Решения к заданиям «Математического дозора» - 2016 Задание № 1.

Решения к заданиям «Математического дозора» - 2016
Задание № 1.
На диаграмме отражены результаты выполнения заданий участниками интернеттестирования «Математический дозор» в 2015 году. Сколько заданий имеют
процент выполнения участниками не более 60%?
% выполнения
100
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
Номер задания
Решение:
По диаграмме видно, что процент выполнения участниками не более 60%, т.е.
менее или равно 60%, имеют задания под номерами 4, 11, 12, 13 и 15. Всего таких
заданий 5.
Ответ: 5.
Задание № 2.
В соревнованиях по бегу участвовали Алексей, Борис, Виктор и Дмитрий. Борис
пробежал медленнее Виктора, но быстрее Алексея. Виктор пробежал быстрее
Дмитрия, а Дмитрий быстрее Бориса. Какое место в соревновании занял Дмитрий?
Решение:
Обозначим отношение «пробежал быстрее» между участниками соревнований
стрелкой «» (от быстрого к медленному). Получим граф отношения:
Виктор  Дмитрий  Борис  Алексей. Значит, Дмитрий занял второе место
после Виктора.
Примечание: задачу также можно решить с помощью логических рассуждений.
Ответ: 2.
Задание № 3.
Какое из следующих значений масс является наименьшим?
1) 3,5 т
2) 1200 ц
3) 1700 4 кг
4) 345·104 г
Решение:
Переведем данные значения масс в общепринятую единицу измерения кг и
сравним их между собой:
1) 3,5 т = 3,5·1000 кг = 3500 кг;
2) 1200 ц = 100  20 3 кг  2000·1,73 кг =3460 кг;
3) 1700 4 кг =1700·2 кг =3400 кг;
4) 345·104 г = 3450000 г = 3450 кг.
Значит, наименьшим является значение массы под номером 3.
Ответ: 3.
Задание № 4.
В таблице даны показания электросчетчика в одной из квартир на конец каждого
месяца с сентября по декабрь 2015 года. Вычислите в рублях среднемесячную
оплату за электрическую энергию в соответствии с тарифом 2,34 руб/кВтч.
Месяц
сентябрь октябрь ноябрь декабрь
Показания счетчика, кВтч 20800
21020 21250 21550
Решение:
Для вычисления среднемесячной оплаты за электрическую энергию необходимо
общий расход кВтч с сентября по декабрь 2015 года умножить на 2,34 руб/кВтч в
соответствии с тарифом и разделить на 3 месяца:
(21550-20800) · 2,34 : 3 = 585 (руб.).
Ответ: 585.
Задание № 5.
В магазине проводится акция на чай: в каждой двадцатой пачке есть приз. Призы
распределены по пачкам случайно. Найдите вероятность того, что в случайно
выбранной пачке чая покупатель не найдет приз.
Решение:
Способ 1.
По условию задачи вероятность того, что в случайно выбранной пачке чая
покупатель найдет приз, равна 1/20, т.е. 0,05. Вероятность противоположного
события - «в случайно выбранной пачке чая покупатель не найдет приз», равна:
1-0,05=0,95.
Ответ: 0,95.
Способ 2.
По условию задачи в каждой двадцатой пачке есть приз, значит, в 19 из 20 пачек
нет приза. Вероятность того, что в случайно выбранной пачке чая покупатель не
найдет приз, равна 19/20, т.е. 0,95.
Ответ: 0,95.
Задание № 6.
В треугольнике АВС со сторонами АВ = АС = 10 провели высоту ВН. Найдите
площадь треугольника АВС, если  АВН = 60⁰.
1) 50
2) 25 3
3) 25
4) 50 3
Решение:
А = 90⁰ – 60⁰ = 30⁰.
А
В  АВН: ВН = 0,5АВ = 5.
SАВС = 0,5АС ∙ВН = 0,5 ∙ 10 ∙ 5 = 25.
Это ответ под номером 3.
Ответ: 3.
Н
В
С
Задание № 7.
По данным управления архитектурно-строительной инспекции мэрии
Новосибирска, в 2014 году в Новосибирске построено, в общей сложности, 20647
квартир в 121 многоэтажках. А в 2015 году в 132 новых многоэтажных домах
построено 30478 квартир. На сколько процентов увеличилось число квартир,
построенных в 2015 году по сравнению с 2014 годом? Ответ округлите до целого
числа процентов.
Решение:
Решим задачу с помощью пропорции:
20647 кв. – 100%
30478 кв. – х%
х=
30478  100
 147,61%
20647
147,61 – 100 = 47,61 48 (%).
Ответ: 48.
Задание № 8.
Сумму всех целых чисел из промежутка от -12,5 до 15,5 возвели в степень, равную
произведению всех целых чисел из этого же промежутка. Найдите значение
полученного выражения.
Решение:
Сумма всех целых чисел из промежутка от -12,5 до 15,5 равна 13+14+15=42.
Произведение всех целых чисел из промежутка от -12,5 до 15,5 равно нулю, т.к.
среди множителей присутствует 0. Нулевая степень любого числа равна 1. Значит,
420=1.
Ответ: 1.
Задание № 9.
Объем треугольной призмы равен 90. Найдите объем треугольной пирамиды с тем
же основанием и высотой, в 2 раза меньшей, чем у призмы.
Решение:
1
Vпирам иды  S основ ания  h. Площадь основания пирамиды равна площади основания
3
призмы, высота в два раза меньше, чем у призмы.
1
1
Следовательно, Vпирам иды  Vпризм ы   90  15.
6
6
Ответ: 15.
Задание № 10.
Объем тела выражается через массу и плотность вещества следующей формулой:
V
m

. Пользуясь этой
формулой, вычислите, сколько граммов серебра
потребуется для изготовления серебряного кольца объемом 0,4 см3, если плотность
серебра равна 10,5 г/см3.
Решение:
Из формулы V 
m

выразим массу: m =V. Подставим в эту формулу данные
значения V = 0,4 см3 и = 10,5 г/см3: m = 0,4 см3 ·10,5 г/см3; m = 4,2 г.
Ответ: 4,2.
Задание № 11.
(3х 2 + 2х - 5)(3х - 2)
Сколько корней имеет уравнение
=0?
(х - 1) 2
Решение:
Значение дроби равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а
знаменатель не равен нулю. В числителе дроби стоит произведение:
(3х2+2х-5)(3х-2), которое равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен
нулю, т.е. 3х2+2х-5=0 или 3х-2=0.
Дискриминант квадратного уравнения 3х2+2х-5=0 равен D=64, а его корни
2
3
соответственно равны х1=1; х2 = - 1 .
Корнем второго уравнения 3х-2=0 является х =
2
.
3
Знаменатель (х-1)2 =0 при х=1.
Значит, один из корней квадратного уравнения не входит в область определения
выражения
(3х 2 + 2х - 5)(3х - 2)
(х - 1) 2
и не может быть корнем данного в задании
уравнения. Следовательно, уравнение имеет ровно 2 корня: - 1
2
2
и .
3
3
Ответ: 2.
Задание № 12.
Прочитайте задачу из старинных русских рукописей: «Путешественник идет из
одного города в другой 10 дней, а второй тот же путь проходит за 15 дней. Через
сколько дней встретятся путешественники, если выйдут одновременно навстречу
друг другу из этих городов?» Какое из высказываний не соответствует условию
задачи?
1) За 30 дней путешественники вместе пройдут 5 расстояний между городами.
2) Скорость первого путешественника в 1,5 раза меньше скорости второго.
3) Путешественники встретятся через 6 дней.
4) Первый путешественник до встречи пройдет в 1,5 раза большее расстояние, чем
второй.
Решение:
Проанализируем каждое из данных высказываний:
1) Первый путешественник проходит расстояние между городами за 10 дней.
Значит, за 30 дней первый путешественник пройдет расстояние от одного города
до другого 3 раза. Второй путешественник проходит расстояние между городами за
15 дней. Значит, за 30 дней он пройдет 2 таких расстояния. За 30 дней
путешественники вместе пройдут 3+2=5 расстояний между городами.
Данное высказывание соответствует условию задачи.
2)
Примем расстояние между городами на 1. Тогда скорость первого
путешественника равна 1/10 километров в день, а второго – 1/15. Отношение
скоростей равно 1/10: 1/15=15/10=1,5, т.е. скорость первого путешественника в 1,5
раза больше скорости второго. Поэтому утверждение «Скорость первого
путешественника в 1,5 раза меньше скорости второго» не соответствует условию
задачи.
3) Время встречи путешественников равно отношению расстояния на скорость
сближения. Примем расстояние между городами на 1. Тогда скорость первого
путешественника равна 1/10 километров в день, а второго – 1/15. Скорость
сближения равна 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 =1/6.
Тогда время встречи t =1: 1/6; t = 6 (дней). Путешественники встретятся через 6
дней. Данное высказывание соответствует условию задачи.
4) Так как скорость первого путешественника в 1,5 раза больше скорости второго
(см. п. 2), то первый путешественник до встречи пройдет в 1,5 раза большее
расстояние, чем второй. Данное высказывание соответствует условию задачи.
Ответ: 2.
Задание № 13.
Караван идет со скоростью 6 км/ч из города А в город В, расстояние между
которыми равно 42 км. Прибыв в город В, караван после часовой стоянки
отправился в направлении, перпендикулярном АВ. Через 8 часов после
отправления каравана из города А для встречи с ним оттуда выехал гонец со
скоростью 10 км/ч по кратчайшему пути АС. За какое наименьшее время гонец
сможет догнать караван? Ответ запишите в минутах.
В
С
А
Решение:
1) 42 : 6 = 7 (ч) – время движения каравана от А до В.
2) 7 + 1 = 8 (ч) – время, через которое караван выходит из В.
Поэтому караван из В и гонец из А отправляются одновременно. Обозначим
время движения (в часах) каравана от города В до места встречи С буквой х. Тогда
участники движения прошли за это время расстояния: караван – 6х км, гонец – 10х
км. Используя теорему Пифагора для треугольника АВС, составим и решим
уравнение:
3) 422 + (6х)2 = (10х)2
Положительный корень уравнения равен 21/4.
Иначе, искомое время равно 21/4 ч = 315 минут.
Ответ: 315.
Задание № 14.
Чтобы выпилить из круглого бревна наиболее прочную балку с поперечным
сечением в форме прямоугольника на практике поступают так: проводят диаметр
АС круга, делят его на три равные части, через точки деления Т и К проводят
перпендикуляры к диаметру до пересечения с окружностью в точках В и D.
Вычислите меньшую сторону прямоугольника АВСD в сечении такой балки,
выпиленной из бревна диаметром 30 см. Ответ округлите до целого числа
сантиметров.
Решение:
А
3СТ = АС = 30 см, СТ = 10 см. В прямоугольном
В
треугольнике АВС высота ВТ есть среднее
К
пропорциональное между отрезками АТ и СТ
(утверждение легко выводится из пропорции для
Т
D
сторон подобных треугольников АВТ и ВСТ).
С
Иначе, ВТ = АТ СТ  10  20  10 2 .
Тогда искомая сторона ВС = ВТ 2  СТ 2  10 3  17 (см).
Ответ: 17.
Задание № 15.
На каком расстоянии наблюдатель ростом 1,6 м, стоящий на равнине, видит линию
горизонта? Радиус Земли примите равным 6400 км. Ответ выразите в метрах и
округлите до единиц.
Решение:
АМ = 1,6 м, КО = АО = 6400 км = 6,4 ∙ 106 м.
М
2
Тогда КМ = МВ ∙ МА (квадрат касательной
А
равен произведению секущей на её внешнюю часть).
К
Подставим данные в полученное равенство,
проведём вычисления и округление, получим
КМ = 4525 м.
О
Замечание.
Можно
было
просто
воспользоваться
теоремой
Пифагора
для
треугольника КОМ.
В
Ответ: 4525.