lд. Графические построения выполнять в масштабе (рис.4.66).
Рис.4.67
48. R = 329,7 кН, Lд = 5,45 м.
49. Составить уравнение моментов всех действующих сил относительно
шарнира О. Сила тяжести затвора приложена к его центру тяжести.
Вычислить искомую начальную величину подъёмного усилия Т.
52
Таблица 4.2. Ответы к вариантам заданий для самостоятельной работы
Величина силы R,
Величина силы R,
Вариант
Вариант
кН
кН
1
98
16
123
2
85
17
78
3
248
18
13
4
105
19
52
5
167
20
3
6
26
21
23
7
131
22
16
8
23
23
251
9
523
24
31
10
33
25
13
11
31
26
6
12
62
27
6
13
24
28
39
14
22
29
20
15
239
30
272
53
5. ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
5.1. Нахождение полной силы давления, построение тела давления
Величина полной силы давления на криволинейные поверхности
определяется по формуле:
,
(5.1)
где Rx, Ry – горизонтальные составляющие полной силы давления,
Rz – вертикальная составляющая полной силы давления.
Рассмотрение криволинейных поверхностей в модельном представлении сводят к элементарным цилиндрическим поверхностям с вертикальными или горизонтальными образующими.
Горизонтальные составляющие Rx(y) определяются из выражения:
Rx(y) = ρgHт·ωx(y),
(5.2)
где ωx(y) – площадь проекции цилиндрической поверхности на плоскость, перпендикулярную соответственно осям X или Y, а Нт – расстояние от центра тяжести этой проекции до пьезометрической плоскости.
Точка приложения горизонтальных составляющих является центром
давления площадей проекций ωx(y).
Вертикальная составляющая Rz , равная весу объема жидкости, определяется из выражения:
Rz = ρgΩд,
(5.3)
где Ωд – представляет собой объемную эпюру давления и называется
телом давления. Для вычисления величины Ωд , необходимо выполнить построение тела давления, согласно его определения:
Телом давления называется объем призмы, ограниченный снизу цилиндрической поверхностью, а сверху – проекцией этой поверхности на
пьезометрическую плоскость[1].
54
Вертикальная составляющая Rz проходит через центр тяжести тела
давления и, в зависимости от рассматриваемой задачи, может иметь
направление вниз или вверх.
Пример построения и нахождения Rx и Rz для цилиндрической
поверхности с горизонтальной образующей показан на рис.5.1.
Рис.5.1. Пример построения и нахождения составляющих полной силы давления на цилиндрическую поверхность
5.2. Примеры решения задач
Пример 1. Определить величину гидростатического давления
жидкости на внутреннюю поверхность стенки трубы (рис.5.2). Определить Rmax - величину предельного напряжения в стенках трубы для её
разрыва, если Н – напор, под которым в трубе находится жидкость; d –
диаметр; L – длина трубы; δ – толщина стенки; Rх – сила давления жидкости внутри трубы, способная разорвать ее.
55
Рис.5.2
Решение. Величина Rх рассчитывается по формуле:
Rх=rgHLd ,
(1)
где rgH = Pmax – предельная величина гидростатического давления в
стенках трубы для её разрыва.
Разрывающей силе давления жидкости противодействует сила сопротивления материала стенки F:
F=2σδL ,
(2)
где σ – напряжение на разрыв; δ – толщина стенки; L – длина трубы; 2 –
коэффициент, поскольку сила сопротивления действует с двух сторон.
При условии, что система находится в равновесии, приравняем силы
давления жидкости и сопротивления материала стенки Rх=F. Подставляя из формул (1) и(2) величины, получим:
PmLd=2δσLd или Pmd=2δσ
Откуда
56
Пример 2. Вертикальный цилиндрический резервуар, диаметром d
закрыт сверху полусферической крышкой того же диаметра, весом G и
целиком заполнен водой (рис.5.3). Затем в отверстие в верхней части
крышки ввернули вертикальную трубку пренебрежительно малого диаметра и залили в неё воду. Определить при какой высоте h вертикальная
составляющая силы давления воды на крышку уравновесит ее вес.
Дано: d = 2м; G = 19,6 кН;  = 1000 кг/м3.
Рис.5.3
Решение. Запишем уравнение, из которого можно определить высоту h:
Rz = G.
Здесь Rz – вертикальная составляющая силы давления воды на полусферическую крышку, а G – вес крышки.
Определяем силу Rz .
Вертикальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную поверхность равна весу жидкости в объёме давления:
Rz =  g д.
В свою очередь, чтобы построить объём давления д, необходимо
спроецировать полусферическую поверхность крышки на пьезометрическую поверхность жидкости (то есть на ту горизонтальную плоскость,
где весовое давление жидкости равно нулю). В задаче это плоскость
MN. Объём, заключённый между полусферой АВ, её проекцией на
плоскость MN и вертикальными проектирующими поверхностями, и
57
есть объём тела давления (заштрихован на рисунке 5.4).
Рис.5.4
Из геометрических построений видно, что этот объём равен разности объёмов цилиндра и полусферы:
д 
d 2
d
1
(h  )  d 3
4
2 12
Определяем высоту h из уравнения: G =  g д, далее подставляем
в результат численные значения параметров, заданных по условию и
производим вычисления.
G=g[
d 2
4
(h 
d
1
)  d 3 ] 
2 12
 G 1 3
  d 4
 g 12
 d
h=
2
2
d
Пример 3. Определить величину, направление и точку приложения полной силы гидростатического давления воды на 1 метр ширины
вальцового затвора, диаметром D, если H - уровень воды перед затвором (рис.5.5).
58
Рис.5.5
Решение. Полная сила гидростатического (избыточного) давления воды на цилиндрическую поверхность определяется по формуле
5.1:
,
где Rx – горизонтальная составляющая силы избыточного гидростатического давления, Н;
Rz – вертикальная составляющая полной силы избыточного гидростатического давления, Н. В данной задачи Ry = 0.
Горизонтальная составляющая силы избыточного гидростатического давления равна силе давления на вертикальную проекцию цилиндрической поверхности (формула 5.2):
Rx= ρghт·ωx,
где hт. – расстояние по вертикали от центра тяжести вертикальной проекции цилиндрической поверхности до уровня воды, м; ωx– площадь
вертикальной проекции цилиндрической поверхности ABC на плоскость, перпендикулярную оси Х, м2.
59
Вертикальная составляющая силы избыточного гидростатического давления определяется по формуле 5.3:
Rz = ρgΩд,
где Ωд – объем тела давления, м3
То есть вертикальная составляющая силы давления равна весу жидкости
в объеме тела давления.
Тело давления представляет собой объем, расположенный над цилиндрической поверхностью и заключенный между вертикальными
плоскостями, проходящими через крайние образующие цилиндрической
поверхности, самой цилиндрической поверхностью и свободной поверхностью воды. Если тело давления находится со стороны, не смачиваемой жидкостью поверхности (в теле давления нет воды), то такое тело давления отрицательно и сила Rz будет направлена вверх.
В данной задаче для нахождения тела давления следует цилиндрическую поверхность ABC разделить на две: AB и BC, причем тело
давления для поверхности AB будет положительным, а для BC – отрицательным. Результирующий объем тела давления на всю цилиндрическую поверхность ABC и его знак находятся путем алгебраического
суммирования тел давления на криволинейные поверхности AB и BC.
Суммарная сила избыточного гидростатического давления на цилиндрическую поверхность направлена по радиусу к центру цилиндрической поверхности под углом φ к вертикали:
Расстояние h от свободной поверхности воды до точки приложения силы округлить до сантиметра.
Пример 4. Определить силу гидростатического давления на 1м
ширины (b) нижней криволинейной части сосуда. Сосуд заполнен водой
60
на глубину H = 1,5 м, r = 0,5 м (рис.5.6). Определить направление действия силы R, точку приложения силы Rx и координату вертикальной
составляющей Rz.
Рис.5.6
Решение. Горизонтальная составляющая полной силы давления
Rх равна давлению в центре тяжести проекции криволинейной поверхности на плоскость, перпендикулярную оси Х:
Rx= ρghт·ωx , = ρg(H – r/2)r·b = 1000·9,81(1,5 – 0,5/2)0,5·1 = 625 кН.
Вертикальная составляющая равна весу воды в объёме тела давления:Rz
= ρgΩд , для её нахождения необходимо построить и вычислить объём
тела давления Ωд – определяется как объем призмы ограниченной снизу
кривой 1-4, а сверху её проекцией на пьезометрическую плоскость 2-3.
Фигура 1-2-3-4 представляет собой тело давления на криволинейную
поверхность 1-4 (рис.5.7).
Рис.5.7
61
Rz = ρgΩд = ρg (Н·r – πr2/4)b = (1000·9,81(1,5·0,5 – 3,14·0,52/4)·1 = 554
кН.
Полная сила давления на криволинейную поверхность сосуда:
, в данном случае Ry = 0, подставляя значения для Rx и
Rz, получим R= 835 кН. Точка приложения полный силы давления R –
центр давления D, его координата Lд находится как (см.формулу 4.3):
Lд = Lт + ε = Lт + J0/ Lтω = (Н – r/2) +br3/[12br(H –r/2)] = (1,5 – 0,5/2) +
1·0,53/[12·1·0,5·(1,5 – 0,5/2)] = 1,267 м.
Вертикальная составляющая Rz проходит через центр тяжести фигуры 1-2-3-4, расстояние l от центра тяжести криволинейной призмы до
вертикальной линии 1-2 равно статическому моменту площади фигуры
I относительно этой линии, делённому на площадь фигуры, причём расстояние центра тяжести четверти круга 1-4 от вертикали 1-2 равно: х =
0,4244r:
l = I/ω1-2-3-4 = [H·r x r/2 –(πr2/4) x 0,4244·r]/[H·r – πr2/4] = 0,263 м.
Полная сила давления R проходит через точку пересечения С линий действия горизонтальной и вертикальной составляющих под углом
θ к горизонту, величина которого θ = arc tg(Rz/Rx) = arc tg(0,554/0,625) =
41031'. Если криволинейная поверхность представляет собой часть круговой цилиндрической поверхности, то сила R всегда направлена по
радиусу и проходит через центр круга.
Пример 5. Цилиндрический затвор весом G = 60 кгс, радиусом r =
0,25 м и длиной l = 100 см закрывает отверстие в дне прямоугольного
резервуара размерами a x b = 30 х 100 см (рис.5.8). Определить минимальную глубину H погружения в жидкость, при которой цилиндр
всплывет. Давление на свободной поверхности p0 = 0,9 кгс/см2, γ = 1
г/см3.
62
Рис.5.8
Решение. Пример решения приведён в размерности СГС.
В данном случае горизонтальная составляющая равна нулю (слева и
справа силы, действующие на цилиндрическую поверхность по горизонтали противоположно направленные, т.е. компенсированы). Вертикальная составляющая Rz равна весу жидкости в объёме тела давления:
Rz =ρgΩд = ρg[a·b(H – c) – b(ω1 + 2ω2)].
Рис.5.9
Из рисунка 5.9 определим определим угол α: sin(α/2) = a/2r =0,3/(2x0,25)
= 0,6 откуда α = 73044'. Угол β = 1800 –α = 106016'. Площади сегметов ω1
и ω2 определяем по формулам:
ω1 = (r2/2)(πα/1800 –sinα) = 0,0102 м2, ω2 = (r2/2)(πβ/1800 –sinβ) = 0,0279
м2. С = 2rsin(β/2) = 0,4 м.
63
Давление над свободной поверностью жидкости отлично от
атмосферного (ратм = 1 кгс/см2), поэтому, выталкивающая сила,
действующая на цилиндрический затвор будет равна:
F = (ратм – р0)a·b = (1 – 0,8)х30х100 = 600 кгс. Из уравнения равновесия
для цилиндра, с учетом его веса: G + Rz = F, выразим Rz = F – G. Отсюда, учитывая зависимость Rz = f(H), запишем Rz =ρgΩд = ρg[a·b(H – c) –
b(ω1 + 2ω2)] = 1·[0,3(H – 0,4) – 1·(0,0102 + 2x0,0279)] = 600 –60. Из полученного соотношения находим H = 242 см.
Ответ: H = 242 см.
5.3. Задачи для практических занятий
1.Определить величину и направление действия полной силы гидростатического давления на 1 м ширины вальцового затвора диаметром D = 2
м (рис.5.10).
Рис.5.10
2. Определить полную силу гидростатического давления на плоскую
торцевую стенку горизонтальной, цилиндрической, герметически закрытой цистерны диаметром D = 2,2 м, если уровень бензина, плотностью 730 кг/м3, в цистерне находится на расстоянии Н = 2,4 м от дна.
Избыточное давление паров бензина на свободную поверхность составляет р = 367 мм рт.ст (рис.5.11).
64
Рис.5.11
3. Определить силу давления на коническую крышку горизонтального
резервуара диаметром D = 2 м, заполненного керосином (рис.5.12). Высота конусной крышки h = 1 м. Показание манометра 0,05 МПа. Показать вертикальную и горизонтальную составляющие.
Рис.5.12
4. Определить диаметр болтов d, симметрично закрепляющих крышку
лаза, если допустимое напряжение на разрыв для болтов  = 7 кН/см2.
Число болтов 12. Резервуар наполнен жидкостью плотностью ρ= 860
кг/м3. Найти координату центра давления, если диаметр крышки D=
0,75 м, расстояние от центра тяжести крышки до дна резервуара h1 = 1
м, глубина наполнения резервуара жидкостью h = 8 м (рис.5.13).
Рис.5.13
65
5. Определить полную силу давления на щит диаметром 3 м и шириной
2 м (рис.5.14). Найти направление действия полной силы давления.
Рис.5.14
6. На глубине 5 м в пресной воде находится шарообразная емкость d =
2 м, наполовину заполненная бензином, свободная поверхность которой
находится под давлением р = 8338,5 Па (рис.5.15). Определить силу
гидростатического давления, которую испытывают стенки нижней полусферы. Толщиной стенок пренебречь.
Рис.5.15
7. Определить полную силу гидростатического давления воды на часть
цилиндрической поверхности АВ, если Н = 5 м,  = 60°, ширина цилиндра В = 10 м (рис.5.16).
Рис.5.16
66
8. Часть цилиндрического затвора, диаметром 8 м, перегораживает канал глубиной 3 м (рис.5.17). Определить величину и направление действия полной силы давления на участке АВ.
Рис.5.17
9. Вальцовый затвор диаметром 4 м на ¾ d перегораживает канал
(рис.5.18). Определить полную силу гидростатического давления на 1 м
ширины затвора.
Рис.5.18
10. Цилиндрический затвор диаметром 2 м и шириной b = 4 м перегораживает канал (рис.5.19). Определить величину и направление действия полной силы гидростатического давления затвор.
Рис.5.19
11. Определить полную силу давления, которое испытывает сферическая поверхность батискафа, диаметром 2,5 м на глубине 150 м в пресной воде (рис.5.20).
67
Рис.5.20
12. По данным задачи № 11 определить силу давления, которую оказывает батискаф нижней своей точкой на грунт. Плотность сферы принять
равную 8600 кг/м3.
13. Определить полную силу, действующую на болты сферы d = 2м, заполненной водой (рис.5.21). (Слева поверхность воды находится при
атмосферном давлении).
Рис.5.21
14. Сосуд, имеющий форму цилиндра и оканчивающийся полусферой,
полностью заполнен водой (рис.5.22). Определить силу, отрывающую
полусферу от цилиндра и силу, растягивающую резервуар по вертикальной образующей, если h = 4 м, D = 2 м.
Рис.5.22
68
15. Определить величину горизонтальной составляющей гидростатического давления на цилиндрическую поверхность d = 2 м и длиной 5 м,
находящуюся на глубине 20 м,  = 60° (рис.5.23).
Рис.5.23
16. Шаровой клапан закрывает отверстие в баке (рис.5.24). Определить
минимальную силу F, необходимую для герметического закрытия клапана.
Рис.5.24
17. Определить величину полной силы гидростатического давления на 1
м сегментного щита, радиуса 3 м,  = 60° (рис.5.25). Найти направление
действия силы.
Рис.5.25
69
18. Стальная труба с внутренним диаметром d = 0,6 м работает под давлением 3 МПа (рис.5.26). Определить необходимую минимальную толщину стенок трубы, если допускаемое напряжение для стали  = 150
МПа. Чему будет равно разрывающее усилие на участке длиной 1м?
Рис.5.26
19. Предмет, имеющий форму цилиндра и оканчивающийся полусферой
радиусом г = 0,5 м, находится на глубине 25 м (рис.5.27). Определить
полную силу давления воды на корпус.
Рис.5.27
20. Определить силу давления жидкости плотностью ρ = 946 кг/м3 на
криволинейную стенку, представляющую собой ¼ правильной цилиндрической поверхности радиуса r =3 м. Ширина стенки b = 6 м.
21. Определить величину полной силы давления, действующей на левую половину цилиндрического поплавка (рис.5.28), если r1 и r2 –
радиусы цилиндрических поверхностей, b –ширина поплавка.
70
Рис.5.28
22.Массивный подводный колокол (рис.5.29), представляющий собой
полусферу диаметром 2 м, находится на глубине 100 м в морской воде.
Определить силу давления воды на его поверхность.
Рис.5.29
23. Определить полную силу давления на цилиндрический затвор, перегораживающий прямоугольный канал (рис.5.30). Глубина воды перед
затвором h = 4,2 м, диаметр затвора 3 м, ширина пролета b = 10м.
Рис.5.30
24. Определить направление действия полной силы давления на цилиндрический затвор, перегораживающий прямоугольный канал. Н = 5 м, d
= 3 м, ширина затвора 10 м (рис.5.31). Определить координату центра
давления для Rx.
71
Рис.5.31
25. Цилиндрический затвор закреплен на оси ОО в центре прямоугольного щита шириной b = 5 м (рис.5.32). Определить полную силу давления на затвор, если глубина воды слева перед щитом Н = 4,5 м, а справа
h доходит до горизонтальной оси закрепления затвора. Уровень воды до
цилиндрической поверхности сверху и снизу одинаков
и составляет 1/9 H.
Рис.5.32
26. На дне глубокого резервуара, заполненного водой, находится цилиндр массой m = 5 кг и радиусом r = 0, 3 м, имеющий полусферическую полость с таким же радиусом. Полость заполнена ртутью. Вода
из резервуара медленно вытекает (рис.5.33). Определить величину
уровня воды в резервуаре h, при котором цилиндр оторвется от его
дна и ртуть начнет вытекать.
72
Рис.5.33
27. На дне глубокого резервуара, заполненного водой, находится цилиндр массой m = 5 кг и радиусом r = 0, 3 м, имеющий полусферическую полость с таким же радиусом. Полость заполнена ртутью. Вода
из резервуара медленно вытекает (см. задачу 26 ). Определить величину уровня оставшейся ртути hр в сферической полости при полном
опорожнении резервуара (рис.5.34).
Рис.5.34
28. Сосуд разделен наклонной поверхностью, имеющей полусферическую выпуклость радиусом R. Верхняя часть сосуда заполнена жидкостью известной плотности. Высота столба жидкости над выпуклостью Н, а угол наклона плоскости к горизонту α = 450 (рис.5.35).
Определить величину вертикальной составляющей полной силы давления, действующую на полусферическую выпуклость со стороны
жидкости.
Рис.5.35
73
29. Найти минимальную силу, с которой надо сжимать равные полусферы, заполненные серной кислотой, чтобы жидкость не выливалась. Радиус сферы r = 35 см (рис.5.36). Построить эпюру давления на
линию соприкосновения полусфер со стороны правой полусферы.
Рис.5.36
30. Емкость представляет собой полусферу радиуса r= 0,4 м, заполнена
водой. Определить полную силу давления воды на стенки емкости.
31. В цилиндрический сосуд диаметром D наливают воду. Определить
высоту H налива воды, при которой сила давления на боковую поверхность будет равна силе давления на дно сосуда.
32. Котел, состоящий из цилиндрической части и двух полусферических
днищ, испытывает внутреннее давление р. Радиусы цилиндрической части и обеих полусфер одинаковы и равны R. Толщина стенки цилиндрической части δ = 0, 005 м (рис.5.37). Определить толщины стенок
днищ, чтобы прочность всех частей котла (сделаны из одного материала) была одинакова.
74
Рис.2.37
33. Танк цилиндрической формы диаметром D = 4 м заполнен дейтерием D2O ( γ = 10880 Н/м3), находится на наклонной поверхности,
угол наклона которой к горизонту составляет 300.Танк закрыт
крышкой и доверху заполнен жидкостью на H = 2 м. На высоте h =
1 м от основания имеется люк с полусферической крышкой d = 0,4 м
(рис.5.38). Определить силу, отрывающую полусферу от танка.
Рис.5.38
34. Кварцевый резервуар заполнен жидкость с удельным весом
17953 Н/м3. Определить положение центра давления на полусферическую крышку, если уровень жидкости Н = 1,3 м, диаметр полусферы D = 0,15 м, расстояние от центра крышки до дна h = 0,4 м
(рис.5.39). Чему равна полная сила давления на крышку? Определить вид жидкости.
75
Рис.5.39
35. Определить изменения направление действия силы давления жидкости с плотностью ρ = 946 кг/м3 (при стандартных физических условиях)
на 0,25 часть цилиндрической поверхности радиуса 0,3 м при ширине
поверхности b = 0,6 м, если жидкость нагрели на 70 °С.
36. Резервуар диаметром 17 м емкостью 14·105 литров заполнен водой.
Определить силу давления воды на боковую стенку.
37. Аквариум, имеющий полусферическую форму диаметром d = 80 см,
заполнен водой на 2/3 радиуса. Определить силу давления воды на
стенки аквариума.
38. Цилиндрический резервуар диаметром D = 6 м заполнен нефтью,
плотно закрыт крышкой, находится на уклоне в 30 0 при температуре t =
0 °C. Уровень жидкости H = 3 м, расстояние от центра полусферического люка диаметром d = 0,8 м до дна резервуара h = 1,5 м (рис.5.40).
Определить изменение величины горизонтальной составляющей полной
силы давления на крышку люка, если жидкость была нагрета до 50 °С.
Расширением стенок резервуара пренебречь.
76
Рис.5.40
39. Цилиндрический затвор диаметром d = 3 м и шириной 4 м перегораживает канал. Затвор испытывает внутреннее затопление на глубину
h3 = 1 м. Определить величину полной силы давления воды, действующей на стенки затвора.
Рис.5.41.
40. Шаровой клапан, вес которого равен G, закрывает отверстие в сосуде (рис.5.41). Определить величину силы F, необходимую для отрыва
клапана от отверстия.
Рис.5.42
77
41.Бетонная дамба высотой h = 4 м, находится на глубине 6 м, имеет
размеры: В = 2 м, длина дамбы 3 м. Слева в дамбе на всю длину имеется
паз размеров в сечении 0,8 х 0,8 м, а справа - полуцилиндрический диаметром d = h/2 (рис.5.42). Определить силу давления дамбы на грунт.
Рис.5.43
42. Вертикально расположенная дубовая бочка высотой h = 120 см, полностью заполненная жидкостью плотностью ρ = 789 кг/м3 покоиться на
морском дне на глубине 100 м (рис.5.43). Определить величину вертикальной составляющей силы давления, которую испытывают стенки
бочки, если D = 100 см, d =76 см. Толщиной стенок пренебречь.
Рис.5.44
78
5.4. Варианты заданий для самостоятельной работы
Задание.
1. Построить тело давления на фигуру, образованную цилиндрической поверхностью.
2. Определить направление действия вертикальной составляющей
Rz.
Варианты заданий для самостоятельной работы представлены
в табл. 5.1.
79
Таблица 5.1. Варианты заданий для самостоятельной работы
Построить тело давления и определить направление Rz
Ва-
Задание
Ва-
ри-
ри-
ант
ант
1
14
2
15
3
16
4
17
5
18
6
18
80
Задание
Окончание таблицы 5.1
7
20
8
21
9
22
10
23
11
24
12
25
13
26
81
5.5. Ответы, указания к решению некоторых задач
1. R = 249,48 кН; α = 3801′.
2. R = 22,3 кН, координата Lд = 1,34 м.
4. d = 6,5 см; Lд = 7,005 м
5. R = 284,89 кН; α = 380.
8. Объём тела давления выразить через объём сегмента : Ωд = (½)ΩАВС
·b , принять b = 1 м (на 1 метр ширины затвора), R = 98,5 кПа; θ = 62024′
10. R = 109,6 кН; α = arctg(π/2)
13. 10,13 кН.
14. Rx = 250,2 кН, Rz = 10,13 кН.
15. Rх = 1748,71 кН.
16. Р = 3,86·ρgπr3.
18. 6 мм
25. R = 439,3 кН.
26. Записать силовое уравнение равновесия цилиндра на дне резервуара.
Условие, при котором величина силы реакции дна резервуара становится равной нулю (N =0), определяет момент отрыва цилиндра. h = r(1 +
ρрт/3ρ) – m/ρπr2. h = 1,66 м.
27. Ртуть перестанет вытекать, когда уровень воды достигнет верхнего
основания цилиндра (h = r). Из условия равновесия цилиндра найти искомую величину.
h
p
3
3m
 р
28.Rz = ρgπR2[(H + R)cosα – 2R/3]
29. R = 2430 Н.
30. p = 1971 Н.
31. Сравнить величины действующей силы давления на дно и полной
силы давления на боковую поверхность. Откуда Н =R.
32.Необходимо сравнить силы, действующие на единицу длины поверхности котла по вертикали. Сила на единицу длины, с которой рас82
тянута стенка цилиндрической части котла в направлении, перпендикулярном оси котла ОО1 равна f1 =(2RL/2L)p = pR, где 2RL- площадь сечения котла АВСВ, а р – давление внутри котла; 2RLp – сила, действующая на половину цилиндра. Максимальное значение силы, приходящейся на единицу длины сферических днищ: f2 =(πR2/2πR)p = pR/2 =
f1/2. Сделать вывод.
33. Использовать соотношение для проекций сил давления для произвольно ориентированной криволинейной поверхности.
34. Пьезометрическая поверхность совпадает со свободной поверхностью жидкости.
35. θ = 57031′
36. Порядок величины R·105 Н.
37. Использовать формулы для расчета объёмов из Приложения Д.
38. Использовать соотношение для проекций сил давления для произвольно ориентированной криволинейной поверхности.
39. Для нахождения объёма тела давления следует учесть объёмы фигур: треугольной призмы и криволинейной призмы, образованной сектором.
40. Рассмотреть вертикальные силы, действующие на клапан. Составить
уравнение равновесия с учетом направления действия сил: F = G + P –
Rz , где P – сила гидростатического давления на верхнюю поверхность
полусферы, Rz – вертикальная составляющая полной силы давления
(находится как объем шарового пояса, полученного от вращения кругового сегмента вокруг вертикального диаметра см рис.5.45). F = G +
15πr3ρg/8
83
Рис.5.45
41.Составить уравнение равновесия. Величину силы найти с учетом веса дамбы и сил гидростатического давления на поверхности дамбы.
42. Построить тела давления для внешней и внутренней поверхности
стенок бочки.
84
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
Координаты центра тяжести и моменты инерции некоторых плоских фигур
Таблица Г.1. Координаты центра тяжести и момент инерции некоторых плоских фигур
Центральный
Центр тяжести С
Фигура
момент инери координата Lc
ции
1
Квадрат
2
3
C - в точке пере-
сечения диагона-
a4
J x  J x1 
12
лей
Lc 
Треугольник
a
2
C - в точке пере-
сечения меридиан
Lc 
85
1
h
3
b  h3
Jx 
36
Продолжение таблицы Г.1
2
3
1
Трапеция
h a  2b
Lc  
3 ab
a 2  4ab  b 2
Jx  h 
36  a  b
3
Круг
Полукруг
C - в центре круга
 r4  d 4
Jx 


4
64
Lc  r
 0,7854r 4  0,05d 4
Lc 
4r

3
 0,4244r  0,2122d
Jx = 0,1098r4 =
0,00686d4
Сектор
l
Lc 
2r  d
3l
  r 
180

 0,01745r   
1
2
  r l 
2
r
  r 2
360
 0,00873  r 2
86

Продолжение таблицы Г.1
2
3
1
Сектор
l
Lc 
2r  d
3l
  r 
180

2
r
 0,01745r   
1
  r 2
  r l 

2
360
 0,00873  r 2
Сегмент
d  2  h  2r  h
1
 r  l  d  r  h 
2

c 2  4h 2
8h
r
Lc 
d3
12  
l  0,01745r  
hr
1
 4r 2  d 2
2

57,296  l
r
 - угол в градусах
Кольцо
C - в геометриче-
ском центре
Lc  R
87
Jx 



64
4


 R4  r 4 


 D4  d 4 

 0,05  D 4  d 4

Окончание таблицы Г.1
1
2
3
Кольцевой сектор

Lc  38,197 
R  r  sin 
R  r  
3
3
2
 


 R2  r 2 
360


 0,00873  R 2  r 2 
2

 
4  360


 D2  d 2 

 0,00218  D 2  d 2

Эллипс
C - в точке пере-
сечения оси
Lc  b
88
    ab
Jx 
Jy 
  ab 3
64
  a 3b
64
 0,05ab 3
 0,05a 3b
Таблица Г.2. Примеры нахождения центра тяжести плоских фигур
Фигура
Треугольник
Координата центра тяжести.
Центр тяжести находится в центре круга,
вписанного в треугольник A1 B1C1 , вершины
которого находятся в серединах сторон
данного треугольника; расстояние центра
тяжести от стороны a: Lc 
Трапеция
La 
ha b c

2 abc
h a  2b
h 2a  b

; Lb  
.
3 ab
3 ab
а) откладывают CF  a , AE  b и проводят
прямую EF , которая пересекает медиану
MN в центре тяжести;
б) делят одну из боковых сторон на три
равные части CE  EF  FB , проводят DE и
AF ; центр тяжести лежит на пересечении
Oc || AB и медианы MN ;
в) трапецию разбивают диагональю на два
треугольника, центры тяжести которых c1
и c2 ; центр тяжести находится на пересечении MN и c1c2
89
ПРИЛОЖЕНИЕ Д
Координаты центра тяжести и моменты инерции некоторых объемных фигур
Таблица Д.1. Координаты центра тяжести и объемы фигур
Координата центра тяжести, Lc
Фигура
Объём, Ω
Пирамида
Lc 
1
h
4
   осн
h
3
Шаровой сектор
3
h
Lc   r  
4
2
2
    r 2h
3
90
Продолжение таблицы Д.1
2
1
3 2r  h 
Lc  
4 3r  h
Шаровой сегмент
3
 h
    h2   r   
 3
 c2 h2 
 h    
8 6
Шаровой пояс
Площадь боковой поверхности:
  2  rh

Усечённая пирамида
 h 2

3a  3b 2  h 2 
6
h   2  н в  3 в
Lc   н
4  н   н в   в

h
    н  в  в н
3

 н - площадь нижнего основа-
ния
 в - площадь верхнего основа-
ния
91
Окончание таблицы Д.1
2
1
Усечённый конус
Площадь боковой поверхности:
    l  r  r1 
h r 2 2rr1  3r12
Lc   2
4 r  rr1  r12

    h  r 2  r12  rr1

Бочка
Ω =πL·(0,75d2 +d·D + 2D2) /15
92
Таблица Д.2. Моменты инерции однородных объёмных тел
Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед (оси
x , y , z проходят через центр тяжести
и параллельны соответственно сторонам a , b , c ):




Jx 
m 2 2
 b  c ; J y  m  c 2  a 2 ;
12
12
Jz 
m 2 2
 a  b , где m - масса тела.
12
При c  0 получаем прямоугольную
пластинку.
Куб со стороной a :
m  a2
Jx  Jy  Jz 
6
Четырёхугольная пира-
Четырёхугольная пирамида с прямо-
мида
угольным основанием, O - центр тяжести:




Jx 
m
m
 4b 2  3h 2 ; J y   4a 2  3h 2 ;
80
80
Jz 
m 2 2
 a b
20
93


Продолжение таблицы Д.2
2
1
Прямой круглый цилиндр
Прямой круглый цилиндр, O - центр
тяжести:

2

mr
m
J x  J y   3r 2  h 2 ; J z 
.
12
2
При h  0 получаем диск.
Для боковой поверхности цилиндра
Jx  Jy 
Прямой круглый конус

 J z  mr 2
m
 6r 2  h 2 ;
12
Прямой круглый конус, O - центр тяжести:
 2 h2 
3
3
J x  J y   m   r   ; J z   mr 2 .
20
4
10

Для боковой поверхности конуса
Jz 
Прямой усечённый круглый
1
 mr 2
2
Прямой усечённый круглый конус:
конус
3
R5  r 5
Jz 
m 3
.
10
R  r3
Для боковой поверхности усечённого
конуса
Jz 
94

1
 m  R2  r 2
2

Продолжение таблицы Д.2
2
1
Прямой круглый цилиндр
Прямой круглый цилиндр, O - центр тяжести:

2

mr
m
J x  J y   3r 2  h 2 ; J z 
.
12
2
При h  0 получаем диск.
Для боковой поверхности цилиндра
Jx  Jy 
Прямой круглый конус

 J z  mr 2
m
 6r 2  h 2 ;
12
Прямой круглый конус, O - центр тяжести:
 2 h2 
3
3
J x  J y   m   r   ; J z   mr 2 .
20
4
10

Для боковой поверхности конуса
Jz 
Прямой усечённый круг-
1
 mr 2
2
Прямой усечённый круглый конус:
лый конус
3
R5  r 5
Jz 
m 3
.
10
R  r3
Для боковой поверхности усечённого конуса
Jz 
95

1
 m  R2  r 2
2

Продолжение таблицы Д.2
2
1
Прямая пирамида или
Прямая пирамида или конус, O1 - центр тя-
конус
жести основания, ось z перпендикулярна
основанию:
 h3 h  
J x         J x  ;
 80 5

 h3 h  
1
J y         J y  ; J z     h  J z ,
5
 80 5

где  - плотность;  - площадь основания;
J x , J y , J z
- моменты инерции площади ос-
нования относительно осей x , y  , z
Шар
Jz 
2
 mr 2 .Для поверхности шара:
5
2
J z   mr 2
3
Шаровой сектор
Шаровой сектор:
Jz 
mh
mr 2
 3r  h  
 1  cos    2  cos   .
5
5
Для полушара
96
  90 0 ,
Jz 
2
 mr 2
5
Окончание таблицы Д.2
2
1
Шаровой сегмент
Шаровой сегмент:
mh 20  r 2  15r  h  3h 2
Jz 

10
3r  h
97
ПРИЛОЖЕНИЕ Е
Вычисление координат центра тяжести и моментов произвольных плоских и объёмных фигур
Вычисление координат центра тяжести произвольных плоских фигур
1. Координата центра тяжести С (Xc, Yc) плоской материальной дуги
АВ с линейной плотностью ρ = ρ(х) графика функции y = f(x)
(рис.Е.1):
Рис.Е.1
=
,
=
2. Координата центра тяжести С (Xc, Yc) фигуры ограниченной снизу
линией y = f1(x), .а сверху – y = f2(x), т.е. f1(x) f2(x) на отрезке
поверхностная плотность фигуры ρ = ρ(х) (рис.Е.2):
98
,
Рис.Е.2
=
,
=
Вычисление координат центра тяжести произвольных объёмных
фигур
Координаты центра тяжести тела с объёмом Ω:
99
Моменты плоской фигуры
Статический момент инерции плоской фигуры
Для плоской фигуры, ограниченной кривыми y = y1(x), y = y2(x), (y1≤ y2)
и прямыми x = a, x =b (a ≤ b):
Моменты инерции площади ω
Моменты инерции Jx, Jy, J0 площади ω относительно осей координат
Ох,Оy и начала координат (полярный момент инерции):
100
Моменты объёмного тела
Для объёмного тела Ω моменты инерции Jx, Jy, Jz, J0 относительно осей
координат Оx, Oy, Oz и начала координат:
Для объёмного тела Ω моменты инерции Jxy, Jyz, Jxz относительно
координатных плоскостей xOy, yOz, xOz :
101
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Винников В.А., Каркашадзе Г.Г. Гидромеханика: Учебник для вузов. – М.: Издательство МГГУ, 2003, - 302 с.
2. ГОСТ 8.417-2002. Единицы величин.
3. В.С. Яблонский, И.А. Исаев. Сборник задач и упражнений по технической гидромеханике. - М.,Гос. Изд.физ-мат. лит.,1963. - 200 с.
4. И.Л. Повх. Техническая гидромеханика. -Л.: Энергоиздат, 1982. 524 с.
5. В.И. Соголаев. Механика жидкости и газа. Конспекты лекций.
СибАДИ- Омск, 1995.- 56 с.
6. В.И. Соголаев. Задачи по механики жидкости и газа. Учебное пособие. СибАДИ – Омск, 1995, 24 с.
7. Б.О. Ботук. Гидравлика. – М.: Высшая школа. -1962, 450 с.
8. Розенберг Г.Д. Сборник задач по гидравлике и газовой динамике
для нефтяных вузов. - М.: Недра, 1990. -238 с.
9. Н.Н. Кременецкий, Д.В.Штеренлихт, В.М. Алышев, Л.В. Яковлева. Гидравлика. - М.: Энергия, 1975. -416 с.
10. Арустамова Ц.Т., Иванников В.Г. Гидравлика: М.: Недра, 1995. 198 с.
11. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика.- М.: Машиностроение,
1987.-440 с.
12. Фабер Т.Е. Гидрогазодинамика. - М.: Постмаркет, 2001. -559 с.
И.А. Гулак. Задачи по гидравлике.- М.: Недра, 1972.-128 с.
14. В.И.Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления.М.: Наука, т.II, 1972. -576 с.
15. Квант. Науч.-попул. Физ-мат. журнал.- М.:Наука, 1970-2005 гг.
16. Internet ресурсы.
102