12. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 12.1. Случайные события. 12.1.1. В коробке находятся 3 синих, 5 красных и 5 зеленых карандашей. Одновременно вынимают 9 карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет 2 синих и 3 красных. 12.1.2. В первой урне находятся 3 шаров белого и 2 шаров черного цвета, во второй — 3 белого и 1синего, в третьей — 5 белого и 2 красного цвета. Из первой и второй урны наудачу извлекают по одному шару и кладут в третью. После этого из третьей вынимают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым. 12.1.3. Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна mn . Производится 6 выстрела. Найти вероятность того, что он mn2 промахнется не более двух раз.( m-1 , n-2) 12.1.4. Каждый избиратель независимо от остальных избирателей, отдаёт свой голос за кандидата А с вероятностью 0,1(3) и за кандидата В – с вероятностью 1-0,1(3). Оценить вероятность того, что в результате голосования на избирательном участке (5000 избирателей) один из кандидатов опередит другого: а) ровно на 1900 голосов б) не менее, чем на 1900 голосов 12.2. Случайные величины. 12.2.1. Случайная величина Х равна числу появлений «герба» в серии из 5 бросаний монеты. Найти закон распределения и функцию распределения F(x) этой случайной величины; вычислить ее математическое ожидание MX и дисперсию DX; построить график F(x). 12.2.2. Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид: xi -2 -1 0 1 3 pi 0,2 0,1 0,2 p4 p5 Найти вероятности p4, p5, и дисперсию DX, если математическое ожидание MX=-0,5+0,5m+0,1n. ( m-1 , n-2) 12.2.3. Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид: при x m, 0 f x a x m / n при m x m n, 0 при m n x . Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F x ; в) вероятность попадания случайной величины X в интервал n m , m n 1 ; 2 г) математическое ожидание MX и дисперсию DX. Построить график функций f x и F x .( m-1 , n-2) 12.2.4. Случайные величины 1 , 2 , 3 имеют равномерное, пуассоновское и показательное распределения соответственно. Известно, что математические ожидания Mξi=m+n, а дисперсия Dξ1=n2/3. Найти вероятности: а) Pm 1 1 m 1; б) P0 2 2 ; в) Pn 3 m n . ( m-1 , n-2) 13. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Имеются следующие выборочные данные (выборка 10%-ная, механическая) о выпуске продукции и сумме прибыли, млн. руб.: № предприятия 1 2 3 4 Выпуск продукции 62 78,0 41,0 54,0 Прибыль 15,7 18,0 12,1 13,8 № предприятия 16 17 18 19 Выпуск продукции 52,0 62,0 69,0 85,0 Прибыль 14,6 14,8 16,1 16,7 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 62 22 45,0 57,0 67,0 82 92,0 48,0 59,0 68,0 82 15,5 13 12,8 14,2 15,9 17,6 18,2 8 16,5 16,2 16,7 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 72 71,0 +32 72,0 88,0 72 74,0 96,0 75,0 101,0 72 15,8 16,4 13 16,5 18,5 16,4 16,0 19,1 16,3 19,6 17,2 По исходным данным: Задание 13.1. 13.1.1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по сумме прибыли, образовав пять групп с равными интервалами. Постройте графики ряда распределения.