a14a88cd3ec669eb5d765058c66e52b7

ФГБОУ ВПО «БГПУ» им. М. Акмуллы
Центр развития одаренности школьников
ЗАДАНИЯ
I тура дистанционной олимпиады по математике
для учащихся 8 класса
Вариант 1
1. Разложить на множители
(a-x)𝑦 3 -(a-y) 𝑥 3 +(x-y) 𝑎3 =a𝑦 3 -x𝑦 3 -a𝑥 3 +y𝑥 3 +x𝑎3 -y𝑎3 .
2. Найти все целые и положительные n, при которых дробь
принимает целые значения.
1)Если n=2, то 3*2+
n=5, то 3*5+
20
20
3𝑛2 −3𝑛+20
𝑛−1
20
3𝑛(𝑛−1)+20 3𝑛(𝑛−1)
(𝑛−1)
=
=6+20=26 2)Если n=3, то 3*3+
2−1
(𝑛−1)
20
3−1
=15+5=20 4)Если n=6, то 3*6+
5−1
3*11+
=
20
+
3𝑛2 −3𝑛+20
𝑛−1
20
=3n+
𝑛−1
20
𝑛−1
=9+10=19 3)Если
=18+4=22 5)Если n=11, то
6−1
=33+2=35. Ответ:2;3;5;6;11.
11−1
3. Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до 100
включительно.
Нули дают только множители кратные 10=2*5, 2 в числе 100 гораздо больше
чем 5, то поэтому нужно подсчитать число множителей 5 число 100 содержит
20 множителей кратных 5 , среди которых 4 числа кратны 25- эти числа
25,50,75,100. Значит 20+4=24. То всех целых чисел от 1 до 100 оканчивается
24 нулями.
Ответ:24
4. Докажите, что биссектрисы внешних углов прямоугольника, пересекаясь,
образуют квадрат.
Задача.
Дано: прямоугольник ABCD
Биссектрисы: BH,CH.CM,DM,
DK,AK.AE.BE.
Доказать: что биссектрисы
Внешних углов ,пересекаясь
Образуют квадрат.
Доказательство
Рассмотрим ∆BHC ∠1=∠1:2 ∠1=90°, т.к. ∠1 и внутренний ∠B односторонние
и в сумме дают 180°, то ∠3=∠1:2, т.к. BH биссектриса, ∠3=90:2=45°. ∠2=90,
т.к. прямоугольник, то и ∠4=45°. Значит ∆BHC-равнобедренный, то ∠H=180(45+45)=90°.
Рассмотрим ∆BEA ∠5=90°, т.к. ∠5 и ∠1 вертикальные. То ∠6=90:2=45°,
∠7=90°, т.к. односторонний со внутренним ∠A, то ∠8=90:2=45°. Значит
∆BEA-равнобедренный и ∠E=90°.
Значит, что ∆BHC= ∆BEA, то и ∆CMD=∆AKD, т.к. это прямоугольник и
∆BHC= ∆BEA=∆CMD=∆AKD и ∠H=∠M=∠K=∠E=90°, то значит, что
биссектрисы внешних углов прямоугольника, пересекаясь образуют квадрат.
Ответ: Биссектрисы образуют квадрат.
5. Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?
360°:60сек=6°в одной минуте. 6°*20мин=120°, это тупой угол.
Ответ: Тупой угол
ВЫПОЛНИЛ
Фамилия_Мудрецова_____
Имя__Валерия__________
Отчество__Александровна_____
Класс__8А_______________
Школа_МОБУ СОШ №4 им. А.Я. Прешина____
Город (село)_Благовещенск_РБ__
Район_______________________________
Ф.И.О. учителя_Шарапова Ольга Александровна_