3-й семинар, гидростатика, силы на криволинейную стенку

1
3-й семинар, 2016 г.
3. «Гидростатика. Силы давления жидкости на криволинейные стенки»
1. Распределенная нагрузка, действующая на криволинейную поверхность от нормальных в каждой ее точке сил давления жидкости, может быть приведена к главному
вектору и главному моменту.
2. Главный вектор определяется по трем составляющим (обычно по вертикальной
и двум взаимно перпендикулярным горизонтальным составляющим), главный момент по
сумме моментов этих составляющих.
3. Для криволинейных стенок, симметричных относительно вертикальной плоскости, сумма элементарных сил давления приводится к одной равнодействующей силе, лежащей в плоскости симметрии, или к паре сил, лежащей в той же плоскости. Величина и
направление равнодействующей силы Р определяются по двум составляющим, обычно
горизонтальной и вертикальной, как показано на рис. 3.1.
4. Горизонтальная составляющая силы давления, воспринимаемая криволинейной
стенкой, равна силе давления на вертикальную проекцию этой стенки, нормальную к
плоскости симметрии, и определяется по формуле
FГ = ρghc*Sв,
(1)
где ρ- плотность жидкости; g- ускорение свободного падения; hc - расстояние по
вертикали от центра тяжести вертикальной проекции стенки до пьезометрической плоскости 0-0; Sв - площадь вертикальной проекции стенки.
Рис.1.Определение сил давления на криволинейную стенку. hc - пьезометрическая
высота, Vb – объем тела давления, Fг – горизонтальная сила,Fв- вертикальная сила, F сум
– суммарная сила давления жидкости, C –центр тяжести крышки АВ, D – центр давления,
ΔhD – смещение центра давления относительно центра тяжести, φ – угол между горизонтальной силой и суммарной силой Fсум
2
5. Линия действия силы Fг, проходя через центр давления вертикальной проекции
стенки, лежит в плоскости симметрии и смещена (вниз, если hc > 0, или вверх, если hc <
0) относительно центра тяжести вертикальной проекции на расстояние
hD 
J
,
S В hс
(2)
где Jс - момент инерции площади вертикальной проекции относительно центральной горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести проекции площади на вертикальную плоскость.
6. Вертикальная составляющая силы давления, воспринимаемая криволинейной
стенкой, равна силе тяжести жидкости в объеме Vв. Этот объем ограничен стенкой, пьезометрической плоскостью и вертикальными проектирующими поверхностями, построенными на контуре стенки, определяется по формуле
FВ = ρgVв.
(3)
Сила Fв, проходит через центр тяжести объема Vв, и направлена вниз, если объем
строится со смоченной стороны стенки, и вверх - если объем строится с несмоченной
стороны стенки.
Определение вертикальной составляющей силы давления проводится графоаналитическим методом. Вертикальная сила давления на криволинейную стенку
определяется, как сила тяжести «объема тела давления» - Vт.д.=Vв. Объем тела давления ограничен поверхностью стенки, вертикальной цилиндрической поверхностью, построенной на контуре стенки, пьезометрической поверхностью.
Линия действия вертикальной силы Fв (рис.2) проходит через центр тяжести объема полусферической крышки.
Рис.2. Определение вертикальной силы давления жидкости. F1 – силы, действующая на верхнюю часть крышки(сb), F2 – сила, действующая на нижнюю часть крышки(ab),
Fв – вертикальная сила, действующая на крышку, h1=hc – высота от свободной поверхности равна пьезометрической высоте. а)сосуд вертикальный, б) сосуд горизонтальный.
3
Линия действия силы Fв проходит через центр тяжести объема Vт.д.abed и направлена вниз, если объем строится на смоченной стороне стенки, и вверх, если на несмоченной (стенка вогнута в сосуд).
Для определения вертикальной силы определяют сначала F1 для тела давления, построенного на верхней поверхности полусферы, затем F2 на поверхности. Разность между
ними – вертикальная сила.
Fв  F2  F1   gVт.д.abed   gVт.д.сbed   gVп.сф.abc
В формулах (1) и (3) для Fг и Fв, предполагается, что жидкость находится с одной
стороны стенки, а с несмоченной ее стороны давление равно атмосферному.
7. Полная сила давления на стенку представляет геометрическую сумму сил Fг и Fв
Fсум  Fг2  Fв2 .
(4)
8. Линия действия силы Fсум проходит через точку пересечения линий действия
сил Fг и Fв.
9. Угол φ наклона равнодействующей к горизонту определяется из формулы
tgφ = FВ/FГ .
(5)
При избыточном давлении на смоченной стороне стенки все составляющие и полная сила давления направлены на стенку, изнутри наружу (рис.2). При разряжении (вакууме) на смоченной стороне стенки силы (рис.3) направлены снаружи внутрь сосуда.
Рис.3. Действие сил давления на коническую крышку при разряжении в сосуде.
4
Рис.4. Силы давления на крышку. а) плоская крышка; б) выпуклая крышка; в) вогнутая
крышка.
Сила давления жидкости Fд.ж. =Fкр.=М*Sкр. на плоскую крышку будет определяться величиной избыточного давления-М (рис.4а).
Сила давления при выпуклой полусферической крышке (рис.4б) имеет вертикальную составляющую, горизонтальная в силу симметрии крышки равна нулю.
Применим РОЗУ(рис.4б) при этом вырезаем тело, равновесие которого будем рассматривать, по контуру крышки. Жидкость в верхней и нижней частях сосуда после вырезания должна быть сжата, поэтому направление силы Fд.ж. на верхнюю часть – вверх, на
нижнюю – вниз. Сила давления жидкости весу жидкости в объеме Wц.  (h0и  R) *( R 2 )
Fд.ж.  Pс * S   g (h0и  R) *( R 2 )  Gц. ,
где Gц.- вес жидкости в объеме Wц. Вес сферической части Gп.сф. не входит в силу, действующую на крышку Fкр.
Fкр.  Fд.ж.  Gп.сф.   g (h0и  R) *( R 2 )   g (2 / 3) R 3   g R 2 (h  ( R / 3).
Если крышка вогнута, и на ней установлен манометр(рис.4в), для определения силы, действующей на крышку, к силе Fд.ж. следует прибавит вес жидкости в полусфере
Fкр.  Fд.ж.  Gп.сф.   g (h0и  R) *( R 2 )   g (2 / 3) R 3   g R 2 (h  R / 3).
Порядок действий при наклоненной стенке и полусферической крышке (рис.5).
1. Строится положение П.П. по показаниям манометра или вакуумметра.
2. Определяется величина hc - пьезометрической высоты.
3.Определяется давление Рс в ц.т. проекции крышки на стенку
4. Определяется сила давления жидкости.
5
5. Определяется вес жидкости в полусферической крышке Gn.сф.   g (2 / 3) R3 .
6. Определяются проекции веса полусферической крышки на нормаль
Fn.сф.  Gn.сф.*Cos    g (2 / 3) R3 *Cos  .
7.Сила отрывающая крышку Fn   g (h0и  h1 ) *( R 2 )  (2 / 3)( R 3 ) *Cos  .
8. Сила срезающая крышку Ft.сф.  Gn.сф.* Sin   g (2 / 3) R3 * Sin .
При действии вакуума сила Fn   g (h0 в  h1 ) *( R 2 )  (2 / 3)( R 3 ) *Cos  . будет
прижимать крышку.
Рис. 5.Определение силы давления жидкости при наклоненной сферической крышке(рис.5а и рис.5б) . R – радиус, М – избыточное давление, V – вакуум над свободной поверхностью, h0в - расположение П.П., h1-расстояние от свободной поверхности, hc –
пьезометрическая высота, n-n – нормаль к проекции крышки на стенку, Fn – сила вдоль
нормали (аналог горизонтальной силы), Gп.сф. – вес полусферической крышки, Fсум –
суммарная сила давления жидкости на крышку, С – центр тяжести площади Sкр., D –
центр давления, точка приложения равнодействующей распределенных сил давления.α –
угол наклона стенки, ΔyD – смещения центра давления.
Последовательность действий при определении силы давления жидкости на
криволинейную стенку.
1. Определить давление над свободной поверхностью жидкости: Р0=Ратм, Р0>Ратм,
Р0<Ратм.
2. Определить положение пьезометрической плоскости (поверхность уровня-ПУ),
соответствующей атмосферному давлению, используя гидростатический закон и исходные данные. Индекс «0и» указывает, что ПУ расположена выше свободной поверхности,
6
индекс «0в» указывает, что ПУ расположена ниже свободной поверхности и знак минус
перед «- h0в» указывает, что над ПУ находится зона разряжения.
Р0=Ратм
h =0
hc=h1
Р0>Ратм
Р0<Ратм
Расстояние от свободной поверхности до ПУ с Ратм.
Р  Ратм
Р  Р0
h0и  0
h0 в   атм
g
g
Пьезометрическая высота
hc=h1+h0и
h=-h0в+h1
3.Определить пьезометрическую высоту центра тяжести площадки, на которую
определяется действие давления, относительно ПУ.
4.Определить величину давления в ц.т. площадки Pc=ρghc.
5.Определить усилие, действующее на площадку по формиуле
FГ  pc * S , где S – площадь площадки.
6. Определить положение линии действия равнодействующей от распределенной
нагрузки давления жидкости
Координата точки приложения силы
yD  yC 
J x1
S * yC
.
Расстояние от ц.т. до центра давления
yD  yD - yC 
J x1
S * yC
.
7.Учитывать фактор, указанный в п.2. При расположении ПУ выше свободной поверхности значения hc, hd будут положительны, при расположении ПУ ниже свободной
поверхности – отрицательны.
8.Определить объем жидкости, ограниченный криволинейной площадкой, образующей построенной на этой площадке и ПУ Vв.
9.Определить вертикальную составляющую
Fв = ρgVв.
10.Определить положение вертикальной составляющей.(проходит вертикально через ц.т. объема Vв).
11. Определить суммарную силу и ее положение
F  F 2 г  F 2в .
Линия действия силы Р проходит через точку пересечения линий действия сил Рг и
Рв.
12. Угол φ наклона равнодействующей к горизонту определяется из формулы
tgφ = PВ/PГ .
Если над свободной поверхностью действует давление Ро, учесть его действие.