прямая линия на плоскости

1
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Понятие линии на плоскости
Линия на плоскости задается как множество точек, обладающих некоторым присущим только им геометрическим свойством. Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел− ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (равенства, связывающего координаты точек линии).
Уравнением линии (или кривой) на плоскости 𝑂𝑥𝑦 называется такое
уравнение 𝐹(𝑥; 𝑦) = 0 c двумя переменными, которому удовлетворяют координаты (𝑥; 𝑦) каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой
точки, не лежащей на линии.
Переменные 𝑥 и 𝑦 в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.
Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии
заменить на исследование его уравнения. Так, чтобы установить, лежит ли
точка 𝑀(𝑥0 ; 𝑦0 ) на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки 𝑀 уравнению этой линии в выбранной системе координат.
Вопрос о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями 𝐹1 (𝑥; 𝑦) = 0 и 𝐹2 (𝑥; 𝑦) = 0, сводится к отысканию точек, координаты
которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т.е. сводится к решению
системы двух уравнений с двумя переменными:
𝐹 (𝑥; 𝑦) = 0,
{ 1
𝐹1 (𝑥; 𝑦) = 0.
Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.
Аналогично вводится понятие уравнения кривой в полярной системе
координат. Уравнение 𝐹(𝑟; 𝜑) = 0 называется уравнением данной линии в
полярной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на
этой лини, и только они, удовлетворяют этому уравнению.
Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:
2
𝑥 = 𝑥(𝑡),
{
𝑦 = 𝑦(𝑡),
(1)
где 𝑥 и 𝑦 −координаты произвольной точки 𝑀(𝑥; 𝑦), лежащей на данной линии, а 𝑡 −переменная, называемая параметром. Параметр 𝑡 определяет положение точки (x; y) на плоскости. Если параметр изменяется, то точка на
плоскости перемещается, описывая данную линию. Такое задание линии
называется параметрическим, а уравнения− параметрическими уравнениями
линии.
Линию на плоскости можно задать векторным уравнением 𝑟̅ = 𝑟̅ (𝑡), где
𝑡 −скалярный переменный параметр. Каждому значению 𝑡0 соответствует
определенный вектор 𝑟̅0 = 𝑟̅ (𝑡0 ) плоскости. При изменении параметра 𝑡 конец вектора 𝑟̅ = 𝑟̅ (𝑡) опишет линию. Векторному уравнению 𝑟̅ = 𝑟̅ (𝑡) в системе координат 𝑂𝑥𝑦 соответствуют два скалярных уравнения (1); т.е. уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения.
Векторное уравнение и параметрические уравнения кривой имеют механический смысл: если точка перемещается на плоскости, то эти уравнения
называются уравнениями движения, а линия− траекторией точки, параметр 𝑡
при этом есть время.
Уравнения прямой на плоскости
1.Общее уравнение прямой на плоскости
Определение. Множество точек 𝐿 = {𝑀} плоскости называется прямой, если найдется ненулевой вектор 𝑛̅ ≠ 0̅, который перпендикулярен всем
̅̅̅̅̅̅̅
векторам 𝑀
0 𝑀, где 𝑀 −произвольная точка множества {𝑀}, а 𝑀0 − фиксированная точка этого множества.
Теорема 1. Всякая прямая на плоскости задается в системе координат
уравнением первой степени с двумя переменными
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, где одновременно 𝐴 ≠ 0 и 𝐵 ≠ 0, т.е. 𝐴2 + 𝐵2 ≠ 0.
Доказательство. Пусть на плоскости задана некоторая прямая 𝐿. По
определению существует ненулевой вектор 𝑛̅ = 𝐴𝑖̅ + 𝐵𝑗̅, 𝐴 ≠ 0 или 𝐵 ≠ 0,
̅̅̅̅̅̅̅
перпендикулярный векторам 𝑀
0 𝑀 = (𝑥 − 𝑥0 )𝑖̅ + (𝑦 − 𝑦0 )𝑗̅.
По критерию перпендикулярности векторов 𝐴(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0 ) = 0 или
3
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, где 𝐶 = −𝐴𝑥0 − 𝐵𝑦0 .
Теорема 2. Любое линейное уравнение с двумя переменными
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, где 𝐴2 + 𝐵2 ≠ 0,
(2)
есть уравнение прямой на плоскости в некоторой декартовой системе координат.
Доказательство
Пусть (𝑥; 𝑦) и (𝑥0 ; 𝑦0 ) −решения уравнения (2), т.е. являются верными равенства 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, 𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 = 0. Вычитая почленно из первого равенства второе, получим 𝐴(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0 ) = 0.
Представим последнее равенство в виде скалярного произведения
𝑛̅ ∙ ̅̅̅̅̅̅̅
𝑀0 𝑀 = 0, где 𝑛̅ = 𝐴𝑖̅ + 𝐵𝑗̅, причем одновременно 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0 и
̅̅̅̅̅̅̅
𝑀
0 𝑀 = (𝑥 − 𝑥0 )𝑖̅ + (𝑦 − 𝑦0 )𝑗̅.
А это и означает, что {𝑀(𝑥, 𝑦)} − есть множество точек прямой на плоскости.
Теорема доказана.
Замечания
1) Уравнение 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, где 𝐴2 + 𝐵2 ≠ 0, называется общим
уравнением прямой на плоскости.
2) Вектор 𝑛̅ = 𝐴𝑖̅ + 𝐵𝑗̅, где 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0, называется нормальным вектором или нормалью к прямой.
3) Прямую на плоскости можно рассматривать как линию пересечения
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0,
двух плоскостей {
𝑧 = 0.
2.Неполные уравнения первой степени
Приведем частные случаи, когда уравнение первой степени является неполным.
1. Если 𝐶 = 0, то уравнение имеет вид 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 0 и определяет прямую,
проходящую через начало координат.
2. Если 𝐵 = 0 (𝐴 ≠ 0), то уравнение имеет вид 𝐴𝑥 + 𝐶 = 0 и определяет
прямую, параллельную оси 𝑂𝑦 (такая прямая называется вертикальной).
В этом случае уравнение 𝐴𝑥 + 𝐶 = 0 приводится к виду 𝑥 = 𝑎, где
4
В этом случае уравнение 𝐴𝑥 + 𝐶 = 0
приводится к виду 𝑥 = 𝑎, где
𝐶
𝑎 = − (см. Рис.1).
𝐴
В частности, если 𝑎 = 0, то прямая
совпадает с осью 𝑂𝑦. Таким образом,
прямая 𝑥 = 0 определяет ось ординат.
Рис.1
3. Если 𝐴 = 0 (𝐵 ≠ 0), то уравнение имеет вид 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 и определяет
прямую, параллельную оси 𝑂𝑥 (такая прямая называется горизонтальной).
В этом случае уравнение 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
приводится к виду 𝑦 = 𝑏, где
𝐶
𝑏 = − (см. Рис.2).
𝐵
В частности, если 𝑏 = 0, то прямая совпадает с осью 𝑂𝑥, т.е. прямая 𝑦 = 0
определяет ось абсцисс.
Рис.2
3.Уравнение прямой в отрезках
Теорема. Прямая, не проходящая через начало координат и не параллельная осям 𝑂𝑥 и 𝑂𝑦, задается уравнением вида
𝑥
𝑎
𝑦
+ = 1,
𝑏
(3)
где 𝑎 и 𝑏 − параметры уравнения.
Доказательство. В уравнении 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 ни один из коэффициентов 𝐴, 𝐵, 𝐶 не равен нулю. Перенесем свободный член 𝐶 в правую часть,
разделим на −𝐶 обе части уравнения, получим
5
𝐴𝑥
−𝐶
+
𝐵𝑦
−𝐶
= 1 или
𝑥
𝐶
−
𝐴
+
𝑦
−
𝐶
𝐵
𝐶
𝐶
𝑥
𝐴
𝐵
𝑎
Вводя обозначения 𝑎 = − , 𝑏 = − , получим
= 1.
𝑦
+ = 1.
𝑏
Коэффициенты 𝑎 и 𝑏 имеют простой геометрический смысл: они есть
величины отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях, считая
каждый от начала координат.
y
Чтобы убедиться в этом, найдем точки пересечения прямой с координатными осями (см. Рис.3).
b
Точка пересечения прямой с осью 𝑂𝑥
находится как решение системы
𝑥
𝑦
+ = 1,
{𝑎 𝑏
𝑦 = 0.
a
O
x
Отсюда 𝑥 = 𝑎, 𝑦 = 0.
Рис.3
Таким образом, величина отрезка, отсекаемого прямой на оси 𝑂𝑥, действительно равна 𝑎. Аналогично устанавливается, что величина отрезка, отсекаемого прямой на оси 𝑂𝑦, равна 𝑏.
Уравнение вида (3) называется уравнением прямой в отрезках.
Пример. Дана прямая 3𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0. Составить для этой прямой
уравнение в отрезках и построить эту прямую.
Решение. Для данной прямой уравнение
y
𝑥
𝑦
в отрезках имеет вид
+ = 1.
x
−5
Мы получим эту прямую на чертеже
3
-5
3
O
x
Рис.4
x
(см. Рис.4), если отложим на координатных
осях 𝑂𝑥 и 𝑂𝑦 отрезки, величины которых соответственно равны 𝑎 = −5, 𝑏 = 3.
6
4.Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Определение. Прямая, не параллельная оси ординат, называется
наклонной.
Покажем, что уравнение любой наклонной прямой имеет вид 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏.
Т.к. прямая не параллельна оси ординат, то в общем уравнении
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 коэффициент 𝐵 ≠ 0. Выразим 𝑦:
𝐴
𝐶
𝐵
𝐵
𝐵𝑦 = −𝐶 − 𝐴𝑥, 𝑦 = − 𝑥 − .
𝐴
𝐶
𝐵
𝐵
Обозначив через 𝑘 = − , 𝑏 = − , получим требуемое уравнение 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏.
Выясним смысл коэффициентов 𝑘 и 𝑏.
Пусть 𝐴(0; 𝑦) −точка, в которой прямая пересекает ось 𝑂𝑦
(см. Рис.5). Ее координаты удовлетворяют уравнению прямой. Значит, 𝑦 = 𝑘 ∙ 0 + 𝑏, 𝑦 = 𝑏.
y
M
A
P
𝜑
O
x
Таким образом, 𝑏 −величина отрезка, отсекаемого прямой на
оси 𝑂𝑦, считая от начала координат.
Рис.5
Выразим тангенс угла наклона прямой к положительному направлению
оси абсцисс. Для этого рассмотрим треугольник 𝐴𝑃𝑀, где 𝑀(𝑥; 𝑦) переменная точка прямой, а точка 𝑃 имеет координаты (𝑥; 𝑏). Имеем:
̂ =
𝑡𝑔𝜑 = 𝑡𝑔𝑀𝐴𝑃
𝑦−𝑏
= 𝑘.
𝑥
Коэффициент 𝑘 называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение
𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
(4)
7
3
Пример. Построить прямую по уравнению 𝑦 = 𝑥 + 2
4
y
M
B
N
x
O
Рис.6
Решение. Отложим на оси 𝑂𝑦
отрезок 𝑂𝐵 = 2 (см. Рис.6);
проведем через точку 𝐵 в направлении оси 𝑂𝑥 отрезок 𝐵𝑁 = 4, и
через точку 𝑁
в направлении
оси 𝑂𝑦 −отрезок 𝑁𝑀 = 3.
После этого, соединяя точки 𝐵 и 𝑀,
получим искомую прямую (она отсекает на оси 𝑂𝑦 отрезок 𝑏 = 2 и
составляет с осью 𝑂𝑥 угол, тангенс
3
которого равен .
4
Во многих случаях встречается необходимость составить уравнение прямой,
зная ее точку 𝑀0 (𝑥0 ; 𝑦0 ) и угловой коэффициент 𝑘.
𝑦
M
𝑦 − 𝑦0
𝑀0
Q
𝑥 − 𝑥0
O
𝑥
Рис.7
Угловой коэффициент прямой (см. Рис.7) равен тангенсу угла 𝑀𝑀0 𝑄:
𝑦−𝑦0
.
𝑘=
𝑥−𝑥0
Выразим из последнего равенства у:
𝑦 = 𝑦0 + 𝑘(𝑥 − 𝑥0 ).
5.Каноническое уравнение прямой на плоскости
(5)
8
Определение. Направляющим вектором прямой называется вектор, лежащий на самой прямой или на прямой, ей параллельной.
Пусть прямая проходит через точку 𝑀0 (𝑥0 ; 𝑦0 ) и имеет направляющий вектор
𝑙 ̅ = 𝑚𝑖̅ + 𝑛𝑗̅. Обозначим через 𝑀(𝑥; 𝑦) произвольную точку прямой. Векторы
̅
̅̅̅̅̅̅̅
𝑀
0 𝑀 = (𝑥 − 𝑥0 )𝑖̅ + (𝑦 − 𝑦0 )𝑗̅ и 𝑙 коллинеарны. По критерию коллинеарности
векторов их одноименные проекции пропорциональны:
𝑥−𝑥0
𝑚
=
𝑦−𝑦0
𝑛
.
(6)
Уравнение (6) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.
6.Параметрические уравнения прямой на плоскости
Любую прямую на плоскости, проходящую через точку 𝑀0 (𝑥0 ; 𝑦0 ) и
имеющую направляющий вектор 𝑙 ̅ = 𝑚𝑖̅ + 𝑛𝑗̅, можно задать уравнениями
𝑥 = 𝑥 + 𝑚𝑡,
{ 𝑦 = 𝑦0 + 𝑛𝑡.
(7)
0
Действительно, если в каноническом уравнении (6) обозначить отношения
через 𝑡, то получим
𝑥 − 𝑥 = 𝑚𝑡,
{ 𝑦 − 𝑦0 = 𝑛𝑡;
0
или
𝑥 = 𝑥 + 𝑚𝑡,
{ 𝑦 = 𝑦0 + 𝑛𝑡.
0
Уравнения (7) называются параметрическими уравнениями прямой на
плоскости, а 𝑡 −параметром, меняя который, можно получить любую точку
на данной прямой.
7. Нормальное уравнение прямой на плоскости
y
𝑛̅
M
Q
O
Рис.8
Р
и
с
.
8
x
9
Пусть на плоскости дана некоторая прямая (см. Рис.8). Проведем через
начало координат прямую, перпендикулярную к данной, обозначим через 𝑄
точку их пересечения. Выберем в качестве нормального вектора 𝑛̅ к данной
̅̅̅̅. Если точка 𝑄 совпадает с
прямой, вектор, сонаправленный с вектором 𝑂𝑄
точкой 𝑂, т.е. если данная прямая проходит через начало координат, то
направление нормали можно выбрать произвольно. Обозначим через 𝑝 длину
отрезка 𝑂𝑄, через 𝛼 и 𝛽 −углы, которые нормаль образует с координатными
осями 𝑂𝑥 и 𝑂𝑦 соответственно. Возьмем на прямой точку 𝑀(𝑥; 𝑦). Проекция
вектора ̅̅̅̅̅
𝑂𝑀 на нормаль равна 𝑂𝑄: пр𝑛̅ ̅̅̅̅̅
𝑂𝑀 = 𝑝. С другой стороны, пр𝑛̅ ̅̅̅̅̅
𝑂𝑀 =
̅̅̅̅̅
𝑂𝑀 ∙ ̅̅̅,
𝑒𝑛 где ̅̅̅
𝑒𝑛 = 𝑖̅𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑗̅𝑐𝑜𝑠𝛽 − орт нормали. И, значит, пр𝑛̅ ̅̅̅̅̅
𝑂𝑀 =
𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝛽.
Следовательно, 𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑝 или
𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑝 = 0.
(8)
Уравнение прямой, написанное в форме (8), называется нормальным.
Замечание 1. Коэффициенты нормального уравнения удовлетворяют требованиям:
1) 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 = 1,
2) 𝑝 ≥ 0.
𝜋
Замечание 2.Т. к. 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑐𝑜𝑠 ( − 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝛼 , то уравнение (8) можно за2
писать в виде
𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑦𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑝 = 0.
Покажем, как привести общее уравнение прямой (2) к нормальному
виду (8). Пусть 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 −общее уравнение некоторой прямой, а
𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑝 = 0 − ее нормальное уравнение. Т.к. эти уравнения
определяют одну и ту же прямую, то коэффициенты этих уравнений пропорциональны:
𝜇𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝜇𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝜇𝐶 = −𝑝.
(9)
Чтобы найти множитель 𝜇, возведем в квадрат первые два из этих равенств и
сложим, получим:
𝜇2 (𝐴2 + 𝐵2 ) = 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 = 1.
Отсюда 𝜇 = ±
1
√𝐴2 +𝐵2
.
10
Число 𝜇 называется нормирующим множителем. Для определения знака
нормирующего множителя используем третье из равенств (9). Согласно этому равенству 𝜇𝐶 есть число отрицательное. Следовательно, знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена 𝐶 общего уравнения прямой.
Замечание. Если 𝐶 = 0, то знак нормирующего множителя можно выбирать произвольно.
8. Полярное уравнение прямой на плоскости
l
𝑀(𝑟, 𝜑)
𝛼
𝜑
P
O
Рис.9
Найдем уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение можно
определить, указав расстояние 𝑝 от полюса 𝑂 до данной прямой и угол 𝛼
между полярной осью 𝑂𝑃 и осью 𝑙, проходящей через полюс перпендикулярно данной прямой (см. Рис.9). Для любой точки 𝑀(𝑟; 𝜑) на данной прямой
пр𝑙 ̅̅̅̅̅
𝑂𝑀 = 𝑝. С другой стороны,
̅̅̅̅̅ = |𝑂𝑀
̅̅̅̅̅ |𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝜑) = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜑 − 𝛼).
пр𝑙 𝑂𝑀
Следовательно,
𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜑 − 𝛼) = 𝑝.
Уравнение (10) называется уравнением прямой в полярных координатах.
9. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
Каноническое уравнение прямой, проходящей две точки
𝑀1 (𝑥1 ; 𝑦1 ) и 𝑀2 (𝑥2 ; 𝑦2 ):
(10)
11
𝑥−𝑥1
𝑥2 −𝑥1
=
𝑦−𝑦1
𝑦2 −𝑦1
.
(11)
Это уравнение легко получается из канонического уравнения (6), если взять
за точку 𝑀0 точку 𝑀1 , а за направляющий вектор 𝑙 ̅ −вектор
̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑀1 𝑀2 = (𝑥2 − 𝑥1 )𝑖̅ + (𝑦2 − 𝑦1 )𝑗̅.
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через
точки 𝑀1 (3; 1) и 𝑀2 (5; 2).
Решение. Подставляя координаты данных точек в соотношение (11), получим:
𝑥−3
2
=
𝑦−1
3
или 3𝑥 − 2𝑦 − 7 = 0.
Взаимное расположение прямых на плоскости
Определение. Углом между прямыми 𝐿1 и 𝐿2 называется угол, на который
надо повернуть одну из прямых вокруг точки их пересечения до совмещения
ее с другой прямой.
1) Пусть прямые заданы общими уравнениями:
𝐿1 : 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 = 0,
𝐿2 : 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 = 0.
(12)
Тогда угол между прямыми есть угол между их нормальными векторами
𝑛1 = 𝐴1 𝑖̅ + 𝐵1 𝑗̅, ̅̅̅
̅̅̅
𝑛2 = 𝐴2 𝑖̅ + 𝐵2 𝑗̅ . Косинус угла
𝐴1 𝐴2 + 𝐵1 𝐵2
̂
𝑐𝑜𝑠(𝐿̂
̅̅̅;
𝑛2 ) = 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
1 ; 𝐿2 ) = 𝑐𝑜𝑠(𝑛
1 ̅̅̅
.
√𝐴1 2 + 𝐵1 2 √𝐴2 2 + 𝐵2 2
2) Если прямые 𝐿1 и 𝐿2 заданы каноническим или параметрическими уравнениями с направляющими векторами 𝑙̅1 = 𝑚1 𝑖̅ + 𝑛1 𝑗̅ и 𝑙̅2 = 𝑚2 𝑖̅ + 𝑛2 𝑗̅, то
𝑚1 𝑚2 + 𝑛1 𝑛2
̂
̅
̅
𝑐𝑜𝑠(𝐿̂
;
𝐿
=
𝑐𝑜𝑠
;
𝑙
=
𝑐𝑜𝑠𝜃
=
.
)
(𝑙
)
1 2
1 2
√𝑚1 2 + 𝑛1 2 √𝑚2 2 + 𝑛2 2
3) Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:
𝐿1 : 𝑦 = 𝑘1 𝑥 + 𝑏1 ,
𝐿2 : 𝑦 = 𝑘2 𝑥 + 𝑏2 ,
то тангенс угла между ними находится по формуле
𝑡𝑔𝜃 =
𝑘2 −𝑘1
1+𝑘1 𝑘2
.
(13)
12
y
𝜃
𝜑1
𝜑2
x
O
Рис.10
Действительно, 𝜃 = 𝜑2 − 𝜑1 (см. Рис.10),
𝑡𝑔𝜃 = 𝑡𝑔(𝜑2 − 𝜑1 ) =
𝑡𝑔𝜑2 − 𝑡𝑔𝜑1
𝑘2 − 𝑘1
=
.
1 + 𝑡𝑔𝜑1 𝑡𝑔𝜑2 1 + 𝑘1 𝑘2
Замечание. Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не
учитывая, какая прямая является первой, какая−второй, то правая часть
формулы (13) берется по модулю, т.е. 𝑡𝑔𝜃 = |
𝑘2 −𝑘1
1+𝑘1 𝑘2
1
3
7
4
|.
Пример. Даны прямые 𝑦 = − 𝑥 + 2, 𝑦 = 𝑥 + 3. Найти угол между ними.
Решение. По формуле 𝑡𝑔𝜃 =
Прямыми: 𝑡𝑔𝜃 =
3
1
−(− )
4
7
3
1
1+4∙(−7)
=
𝑘2 −𝑘1
1+𝑘1 𝑘2
21+4
28−3
находим тангенс угла между данными
= 1.
𝜋
Таким образом, один из углов между прямыми равен .
4
4) Рассмотрим случай, когда наклонные прямые заданы общими уравнениями (12). Покажем, что тангенс угла 𝜃 между ними можно найти по формуле
𝑡𝑔𝜃 =
𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1
.
𝐴1 𝐴2 + 𝐵1 𝐵2
Выразим из каждого уравнений (10) 𝑦, учитывая, что 𝐵1 ≠ 0, 𝐵2 ≠ 0:
13
𝑦=−
𝐴1
𝐵1
𝑥−
𝐶1
𝐵1
; 𝑦=−
𝐴2
𝐵2
𝑥−
𝐶2
𝐵2
.
Значит, угловые коэффициенты прямых соответственно равны
𝑘1 = −
𝐴1
𝐵1
, 𝑘2 = −
𝐴2
𝐵2
;
𝐴
𝐴
𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1
− 2+ 1
𝑘2 − 𝑘1
𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1
𝐵2 𝐵1
𝐵1 𝐵2
𝑡𝑔𝜃 ==
=
=
=
.
𝐴1 𝐴2
𝐵1 𝐵2 + 𝐴1 𝐴2 𝐴1 𝐴2 + 𝐵1 𝐵2
1 + 𝑘1 𝑘2
1+
𝐵1 𝐵2
𝐵1 𝐵2
Критерии перпендикулярности прямых
1.Для того чтобы две прямые
𝐿1 : 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 = 0, 𝐿2 : 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 = 0
были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие 𝐴1 𝐴2 + 𝐵1 𝐵2 = 0.
Доказательство
𝐿1 ⊥ 𝐿2 ⇔ ̅̅̅̅
𝑛1 ⊥ ̅̅̅
𝑛2 ⇔ 𝑛
̅̅̅̅
𝑛2 = 0 ⇔ 𝐴1 𝐴2 + 𝐵1 𝐵2 = 0.
1 ∙ ̅̅̅
2. Аналогично можно показать, если прямые 𝐿1 и 𝐿2 заданы каноническим или параметрическими уравнениями с направляющими векторами 𝑙̅1 =
𝑚1 𝑖̅ + 𝑛1 𝑗̅ и 𝑙̅2 = 𝑚2 𝑖̅ + 𝑛2 𝑗̅, то условием их перпендикулярности является равенство 𝑚1 𝑚2 + 𝑛1 𝑛2 = 0.
3. Для того чтобы две прямые
𝐿1 : 𝑦 = 𝑘1 𝑥 + 𝑏1 , 𝐿2 : 𝑦 = 𝑘2 𝑥 + 𝑏2
были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы 𝑘1 𝑘2 = −1.
Доказательство. Прямые 𝐿1 и 𝐿2 перпендикулярны, значит, тангенс угла 𝜃
между ними теряет арифметический смысл, т.е. знаменатель в
формуле 𝑡𝑔𝜃 =
𝑘2 −𝑘1
1+𝑘1 𝑘2
обращается в 0: 1 + 𝑘1 𝑘2 = 0 или 𝑘1 𝑘2 = −1.
Последнее равенство иногда пишут так 𝑘2 = −
1
𝑘1
(угловые коэффициенты
обратны по величине и противоположны по знаку).
14
Пример. Найти проекцию точки 𝑃(4; 9) на прямую, проходящую через
точки 𝐴(3; 1) и 𝐵(5; 2).
Решение. Искомую точку найдем, решая совместно уравнение прямой 𝐴𝐵 c
уравнением перпендикуляра, проведенного к этой прямой из точки 𝑃.
Составим уравнение прямой 𝐴𝐵; применяя соотношение (11), получаем:
𝑥−3
2
=
𝑦−1
1
1
1
2
2
, или 𝑦 = 𝑥 − .
Чтобы составить уравнение перпендикуляра из точки 𝑃 на прямую 𝐴𝐵,
напишем уравнение произвольной прямой, проходящей через точку 𝑃; согласно соотношению (5) имеем:
𝑦 − 9 = 𝑘(𝑥 − 4),
(*)
где 𝑘 −пока еще не определенный угловой коэффициент.
Нам нужно, чтобы прямая прошла перпендикулярно к прямой 𝐴𝐵; следовательно, ее угловой коэффициент должен удовлетворять условию перпенди1
кулярности с прямой 𝐴𝐵. Т.к. угловой коэффициент прямой 𝐴𝐵 равен , то
2
согласно формуле 𝑘1 𝑘2 = −1 находим 𝑘 = −2. Подставляя найденное значение 𝑘 в уравнение (*), получаем:
𝑦 − 9 = −2(𝑥 − 4) или 𝑦 = −2𝑥 + 17.
1
1
𝑦= 𝑥− ,
2
2
Решая совместно уравнения {
𝑦 = −2𝑥 + 17,
найдем координаты искомой проекции:𝑥 = 7, 𝑦 = 3.
Критерии параллельности прямых
1.Для того чтобы две прямые
𝐿1 : 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 = 0, 𝐿2 : 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 = 0
были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
или 𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 = 0
Доказательство. Две прямые 𝐿1 и 𝐿2 параллельны тогда и только тогда, когда коллинеарны их нормальные векторы ̅̅̅
𝑛1 = 𝐴1 𝑖̅ + 𝐵1 𝑗̅, ̅̅̅
𝑛2 = 𝐴2 𝑖̅ + 𝐵2 𝑗̅.
15
По критерию коллинеарности одноименные проекции векторов должны
быть пропорциональны:
Заметим, что если
𝐴1
𝐴2
𝐴1
𝐴2
=
=
𝐵1
𝐵2
𝐵1
𝐵2
.
=
𝐶1
𝐶2
, то прямые совпадают.
Примеры
1) Прямые 2𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0, 4𝑥 + 6𝑦 + 8 = 0
2
3
1
4
6
8
параллельны, т.к. = ≠ .
2) Прямые 𝑥 + 2𝑦 + 7 = 0, 2𝑥 + 4𝑦 + 14 = 0
1
2
7
2
4
14
совпадают, т.к. = =
.
2. Аналогично можно показать, если прямые 𝐿1 и 𝐿2 заданы каноническим или параметрическими уравнениями с направляющими векторами 𝑙̅1 =
𝑚1 𝑖̅ + 𝑛1 𝑗̅ и 𝑙̅2 = 𝑚2 𝑖̅ + 𝑛2 𝑗̅, то условием их параллельности является равен𝑚
𝑛
ство 1 = 1.
𝑚2
𝑛2
3.Необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых
𝐿1 : 𝑦 = 𝑘1 𝑥 + 𝑏1 , 𝐿2 : 𝑦 = 𝑘2 𝑥 + 𝑏2
является условие равенства их угловых коэффициентов 𝑘1 = 𝑘2 .
Доказательство
Пусть 𝜑1 и 𝜑2 −соответственно углы наклона прямых 𝐿1 и 𝐿2 к положительному направлению оси 𝑂𝑥, их угловые коэффициенты
𝑘1 = 𝑡𝑔𝜑1 и 𝑘2 = 𝑡𝑔𝜑2 . И, значит,
𝐿1 ∥ 𝐿2 ⇔ 𝜑1 = 𝜑2 ⇔ 𝑡𝑔𝜑1 = 𝑡𝑔𝜑2 ⇔ 𝑘1 = 𝑘2 .
Что и требовалось показать.
Расстояние от точки до прямой
Пусть заданы прямая 𝐿: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 и точка 𝑀0 (𝑥0 ; 𝑦0 ).
Требуется найти расстояние от точки 𝑀0 до прямой 𝐿 (см. Рис.11).
16
y
𝑀1
𝑛̅
𝑀0
x
O
Рис.11
Расстояние 𝑑 от точки 𝑀0 до прямой 𝐿 равно модулю проекции вектора
̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑀1 𝑀0 , где 𝑀1 (𝑥1 ; 𝑦1 ) −произвольная точка прямой 𝐿, на направление нормального вектора 𝑛̅ = 𝐴𝑖̅ + 𝐵𝑗̅. Следовательно,
𝑑 = |пр𝑛̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑀1 𝑀0 | =
̅̅̅̅̅̅̅̅
|𝑀
̅|
1 𝑀0 ∙𝑛
|𝑛̅|
=
|(𝑥0 −𝑥1 )𝐴+(𝑦0 −𝑦1 )𝐵|
√𝐴2 +𝐵2
=
|𝐴𝑥0 +𝐵𝑦0 −𝐴𝑥1 −𝐵𝑦1 |
√𝐴2 +𝐵2
.
Т.к. точка 𝑀1 (𝑥1 ; 𝑦1 ) принадлежит прямой, то 𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶 = 0,
т.е. 𝐶 = −𝐴𝑥1 − 𝐵𝑦1 . Поэтому
𝑑=
|𝐴𝑥0 +𝐵𝑦0 +𝐶|
√𝐴2 +𝐵2
,
(14)
что и требовалось получить.
Пример. Найти расстояние от точки 𝑀0 (2; −1) до прямой 3𝑥 + 4𝑦 − 22 = 0.
Решение. По формуле (14) получаем
𝑑=
|3 ∙ 2 + 4 ∙ (−1) − 22|
√32 + 42
=
20
= 4.
5