Lekciya5

Лекция 5
Временное уравнение Шредингера. Общее решение уравнения Шредингера в случае стационарного гамильтониана. Стационарные состояния. Плотность потока вероятности
Как следует из постулатов квантовой механики, волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера
i

= Hˆ 
t
(1)
где Ĥ - оператор энергии, который называют также оператором Гамильтона или гамильтонианом. Как следует из (1) оператор Ĥ является генератором трансляции квантовой системы по
времени:
 (t   t ) =  (t ) 

Hˆ
i
 t =  (t )   t   (t ) = (1   t  Hˆ ) (t )
t
i
(2)
Наличие i в выражении уравнении (1) обеспечивает эрмитовость гамильтониана.
Рассмотрим основные свойства уравнения (1). Докажем следующее утверждение. Если
функция  удовлетворяет уравнению (1) и нормирована на единицу в начальный момент времени, то она будет нормирована на единицу и в любой другой момент времени (об этом свойстве уравнения Шредингера говорят, что оно сохраняет нормировку волновой функции). Для
доказательства умножим уравнение (1) скалярно на функцию  один раз слева, другой раз справа. Получим
  
ˆ
i  ,
 = , H 
t 



 

i 
,   = Hˆ  , 
 t


(3)

(4)
(знак «-» в (4) появился из-за антилинейности скалярного произведения относительно первого
сомножителя). Вычитая формулу (4) из формулы (3) и учитывая, что
    
 d
,   =  ,  
 ,

t   t

 dt
(5)
и эрмитовость гамильтониана, получим
d
 ,    0
dt
что и означает сохранение нормировки волновой функции.
1
(6)
Уравнение (1) допускает решение в случае, когда гамильтониан квантовой системы не
зависит явно от времени. Будем искать решение временного уравнения Шредингера в виде
функции с разделенными переменными  (q, t )  f (q ) g (t ) . Подставляя эту функцию в уравнение Шредингера (1) и учитывая, что оператор Гамильтона действует только на функции координат, получим
i f (q )
dg (t )
ˆ (q )
= g (t ) Hf
dt
(7)
Разделив уравнение (7) на произведение f ( q ) g (t ) , имеем
i
ˆ (q)
g (t ) Hf
=
g (t )
f (q)
(8)
Так как правая часть уравнения (8) зависит только от координат ( Ĥ не содержит времени), а
левая - только от времени, то уравнение (8) удовлетворяется при любых q и t только тогда, когда и правая и левая часть уравнения (8) равны некоторой постоянной. Обозначим эту постоянную E . Тогда
i g (t ) = Eg (t )
(9)
ˆ (q )  Ef (q )
Hf
(10)
Из равнения (10) следует, что постоянная E совпадает с одним из собственных значений, а
функция f (q ) - с одной из собственных функций оператора Гамильтона:
E  En
f ( q)  f n ( q)
(11)
Решая уравнение (9) для функции g (t ) , получим
g (t )  Cn e
i
En
t
(12)
где Cn - произвольная постоянная. Таким образом, любая функция вида
 (q, t )  Cn f n (q)e
i
En
t
(13)
где f n (q) - собственная функции оператора Гамильтона, а En - соответствующее собственное
значение, является решением уравнения (1). Так как уравнение (1) - линейное, то любая линейная комбинация функций вида (12) с произвольными коэффициентами
(q, t )   Cn f n (q)e
n
2
i
En
t
(14)
также является решением временного уравнения Шредингера (1). А поскольку система собственных функций оператора Гамильтона
 f n ( q) 
является полной в пространстве функций пе-
ременной q , то функция (14) в момент времени t  0 при определенном выборе коэффициентов
Cn может воспроизвести любую функцию  (q, t  0) . Это значит, что функция (14) дает реше-
ние уравнения Шредингера для любого начального условия  (q, t  0) , то есть является общим
решением временного уравнения Шредингера (в случае когда гамильтониан не зависит явно от
времени).
Среди всех решений (14) уравнения Шредингера (1) выделяются функции, которые представляют собой одно слагаемое выражения (14)
 (q, t )  Cn f n (q)e
i
En
t
(15)
Эти функции замечательны тем, что несмотря на то, что они зависят от времени, никакие
вероятности, определяемые функцией (15), не зависят от времени. Действительно, вероятности
определяются билинейной комбинацией * , из которой «уходит» время. По этой причине состояния, которые описываются волновыми функциями вида (15), называются стационарными.
Если же решение (14) содержит несколько слагаемых, то вероятности различных физических
величин и их средние значения, как правило, зависят от времени. Тем не менее, для ряда величин вероятности и средние не зависят от времени даже в нестационарных состояниях. Например, среднее значение энергии в любом состоянии системы, гамильтониан которой не зависит
от времени, не зависит от времени. Действительно, используя квантовомеханическую формулу
для средних имеем
E (t ) = dq * (q, t ) Hˆ  (q, t )
(16)
Подставляя в качестве волновой функции системы  (q, t ) выражение (14) и учитывая, что
функции f n (q) являются собственными функциями гамильтониана, получим
E (t ) = dq Cn* f n* (q)e
n
i
En
t
i
Hˆ  Cm f m (q)e
Em
t
m
  Cn*e
n
i
En
t
 Cme
m
i
Em
t
Em dqf n* (q) f m (q)
(17)
Поскольку функции f n (q) ортогональны, в сумме остаются только диагональные слагаемые, из
которых «уходит» время. Отсюда и следует сделанное выше утверждение (подробнее о величинах, средние значения которых не зависят от времени в любых состояниях и которые называются интегралами движения см. следующую лекцию).
3
Отметим еще одно важное обстоятельство, связанное со стационарными состояниями.
Поскольку общее решение (14) представляет собой разложение по собственным функциям оператора Гамильтона, то согласно постулатам квантовой механики величины
Cn f n (q)e
i
En
2
t
 Cn
2
представляют собой вероятности различных значений энергии. Поэтому при измерении энергии
системы в стационарном состоянии можно обнаружить единственное значение, и, следовательно, энергия в стационарном состоянии всегда имеет определенное значение.
Рассмотрим одну частицу, движущуюся в трехмерном пространстве. Поскольку нормировка волновой функции  (r , t ) не зависит от времени, то уменьшение или увеличение вероятности обнаружить частицу в некотором объеме сопровождается соответственно увеличением
или уменьшением вероятности обнаружить частицу в остальной части пространства. Поэтому
для плотности вероятности различных значений координат  (r , t ) | (r , t ) |2 справедлив закон
сохранения
d  (r , t )
 div J (r , t )  0
dt
(18)
где вектор J (r , t ) имеет смысл плотности потока вероятности. Используя уравнение Шредингера можно найти J (r , t ) .
Для этого умножим уравнение (1) на * (r , t ) , комплексно сопряженное уравнение - на
 (r , t ) , вычтем второе уравнение из первого и проинтегрируем по некоторому объему V . По-
лучим
d
1
2
(r , t ) dr 

dt V
i
   Hˆ   Hˆ   dr   2mi        dr
*
*
*
V
*
(19)
V
где использовано явное выражение для гамильтониана частицы
Hˆ  
( U (r )
-
потенциальная
2
2m
энергия).
  U (r )
(20)
Используя
формулу
f g  div ( f g )  f g , справедливую для любых функций f
векторного
анализа
g , и теорему Гаусса, полу-
и
чим
d
2
(r , t ) dr  

dt V
2mi
4
       ds
*
S
*
(21)
где интегрирование в правой части проводится по поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем. Поскольку равенство (21) справедливо для любого объема V , для подынтегральной функции в (21) справедливо равенство
  (r , t )
2
t
 div J (r , t )  0
(22)
где символом J (r , t ) обозначена векторная функция
J (r , t ) 
  (r , t ) (r , t )   (r , t ) (r , t ) 
2mi
*
*
(23)
Чтобы понять смысл функции J (r , t ) вернемся к выражению (21). В левой части имеем изменение вероятности обнаружить частицу в этом объеме, в правой – интеграл по поверхности объема
от J (r , t ) . Или, другими словами, изменение вероятности обнаружить частицу в некотором объеме определяется потоком вектора J (r , t ) через поверхность, ограничивающую этот объем. По
этой причине вектор J (r , t ) имеет смысл плотности потока вероятности.
Анализ векторной функции J (r , t ) (23) позволяет отвечать на вопрос о движении частиц.
Действительно, поскольку результаты измерений в микромире являются неопределенными, то
можно говорить лишь о движении частицы в среднем, которое определяется увеличением или
уменьшением вероятности обнаружить частицу в тех или иных объемах. А это изменение и
определяется вектором плотности потока вероятности J (r , t ) .
5