Ф-9-1x

Горбанева Л.В.,
старший преподаватель
кафедры физики ДВГГУ
Геометрическая оптика
Геометрическая оптика изучает распространение световых лучей.
Световой луч – это геометрическая линия, которая в каждой своей
точке перпендикулярна волновому фронту, проходящему через эту точку.
Направление светового луча совпадает с направлением распространения
света. Или, проще говоря, световой луч можно представить как просто узкие
пучки света наподобие солнечных лучей.
В основе геометрической оптики лежат четыре основных закона.
1. Закон независимости световых лучей.
2. Закон прямолинейного распространения света.
3. Закон отражения света.
4. Закон преломления света.
Рассмотрим по порядку эти законы, и посмотрим как они «работают» при
решении задач.
Закон независимости световых лучей. Если световые лучи
пересекаются, то они не оказывают никакого влияния друг на друга.
Каждый луч освещает пространство так, как если бы других лучей вообще
не было.
Закон прямолинейного распространения света. В прозрачной
однородной среде световые лучи являются прямыми линиями.
Среда называется однородной, если её свойства не меняются от точки к
точке. Примеры оптически однородных сред – равномерно прогретый
воздух, чистая вода, стекло без примесей. В таких средах понятие светового
луча можно рассматривать и описывать при решении задач как понятие луч в
геометрии.
При нарушении однородности среды закон прямолинейного
распространения света не работает. О том, как ведет себя луч на границе
раздела двух сред, рассказывают законы отражения и преломления. О них
мы поговорим позднее.
Рассмотрим как поведет себя луч, встретив непрозрачное препятствие.
Луч, идущий мимо предмета, продолжает распространяться в прежнем
направлении – как если бы данного предмета вообще не было. Луч,
попадающий на предмет, не проникает внутрь предмета. Дальнейший ход
такого луча в прежнем направлении пресекается. Так возникает
геометрическая тень.
Поскольку
свет
распространяется
прямолинейно,
форма
геометрической тени оказывается подобной контуру предмета.
Так, на рис. 1а источник света
мал по сравнению с предметом. На
экране видна четкая тень. При
больших
размерах
источника
создаются нерезкие тени (рис. 1б).
Закон прямолинейного распространения света позволяет объяснить,
как возникают солнечные и лунные затмения.
Солнечное затмение – астрономическое явление, которое заключается в
том, что Луна закрывает
(затмевает) полностью или
частично
Солнце
от
наблюдателя на Земле.
Тень Луны на земной
поверхности не превышает в диаметре 270 км, поэтому солнечное затмение
наблюдается только в узкой полосе на пути тени. Если наблюдатель
находится в полосе тени, он видит полное солнечное затмение (рис. 2) при
котором Луна полностью скрывает Солнце, небо темнеет, и на нём могут
появиться планеты и яркие звёзды. Вокруг скрытого Луной солнечного диска
можно наблюдать солнечную корону, которая при обычном ярком свете
Солнца не видна. При наблюдении затмения неподвижным наземным
наблюдателем полная фаза длится не более нескольких минут. Минимальная
скорость движения лунной тени по земной поверхности составляет чуть
более 1 км/с. Во время полного солнечного затмения космонавты,
находящиеся на орбите, могут наблюдать на поверхности Земли бегущую
тень от Луны.
Наблюдатели, находящиеся вблизи полосы полного
затмения, могут видеть его как частное солнечное
затмение. При частном затмении Луна проходит по диску
Солнца не точно по центру, скрывая только его часть. При
этом небо темнеет гораздо слабее, чем при полном
затмении, звёзды не появляются. Частное затмение может
наблюдаться на расстоянии порядка двух тысяч
километров от зоны полного затмения.
Лунное затмение – затмение, которое наступает,
когда Луна входит в конус тени, отбрасываемой Землёй
(Рис. 3). Диаметр пятна тени Земли на расстоянии 363000 км (минимальное
расстояние Луны от Земли) составляет около 2,5 диаметров Луны, поэтому
Луна может быть затенена целиком.
Закон отражения света
Если световой луч попадает на границу раздела
двух прозрачных сред, то он может разделиться на два
луча: отражённый и преломлённый (рис.4), то есть луч
изменяет направление своего хода.
При отражении он возвращается в исходную
среду.
Рассмотрим явление отражения. На рисунке 5
угол AOC называется углом падения. Обратите внимание и
запомните: угол падения отсчитывается от перпендикуляра к
отражающей поверхности, а не от самой поверхности! Точно
так же угол отражения – это угол BOC, образованный
отражённым лучом и перпендикуляром к поверхности.
Закон отражения.
1) Падающий луч, отражённый луч и перпендикуляр к отражающей
поверхности, проведённый в точке падения, лежат в одной плоскости.
2) Угол отражения равен углу падения.
Закон отражения один из самых древних законов физики. Он был
известен грекам ещё в античности.
Пример 1. Плоское зеркало АВ может вращаться
вокруг горизонтальной оси О. Луч света падает на
зеркало под углом α. На какой угол повернётся луч,
если зеркало повернётся на угол β?
Решение. При повороте зеркала на угол β нормаль к
зеркалу также повернётся на угол β, поэтому угол
падения после поворота зеркала равен α+β, а угол
между падающим и отраженным лучами равен
2(α+β). До поворота же зеркала угол между
падающим и отраженным лучами был 2α.
Следовательно, отраженный луч повернётся на угол γ=2(α+β)-2α=2β.
Закон отражения описывает ход отдельных световых лучей – узких
пучков света. Но во многих случаях пучок является достаточно широким, то
есть состоит из множества параллельных лучей. Картина отражения
широкого пучка света будет зависеть от свойств отражающей поверхности.
Если поверхность является неровной, то после отражения
параллельность лучей нарушится. Неровной называют такую поверхность, у
которой размеры её неровностей не меньше длины световых волн. В качестве
примера на рисунке 6 показано отражение от неровной поверхности.
Отражённые лучи идут в самых разных направлениях.
Поверхность
с
микроскопическими
неровностями,
соизмеримыми с длинами
волн
видимого
света,
называется матовой. В
результате
отражения
параллельного пучка от
матовой поверхности получается рассеянный свет – лучи такого света идут
во всевозможных направлениях. Само отражение от матовой поверхности
называется поэтому рассеянным или диффузным.
Если же размер неровностей поверхности меньше длины световой
волны,
то
такая
поверхность
называется
зеркальной. При отражении
от зеркальной поверхности
параллельность
пучка
сохраняется: отражённые
лучи
также
идут
параллельно (рис. 7).
Приблизительно зеркальной является гладкая поверхность воды, стекла
или отполированного металла. Отражение от зеркальной поверхности
называется соответственно зеркальным.
Частный случай зеркального отражения – отражение в плоском
зеркале.
Плоским зеркалом называется часть плоскости, зеркально отражающая
свет. Плоское зеркало – привычная вещь; таких зеркал несколько в вашем
доме. Рассмотрим изображение предмета в плоском зеркале.
Пусть из светящейся точки S
падают на зеркало MN расходящиеся
лучи SО, SО1 и SO2. По закону отражения
эти лучи отражаются под таким же углом:
SO под углом 0°, SO1 под углом β1 = α1,
SO2 под углом β2 = α2
В глаз попадает расходящийся пучок света. Если продолжить отраженные
лучи за зеркало, то они сойдутся в точке S1. В глаз попадает расходящийся
пучок света, как будто исходящий из точки S1. В действительности световые
лучи не проходят сквозь зеркало. Нам только кажется, будто свет исходит от
изображения, поскольку наш мозг воспринимает попадающий к нам в глаза
свет как свет от источника, находящегося перед нами. Так как лучи в
действительности не сходятся в изображении, поместив лист белой бумаги
или фотоплёнку в то место, где находится изображение, мы не получим
никакого изображения. Поэтому такое изображение называют мнимым. Его
следует отличать от действительного изображения, через которое свет
проходит и которое можно получить, поместив там, где оно находится, лист
бумаги или фотоплёнку. Точки S и S1 симметричны относительно зеркала:
SО = ОS1. Их изображение в плоском зеркале воображаемое, прямое (не
обратное), одинаковое по размерам с предметом и расположено на таком же
расстоянии от зеркала, что и сам предмет. Предмет и его изображение в
зеркале представляют собой не тождественные, а симметричные фигуры.
Например, зеркальное изображение левой руки представляет собой правую
руку.
Пример 2. Сколько изображений получится от светящейся точки,
находящийся между двумя плоскими зеркалами, расположенными под углом
45°.
Решение. Если между зеркалами 1 и 2 поместить светящуюся точку А0 , то
выходящие из нее лучи будут падать на зеркала и, многократно отражаясь от
них, давать мнимые изображения источников на
своих
продолжениях.
Выполняя
последовательно построения изображений точки
А0 в зеркалах 1 и 2, найдем, что А1 является
изображением точки А0 в зеркале 1, А2 и А3
являются изображениями точек А0 и А2 в
зеркале 2, А4 и А5 являются изображениями
точек А2 и А3 в зеркале 1 и, наконец, А7, и А0
являются изображениями точек А4 и А5 в
зеркале 2. Все последующие изображения будут совпадать с ранее
полученными. Таким образом, в зеркалах, установленных под углом 45°,
получается семь изображений.
Сферические зеркала
Отражающими поверхности не обязательно
должны быть плоскими. Зеркала бывают сферическими,
т. е. имеют форму сферического сегмента. Сферические
зеркала бывают вогнутыми и выпуклыми. Сферическое вогнутое зеркало
представляет собой тщательно отполированную шаровую поверхность. На
рисунках далее точка О – центр сферической поверхности, которая образует
зеркало. На рисунке 9 буквой С отмечен центр сферической зеркальной
поверхности, точка О – вершина зеркала. Прямая линия СО, проходящая
через центр зеркальной поверхности С и вершину зеркала О, называется
оптической осью зеркала.
Пустим от фонаря на зеркало пучок лучей света, параллельных
оптической оси зеркала. После отражения от зеркала лучи этого пучка
соберутся в одной точке F, лежащей на оптической оси зеркала. Эта точка
называется фокусом зеркала. Если источник света поместить в фокусе
зеркала, то лучи отразятся от зеркала, как показано на рисунке 9. Расстояние
OF от вершины зеркала до фокуса называется фокусным расстоянием
зеркала, оно равно половине радиуса ОС сферической поверхности зеркала,
то есть OF= 0,5 ОС.
Если приблизить к вогнутому зеркалу источник света (зажжённую
свечу или электрическую лампу) настолько, чтобы в зеркале было видно его
изображение, то поучается мнимое изображение (расположенное за
зеркалом). По сравнению с предметом оно увеличенное и прямое. Если
станем постепенно удалять источник света от зеркала, то при этом будет
удаляться от зеркала и его изображение, размеры его будут увеличиваться, а
затем мнимое изображение исчезнет. Но теперь изображение источника света
можно получить на экране, расположенном перед зеркалом, то есть можно
получить действительное изображение источника света.
Чем дальше будем отодвигать источник света от зеркала, тем ближе к
зеркалу придётся располагать экран, чтобы получить на нём изображение
источника. Размеры изображения при этом будут уменьшаться.
Все действительные изображения по отношению к предмету
оказываются обратными (перевёрнутыми). Их размеры в зависимости от
расстояния предмета до зеркала могут быть большими, меньшими, чем
предмет, или равными размерам предмета (источника света) Таким образом,
расположение и размеры изображения, получаемого с помощью вогнутого
зеркала, зависят от положения предмета относительно зеркала.
Сферическое зеркало называется вогнутым, если отражающей
поверхностью служит внутренняя сторона сферического сегмента, т. е. если
центр зеркала находится от наблюдателя дальше его краёв. Если размеры
вогнутого зеркала малы в сравнении с его радиусом кривизны, то есть на
вогнутое сферическое зеркало падает пучок лучей, параллельный главной
оптической оси, после отражения от зеркала лучи пересекутся в одной точке,
которая называется главным фокусом зеркала F (рис. 9). Расстояние от
фокуса до полюса зеркала называют фокусным расстоянием и обозначают
той же буквой F. У вогнутого сферического зеркала главный фокус
действительный. Он расположен посередине между центром и полюсом
зеркала (центром сферической поверхности), значит фокусное расстояние:
ОF = СF = R/2.
Чтобы построить изображение предмета в вогнутом зеркале,
достаточно построить изображение двух крайних точек этого предмета.
Изображения остальных точек расположатся между ними. На рисунке 10
предмет изображён в виде стрелки АВ. Построим изображение точки В в
вогнутом зеркале. Для этого проведем из точки В два луча. Один
параллельно оптической
оси зеркала – после
отражения он пройдет
через фокус зеркала F.
Другой луч проведем
через фокус зеркала –
отразившись от зеркала
он пройдет параллельно
оптической оси. В точке
В` оба отраженных луча
пересекутся. Эта точка и
будет изображением точки В. Если провести еще один произвольный луч,
проходящий через точку В и отразившийся от зеркала, то он также
пересекается в точке В`. Так как точка А лежит на главной оптической оси.
Луч, идущий через точку не отражается. Построив изображения точек А и В,
получим изображение всего предмета А1В1. Предмет АВ находится за
центром шаровой поверхности зеркала (за точкой О). Его изображение А1В1
оказалось между фокусом F и центром шаровой поверхности зеркала О. По
отношению к предмету оно уменьшенное и перевёрнутое. Изображение
А1В1действительное, так как отражённые от зеркала лучи действительно
пересекаются в точках А1 и В1. Такое изображение можно получить на
экране.
Сферическое зеркало называется выпуклым, если
отражение происходит от внешней поверхности
сферического сегмента, т. е. если центр зеркала
находится к наблюдателю ближе, чем края зеркала
(рис. 11). Если параллельный пучок лучей падает на
выпуклое зеркало, то отраженные лучи рассеиваются,
но их продолжение (пунктир) пересекаются в главном фокусе выпуклого
зеркала. То есть главный фокус выпуклого зеркала является мнимым.
Фокусным расстояниям сферических зеркал приписывается определенный
знак, для выпуклого, где R – радиус кривизны зеркала: OF = CF = – R/2.
Пример 3. Известно расположение предмета А и
его изображения А' относительно главной
оптической оси MN сферического зеркала. Найти
построением фокус зеркала.
Решение. 1. Пересечение прямой, проходящей через точки А и А', с осью
MN дает центр сферического зеркала. Проведем прямую через точки А и А'
до пересечения с главной оптической осью
MN и найдем точку О.
2.
Проведем
отрезки
АВ
и
А'В',
перпендикулярные к оси MN (точки В и В'
симметричны точкам А и А' соответственно).
3. Проведем прямые АВ' и ВА'. Точка
пересечения их с осью MN и есть полюс
зеркала Р. Окружность радиуса ОР с центром
в точке О определяет положение зеркала.
Отражающая поверхность зеркала обращена к
предмету. Фокус зеркала F делит отрезок ОР
пополам.
Использование зеркал. Плоским зеркалом широко пользуются и в быту,
и при устройстве различных приборов. Известно, что точность отсчёта по
какой-либо шкале зависит от правильного расположения глаза. Чтобы
уменьшить ошибку отсчёта, точные измерительные приборы снабжаются
зеркальной шкалой. Работающий с таким прибором видит деления шкалы,
узкую стрелку и её изображение в зеркале. Правильным будет такой отсчёт
по шкале, при котором глаз расположен так, что стрелка закрывает своё
изображение в зеркале. Отражённый от зеркала «зайчик» заметно смещается
при повороте зеркала даже на небольшой угол. Это явление используется в
измерительных приборах, отсчёт показаний которых производится на
удалённой от прибора шкале по смещению светового «зайчика» на этой
шкале. «Зайчик» получается от маленького зеркальца, связанного с
подвижной частью прибора и освещаемого от специального источника света.
Измерительные приборы с таким устройством для отсчёта показаний обычно
очень чувствительны.
Вогнутые зеркала используют для изготовления прожекторов:
источник света помещают в фокусе зеркала, отраженные лучи идут от
зеркала параллельным пучком. Если взять вогнутое зеркало больших
размеров, то в фокусе можно получить очень высокую температуру. Тут
можно разместить резервуар с водой для получения горячей воды, например,
для бытовых нужд за счёт энергии Солнца.
С помощью вогнутых зеркал можно направить большую часть света,
излучаемого источником, в нужном направлении. Для этого вблизи
источника света помещается вогнутое зеркало, или, как его называют,
рефлектор. Так устраиваются автомобильные фары, проекционные и
карманные фонари, прожекторы.
Прожектор состоит из двух главных частей: мощного источника света
и большого вогнутого зеркала. При указанном на рисунке расположении
источника и зеркала отражённые от зеркала лучи света идут почти
параллельным пучком.
Крупный прожектор может освещать предметы, находящиеся на
расстоянии 10-12км от него. Такой прожектор виден с очень больших
расстояний, если глаз окажется в области посылаемого прожектором
светового пучка. Мощные прожекторы используются при устройстве маяков.
Кроме того, вогнутые зеркала применяются в телескопах-рефлекторах, с
помощью которых наблюдают небесные тела.
Закон преломления света
Если пучок света падает границу раздела двух сред, то, как говорилось
ранее, один луч отражается, а другой преломляется.
На рисунке 12 показаны: падающий луч АО,
преломленный луч ОВ и перпендикуляр ОС, восстановленный к
точке падения луча на поверхность, разделяющую две разные
среды. Угол α – угол падения, угол β – угол преломления.
Падающий луч АО, преломленный луч ОВ и перпендикуляр
к границе двух сред ОС лежат в одной плоскости.
sin  n2

 n21
sin  n1
, где α – угол падения, β – угол преломления, n1 – абсолютный показатель
преломления первой среды, n2 – абсолютный показатель преломления второй
среды, n21 – относительный показатель первой среды относительно второй.
Чем больше абсолютный показатель среды,
тем она считается более плотной. Если луч
переходит из оптически менее плотной среды в
оптически более плотную, то он отклоняется к
перпендикуляру и α>β (рис. 13 а). Если луч
переходит из оптически более плотной среды в оптически менее плотную, то
он отклоняется от перпендикуляра и α<β (рис. 13 б).
Особое внимание обратите на оптическую характеристику среды –
показатель преломления, указывающий, во сколько раз скорость света в
вакууме больше, чем в данной среде. Значит, для любой среды n 1. В
воздухе, по оптическим свойствам близком к вакууму, n=1.
Особый случай составляет явление полного внутреннего отражения,
наблюдаемое при переходе луча из среды оптически более
плотной (с большим показателем преломления) в среду
оптически менее плотную (с меньшим показателем
преломления) n1>n2. Преломленный луч отклоняется от
перпендикуляра и приближается к границе раздела двух
сред. Наступает такой момент, когда угол преломления
становится равный 90°. Угол падения, при котором угол преломления равен
90°,
называют
предельным:
sin  прел
sin 90 

n2
n
 sin  пред  2 .
n1
n1
Дальнейшее
увеличение падающего угла приводит к росту угла преломления (рис. 14).
Свет в нижнюю среду (несмотря на то, что она прозрачная) не попадает.
Происходит «отражение» от границы двух сред.
Из
закона
преломления
световых
лучей
следует
факт
непрямолинейного распространения света в неоднородной среде. Такую
среду можно представить как набор тонких пластинок с различными
показателями преломления, для которых выполняется важный и красивый
закон Снеллиуса: наличие промежуточных слоев не сказывается на связи
между углом падения из первой среды и углом преломления в последней. То
есть вдоль выбранного направления выполняется соотношение
ni sin I = cоnst.
Действительно, если неоднородную среду составляет набор слоев или
пластин с разными показателями
преломления n1, n2, n3, … (рис. 15), и
среда прозрачна, то луч проходит
сквозь нее, и на границах раздела
слоев
(пластин)
выполняются
соотношения, обусловленные законом
преломления:
n1sin1 = n2sin2 = n3sin3 =…= nisini.
То есть вдоль выбранного направления выполняется соотношение
ni sinI = cоnst.
Отсюда следует, что если среда непрозрачна, и луч отражается от
одного из ее слоев, то угол падения луча из начальной среды равен углу
выхода этого луча в ту же среду.
Пример 4. На стеклянную пластинку, показатель преломления которой 1,5 ,
падает луч света. Найти угол падения луча, если угол между отраженным и
преломленным лучами 90°.
Решение. Изобразим на рисунке условие задачи:
Из рисунка видно, что 𝛼 + 𝛾 + 𝛽 = 𝜋
𝜋
Тогда 𝛽 = 𝜋 − 𝛾 − 𝛼
или
𝛽 = −𝛼
Запишем закон преломления
где
𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑠𝑖𝑛𝛽
2
= 𝑛,
𝜋
𝑠𝑖𝑛𝛽 = sin ( − 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑠𝑖𝑛𝛼
2
Тогда
= 𝑡𝑔𝛼 = 𝑛
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑛
и
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1,5 ≈ 0,98рад
Пример 5. Найти предельный угол падения луча на границу раздела стекла и
воды.
Решение. Предельный угол падения, при котором наблюдается явление
n
n
полного отражения, находим из условия sinα0 = 2 . Тогда α0 = arcsin( 2).
n1
1,33
Зная, что n2=1,33, а n1=1,5 найдем α0 = arcsin (
1,5
n1
) ≈ 1,08рад
Линзы
Уникальным оптическим прибором, осуществляющим изменение
направления лучей, является линза. Линзами называют прозрачные тела,
ограниченные с двух сторон кривыми поверхностями (выпуклыми или
вогнутыми). Линзы, ограниченные двумя выпуклыми поверхностями,
называются двояковыпуклыми, линзы, ограниченные двумя вогнутыми
поверхностями называются двояковогнутыми.
Линзы делят на собирающие и рассеивающие. Если падающие
параллельно главной оптической оси, после преломления их в линзе
собираются, то такие линзы называют собирающими. Рассеивающая линза
отклоняет параллельно падающие на нее лучи от главной оптической оси.
Будем рассматривать линзы, у которых одинаковые радиусы кривизны
поверхностей
и
толщина
сечения которых значительно
меньше,
чем
радиусы
кривизны.
Такие
линзы
называют тонкими.
Основные линии и точки линзы. На рисунке 16 показаны основные
линии и точки собирающей линзы (а) и рассеивающей линзы (б).
Прямая АВ, проходящая через центры О сферических поверхностей,
ограничивающих линзу, называется оптической осью.
СD – положение линзы,
О – оптический центр линзы,
F1 и F2 – фокусы линзы,
α – фокальная плоскость проходит через фокус, перпендикулярно АВ,
l – побочная оптическая ось проходит через оптический центр,
П – побочный фокус линзы – точка пересечения побочной оптической оси и
фокальной плоскости.
На рисунке 17 показан ход лучей в собирающей (а) и рассеивающей (б)
линзе.
Для характеристики линз используют величину, которая называется
оптической силой. Оптическая сила линзы – величина, обратная к фокусному
1
расстоянию линзы, выраженному в метрах 𝐷 = . Обозначают оптическую
𝐹
силу буквой D. За единицу оптической силы взята диоптрия (дптр). Одна
диоптрия – это оптическая сила линзы, фокусное расстояние которой равно
1м. Оптическую силу собирающих линз считают положительной, а
рассеивающих линз – отрицательной.
Очень часто учащиеся ошибаются, считая, что оптические свойства
линзы определяются только ее формой, то есть выпуклая линза всегда
собирающая, а вогнутая – всегда рассеивающая.
Для расчета фокусного расстояния F (или оптической силы D) линзы
необходимо
учитывать
не
только
радиусы
кривизны
сфер,
ограничивающих соответствующие поверхности линзы, R1 и R2, но и
показатели преломления как самой линзы, так среды, окружающей линзу.
Относительным показателем преломления называют отношение показателя
преломления линзы к показателю преломления окружающей ее среды. Если
обозначить показатель преломления материала линзы n, показатель
преломления среды слева от линзы n1, а справа – n2, то выполняются
соотношения:
для расчета переднего фокусного расстояния F1:
n1 n  n1 n  n2
;


F1
R1
R2
для расчета заднего фокусного расстояния F2 :
n2 n  n1 n  n2
.


F2
R1
R2
Если с обеих сторон линзы находится воздух, то есть n1=n2=1, то
получаем
D=
1
1
1
1

 (n  1)(  ) .
F1 F2
R1 R2
Если линза ограничена поверхностями равного радиуса, то есть R1 = R2,
и находится в воздухе, то D =
1
2
 (n  1) .
F
R
Если такая линза окружена однородной средой с показателем
преломления nср, отличным от показателя преломления воздуха, то
D
1
n
2
(
 1) .
F
nср
R
Если радиусы ограничивающих поверхностей линзы неодинаковы, а
линза находится в однородной среде, то D 
1
n
1
1
(
 1)(  ) .
F
nср
R1 R2
Радиус поверхности, ограничивающей линзу, тоже имеет знак. Принято
считать, что если поверхность линзы своей выпуклой стороной обращена к
среде с меньшим показателем преломления, то ее радиус кривизны
положителен, в противоположном случае – он отрицателен. Например, радиус
поверхности выпуклой линзы, выполненной из оптически более плотного, чем
среда, материала, положителен.
Радиус поверхности выпуклой линзы, выполненной из оптически менее
плотного, чем среда, материала, отрицателен.
Радиус вогнутой линзы, выполненной из оптически более плотного, чем
среда, материала, отрицателен.
Радиус вогнутой линзы выполненной из оптически менее плотного, чем
среда, материала, положителен.
Радиус плоской поверхности линзы считается равным .
Таким образом, выпуклая линза, выполненная из оптически более
плотного материала, чем среда (например, стеклянная линза в воздухе),
является собирающей (положительной).
Выпуклая линза, выполненная из оптически менее плотного материала,
чем среда (например, воздушная линза в стекле), является рассеивающей
(отрицательной).
Вогнутая линза, выполненная из оптически более плотного материала,
чем среда (например, стеклянная линза в воздухе), является рассеивающей.
Вогнутая линза, выполненная из оптически менее плотного материала,
чем среда (например, воздушная линза в стекле), является собирающей.
Обязательно учитывайте эти правила при расчете оптической силы
линзы.
Формула тонкой линзы
1. Формула Рене Декарта
Если обозначить расстояние от источника света (или предмета) до линзы
d, расстояние от линзы до изображения f, фокусное расстояние линзы F (рис.
18), то основной закон тонкой линзы принимает вид: ±
1 1 1
  . Такой вид
F d f
формулы линзы принадлежит Рене Декарту (1596-1650). Здесь за точку отсчета
как бы был взят геометрический центр линзы (или сама линза, так как толщиной
ее можно пренебречь).
Следует
обратить
внимание на знаки, стоящие
в формуле тонкой линзы:
фокус собирающей линзы –
положителен, F > 0; фокус
рассеивающей
линзы
–
отрицателен, F < 0, что и определяет названия линз.
Действительное изображение всегда перевернутое и получается только с
помощью собирающей линзы, при этом f > 0 и значит
тонкой линзы ставится перед
1
> 0 (в формуле
f
1
ставится знак +).
f
Мнимое изображение всегда прямое (то есть не перевернутое), при
этом f < 0 и значит
1
1
< 0 (перед
в формуле ставится знак минус).
f
f
Мнимое изображение может давать как собирающая линза, так и
рассеивающая. Собирающая линза дает мнимое изображение в случае,
когда предмет находится между фокусом и линзой, и изображение его
увеличенное.
Рассеивающая линза всегда дает мнимое уменьшенное изображение.
Таким образом, формула тонкой линзы имеет несколько вариаций:
+
1 1 1
 
F d f
– собирающая линза дает действительное изображение
предмета; при этом предмет располагается перед собирающей линзой на
расстоянии, большем фокусного, то есть dF, и изображение предмета
перевернутое (увеличенное или уменьшенное);
+
1 1 1
– собирающая линза дает мнимое изображение предмета; при
 
F d f
этом предмет находится между линзой и фокусом, d  F, а изображение
прямое;

1 1 1
  – рассеивающая линза, всегда дающая мнимое изображение.
F d f
Например, если предмет находится на расстоянии 30 см от тонкой линзы,
фокусное расстояние которой 20 см, то местоположение изображения может быть
найдено по формуле
1 1 1
  ;
F d f
f 
Fd
= 60 см.
d F
2. Формула И. Ньютона
И. Ньютон изменил «точку отсчета» и взял их не одну, а две – в точках
переднего и заднего фокуса. Если обозначить a – расстояние от предмета до
переднего фокуса линзы, а b – расстояние от заднего фокуса линзы до
изображения (рис. 19) , то формула
тонкой линзы приобретет вид:
ab  F 2 . Эта формула известна как
формула Ньютона (1642-1727).
Обратимся к только что
разобранному примеру: определим
местоположение изображения в
тонкой линзе, фокусное расстояние которой 20 см, а предмет находится на
расстоянии 30 см от нее, используя формулу Ньютона.
Здесь а = 10 см, F = 20 см, значит, b 
F2
 202/10 = 40 см. То есть
a
изображение находится на расстоянии 40 см от заднего фокуса линзы или на
расстоянии f = 60 см от самой линзы.
Применяя различные подходы, получили одинаковые результаты. Это
значит, что в каждом конкретном случае можно использовать ту формулу из
выше приведенных, которая дает наиболее простые вычисления.
Увеличение линзы
Часто в задачах на геометрическую оптику встречается термин –
увеличение линзы. Под линейным увеличением Г (гамма) понимают число,
указывающее, во сколько раз линейный размер изображения больше
соответствующего линейного размера
самого
предмета.
Если
размер
предмета h, а размер его изображения
H (рис. 20), то  
H
f
f F
F
.
 

h d
F
d F
Эти соотношения позволяют заменять в формуле тонкой линзы
параметры: либо f= d , либо d =
1 1
1
 
F d d
или
1  1
  .
F
f
f
f
. И тогда формула приобретает вид:

Это бывает особенно удобно, когда в задаче
задается линейное увеличение предмета, так как уменьшается количество
неизвестных. Удобно использование линейного увеличения и в случае,
когда точка движется перпендикулярно главной оптической оси. Если
движение происходит с постоянной скоростью V, то h=Vt, и H=Ut, где U –
скорость
движения
изображения
точки
в
линзе.
Тогда

H
f
f F
F
U
 

=
. Если же точка движется перпендикулярно
V
h d
F
dF
главной

оптической
оси,
H
f
f F
F
U a
 

= = .
h d
F
dF V
a
но
с
постоянным
ускорением,
то
Реже, но тоже встречается в задачах термин «угловое увеличение».
Это величина, обратная линейному увеличению, равная  =
1 d
 .
 f
Глаз как оптическая система
Термин «наведение на резкость» при использовании оптических
приборов довольно широко используется в речи и достаточно понятен даже
неосведомленным в физике людям. Но когда речь заходит о нашем зрении,
смысл этого понятия несколько затушевывается. При разглядывании
удаленных или близко расположенных предметов глаз автоматически
настраивается на резкость. Управляет этой процедурой аккомодационный
мускул глаза, который соответствующим образом деформирует хрусталик
глаза. В результате изображение предмета попадает точно на сетчатку глаза
(своеобразный экран) – и изображение получается резким.
Такие дефекты зрения, как близорукость или дальнозоркость, связаны с
нарушением пределов аккомодации глаза. Под аккомодацией понимают
способность глаза «приспосабливаться» к резкому видению предметов,
находящихся от него на различных расстояниях. Другими словами, при
изменении расстояния d от предмета до наблюдателя (точнее, до глаза
наблюдателя) расстояние от хрусталика глаза (линзы) до сетчатки (экрана)
остается неизменным. Это возможно только при условии, что изменяется
фокусное расстояние линзы (хрусталика):
1 1 1
1 1
или D   . Если глаз
 
d f
F d f
1
d
1
. Обычно
f
рассматривает удаленный предмет, d  ,  0 , то F = f или D =
расстояние между хрусталиком глаза и сетчаткой порядка 3 см, поэтому F=3см
и D= -33 дптр. При приближении предмета к глазу начинает работать
аккомодационная мышца, увеличивающая кривизну хрусталика. Хрусталик
становится более выпуклым, радиус его поверхности уменьшается. Когда
предмет находится на расстоянии наилучшего зрения 25 см, оптическая сила
глаза становится равной 37 дптр.
Дальнейшее приближение предмета к глазу вызывает перенапряжение
аккомодационной мышцы, и изображение точки возникает не на сетчатке, а за
ее пределами. А на сетчатке появляются следы от двух лучей, то есть точка
«двоится». Такое изображение и вызывает ощущение не резкости. Если
аккомодационные мышцы достаточно сильны, они могут довести оптическую
силу хрусталика до 43 дптр, то есть предмет удается четко рассмотреть с
расстояния 10 см. Но в таком состоянии глаз быстро устает. Поэтому
оптимальным вариантом для глаза является расстояние между предметом и
глазом 25 см. Его и называют расстоянием наилучшего зрения. Именно в
таком режиме аккомодационная мышца не перенапряжена, а мелкие детали
хорошо различимы.
Недостаточная работоспособность аккомодационной мышцы приводит к
таким дефектам зрения как близорукость или дальнозоркость. В первом случае
ограничена способность аккомодационной мышцы уменьшать кривизну
хрусталика (увеличивать его радиус) до нужных размеров, во втором случае
хрусталик не способен увеличивать свою кривизну (уменьшать радиус). И
тогда для коррекции зрения применяют очки.
Корректировать близорукость или дальнозоркость глаза, означает –
«приближать» или «удалять» предметы относительно глаза. Очевидно, что
при близорукости, когда хрусталик имеет выпуклую форму, и изображение
предмета располагается перед сетчаткой глаза, используются рассеивающие
линзы. В случае дальнозоркости хрусталик имеет плоскую форму, и
изображение предмета получается за сетчаткой, поэтому в качестве очков
используются линзы собирающие.
Принято различать очки "для дали" и очки "для чтения". Первые
"переносят" предметы, находящиеся на бесконечно большом расстоянии, на
дальнюю границу области аккомодации данного глаза. Вторые "переносят"
предметы со стандартного для нормального глаза расстояния наилучшего
зрения 25 см на расстояние наилучшего зрения близорукого или
дальнозоркого глаза.
Пример 6. Какие очки следует прописать близорукому человеку, который
может читать текст, расположенный не далее 25 см, чтобы он мог
любоваться звездами?
Решение. Для того чтобы близорукий человек мог видеть удаленные
предметы, например звезду, очки должны создавать изображение звезды не
далее 25 см от глаза, а глаз будет рассматривать уже это изображение.
Предположим, что линза очков вплотную придвинута к глазу (небольшой
зазор между линзой и глазом несущественно исказит приведенные ниже
1
d
расчеты), и запишем формулу линзы: 
1 1
  D.
f F
Здесь d — расстояние до звезды, равное , f — максимальное расстояние от
1
означает, что
f
изображения звезды до глаза, равное 0,25 м. Минус перед
изображение мнимое. Таким образом, близорукому человеку следует
использовать очки с рассеивающими линзами, оптическая сила которых
равна D = 1/ - 1/0,25 = - 4 дптр.
Пример 7. Предмет расположен на расстоянии 105 см перед объективом
фотоаппарата, фокусное расстояние которого 50 мм. Где должна быть
расположена фотопленка?
Решение. Расчеты можно вести в сантиметрах, так как других единиц
измерения в формулах нет.
Выполним расчеты по разным формулам.
По формуле Декарта: «точка отсчета» – центр линзы;
d = 105см, F= 5 см; f 
1 1 1
 
F d f
dF
 5,25 см (от линзы).
d F
По формуле Ньютона:
«точка отсчета» - фокус линзы; а = 105 – 5 = 100см;
b
F 2 25

 0,25 см
a 100
(от заднего фокуса линзы или 5,25 см от линзы).
Пример 8. Луч света падает на плоскопараллельную пластинку толщиной
Н = 1 см, сделанную из стекла с показателем преломления n = 1, 73. Из-за
многократных отражений от граней пластинки на экране Э образуется ряд
светлых пятен. Найдите расстояние между этими пятнами, если угол
падения равен 600 и падающий луч
перпендикулярен
плоскости
экрана.
Плоскость падения луча совпадает с
плоскостью рисунка.
Решение. В основе решения лежит закон
Снеллиуса. После однократного преломления
на обеих гранях пластинки луч выходит из
пластинки параллельно падающему лучу.
Поскольку при дальнейших отражениях и
преломлениях углы падения на грани одинаковы, все попадающие на экран
лучи параллельны падающему.
Расстояние между лучами, равное расстоянию между пятнами на
экране, равно d=AC сos, АС=2Нtg,
d
H sin 2
n 2  sin 2 
tg =
sin 
1  sin 2 
sin  
;
sin 
;
n
= 0,58 см. Ответ: d = 0,58 см.
Пример 9. На поверхности воды лежит двояковыпуклая тонкая стеклянная
линза с радиусами кривизны RI = R2 =10 см. Определите переднее и заднее
фокусные расстояния линзы, если показатель преломления стекла равен n
=1,5, а показатель преломления воды n2 = 1,33. Чему равно фокусное
расстояние этой линзы в воздухе?
Решение. Применение формул
n1 n  n1 n  n2


F1
R1
R2
и
n2
n  n1 n  n2


F2
R1
R2
позволяет рассчитать F1 и F2. Здесь n1 = 1 (воздух), n2 = 1,33 (вода), n = 1,5
(стекло).
Тогда
1 1,5  1  1,5  1,33

 6,7 м 1 ; F1 = 1/6,7 = 0,14 м= 14 см.
F1
0,1
Аналогично рассчитывается F2 = 18,5 см.
Для расчета фокусного расстояния линзы в воздухе используем
формулу
1
1
1
2
 (n  1)(  )  (n  1) .
F
R1 R2
R
F=10 см.
Задачи для самостоятельного решения.
9.1.1. Дальнозоркий человек резко видит предметы на расстоянии не ближе
1м от глаза. В каких очках он нуждается, чтобы читать газету, держа ее на
расстоянии наилучшего зрения от глаза, равного 25 см?
9.1.2. Близорукий человек лучше всего различает мелкий шрифт,
расположенный на расстоянии d=15 см от глаза. Какие очки для чтения
нужны этому, человеку?
9.1.3. Какие очки нужны человеку, у которого расстояние наилучшего зрения
оказалось равным L =75 см?
9.1.4. Найти главное фокусное расстояние зеркала, если светящаяся точка и
её изображение лежат на главной оптической оси вогнутого зеркала на
расстоянии 16см и 100см соответственно от главного фокуса.
9.1.5. Прозрачный кубик лежит на монете. Монета освещается рассеянным
светом. Определите, при каком значении показателя преломления материала
кубика монета не будет видна через его боковыую поверхность.
9.1.6. В днище судна сделан стеклянный иллюминатор для
наблюдения
за морскими животными. Диаметр
иллюминатора d=40 см. Какова площадь обзора дна из
такого иллюминатора, если показатель преломления
морской воды 1,4, показатель преломления стекла
иллюминатора 1,6, расстояние от днища судна до дна 5м.


H
R
Толщиной стекла иллюминатора можно
пренебречь.
9.1.7. На предмет АВ высотой h, стоящий на
плоском зеркале, падает параллельный
пучок
лучей.
Определить
размер
геометрической тени на экране (см.
рисунок).
9.1.8. Кажущаяся глубина водоема 3м. Определите истинную глубину
водоема h0. Показатель преломления воды n=1,33.
9.1.9. Точечный источник света помещен на расстоянии
d=12 см от линзы на ее главной оптической оси.
Фокусное расстояние линзы F=8 см. Линза начинает
смещаться в направлении, перпендикулярном своей
главной оптической оси, со скоростью V =1 см/с. С
какой скоростью начнет смещаться при этом
изображение источника света, если сам источник
остается неподвижным?
9.1.10.
На половину шара
радиусом
r=2см,
изготовленного из стекла с показателем преломления
n=1,41, падает параллельный пучок лучей. Определите
радиус светлого пятна на экране, расположенном на
расстоянии L = 4,82 см от центра шара (см. рисунок).
S
d
S
f
Vt
Vt
S
0

r

b
0
R
L
9.1.11. Фокусное расстояние собирающей линзы F=30см, расстояние
предмета от фокуса 10см. Линейные размеры предмета 5см. Определить
размеры изображения.
9.1.12. На каком расстоянии от рассеивающей линзы с
оптической силой
D=– 4дптр нужно поместить
предмет, чтобы его мнимое изображение получилось
в 4 раза меньше самого предмета.
9.1.13. Расстояние между предметом и его изображением
Увеличение линзы равно Г=3. Найти фокусное расстояние линзы.
L=72см.
9.1.14. Тонкая линза с некоторым фокусным расстоянием F1 создает прмое
изображение предмета с увеличением Г1=2/3. Каково будет увеличение Г2,
если, не изменяя расстояние между предметом и линзой, заменить линзу на
рассеивающую с оптической силой D2= – D1.
9.1.15. На каком расстоянии перед выпуклым сферическим зеркалом должен
находиться предмет, чтобы его изображение получилось в 1,5 раза ближе к
зеркалу, чем сам предмет. Радиус кривизны зеркала 1,6 м.
9.1.16. На стеклянную пластинку, показатель преломления которой 1,5,
падает луч света. Найти угол падения луча, если угол между отраженным и
преломленным лучами 90 градусов.
9.1.17. Собирающая линза, радиусы кривизны поверхностей которой R1=15см
и R2=25см, дает действительное изображение предмета на расстоянии 50см
от линзы, если предмет находится на расстоянии 0,25м от линзы. Найти
показатель преломления материала линзы и ее оптическую силу. Линза
находится в воздухе.
9.1.18. Высота изображения предмета на пленке в фотоаппарате при съемке с
расстояния d1=2м равна h1=30мм, а при съемке с расстояния d2=3,9м высота
h2= 15мм. Определить фокусное расстояние F объектива фотоаппарата.