олимпиада по геометрии для учащихся 8 класса

ОЛИМПИАДА ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 8 КЛАССА
(время выполнения – 45мин)
Задание 1. Дачи Миши и Серёжи находятся на расстоянии 1 км друг от друга. Однажды они
одновременно вышли из своих домов и каждый пошёл по какой-то прямой. Миша шёл со
скоростью 5 км/ч, а Сережа – 7 км/ч. Через некоторое время они встретились. Сколько времени
могло продолжаться это путешествие? Укажите наибольшее и наименьшее возможное время.
Решение. Пусть встреча Миши и Сережи произошла через t часов. Путь Миши равен 5t км, путь
Сережи 7t км. Быстрее всего мальчики встретятся, если пойдут навстречу друг другу по прямой. В
этом случае 5t + 7t = 1.
Отсюда t =
1
1
. Это наименьшее возможное время, то есть t 
. Если мальчики шли не по одной
12
12
прямой навстречу друг другу, то их пути будут составлять две стороны треугольника, а третьей
стороной этого треугольника будет дорога между домами. Тогда (по неравенству треугольника)
5t + 1 > 7t, откуда t < 0,5.
Теперь рассмотрим случай, когда мальчики пойдут по одной прямой в одну сторону. Если Сережа
двигается за Мишей, то догонит его через полчаса. Если Миша двигается за Серёжей, то встреча
не состоится.
Учителю: если быть совсем точными, то, обогнув Землю, Серёжа когда-нибудь догонит Мишу.
И случай с движением в разные стороны вокруг Земли тоже можно рассмотреть, но эти
ситуации для данной задачи не имеют физического смысла.
Итак, время путешествия не меньше
1
1
ч, но не больше
ч.
2
12
Ответ: Миша с Серёжей могут идти до встречи от 5 минут до получаса.
Задание 2. Фокусник вырезал из бумаги треугольник и, чуть касаясь треугольника концом остро
подточенного карандаша, удерживал его в состоянии равновесия. Известно, что треугольник был
произвольный, а карандашом фокусник касался замечательной точки. Попробуйте повторить
фокус, и дайте ответ: какая точка помогает фокуснику?
Решение. Из физики известно, что точка пересечения медиан есть центр тяжести треугольника,
что и помогло фокуснику удерживать треугольник на острие.
Ответ: точка пересечения медиан.
Задание 3. Как разрезать данный прямоугольник на 2 такие равные части, чтобы из них можно
было сложить квадрат.
Ответ:
Задание 4. Разделите угол 54о на три равных части.
Решение. Дан  АВС=54о.
Восстановим перпендикуляр из точки В к прямой ВС. Угол ABD = 36о.
D
А
К
М
В
С
Построим угол СВК = ABD = 36о. Разделим этот угол пополам.
СВМ =КВМ =18о. Следовательно, АВК =18о. Значит, СВМ=КВМ=АВК, т.е. угол разделен на
три равные части.
Задание 5. Постройте треугольник по основанию, углу при вершине и медиане,
проведённой к основанию.
Анализ. Пусть треугольник АВС – искомый. Известны:  В, сторона b и медиана mb.
Опишем окружность около ΔАВC. АС – хорда, АВС – вписанный, ВМ – отрезок,
соединяющий вершину В с серединой АС.
Построение треугольника по стороне и углу при вершине рассмотрено в задании 17.
Найдя середину данной стороны и используя медиану, найдём вершину В.
B2
Р
B1
m
b
А
b
М
С
Построение.
1) Построим окружность, вмещающую вписанный угол АВС=В, опирающийся на хорду
АС = b (так же как в задании 17).
2) Найдём М – середину АС. Из М на окружности сделаем засечки радиусом, равным
длине медианы mb. Получим вершину В.
Треугольник АВС – искомый.
Доказательство. АВС=В как вписанный, АС = b, ВМ= mb , следовательно, ΔАВС –
искомый.
Исследование. Пусть МР – серединный перпендикуляр, возможны три случая:

если mb = МР, то треугольник АВС равнобедренный, решение единственное;

если mb < МР, то получим два равных треугольника АВ1С и АВ2С;

если mb > МР, то решений нет.
Задание 6. (К-2002). Фигуры P, Q, R и S – квадраты. Периметр
квадрата P равен 16 м, а периметр квадрата Q равен 24 м. Чему
равен периметр квадрата S?
(A) 56 м
(В) 60 м
(С) 64 м
(D) 72 м (Е) 80 м
Решение. Сторона квадрата P равна 4 м, а сторона квадрата Q равна
6 м.
Следовательно, сторона квадрата R равна 10 м, а квадрата S – 16 м. Периметр квадрата S – 64 м.
Ответ: С.
Критерии оценивания заданий приведены в таблице.
Баллы
Правильность (ошибочность) решения
7
Полное верное решение.
6-7
Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на
решение.
5-6
Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо не
рассмотрение отдельных случаев, но может стать
правильным после
небольших исправлений или дополнений.
4
Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев, или в
задаче типа «оценка + пример» верно получена оценка.
2-3
Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
0-1
Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при
ошибочном решении).
0
Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0
Решение отсутствует.
Нельзя уменьшать количество баллов за то, что решение слишком длинное. Исправления в
работе (зачеркивания ранее написанного текста) также не являются основанием для снятия
баллов. В то же время любой сколь угодно длинный текст решения, не содержащий полезных
продвижений, должен быть оценен в 0 баллов.
ОЛИМПИАДА ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 8 КЛАССА
(время выполнения – 45мин)
Задание 1. Дачи Миши и Серёжи находятся на расстоянии 1 км друг от друга. Однажды они
одновременно вышли из своих домов и каждый пошёл по какой-то прямой. Миша шёл со
скоростью 5 км/ч, а Сережа – 7 км/ч. Через некоторое время они встретились. Сколько времени
могло продолжаться это путешествие? Укажите наибольшее и наименьшее возможное время.
Задание 2. Фокусник вырезал из бумаги треугольник и, чуть касаясь треугольника концом остро
подточенного карандаша, удерживал его в состоянии равновесия. Известно, что треугольник был
произвольный, а карандашом фокусник касался замечательной точки. Попробуйте повторить
фокус, и дайте ответ: какая точка помогает фокуснику?
Задание 3. Как разрезать данный прямоугольник на 2 такие равные части, чтобы из них можно
было сложить квадрат.
Задание 4. Разделите угол 54о на три равных части.
Задание 5. Постройте треугольник по основанию, углу при вершине и медиане,
проведённой к основанию.
Задание 6. (К-2002). Фигуры P, Q, R и S – квадраты. Периметр
квадрата P равен 16 м, а периметр квадрата Q равен 24 м. Чему
равен периметр квадрата S?
(A) 56 м
(В) 60 м
(С) 64 м
(D) 72 м (Е) 80 м
Из набранного количества баллов складывается рейтинг успешности учащихся.