6-7 профи, Головастик

Зимний «Головастик» - 2016
6-7 класс, разведаем реккуренты
1. Чтобы выбрать троих разведчиков, n солдат построили в шеренгу.
Каждый раз командир приказывает выйти из строя либо всем,
стоящим на четных местах, либо всем, стоящим на нечетных местах.
После нескольких приказов в строю осталось трое. Докажите, что
количество различных троек разведчиков, которые можно получить,
равно |n–a|, где a – ближайшая к n степень двойки
2. Сколькими способами можно раскрасить клетки полоски 12n в красный, синий и
зелёный цвета так, чтобы количества красных и синих клеток были нечётными, а
количество зелёных — чётным?
3. Имеется сеть дорог в виде квадратной сетки. Из точки A вышло 2048 человек. Дойдя до
первого перекрестка, группа разделилась – половина пошла вверх,
половина – направо. На следующем перекрестке каждая группа опять
разделилась ровно пополам, и половина пошла вверх, половина –
направо. Все идут равномерно с одной скоростью. Сколько человек
встретиться на перекрестке B, отстоящем от точки А по диагонали
квадрата 6×6?
4. Из ресторана вышла толпа в 4096 человека. Ровно половина из них пошла направо, а
половина – налево. Через полчаса каждая группа разделилась пополам – половина пошла
дальше, а половина повернулась обратно. Так происходило каждые полчаса. Найдите,
сколько пьяниц будет в каждой точке дороги через 4 часа.
5. Имеется прямоугольная доска размера 2n. Найдите количество способов замостить ее
доминошками 12.
6. Обозначим an число способов выписать в строчку n ноликов, крестиков и звездочек, так,
чтобы звездочки не стояли рядом с крестиками. Задайте последовательность an
рекуррентно.
7. Лягушка прыгает по вершинам шестиугольника ABCDEF, каждый раз перемещаясь в одну
из соседних вершин. Обозначим ck количество способов попасть из A в C за k прыжков.
Выведите рекуррентную формулу для последовательности сk.
8. Сколько имеется 2016-значных чисел удовлетворяют следующим условиям: все цифры
числа принадлежат множеству {1, 2, 3, 4, 5} и любые две соседние цифры отличаются на 1.
9. Полукороль стоит в нижнем левом углу доски nn. Он может делать ходы на одну клетку
в трёх направлениях: вправо, вверх и по диагонали вправо-вверх. Обозначим за An
количество маршрутов полукороля в правый верхний угол, а за Bn – количество маршрутов
в правый верхний угол, не заходящих в верхнюю строку и в левый столбец (кроме начала
и конца пути). Докажите, что Bn = 2An-1.
10. На прямой живут n гномов, а в точке не на прямой – Белоснежка. Сколькими способами
можно построить дорожки между домиками, чтобы от любого домика можно было пройти
до любого другого ровно одним способом?
Зимний «Головастик» - 2016
6-7 класс, разнобой по расстановкам чисел и графам
11. В русском алфавите 33 буквы. Можно ли расположить вдоль окружности несколько букв
так, чтобы среди любых 11 букв подряд все буквы были бы различными и при этом любое
множество из различных 11 букв встречалось бы ровно один раз?
12. В ряд выписаны числа от 1 до 13. Можно ли выписать под ними еще раз числа от 1 до 13 в
некотором порядке так, чтобы сумма чисел в каждом столбце оказалась точным квадратом?
13. В графе степени всех вершин не превосходят 11. Докажите, что ребра этого графа можно
раскрасить в 221 цвет таким образом, чтобы концы ребер каждого цвета не совпадали и были
не смежны.
14. В графе c 2n вершинами (n>3) выбрано 2n–n полных подграфов попарно различных
размеров. Докажите, что к одному из этих подграфов можно добавить вершину так, чтобы он
остался полным.
15. В клетках таблицы 10×10 произвольно расставлены натуральные числа от 1 до 100, каждое
по одному разу. За один ход разрешается поменять местами любые два числа. Докажите, что
за 35 ходов можно добиться того, чтобы сумма любых двух чисел, стоящих в клетках с общей
стороной, была составной.
16. В таблице 10×10 расставлены числа от 1 до 100: в первой строчке – от 1 до 10 слева направо,
во второй – от 11 до 20 слева направо и т.д. Андрей собирается разрезать таблицу на
прямоугольники 1×2, посчитать произведение чисел в каждом прямоугольнике и сложить
полученные 50 чисел. Он стремится получить как можно меньшую сумму. Как ему следует
разрезать квадрат?
17. В Швамбрании некоторые города связаны двусторонними беспосадочными авиарейсами.
Рейсы разделены между тремя авиакомпаниями, причём если какая-то авиакомпания
обслуживает линию между городами А и Б, то самолёты других компаний между этими
городами не летают. Известно, что из каждого города летают самолёты всех трёх компаний.
Докажите, что можно, вылетев из некоторого города, вернуться в него, воспользовавшись по
пути рейсами всех трёх компаний и не побывав ни в одном из промежуточных городов
дважды.
18. В стране Леонардии все дороги — с односторонним движением. Каждая дорога соединяет
два города и не проходит через другие города. Департамент статистики вычислил для каждого
города суммарное число жителей в городах, откуда в него ведут дороги, и суммарное число
жителей в городах, куда ведут дороги из него. Докажите, что хотя бы для одного города первое
число оказалось не меньше второго.
19. В стране N городов. Между любыми двумя из них проложена либо автомобильная, либо
железная дорога. Турист хочет объехать страну, побывав в каждом городе ровно один раз, и
вернуться в город, с которого он начинал путешествие. Докажите, что турист может выбрать
город, с которого он начнет путешествие, и маршрут так, что ему придется поменять вид
транспорта не более раза.
20. В некотором обществе у каждых двух знакомых между собой людей нет общих знакомых,
а у каждых двух незнакомых между собой людей есть ровно два общих знакомых. Докажите,
что у каждого человека в этом обществе одно и тоже число знакомых.
Зимний «Головастик» - 2016
6-7 класс,
китайское воспоминание о Ферма и немного графов
21. Докажите, что для любого n существует n подряд идущих
натуральных чисел так, что любое из них делится на какой-нибудь
точный квадрат (не равный 1)
22. Какова максимальная длина конечной арифметической
прогрессии с разностью 6 и состоящей из простых чисел?
23. Докажите, что при нечетных n число 2n!-1 делится на n.
24. При каких целых n число an =n2+ 3n+ 1 делится на 55?
25. Пятнадцать простых чисел образуют арифметическую
прогрессию с разностью d. Докажите, что d > 30000.
26. Назовем натуральное число вредным, если оно не равно
произведению цифр никакого другого числа. Докажите, что
найдется 100 последовательных вредных чисел.
27. В комнате находится 10 человек, причем среди любых трех из
них есть двое знакомых между собой. Доказать, что найдутся 4
человека, любые два из которых попарно знакомы между собой.
28. В государстве 1000 городов, и из каждого выходит не меньше
шести дорог. Однажды в государстве произошла революция, и оно
разделилось на 143 республики. Каждая республика выбрала свою
столицу. Докажите, что из какой-то столицы можно добраться хотя
бы до одной из оставшихся.
29. В дереве степени всех вершин нечётные. Докажите, что более
половины его вершин висячие
30. а) Докажите, что если раскрасить полный 10-вершинный граф в
синий и красный цвета, то либо найдется красный треугольник, либо
найдется четыре вершины, каждая связана с каждой ребром синего
цвета (полный синий 4-хвершинный подграф). б) а теперь то же
самое для 9-вершинного графа.
Зимний «Головастик» - 2016
6-7 класс, последняя негеометрическая серия
31. Каждая из 100 девушек послала одному или нескольким из 100 юношей свою
фотографию. Всего было послано больше 100 фотографий. Докажите, что какой–то
из юношей может выкинуть все полученные им фотографии так, что при этом
фотография каждой девушки останется у одного из остальных юношей.
32. Докажите, что для любого простого числа p разность 11..112..23..3..88.889..9123456789 (в первом числе каждая ненулевая цифра написана p раз) делится на p.
32а. Известно, что a36+b36+c36+d36+e36+f36 кратно 13. Докажите, что abcdef делится на
136.
33. а) В графе 2015 вершин. Известно, что после выкидывания любой из них
остальные вершины можно разбить на пары вершин, соединенных ребром. Какое
наименьшее число ребер может быть в этом графе? б) В графе 100 вершин. При
выкидывании любых двух вершин остальные вершины можно разбить на пары
вершин, соединенных ребром. Какое наименьшее число ребер может быть в этом
графе?
34. Семиугольник разбит на выпуклые пяти- и шестиугольники, причем так, что
каждая его вершина является вершиной по крайне мере двух многоугольников
разбиения. Докажите, что число пятиугольников разбиения не менее 13.
35. В стране 100 дорог (каждая дорога соединяет ровно 2 города, на всех дорогах
двустороннее движение) и из любых трех дорог можно выбрать две, которые не
выходят из одного города. Докажите, что найдутся 40 дорог, никакие две из которых
не выходят из одного города
36. Докажите, что существует такое натуральное число n, что 2n-1 имеет не менее
2015 различных простых делителей
37. В каждой из трех школ учится n учеников, и у каждого школьника n+1 друг в
сумме в двух других школах. Докажите, что можно выбрать в каждой школе по
одному школьнику так, чтобы они попарно дружили между собой.
38. На Луне 10 городов и 10 платных дорог, соединяющих некоторые из них, причем
нет двух дорог, проезд по которым стоил бы одинаково. Стоимость проезда по пути,
проходящему через несколько городов, определяется как цена проезда по самой
дорогостоящей дороге этого пути. А стоимость поездки между двумя городами
определяется как стоимость самого дешевого пути между ними. Жители Луны очень
экономны. Докажите, что хотя бы одну дорогу можно закрыть, потому что по ней
никто не ездит
39. На Луне n городов, некоторые из которых соединены платными дорогами так,
что из любого города можно добраться до любого другого. Стоимость проезда – как
в предыдущей задаче. Докажите, что в прайс-листе лунного турагентства не более n–
1 различных цен.
Зимний «Головастик» - 2016
40. Найдите сумму всех правильных несократимых дробей со
знаменателем n.
6-7 класс, подсчет углов и неравенства
1. На продолжении гипотенузы АВ прямоугольного треугольника
АВС за точки А и В соответственно взяты точки К и М так, что АК=АС,
ВМ=ВС. Найдите угол КСМ.
2. Могут ли быть перпендикулярны биссектрисы внутренних углов
треугольника?
3. Бумажный треугольник перегнули по прямой, в результате чего
вершина С попала на сторону АВ, а непокрытая часть разбилась на
два равнобедренных треугольника, у которых равные стороны
сходятся в вершинах А и В. Найдите градусную меру угла С.
4. Докажите, что в каждом девятиугольнике есть пара диагоналей,
угол между которыми меньше 7.
5. Какое наибольшее количество острых углов может быть у
выпуклого n-угольника?
6. На плоскости дан прямоугольник, диагональ которого равна 2, и
точка A. Докажите, что у прямоугольника можно выбрать три
вершины таким образом, чтобы сумма расстояний от A до
выбранных вершин была не меньше 3.
7. В выпуклом четыреугольнике ABCD выполнено неравенство
AB+BD ≤ AC+CD. Доказать, что AB<AC.
8. На катетах AC, BC и гипотенузе AB прямоугольного треугольника
ABC выбрали соответственно точки K, L и M так, что углы
AMK = LMB равны. Докажите, что KM + LM ≤ AB.
9. В треугольнике ABC A=60. На лучах BA и CA выбраны точки K и L
так, что BK = CL = BC. Докажите, что прямая KL проходит через точку
пересечения биссектрис треугольника.
10. В выпуклом четырехугольнике ABCD A=30. Докажите, что
BC+CD+BD ≥ AC.