Математическое описание транспортного потока

02.02.2016г. МДК02.01 ОПУ-13.2
Тема. Математическое описание транспортного потока. Основная диаграмма
транспортного потока.
Законспектировать текст и зарисовать диаграммы.
Математическое описание транспортного потока
Моделирование транспортного потока. При исследованиях и проектировании организации движения приходится прибегать к описанию
транспортных потоков математическими методами. Первостепенными
задачами, послужившими развитию моделирования транспортных потоков,
явились изучение и обоснование пропускной способности дорог и их
пересечений. Поведение транспортного потока очень изменчиво и зависит от
действия многих факторов и их сочетаний. Наряду с техническими факторами
(транспортные средства, дорога) решающее влияние на него оказывают
поведение людей (водителей, пешеходов), а также состояние среды движения.
Основы математического моделирования закономерностей дорожного
движения были заложены в 1912 г. русским ученым, профессором Г. Д.
Дубелиром. Первая попытка обобщить математические исследования
транспортных потоков и представить их в виде самостоятельного раздела
прикладной математики была сделана Ф. Хейтом. Дальнейшие исследования
и разработки в этой области нашли отражение в работах многих зарубежных
и отечественных ученых.
Известные и нашедшие практическое применение в организации
дорожного движения математические модели можно разделить на две группы
в
зависимости
от
подхода:
детерминированные
и
вероятностные
(стохастические).
К детерминированным относятся модели, в основе которых лежит
функциональная зависимость между отдельными показателями, например,
скоростью и дистанцией между автомобилями в потоке. При этом
принимается, что все автомобили удалены друг от друга на одинаковое
расстояние.
Стохастические модели отличаются большей объективностью. В них
транспортный поток рассматривается как вероятностный (случайный)
процесс. Например, распределение временных интервалов между автомобилями в потоке может приниматься не строго определенным, а
случайным.
Детерминированные модели. Простейшей математической моделью,
описывающей поток автомобилей, является так называемая упрощенная
динамическая модель. Ее применяют для определения максимально
возможной интенсивности движения по одной полосе дороги Na
max
при
скорости va:
N a max 
Av a
,
Lä
где А – коэффициент размерности.
При измерении скорости в километрах в час, а динамического габарита в
метрах формула (2.2) является выражением для определения пропускной
способности полосы
Данная математическая модель составлена на основании двух упрощающих допущений: скорость всех транспортных единиц в потоке
одинакова; транспортные средства однотипны, т. е. имеют равные динамические габариты. Динамический габарит Lа транспортного средства
определяют как сумму длины транспортного средства lа, дистанции
безопасности d и зазора l0 до остановившегося впереди автомобиля. Зазор lо
для легковых автомобилей колеблется в пределах 1 – 3 м.
Рассмотрим три применяемых разными авторами подхода к определению
динамического габарита LД
1. При расчете исходя из минимальной теоретической дистанции
безопасности принимают абсолютно равными тормозные свойства пары
автомобилей и учитывают только время реакции tр ведомого водителя. Тогда
Lä  la  va t p  l0 , а уравнение (2.2) приобретает линейный характер. В этом
случае возможная интенсивность транспортного потока не имеет предела по
мере увеличения скорости. Однако это не соответствует реальным
характеристикам
водителей
и
приводит
к
завышению
возможной
интенсивности потока. Здесь главную роль играет практическое значительное
увеличение tp при высоких скоростях.
2. При расчете на "полную безопасность" исходят из того, что дистанция d
должна быть равна полному остановочному пути ведомого автомобиля So2.
Тогда динамический габарит
va2
Lä  la  va t p 
 l0 ,
2 ja
В упрощенной формуле не выделен отрезок, проходимый за время
нарастания замедления, а учитывается только установившееся замедление ja.
В этом случае уравнение (2.2) приобретает вид квадратичной функции, а
интенсивность имеет предел при определенном значении скорости va
(скорости транспортного потока). Такой подход больше соответствует
требованиям обеспечения безопасности движения при высоких скоростях
(более 90 км/ч).
3. Наиболее реальный подход основан на той предпосылке, что при расчете
дистанции безопасности d надо учитывать разницу тормозных путей (или
замедлений) автомобилей, так как "лидер" в процессе торможения также
перемещается на расстояние, равное своему тормозному пути. Более детально
это будет рассмотрено в подразделе 2.5.
В результате изучения транспортных потоков высокой плотности и
специальных экспериментов, проведенных американскими специалистами,
была предложена теория "следования за лидером", математическим
выражением которой является микроскопическая модель транспортного
потока. Микроскопической ее называют потому, что она рассматривает
элемент потока – пару следующих друг за другом автомобилей. Особенностью
этой модели является то, что в ней отражены закономерности комплекса
ВАДС и, в частности, психологический аспект управления автомобилями. Он
заключается в том, что при движении в плотном транспортном потоке
действия водителя обусловлены изменениями скорости лидирующего
(ведущего) автомобиля и дистанции до него в данный момент.
Экспериментальная
проверка
основного
уравнения
осуществлялась
несколькими учеными методом натурного имитационного эксперимента с
помощью двух автомобилей, оборудованных аппаратурой для измерения
значений
параметров
уравнения.
Дистанцию
между
автомобилями
определяли киносъемкой или специальной амортизирующей лебедкой,
которая связывала оба автомобиля. Однако такой эксперимент уже в своей
постановке содержит известную искусственность, искажающую реальный
процесс. Это заключается, прежде всего, в специальном подборе водителей,
автомобилей и задании определенного режима движения. Кроме того,
относительно малое число замеров не позволяет охватить все многообразие
ситуаций, возникающих в реальном транспортном потоке. Дорожные условия
и общая транспортная ситуация рассматриваются в данной модели не в
качестве отдельных параметров, а как проявляющиеся в значении скорости
движения.
Уравнение
теории
следования
за
лидером
описывает
взаимодействие между автомобилями с учетом реакции водителя на
изменения в транспортном потоке, называемые стимулами.
К моделям, рассматривающим поток в целом и называемым макроскопическими, относят, например, модели гидродинамической теории.
Наиболее известны две из них, основанные на использовании аналогии в
поведении транспортного потока и потока жидкости. Первая основана на
уравнении неразрывности, которое обусловливает постоянство количества
жидкости при ее протекании по водостоку, и в обозначениях, принятых для
транспортного
потока,
в
результате
характеризуется зависимостью:
N a  va qa ln
qa max
,
qa
преобразований
и
упрощений
где va – скорость, подлежащая экспериментальному определению; qа mах –
плотность транспортного потока при заторе (va = 0).
Вторая гидродинамическая модель использует известное из гидравлики
понятие о потенциале давления жидкости и предполагает, что движение
автомобиля выражается в виде функции некоторого потенциала давления,
зависящего от дорожных условий, состояния окружающей среды и
психофизиологического состояния водителя.
Стохастические модели. Для решения некоторых задач организации
дорожного движения необходимо располагать стохастическими характеристиками параметров транспортных потоков в зоне пересечений или на
других контролируемых участках дорог. Исследованиями установлено, что
для
описания
потоков
сравнительно
малой
интенсивности,
ха-
рактеризующей вероятность проезда определенного числа транспортных
средств через сечение дороги, применимо уравнение (распределение)
Пуассона
(  t ) n  t
Pï (t ) 
e
n
где Pn(t) – вероятность проезда n-го числа автомобилей за время t; λ – основной
параметр распределения (интенсивность транспортного потока), авт. с; t –
длительность отрезков наблюдения, с; n – число наблюдаемых автомобилей.
Практически для целей управления движением более необходимо
располагать данными о характере распределения временных интервалов
между следующими друг за другом транспортными средствами. Если
появление автомобилей характеризуется распределением (2.4), то интервалы
между автомобилями распределены по экспоненциальному закону
F (t )  e  t ,
где F(t) – плотность распределения
Следует заметить, что в транспортном потоке физически невозможно
появление интервалов, меньших, чем соответствующие длине типичного
транспортного средства (например, 4 – 5 м для потока легковых автомобилей).
Поэтому более правильным для описания распределения временных
интервалов
оказывается
использование
модели
смещенного
экспоненциального закона:
Основная диаграмма отражает изменение состояния однорядного
транспортного потока преимущественно легковых автомобилей в зависимости от увеличения его интенсивности и плотности. Левая часть кривой
(показана сплошной линией) отражает устойчивое состояние потока, при
котором по мере увеличения плотности транспортный поток проходит фазы
свободного, затем частично связанного и наконец, связанного движения,
достигая точки максимально возможной интенсивности, т. е. пропускной
способности (точка Nmax = Рa на рис. 2.8). В процессе этих изменений
скорость потока падает – она характеризуется тангенсом угла наклона, а
радиус-вектора, проведенного от точки 0 к любой точке кривой,
характеризующей изменение Na. Соответствующие точке Na max = Рa значения
плотности и скорости потока считаются оптимальными по пропускной
способности (qа
опт
и va опт). При дальнейшем росте плотности (за точкой Ра
перегиба кривой) поток становится неустойчивым (эта ветвь кривой показана
прерывистой линией).
Рис. 2.8. Основная диаграмма транспортного потока:
Z– Коэффициент (уровень) загрузки
Переход потока в неустойчивое состояние происходит вследствие
несинхронности действий водителей для поддержания дистанции безопасности (действия "торможение–разгон") на любом участке пути и
особенно проявляется при неблагоприятных погодных условиях. Все это
создает "пульсирующий" (неустойчивый) поток.
Резкое торможение потока (находящегося в режиме, соответствующем
точке А) и переход его в результате торможений к состоянию по скорости и
плотности в соответствующее, например, точке В положение вызывает так
называемую
"ударную
распространяющуюся
волну"
навстречу
(показана
направлению
пунктиром
потока
со
АВ),
скоростью,
характеризуемой тангенсом угла B. "Ударная волна" является, в частности,
источником возникновения попутных цепных столкновений, типичных для
плотных транспортных потоков.
В точках 0 и qa max интенсивность движения Na = 0, т. е. соответственно на
дороге нет транспортных средств или поток находится в состоянии затора
(неподвижности).
Радиус-вектор, проведенный из точки 0 в направлении любой точки на
кривой (например, А или В), характеризующей Na, определяет значение
средней скорости потока va  N a / qa  tg .
На графике (см. рис. 2.8) показаны для примера две точки, характерные: А
– для устойчивого движения транспортного потока; В – для неустойчивого,
приближающегося к заторовому состоянию потока. Угол наклона радиусвектора в первой точке а1 = 60° (tg α= 1,77), а во второй а2 = 15° (tg α = 0,26).
Скорость в точке В(~9,9 км/ч) меньше, чем в точке А (~ 67 км/ч), в 6,8 раза.
Необходимо, однако, отметить, что основная диаграмма не может отразить
всю сложность процессов, происходящих в транспортном потоке, и
характеризует его надежно лишь при однородном составе и нормальном
состоянии дороги и внешней среды. При изменении состояния покрытия,
условий видимости для водителей, состава потока, вертикального и
горизонтального
профилей
дороги
изменяется
характер
диаграммы.
Диаграмма транспортного потока может быть построена и в других
координатах, например va – qa и Na – va.