поверхностные интегралы первого рода и их применения

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА И ИХ
ПРИМЕНЕНИЯ
Дао Дык Ань, Нгуен Ван Ву
Томский политехнический университет, г. Томск
Научный руководитель – Глазырина Е.Д.
Поверхность  , у которой в каждой точке M 0
определена касательная плоскость и нормаль,
называется гладкой, eсли положение касательной
плоскости
непрерывно
меняется
вместе
с
непрерывным перемещением по поверхности  точки
касания.
Рис. 1.
Если при перемещении вектора нормали N по контуру S

Направление вектора N неизменилось, то поверхность называется двухсторонней.
 Направление вектора N изменилось при обходе S , то поверхность называется
односторонней.
Поверхность  , у которой выбрана одна из сторон (внутреняя внешняя)
называется ориентированной.
Пусть
задана
непрерывная
функция
f  x, y, z 
на
некоторой
ориентированной поверхности  , заданная уравнением z  z ( x, y )
Разобьем поверхность  сетью производных
кривых на элементарные части площадью
S1, S 2, ...S n
В каждой части произвольным образом
выберем точку
M i ( xi , yi , zi ) вычислим значение функции в этой
точке
fi  xi , yi , zi 
и
умножим
на
площадь
соответствующей части Si . Составим сумму:
f  x1 , y1 , z1  S1  f  x2 , y2 , z2  S 2  ......  f  xn , yn , zn  S n
n
  f  xi , yi , zi  Si
i 1
1
Рис. 2.
гладкой
Сумма (1) называется интегральной суммой для функции f  x, y, z  поверхности 
 Определение: Поверхностным интегралом I рода (по площади поверхности от
функции f  x, y, z  по поверхности  называется предел интегральной суммы (1)
при d  0 где d - наибольщей из диаметров областей Si
 Обозначение:

f  x, y, z  dS  lim
n
 f  xi , yi , zi  Si
n i 1

Свойства поверхностных интегралов:
Линейность :
 ( f   g )d    f d    gd ;

Аддитивность :


 f d   f d  
1
2
f d ;
1  2
Монотонность : если f …g , то  f d … gd  ;


для f  0 если 1   2 , то  f d   f d ;
1
2
Теорема о среднем для непрерывной функции f и замкнутой ограниченной
поверхности  :  f d  f ( )  d  f ( )  ( ).


Физические приложения поверхностных интегралов
Поверхностные интегралы применяются во многих прикладных расчетах. В
частности, с их помощью вычисляются






Масса оболочки;
Центр масс и моменты инерции оболочки;
Сила притяжения и сила давления;
Поток жидкости и вещества через поверхность;
Электрический заряд, распределенный по поверхности;
Электрические поля (теорема Гаусса в электростатике).
Масса оболочки
Пусть S представляет собой тонкую гладкую оболочку. Распределение массы
оболочки описывается функцией плотности   x, y, z 
. Тогда полная масса оболочки
выражается через поверхностный интеграл первого рода по формуле m     x, y, z dS
s
Центр масс и моменты инерции оболочки
Пусть распределение массы m в тонкой оболочке описывается непрерывной
функцией плотности
  x, y, z  . Координаты центра масс оболочки определяются
формулами
xC 
M yz
m
; yC 
M xz
Mxy
; zC 
m
m
где
M yz   x  x, y, z dS ; M xz   y  x, y, z  dS ; M xy   z   x, y, z  dS
s
s
s
− так называемые моменты первого порядка относительно координатных
x  0, y  0 и z  0 , соответственно. Моменты инерции оболочки
плоскостей
относительно осей Ox, Oy, Oz выражаются, соответственно, формулами




I x   y 2  z 2   x, y, z  dS ; I y   x 2  z 2   x, y, z  dS
s
s
I z   ( x 2  y 2 )  x, y, z  dS
s
Моменты инерции оболочки относительно плоскостей xy, yz , xz определяются
формулами I xy   z 2   x, y, z dS ; I yz   x 2  ( x, y, z )dS ; I zx   y 2   x, y, z  dS
s
s
s
Сила притяжения поверхности
Пусть задана поверхность S, а в точке  x0 , y0 , z0  , не
принадлежащей поверхности, находится тело массой m (рис
1).
Сила притяжения между поверхностью S и точечным
r
телом m определяется выражением F  Gm    x, y, z  3 dS
r
s
где , r   x  x0 , y  y0 , z  z0  G - гравитационная постоянная,
  x, y, z  − функция плотности.
Рис. 3.
Сила давления
Предположим, что поверхность S задана вектором и находится под воздействием
некоторой силы давления (это может быть плотина, крыло самолета, стенка баллона со
сжатым газом и т.д.). Полная сила , созданная давлением , находится с помощью

поверхностного интеграла по формуле F   p r d S
s
Давление, по определению, действует в направлении вектора нормали к
поверхности S в каждой точке. Поэтому, мы можем записать

F   p r d S   pndS
s
s
где − единичный нормальный вектор к поверхности S
Поток жидкости и поток вещества

Если в качестве векторного поля рассматривается скорость жидкости v r
, то
поток через поверхность S называется потоком жидкости. Он равен объему жидкости,
проходящей через поверхность S в единицу времени и выражается формулой

   v r d S
s
Аналогично, поток векторного поля F   v
, где  − плотность, называется

потоком вещества и определяется выражением     v r d S
s
Он численно равен массе вещества, проходящего через поверхность S в единицу
времени.
Заряд поверхности
Пусть
величина
  x, y 
является
плотностью
распределения
заряда
по
поверхности. Тогда полный заряд, распределенный по проводящей поверхности S
выражается формулой
Q     x, y dS
s
Теорема Гаусса
Поток электрического смещения D через замкнутую поверхность S
алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности:

 Dd S   Qi
s
i
равен
где , D   0 E , E
диэлектрическая
− напряженность электрического поля, 
проницаемость
среды,  0  8,85.1012

м
−
− относительная
диэлектрическая
проницаемость вакуума.
Теорема Гаусса применима к любым замкнутым поверхностям. В случае
поверхности с достаточной симметрией, данная теорема упрощает вычисление
электрического поля. Теорему Гаусса рассматривают как один из основных постулатов
теории электричества. Она входит в систему основных уравнений Максвелла.
Пример: Оценить силу давления, действующую на
дамбу, схематически показанную на рисунке 2 и
представляющую собой резервуар воды шириной W и
высотой H .
Решение
В условиях гидростатического равновесия давление на
поверхность дамбы зависит от координаты z в соответствии с
формулой p  z    g  H  z 
Рис.4.
где  − плотность воды, g − ускорение свободного падения.
Полная сила давления, действующая на плотину, будет равна
WH

z 2  H  gWH 2
F   pndS     g  H  z  i dydz   g i W  Hz   
i

2  0
2

s
0 0
 
 
Вектор i
силы равно F 
 
показывает направление действия силы F
 
. Абсолютное значение
 gWH 2
2
Список литературы
1. Поверхностные интегралы первого рода [Электронный ресурс]. Режим
доступа: http://www.math24.ru/surface-integrals-of-first-kind.html
2. Интегралы по поверхности 1 и 2 рода[Электронный ресурс]. Режим доступа:
http://us.chem.msu.su/Lection/Math4/bilet12/bilet12.htm
3. Поверхностные интегралы[Электронный ресурс]. Режим доступа:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Поверхностные_интегралы
4. Tích phân mặt loại một[Электронный ресурс]. Режим доступа:
http://www.ctec.tvu.edu.vn/ttkhai/TCC/35_Tich_phan_mat_loai_I.htm