Задачи для экзамена по геометрии 7 выложить

Задачи для экзамена по геометрии.
1. Отрезки АВ и СD — диаметры некоторой окружности. Докажите, что прямые АС и
ВD параллельны.
2. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых
секущей равна 210. Найти эти углы.
3. Отрезок АМ - биссектриса треугольника ABC. Через точку M проведена прямая,
параллельная AC и пересекающая сторону AB в точке E. Доказать, что треугольник
AME равнобедренный.
4. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр
треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 6 см. Найти две другие стороны.
5. На биссектрисе угла А взята точка E, а на сторонах этого угла точки В и С такие, что
угол AEC равен углу AEB. Доказать, что BE равно CE.
6. Отрезки AB и CM пересекаются в их общей середине. Доказать, что прямые AC и
BM параллельны.
7. Доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются
вершинами другого равнобедренного треугольника.
8. Найти смежные углы, если один из них на 450 больше другого.
9. В ∆АВС ∠A= 100°. Биссектрисы СС1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Найдите ∠ВОС.
10. На одной стороне неразвернутого угла взяты точки А и С, на другой В и D, так что
АВ║СD. Точка М принадлежит отрезку АВ; ∠МСА =∠ МСD, ∠МDС=∠МDВ. Докажите,
что АВ=АС+ВD.
11. Один из углов прямоугольного треугольника равен 600, а сумма гипотенузы и
меньшего из катетов равна 26,4 см. Найти гипотенузу треугольника.
12. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых
секущей равна 50 градусам. Найти эти углы.
13. Через середину отрезка проведена прямая. Доказать, что концы отрезка
равноудалены от этой прямой.
14. На окружности с диаметром АВ взята точка С,∠САВ = 70°. Найдите ∠СВА и ∠АСВ.
15. Основание АС равнобедренного треугольника AВС продолжено за вершины А и С.
На продолжениях соответственно отложены равные отрезки АD и СЕ. Докажите,
что ВD=АВ.
16. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и Н соответственно; ∠ А =
∠ВМН = 50°, ∠С=60°. Найдите ∠МНС.
17. На биссектрисе ВD равнобедренного треугольника АВС взята точка Е. Через эту
точку проведены прямые, параллельные сторонам АВ и ВС и пересекающие
основание АС в точках
18. В треугольнике ABC угол А равен 400, а угол ВСЕ, смежный с углом ACB, равен 800.
Доказать, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой AB.
19. . Найти неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если
сумма двух из них 2200.
20. В треугольнике АВС ∠А:∠В:∠С=3 : 5 :7. Найти углы.
21. Основание равнобедренного треугольника равно 8см. Медиана, проведенная к
боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр
одного треугольника на 2см больше периметра другого. Найти боковую сторону
данного треугольника.
22. . В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС=37см, внешний угол при
вершине В равен 60 градусам. Найти расстояние от вершины С до прямой AB.
23. В треугольнике АВС угол А больше угла В в 2 раза, а угол С больше угла А на 10 0.
Найти углы треугольника.
24. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С внешний угол при вершине
А равен 1200, АС+АВ=18см. Найти AC и AB.
25. В окружности с центром O проведены три радиуса ОА, OВ, ОС, так что ОB┴АС и
отрезки OВ и АС пересекаются. Докажите, что АВ = ВС.
26. В равнобедренном треугольнике АВС ВD — высота, проведенная к основанию.
Точки М и Н принадлежат сторонам AВ и ВС соответственно. Луч DВ —
биссектриса угла МDH. Докажите, что АМ = НС.
27. В тупоугольном равнобедренном треугольнике один из углов в четыре раза
больше другого. Медиана треугольника, проведенная к основанию, равна 6см.
Найдите боковую сторону.
28. Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные из вершин
основания, равны.
29. Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то
треугольник равнобедренный.
30. Задача. Отрезки AB и CE пересекаются в их общей середине О. На отрезках AC и BE
отмечены точки К и M так, что AK равно BM. Доказать, что OK равно OM.
31. В треугольнике АВС АВ = ВС. Точки М и Н середины сторон АВ и ВС. МD и HE
перпендикулярны к прямой АС. Докажите, что ∆ АМD = ∆ СНЕ.
32. В равнобедренном треугольнике АВС ∠В - тупой. Высота ВD равна 8 см. Найдите
периметр ∆АВС, если периметр ∆АВО равен 24 см.
33. На отрезке АВ отмечены точки С и D, так что точка С лежит между точками А и D.
Точка М не принадлежит прямой АВ. Медианы треугольников МАС и МDВ,
проведенные из вершины М, равны по 11 см. Найдите угол между этими
медианами, если АВ=15 см, СD = 7 см.
34. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС проведена медиана AM.
Найти медиану AM, если периметр треугольника ABC равен 32 см, а периметр
треугольника ABM равен 24 см.
35. Отрезки АЕ, ЕК, КВ последовательно отложены на одной прямой, а точки С к D
лежат по разные стороны от этой прямой; АЕ=ВК, АС = ВD, СК = DЕ. Докажите, что
∆АСК= ∆ВЕD.
36. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона больше
основания в 1,6 раза. Найти стороны треугольника, если периметр равен 21 см.
37. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол AOB прямой.
Отрезок ВС - диаметр окружности. Докажите, что хорды AB и AC , равны.
38. В треугольнике АВС угол А равен углу С. М – середина стороны АС. Найти угол
АМВ.
39. Отрезки AC и BM пересекаются и точкой пересечения делятся пополам .Доказать,
что треугольник ABC равен треугольнику CMA.
40. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 6,7 см, а
боковая сторона треугольника 13,4 см. Найти углы этого треугольника.
41. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр
треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие
стороны треугольника.
42. Высоты АА1 и ВВ1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Найти угол АМВ, если
угол А равен 550, а угол В равен 670.