Понятие функции - Математика на 10

Понятие функции
Понятие функции, как зависимости одной переменной величины от
другой возникло в первой половине XVII века. Французские математики Пьер
Ферма и Рене Декарт представляли себе функцию как зависимость ординаты
точки кривой от ее абсциссы. Английский ученый Исаак Ньютон понимал
функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату
движущейся точки.
Термин «функция» (от латинского functio – исполнение, совершение)
впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц. Он связывал функцию с
геометрическим образом (графиком функции). Швейцарский математик Иоганн
Бурнулли и Леонард Эйлер рассматривали функцию как аналитическое
выражение. Функцию как зависимость одной переменной величины т другой
ввел чешский математик Бернард Больцано.
Пусть даны две переменные х и у. Переменная у является функцией от
переменной х, если задана такая зависимость между этими переменными,
которая позволяет для каждого значения х однозначно определить значение у.
Функцией, заданной на множестве D, называется зависимость, по
которой каждому значению х из множества D ставится в соответствие одно
определенное значение у.
При этом х называют независимой переменной, или аргументом, у –
зависимой переменной, или функцией от х, множество D – областью
определения функции.
Функция обычно обозначается одной буквой, например f. Значение
функции f в точке х обозначается f(x), где х – зависимая переменная.
Если функция задана формулой, то говорят, что она задана
аналитическим способом. Кроме аналитического способа, функцию можно
задать графически, таблично, описательно и т.д.
Множество всех значений, которые может принимать
называется областью (множеством) значений функции.
функция,
Примеры функций: у=kx+b; y=|x|; y=x2.
Конкретные функции использовались в математике еще в глубокой
древности. Термин «функция» впервые применил Лейбниц, а его ученик
И.Бернулли в 1718 г. дал определение, близкое тому, которым мы сейчас
пользуемся: «Функцией переменной величины называется количество
составленное каким угодно способом из переменной величины и постоянных».
Для того чтобы задать функцию, нужно:
1. Указать множество всех возможных значений переменной х. Это
множество обозначается D и называется областью определения функции.
2. Указать правило, по которому каждому числу х из множества D
сопоставляется число у. Это число называется значением функции в точке х.
Переменную х называют аргументом.
Функцию можно задать несколькими способами:
1. Графически
.
По графику каждому значению х соответствует одно значение у. так
f(3)=3. Значению у на графике соответствует два значения х: у=2, х=2 и х= - 2.
2. Таблично:
х
1
2
3
4
5
у
1
0
-2 5
1
По этой таблице для каждого значения х можно найти соответствующее
значение у. При х=2 у=0. Для у=5 значение аргумента равно 4.
Упражнения
1. Найдите по таблице:
1) В таблице показана зависимость числа телевизоров m (в миллионах штук) от
года выпуска n:
n 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
3,1
3,4
3,6
4,0
4,4
4,6
m 2,3 2,7
Сколько телевизоров было выпущено в 1981 году, в 1984?
Во сколько раз увеличился выпуск телевизоров с 1980 по 1985 год?
2) Зависимость у от х задана таблицей:
х
- 3,5
-3
- 2,8
- 2,1
1,3
2
3,5
5,2
5,8
у
-4
-3
-3
-3
1
2
3
5
5
Какое значение функции соответствует значению аргумента, равному – 3,5;
- 2,8; 2; 5,8?
При каких значениях аргумента значение функции равно – 3; 1; 5?
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
2. Функция задана формулой. Заполните таблицу:
1) у=5,8х – 4(1,2х – 2,5)
х
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
у
2) у= - 0,5(8 – х)
х
- 1,4
у
3) 𝑦 =
2,6
- 3,4
8,8
- 1,8
2,4
12
𝑥
х
-6
-4
-3
2
5
6
12
-4
-3
0
2
3
6
4,5
9
у
4) y = x 2 − 9
х
-5
у
2
5) 𝑦 = 𝑥
3
х
у
6)
7)
8)
9)
- 0,5
-2
0
4
10)
3. Составьте таблицу значений функции, заданной формулой:
1) 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 3,5),
0х4 с шагом 0,5
где
3. Формулой f(x)=x2+3x. Формула позволяет для любого значения
аргумента находить соответствующее значение функции путем вычислений.
Пример 1. Функция задана формулой 𝑦 =
значения у, соответствующие целым значениям х.
3𝑥−1
2
, где - 3х3. Найти
Решение. Целыми значениями х на интервале от – 3 до 3 являются числа
– 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3. Подставляя эти значения в формулу, получим
3(−3)−1
соответствующие значения у: 𝑦 =
= −5.
2
Результаты вычислений удобно оформить в виде таблицы:
х -3
-2
-1
0
1
2
3
у - 5 - 3,5 - 2 - 0,5 1 2,5 4
С помощью формулы можно также отыскать значение аргумента,
соответствующее данному значению функции.
Пример 2. Функция задана формулой 𝑦 = 12𝑥 − 3,6. При каком значении
х значение функции равно 2,4?
Решение. Подставим в формулу вместо у число 2,4. Получим уравнение с
переменной х: 2,4 = 12𝑥 − 3,6. Решив его, получим х=0,5.
Ответ: 0,5
Пример 3. Найти множество значений функции 𝑦 = √−𝑥 2 + 4𝑥 − 4.
Решение. Найдем область определения функции D(y): −𝑥 2 + 4𝑥 − 4 > 0;
𝑥 2 − 4𝑥 + 4 ≤ 0; (𝑥 − 2)2 ≤ 0.
Последнее условие выполняется только для x=2. Вычисляем значение
функции в этой точке: y(2)=0. Следовательно, E(y)={0}.
Ответ: {0}
Упражнения
1. Найдите область определения функции:
1) 𝑦 = 𝑥 2 + 8
2) 𝑦 =
6)
7)
1
3) 𝑦 =
𝑥−7
2
4) 𝑦 =
3+𝑥
8)
4𝑥−1
5)
5
9)
10)
2. Найдите область определения функции:
1)
2)
3)
4) 𝑦 = √−𝑥 2 + 8𝑥 − 16
5)
6) 𝑦 = √𝑥 − 2 −
8) 𝑦 = √14 + 5𝑥 − 𝑥 2
9) 𝑦 =
7) 𝑦 = √(2 − 𝑥)√𝑥 + 1
10) 𝑦 =
1
𝑥−5
𝑥2
|𝑥|√𝑥−4
√1−√5−𝑥
|𝑥+2|−3
3. Найдите область определения функции:
1)
6)
1
2)
𝑥 2 −4
3
7)
𝑥 2 −1
𝑥 2 +1
3) 𝑥 +
𝑥 3 −2𝑥−4
1
8)
𝑥 4 −10𝑥 2 +9
1
1
𝑥+
𝑥−3
6𝑥+2
4)
9)
𝑥 3 −27
𝑥
|𝑥|
𝑥+2
𝑥 3 −8
5)
7𝑥−5
𝑥 2 −4
10)
3𝑥+1
𝑥 2 −6𝑥+8
4. Найдите множество значений функции:
1) 𝑦 = √9𝑥 2 + 12𝑥 − 7
4) 𝑦 =
1
𝑥−5
7) 𝑦 = 1 − 2𝑥 − 𝑥 2
2) 𝑦 = √−𝑥 4 + 𝑥 2 − 0,25
3)
5)
6) 𝑦 =
8) 𝑦 = √2𝑥 2 − 8𝑥 + 9
9) 𝑦 =
3
𝑥−4
25
𝑥 2 −4𝑥+5
10) 𝑦 = |𝑥 − 3| + 7
5. Найдите:
1) f(5), если f(x)=x+|x|
4) f(2), если f(x)=𝑥 2 +
7) f(1), если f(x)=x+
1
𝑥2
1
𝑥
+
𝑥−1
2
𝑥2
5) f( - 4), если f(x)=x+|x|
6) f(3), если f(x)=𝑥 2 +
8) ) f(6), если f(x)=x2+4
9) f( ), если f(x)=
𝑥+1
10) f( - 2), если f(x)=x2+4
6. Найдите:
1) f( - 1),
1
3) f( ), если f(x)=𝑥 2 +
3
1
1
2) f( ), если f(x)=x3
3
2) 𝑓 ( ) , 𝑓(𝑥) =
4
1
𝑥−1
2
𝑥+1
1
𝑥2
𝑥 2 + 𝑥 + 1, −1 ≤ 𝑥 ≤ 0,
f(x)={ 𝑥(𝑥 − 3), 0 ≤ 𝑥 < 3,
𝑥−1
,3 ≤ 𝑥 ≤ 5
𝑥+1
1
𝑥 2 , 𝑥 рационально и |𝑥| < 1,
{−𝑥 2 , 𝑥 иррационально и |𝑥| < 1,
𝑥 2 + 4, 𝑥 рационально и |𝑥| ≥ 1
√3
3) f(− ),
2
𝑥 2 + 𝑥 + 1, −1 ≤ 𝑥 ≤ 0,
f(x)={ 𝑥(𝑥 − 3), 0 ≤ 𝑥 < 3,
𝑥−1
,3 ≤ 𝑥 ≤ 5
4) 𝑓 ( ) , 𝑓(𝑥) =
2
𝑥 2 , 𝑥 рационально и |𝑥| < 1,
{−𝑥 2 , 𝑥 иррационально и |𝑥| < 1,
𝑥 2 + 4, 𝑥 рационально и |𝑥| ≥ 1
5) f(0),
𝑥 2 + 𝑥 + 1, −1 ≤ 𝑥 ≤ 0,
f(x)={ 𝑥(𝑥 − 3), 0 ≤ 𝑥 < 3,
𝑥−1
,3 ≤ 𝑥 ≤ 5
6) 𝑓(√10), 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 , 𝑥 рационально и |𝑥| < 1,
{−𝑥 2 , 𝑥 иррационально и |𝑥| < 1,
𝑥 2 + 4, 𝑥 рационально и |𝑥| ≥ 1
7) f(14),
𝑥 2 + 𝑥 + 1, −1 ≤ 𝑥 ≤ 0,
f(x)={ 𝑥(𝑥 − 3), 0 ≤ 𝑥 < 3,
𝑥−1
,3 ≤ 𝑥 ≤ 5
8) 𝑓(−1), 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 , 𝑥 рационально и |𝑥| < 1,
{−𝑥 2 , 𝑥 иррационально и |𝑥| < 1,
𝑥 2 + 4, 𝑥 рационально и |𝑥| ≥ 1
𝑥+1
𝑥+1
𝑥+1
√3
9) f( ),
2
𝑥 2 + 𝑥 + 1, −1 ≤ 𝑥 ≤ 0,
f(x)={ 𝑥(𝑥 − 3), 0 ≤ 𝑥 < 3,
𝑥−1
,3 ≤ 𝑥 ≤ 5
10) 𝑓(0), 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 , 𝑥 рационально и |𝑥| < 1,
{−𝑥 2 , 𝑥 иррационально и |𝑥| < 1,
𝑥 2 + 4, 𝑥 рационально и |𝑥| ≥ 1
𝑥+1
7. Выразите:
1) Площадь правильного шестиугольника как функцию от длины его стороны.
2) Площадь описанного квадрата как функцию радиуса окружности.
3) Периметр трапеции как функцию от длины боковой стороны, если задана
площадь S равнобокой трапеции и угол 300 при ее основании.
4) Объем цилиндра как функцию радиуса R, если периметр осевого сечения
цилиндра 2р.
5) Объем V цилиндра при заданной полной поверхности S как функцию высоты
Н.
6) Периметр прямоугольника высотой х, вписанного в сегмент радиуса R и
высотой h, как функцию от х.
7) Площадь прямоугольника высотой х, вписанного в сегмент радиуса R и
высотой h, как функцию от х.
8) Площадь прямоугольного треугольника с данной высотой h как функцию
длины катета х.
9) Периметр прямоугольного треугольника с данной высотой h как функцию
длины катета х.
10) В круг радиуса R вписан прямоугольник, одна из сторон которого равна х.
Выразите площадь прямоугольника как функцию от х.
8. Выразите:
1) Площадь прямоугольника со сторонами 9 см и х см равна S см2. Выразите
формулой зависимость S от х. для значения аргумента х=4; 6,5; 15 найдите
соответствующее значение функции S.
2) В равнобедренный треугольник с основанием а и высотой h вписан
прямоугольник высотой х. Выразите площадь этого прямоугольника как
функцию от х.
3) Из квадрата со стороной а вырезаны по углам квадратики со стороной х и из
полученной фигуры сделана открытая коробка. Выразите ее объем как
функцию от х.
4) Известно, что объем прямого кругового цилиндра с высотой Н и радиусом
основания R выражается формулой V=R2H, а его полная поверхность –
формулой S=2R2+2RH. Выразите полную поверхность цилиндра заданного
объема V как функцию его высоты.
5) Два пункта А и В находятся в стороне от железной дороги. Строится шоссе
из пункта А до станции С этой дороги и от станции С до пункта В. Выразите
длину шоссе как функцию расстояния х от С до D, где АD – кратчайшее
расстояние от А до железной дороги.
6) Поезд, двигаясь со скоростью 70 км/ч, проходит за t ч расстояние s км.
Задайте формулой зависимость s от t. Найдите значение функции,
соответствующее значению аргумента, равному 2,4; 3,8.
7) При делении натурального числа n на 5 в частном получается число k и в
остатке 3. Задайте формулой зависимость n от k/
8) При делении числа у на число х в частном получается 5, а в остатке 10.
Задайте формулой функцию у от х.
9) Двигаясь со скоростью v км/ч в течение 6 ч, автомобиль прошел путь s км.
Задайте формулой зависимость s от v и найдите s, если v=65.
10) Задайте формулой зависимость массы куска пробки от его объема, если
плотность пробки равна 0,18 г/см3. Найдите по формуле массу куска пробки,
объем которой равен 240 см3.
9. Укажите область определения функции:
1) 𝑓(𝑥) =
3𝑥−21
2) 𝑓(𝑥) =
√40−3𝑥−𝑥 2
4) 𝑓(𝑥) = √5 + 10𝑥
7) 𝑓(𝑥) =
5) 𝑓(𝑥) =
√𝑥 2 −49𝑥
𝑥+1
√25−𝑥 2
3) 𝑓(𝑥) =
√𝑥 3 −25𝑥
6) 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −1
√𝑥 3 −49𝑥
𝑥 2 −11𝑥−26
𝑥+8
√9+8𝑥−𝑥 2
8) 𝑓(𝑥) = √10𝑥 ∙ √16 − 𝑥 2 9) 𝑓(𝑥) = √6 − 24𝑥
5𝑥−20
10) 𝑓(𝑥) =
√𝑥 2 −64
√𝑥−8
10. Найдите нули функции:
1) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)3 − (𝑥 2 − 9)
2)
3)
4)
5) 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 + 11𝑥| − 12
6) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 4𝑥 + 12
7) 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 4| − 8
8)
9) 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 + 3𝑥| − 4
10) 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 5| − 1
Дополнительные задания
1. Приведите пример функции, естественно областью определения которой
является следующее числовое множество:
1) R
2) x1
6) x2 7) [1; +∞)
3) [ - 2; 2]
4) (- ∞; 1)(1; +∞)
5) (- 4; 4)
8) ( - ∞; 1]
9) [ - 1; 0][1;2]
10) (0; 4)
2. Найдите область значений функции:
1) 𝑦 = 2 sin 𝑥 − 2√3 cos 𝑥
2) 𝑦 =
4) 𝑦 = √log 0,5 (𝑥 + 1)
5) 𝑦 =
7) 𝑦 =
5
8)
3
sin 𝑥−5
3
1+√𝑥+2
3) 𝑦 = √3 sin 𝑥 + 3 cos 𝑥
6) 𝑦 = √2 − log 4 𝑥
9) 𝑦 =
2+√𝑥−1
4
3−cos 𝑥
10)
3. Функция задана формулой. Найдите значения аргумента, при заданном
значении функции.
1) y = −5x + 6; у=6; 8; 100
2)
3)
4) y = 0,3x − 6; у= – 6; - 3; 0
5)
6)
7)
8)
9)
10)
4. Функция задана формулой. Найдите значение функции при заданном
значении аргумента.
1) y = 2x + 7; х=1; - 20; 43
2)
3)
4) y = 0,1x + 5; х=10; 50; 120
5)
6)
7)
8)
9)
10)
5. Задайте функцию аналитически:
1) линейную, если f( - 2)=4, 2)
f(2)=12
3)
4) квадратичную, если f(0)=5, 5)
f( - 1)=3, f(3)= - 7
6)
7)
обратную 8)
пропорциональную
зависимость, если f(4) = 1.
9)
10)
6. Найдите функцию f(x), если:
1) 𝑓(𝑥 + 1) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 2
2)
3)
4) 𝑓(𝑥 − 2) + 2𝑓 ( ) = 2𝑥
𝑥
5)
6)
7)
8)
9)
1
10)