2096. В треугольнике АВС угол С равен 90 о , , АС=10. Найдите

Государственное образовательное учреждение дополнительного
профессионального образования (повышения квалификации) специалистов
«Кузбасский региональный институт повышения квалификации
и переподготовки работников образования»
Факультет повышения квалификации
Кафедра естественнонаучных и математических дисциплин
«Приёмы решения задач В - 4 открытого банка ЕГЭ по математике»
Исполнители:
Лучникова Ирина Викторовна,
учитель математики МОУ «Краснинская
СОШ», Ленинск-Кузнецкий район
Безбородова Елена Юрьевна,
учитель математики МОУ «СОШ №2», г.
Топки
Боровкова Людмила Николаевна,
учитель математики МОУ «СОШ № 1»
г. Топки
Консультант:
Трушкина Татьяна Петровна,
старший преподаватель кафедры
естественнонаучных и математических
дисциплин.
Кемерово 2011
Пояснительная записка.
Данная работа предназначена для подготовки к выполнению задания В4
ЕГЭ по математике.
Её целями являются:
Показ примерной тематики и уровня трудности геометрических задач,
включенных в содержание ЕГЭ.
Проверка качества знаний и умений учащихся по геометрии, их готовность
к сдаче ЕГЭ.
Развитие представлений учащихся об основных геометрических фигурах и
их свойствах, формирование навыков работы с рисунком.
Повышение вычислительной культуры учащихся, подготовка их к решению
геометрических задач с числовым ответом.
Работа содержит задачи по тригонометрии. Они проверяют умения
учащихся находить значения тригонометрических функций углов по
известным элементам геометрических фигур и , наоборот, находить
неизвестные элементы геометрических фигур по известным значениям
тригонометрических функций. Для успешного выполнения предлагаемых
задач требуются знания определения синуса, косинуса, тангенса и
котангенса острого угла прямоугольного треугольника, основное
тригонометрическое тождество и теорему Пифагора. Задачи
сопровождаются рисунками, позволяющими лучше понять условие,
представить соответствующую геометрическую ситуацию, наметить план
решения, при необходимости провести дополнительные построения и
вычисления.
2088. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ
равна 14, а 𝐜𝐨𝐬 А =
Решение:
√𝟏𝟗𝟓
𝟏𝟒
. Найдите высоту, проведённую к основанию.
Проведём в равнобедренном треугольнике высоту
ВН, треугольник АВН прямоугольный, < Н=90о.
В
Тогда АН=АВcos А = 14 ∙
√195
14
= √195.
По т. Пифагора в прямоугольном треугольнике АНВ найдём катет
2
ВН =√АВ2 − АН2 = √142 − (√195) = √196 − 195 = 1.
А
Н
С
Ответ: 1.
2089. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ равна
20, а cos А =
2√6
.
5
Найдите высоту, проведённую к основанию. (Ответ: 4)
2090. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ равна
10, а cos А =
2 √6
5
. Найдите высоту, проведённую к основанию.(Ответ: 2)
2091.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ
равна 10, а высота, проведённая к основанию, равна √𝟏𝟗. Найдите косинус угла А.
Решение:
Треугольник АВН - прямоугольный, значит, cos А =
АН
АВ
.
2
По т. Пифагора АН=√АВ2 − ВН2 = √102 − (√19) = √100 − 19 = √81 = 9.
Тогда cos А =
9
10
= 0,9
Ответ: 0,9
2092. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ равна
10, а высота, проведённая к основанию, равна2 √21. Найдите косинус угла А.
(ответ: 0.4)
2093. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ равна
15, а высота, проведённая к основанию, равна9. Найдите косинус угла А.
(ответ: 0,8)
2094. В треугольнике АВС угол С равен 90о , АВ=20, АС=16. Найдите 𝐬𝐢𝐧 А.
Решение:
sin А =
ВС
АВ
По т. Пифагора найдём длину ВС=√АВ2 − АС2
.
ВС=√202 − 162 =
√(20 − 16)(20 + 16)=√4 ∙ 36 = 2 . Тогда sin А =
12
20
3
6
5
10
= =
= 0,6
Ответ: 0.6
2095. В треугольнике АВС угол С равен 90о , АВ=30, АС=3√19. Найдите sin А
(ответ: 0.9)
2096. В треугольнике АВС угол С равен 90о , 𝐬𝐢𝐧 А =
Решение:
sin А =
ВС
АВ
𝟏𝟏
𝟏𝟒
, АС=10√𝟑. Найдите АВ.
. Из основного тригонометрического тождества, зная sin А,
11 2
121
75
выразим косинус угла А. cos А = √1 − (sin А)2 = √1 − ( ) = √1 −
=√ =
14
196
196
но cos А =
АС
АВ
,
тогда
5√3
14
=
10√3
,
АВ
АВ =
14∙10√3
5 √3
= 28.
Ответ:28.
3
2097. В треугольнике АВС угол С равен 90о , sin А = , АС=6√7. Найдите АВ.
4
(ответ: 24)
2098. В треугольнике АВС угол С равен 90о , sin А =
24
29
, АС=√265. Найдите АВ.
(ответ: 29)
2099. В треугольнике АВС угол С равен 90о , cos В =
20
29
, АВ=29. Найдите АС.
(ответ: 21)
2100. В треугольнике АВС угол С равен 90о , cos В =
(ответ: 36)
5
, АВ=39. Найдите АС.
13
5√3
,
14
2101. В треугольнике АВС угол С равен 90о , АВ=75, АС=60. Найдите tgА.
Решение:
tgА =
ВС
. Найдём ВС= √АВ2 − АС2 =√752 − 602 =
АС
√(75 − 60)(75 + 60) = √15 ∙ 135 =
3
4
45
= √15 ∙ 15 ∙ 9 = 15 ∙ 3 = 45. Вычислим tgА=
60
=
= 0,75
Ответ: 0,75.
2102. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=30, АС=24. Найдите tgА. (ответ: 0,75)
2103. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=78, АС=30. Найдите tgА. (ответ: 2,4)
2104. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=50, АС=40. Найдите tgА. (ответ: 0,75)
2105. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=80, АС=64. Найдите tgА. (ответ: 0,75)
2106. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=39, АС=15. Найдите tgА. (ответ: 2.4)
2107. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=117, АС=45. Найдите tgА. (ответ: 2.4)
2108. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=208, АС=80. Найдите tgА. (ответ: 2,4)
3
2109. В треугольнике АВС угол С равен 90о , sin А = , АС=4. Найдите АВ. (ответ: 5)
5
2110. В треугольнике АВС угол С равен 90о , sin А =
23
, АС=4√6. Найдите АВ.
25
(ответ: 25)
2111. В треугольнике АВС угол С равен 90о , sin А =
13
, АС=6√3. Найдите АВ.
14
(ответ: 28)
2112. В треугольнике АВС угол С равен 90о , sin А =
(ответ: 30)
14
, АС=2√29. Найдите АВ.
15
3
2113. В треугольнике АВС угол С равен 90о , sin А = , АС=3. Найдите ВС.
5
Решение: sin А =
ВС
АВ
.
Из основного тригонометрического тождества, зная sin А,
3 2
9
16
4
выразим косинус угла А. cos А = √1 − (sin А)2 = √1 − ( ) = √1 − = √ = ,
5
25
25
5
tgА=
sin А
cos А
=
0,6
0.8
3
ВС
4
АС
= = ,
тогда ВС=
3∙3 9
4
= =2.25.
4
Ответ: 2.25
3
2114. В треугольнике АВС угол С равен 90о , sin А = , АС=15. Найдите ВС.
5
(ответ: 6,75)
2115. В треугольнике АВС угол С равен 90о , sin А =
8
, АС=16. Найдите ВС.
17
(ответ: 30)
3
2116. В треугольнике АВС угол С равен 90о , sin А = , АС=27. Найдите ВС.
5
(ответ: 36)
3
2117. В треугольнике АВС угол С равен 90о , cos В = , АВ=5. Найдите АС.
5
(ответ: 4)
2118. В треугольнике АВС угол С равен 90о , cos В =
(ответ: 36)
5
, АВ=39. Найдите АС.
13
2119. В треугольнике АВС угол С равен 90о , ВС=12√𝟔, АВ=30. Найдите 𝐬𝐢𝐧 В.
Решение: По т. Пифагора вычислим длину стороны
2
АС
6
АС=√АВ2 − ВС2 =√302 − (12√6) = √900 − 864 == √36 = 6. Тогда sin В = = =
АВ
30
1
5
= 0,2.
Ответ:0,2
2120. В треугольнике АВС угол С равен 90о , ВС=17√3, АВ=34. Найдите sin В.
(Ответ: 0.5)
2121. В треугольнике АВС угол С равен 90о , ВС=5√21, АВ=25. Найдите sin В.
(Ответ: 0.4)
2122. В треугольнике АВС угол С равен 90о , ВС=8√6, АВ=20. Найдите sin В.
(Ответ: 0.2)
2123. В треугольнике АВС угол С равен 90о , АВ=26, АС=10. Найдите tgА.
(Ответ: 2,4)
2124. В треугольнике АВС угол С равен 90о , АВ=10, АС=8. Найдите tgА.
(Ответ0,75)
2125. В треугольнике АВС угол С равен 90о , АВ=70, АС=56. Найдите tgА.
(Ответ: 0,75)
2126. В треугольнике АВС угол С равен 90о , АВ=55, АС=44. Найдите tgА.
(Ответ: 0,75)
2127. В треугольнике АВС угол С равен 90о , АВ=60, АС=48. Найдите tgА.
(Ответ: 0,75)
2128. В треугольнике АВС угол С равен 90о , АВ=91, АС=35. Найдите tgА.
(Ответ: 2.4)
2129. В треугольнике АВС угол С равен 90о , АВ=156, АС=60. Найдите tgА.
(Ответ: 2.4)
2130. В треугольнике АВС угол С равен 90о , АВ=234, АС=90. Найдите tgА.
(Ответ: 2.4)
2131. В треугольнике АВС АС=ВС ,АВ=72, 𝐜𝐨𝐬 А =
Решение:
𝟏𝟐
𝟏𝟑
. Найдите высоту СН.
т.к. АВС - равнобедренный треугольник, то высота СН является медианой
и АН=НВ=36. cos А =
АН
АС
=
12
13
, тогда АС=
АН
cos А
=
36∙13
12
= 39 и СН = √АС2 − АН2 =
√392 − 362 = √(39 − 36)(39 + 36) = 15.
Ответ: 15.
4
2132. В треугольнике АВС АС=ВС ,АВ=40, cos А = . Найдите высоту СН.
5
(Ответ:15)
2133. В треугольнике АВС АС=ВС ,АВ=18, cos А =
9
41
. Найдите высоту СН.
(Ответ:40)
4
2134. В треугольнике АВС АС=ВС ,АВ=88, cos А = . Найдите высоту СН.
5
(Ответ:33)
2135. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=40, ВС=24. Найдите 𝐜𝐨𝐬 А.
Решение: cos А =
АС
АВ
. Найдём АС=√АВ2 − ВС2 = √402 − 242 =
√(40 − 24)(40 + 24)=32. Тогда cos А =
32
40
4
= = 0,8.
5
Ответ: 0,8.
2136. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=55, ВС=33. Найдите cos А. (Ответ:0,8)
2137. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=75, ВС=45. Найдите cos А. (Ответ:0,8)
2138. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=25, ВС=15. Найдите cos А. (Ответ:0,8)
2143. В треугольнике АВС угол С равен 90о, 𝐬𝐢𝐧 В =
АН.
𝟒
𝟓
, АС=4. СН-высота. Найдите
В
Решение:
Н
А
С
Зная, что в прямоугольном треугольнике sin В = cos А, находим в прямоугольном
АН
треугольнике АНС (угол Н равен 900) что cos А =
АС
4
16
5
5
. Тогда АН=АСcos А = 4∙ =
==
3.2
Ответ: 3,2.
2144. В треугольнике АВС угол С равен 90о, 𝐬𝐢𝐧 А = 𝟎, 𝟔 , ВН=1,8. СН-высота.
Найдите АВ.
Решение: В треугольнике ВНС: cos В =
1,8
тогда ВС=
0,6
= 3 и sin А =
ВС
АВ
ВН
ВС
. Тогда АВ=
и ВС=
ВС
sin А
=
ВН
. Знаем, что в АВС sin А = cos В,
cos В
3
30
0,6
=
6
=5
Ответ: 5.
2145. В треугольнике АВС угол С равен 90о, 𝐜𝐨𝐬 В =
𝟑
𝟓
, АС=4. СН-высота.
Найдите ВН.
Решение: 1) В прямоугольном треугольнике АНС: sin А =
СН
АС
3
; СН=АСsin А = 4 ∙ = =
5
2,4
2) Из основного тригонометрического тождества найдём sin В = √1 − (cos В)2 =
√1 − 0,36 = √0,64 = 0,8
3) В прямоугольном треугольнике ВНС tgВ=
СН
ВН
=
2,4∙3
и ВН=
4
=1,8
Ответ: 1,8.
2,4
ВН
, но tgВ=
sin В
cos В
=
0,8
0,6
4
4 2,4
3
3 ВН
= . Тогда =
𝟑
2146. В треугольнике АВС АС=ВС ,АВ=6, 𝐜𝐨𝐬 А = . Найдите АС.
𝟓
Решение:
С
1) т.к. СН-высота в равнобедренном треугольнике, то
СН является и медианой, значит, АН=НВ=3.
2) В треугольнике АСН cos А =
А
Н
АН
АС
; АС=
СН
cos А
=
3
=5
0.6
В
Ответ: 5.
𝟑
2147.В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=8. tgА= . Найдите высоту СН.
𝟒
Решение:
1) т.к. СН-высота в равнобедренном треугольнике, то СН является и
медианой, значит, АН=НВ=4.
2) В треугольнике АСН tgА=
СН
АН
=
3
4
тогда СН=
3∙4
4
=3.
Ответ: 3.
𝟑
2148. В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=6, 𝐜𝐨𝐬 А = , АН – высота. Найти ВН.
𝟓
С
Н
А
В
Решение: по свойству углов при основании равнобедренного треугольника углы А и В
равны. Значит cos А = cos В.
В прямоугольном треугольнике АНВ
cos В =
ВН
АВ
Ответ: 3,6.
3
и ВН=АВcos В = 6 ∙ =3,6.
5
2149. В треугольнике АВС АВ=ВС, АС=5, 𝐬𝐢𝐧 С = 𝟎, 𝟔, СН – высота. Найдите АН.
С
А
Решение:
В
Н
1) по свойству углов при основании равнобедренного треугольника углы А
и С равны. Значит sin А = sin С = 0,6 . Но sin А =
СН
АС
( треугольник АВН) и тогда
СН=АСsin А = 5 ∙ 0,6 = 3
2) В прямоугольном треугольнике АСН по т. Пифагора вычислим длину катета
АН=√АС2 − СН2 = √25 − 9= 4.
Ответ: 4.
2150. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=5. Косинус внешнего угла при
вершине В равен -0,6. Найдите АС. (Ответ:4)
2151. Основание АВ равнобедренного треугольника АВС равно 6. Синус внешнего угла
при вершине В равен 0,8. Найдите боковую сторону. (Ответ:5)
2152. В параллелограмме АВСD АВ=6, AD=4, sin А = 0,8. Найдите большую высоту
параллелограмма. (Ответ: 4.8)
2153. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции
равен 0,8. Найдите боковую сторону. (Ответ:5)
2154. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 16. Высота трапеции равна 10.
Найдите тангенс острого угла. (Ответ:2)
2155. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=15, ВС=9. Найдите cos А.(Ответ:0,8)
2156. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=6, ВС=3√3. Найдите cos А.(Ответ:0,5)
2157.В треугольнике АВС угол С равен 90о,АВ=10,ВС=√19. Найдите cos А. (Ответ: 0,9)
2158. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=20, ВС=12. Найдите cos А. (Ответ: 0,6)
2159. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=5, ВС=4. Найдите cos А.(Ответ:0,6)
2160. В треугольнике АВС угол С равен 90о,АВ=10, ВС=4√6. Найдите cos А. (Ответ:0,2)
2161. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=8√5, АС=8. Найдите tgА. (Ответ:2)
2162. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=5√2, АС=5. Найдите tgА. (Ответ:1)
2163. В треугольнике АВС угол С равен 90о,АВ=2√61, АС=10. Найдите tgА. (Ответ:1.2)
2164. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=√109,АС=10. Найдите tgА. (Ответ:0,3)
2165. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=2√13, АС=4. Найдите tgА. (Ответ:1.5)
2166. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=9√2, АС=9. Найдите tgА. (Ответ:1)
2167. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=√89, АС=5. Найдите tgА. (Ответ:1.6)
2168. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=√181, АС=10.Найдите tgА. (Ответ:0,9)
2169. В треугольнике АВС угол С равен 90о,АВ=3√17,АС=12.Найдите tgА. (Ответ:0,25)
2170. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=15, АС=12. Найдите tgА. (Ответ:0,75)
2171. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=2√2, АС=2. Найдите tgА. (Ответ:1)
2172. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=2√41,АС=10. Найдите tgА. (Ответ:0,8)
2173. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=3√5, АС=3. Найдите tgА. (Ответ:2)
2174. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=8√2, АС=8. Найдите tgА. (Ответ:1)
2175. В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ=5√13,АС=10. Найдите tgА. (Ответ:1,5)
2176. В треугольнике АВС угол С равен 90о,cos А =
√5
.
5
Найдите tgА. (Ответ:2)
2177. В треугольнике АВС угол С равен 90о,cos А =
√2
.
2
Найдите tgА. (Ответ:1)
2178. В треугольнике АВС угол С равен 90о,cos А =
5√61
2179. В треугольнике АВС угол С равен 90о,cos А =
10
2180. В треугольнике АВС угол С равен 90о,cos А =
. Найдите tgА. (Ответ:1.2)
61
√109
2
√13
. Найдите tgА. (Ответ:0,3)
. Найдите tgА. (Ответ:1,5)
2181. В треугольнике АВС угол С равен 90о,cos А =
√2
.
2
2182. В треугольнике АВС угол С равен 90о,cos А =
5
2183. В треугольнике АВС угол С равен 90о,cos А =
2184. В треугольнике АВС угол С равен 90о,cos А =
√89
Найдите tgА. (Ответ:1)
. Найдите tgА. (Ответ:1.6)
10
√181
4
√17
4
. Найдите tgА. (Ответ:0,9)
. Найдите tgА. (Ответ:0,25)
2185. В треугольнике АВС угол С равен 90о,cos А = . Найдите tgА. (Ответ:0,75)
5