Геометрические построения на плоскости и в пространстве

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждения
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
кафедра алгебры и математической логики
Бердюгина О.Н.
ГЕОМЕТРИЧЕЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ НА ПЛОСКОCТИ
И В ПРОСТРАНСТВЕ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 44.03.01 «Педагогическое образование»,
профиль подготовки «Математическое образование»
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2014
2
Бердюгина О.Н. Геометрические построения на плоскости и в пространстве. Рабочая программа для студентов направления 44.03.01 «Педагогическое образование», профиль подготовки «Математическое образование», очной формы обучения. Тюмень, 2014, 41 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО с учетом рекомендаций и ПрОП ВПО по направлению «Педагогическое
образование», профиль подготовки «Математическое образование».
Рабочая программа «Геометрические построения на плоскости и в пространстве» опубликована на сайте ТюмГУ: « Геометрические построения на
плоскости и в пространстве» [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено директором Института математики и компьютерных наук
Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: В.Н. Кутрунов, д. ф.-м. н., профессор, зав
кафедрой алгебры и математической логики.
© Тюменский государственный университет, 2014
© Бердюгина О.Н., 2014
3
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины
Целями освоения дисциплины (модуля) "Геометрические построения на
плоскости и в пространстве" является: формирование математической
культуры студента, формирование конструктивных умений и графической
культуры будущего учителя математики.
Умение решать задачи на построение является совершенно необходимым элементом профессиональной компетентности учителя математики. Решение таких задач школьниками и студентами способствует формированию
и развитию конструктивных навыков, что особенно важно при изучении геометрии. Характерное для вуза требование к решению задач на построение, по
сравнению со школой, состоит в строгости структуры решения, которая
должна включать в себя 4 этапа: анализ, построение, доказательство, исследование. Требование к четкому обоснованию каждого этапа решения таких
задач способствует развитию логического мышления обучаемых.
Задачи изучения дисциплины:
1. Содействовать развитию у студентов мотивации к педагогической деятельности, профессионального мышления, коммуникативной готовности,
общей культуры;
2. Формирование у студентов систему геометрических знаний и умений,
необходимых для применения в будущей профессиональной деятельности,
изучения смежных дисциплин, проведения научных исследований
3. Познакомить студентов с приемами аналитико-синтетической деятельности при доказательстве теорем теории и решении задач элементарной
геометрии;
4. Научить студентов доказательно рассуждать, выдвигать гипотезы и их
обосновывать;
5. Научить поиску, систематизации и анализу информации, используя
разнообразные информационные источники, включая учебную и справочную
литературу;
6. Развивать умение вычленить геометрические факты, формы и отношения в предметах и явлениях действительности, использовать язык геометрии для их описания.
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы
«Геометрические построения на плоскости и в пространстве» является
дисциплиной по выбору и относится к профессиональному циклу дисциплин.
Изучение данной дисциплины базируется на знаниях программ среднего
полного (общего) образования по следующим дисциплинам: «Геометрия»,
«Алгебра и начала анализа».
Освоение дисциплины является основанием для последующего изучения
курсов по выбору студентов, содержание которых связано с рением геометрических задач высокой степени сложности, а также фундаментом в изложении школьного курса геометрии, способствует глубокому пониманию дисциплины базовой части профессионального цикла «Методика обучения и вос4
питания (математика)», осознанному прохождению учебной и производственной практик.
Освоение дисциплины предусматривает приобретение навыков работы с
соответствующими учебниками, учебными пособиями, научными статьями.
Таблица 1
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами.
Элементарная математика
Практикум по решению математических
задач
Методика обучения и
воспитания
Методика обучения
учащихся стереометрии посредством решения задач
Обучение учащихся
доказательству теорем
2.
3.
4.
5.
3.1.
1.
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
2.1.
Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.1.
№
п/п
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
данной образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК
1);
способностью логически верно устную и письменную речь (ОК 6);
способен использовать систематизированные теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук при решении социальных и профессиональных задач (ОПК 2);
способностью реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях (ПК 1).
5
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине:
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
основные понятия и строгие доказательства теорем и фактов основных
разделов школьного курса геометрии; технику применения методов элементарной геометрии к решению прикладных задач.
Уметь:
применять теоретические знания к решению геометрических задач по
курсу; грамотно излагать основные факты школьного курса геометрии.
Владеть:
структурой и содержанием школьных учебников по геометрии; основными понятиями и строгим доказательством фактов элементарной геометрии; различными приемами использования идеологии курса элементарной
геометрии к доказательству теорем и решению задач школьного курса.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 2. Форма промежуточной аттестации зачет.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы. 72
академических часов, из них 34,8 часов, выделенных на контактную работу с
преподавателем, 37,2 часов, выделенных на самостоятельную работу.
Вид учебной работы
Контактная работа:
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные занятия (ЛЗ)
Иные виды работ:
Самостоятельная работа (всего)
Общая трудоемкость
зач. ед.
час
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Всего часов
Таблица 2.
семестр
2
34,8
34
34
0,8
37,2
2
72
зачет
34,8
34
34
0,8
37,2
2
72
зачет
3. Тематический план
№
Тема
недели
Виды учебной работы и самостоятель-
Итого
часов
Из них
в ин-
Итого
6
1
2
1.1.
2.1.
Модуль 1
Геометрические
построения
на
плоскости методами преобразований
и геометрических
мест
ВСЕГО
Модуль 2
Геометрические
построения на
плоскости алгебраическим методом м ограниченными средствами
3
1-6
7-10
ВСЕГО
Модуль 3
3.1.
Геометрические
построения в пространстве
ВСЕГО
Иные виды рабоИтого
ты
Из них часов в
интерактивной
форме
11-17
4
5
Семестр 2
по теме
терактивной
форме
количество
баллов
6
7
8
9
Самостоятельная
работа*
Семинарские
(практические) занятия*
ная работа, в час.
Лекции*
семестра
-
12
11,7
23,7
4
0-20
-
12
11,7
23,7
4
0-20
-
8
12,7
20,7
6
0-40
-
8
12,7
20,7
6
0-40
-
14
12,8
26,8
6
0-40
-
14
0-40
34
26,8
0,8
72
6
-
12,8
0,8
38
16
0-100
-
16
16
*-с учетом иных видов работ
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
№ темы
Устный опрос
Письменные работы
Итого
7
коллоквиумы
Модуль 1
1.1.
Модуль 2
2.1.
Модуль 3
3.1.
Итого
ответ на
контрольная
семинаработа
ре
Самостоятельная
работа
Решение задач
количество
баллов
-
0-3
0-4
0-11
0-2
0-20
-
0-5
0-4
0-24
0-7
0-40
-
0-5
0-13
0-4
0-12
0-24
0-59
0-7
0-16
0-40
0-100
5. Содержание дисциплины.
Семестр 2.
Тема 1. Геометрические построения на плоскости методами преобразований и геометрических мест.
Требования к изображению плоских геометрических фигур. Построение
изображения фигур на плоскости. Аксиомы и теоремы конструктивной геометрии. Методы решения геометрических задач на построение: метод геометрических мест, метод параллельного переноса, метод поворота, метод гомотетии, метод инверсии.
Тема 2. Геометрические построения на плоскости алгебраическим
методом и ограниченными средствами.
Алгебраический метод решения геометрических задач на построение.
Построения одни циркулем. Построения одной линейкой.
Тема 3. Геометрические построения в пространстве.
Построение изображений пространственных фигур. Решение пространственных задач на построение.
6. Планы семинарских занятий.
Семестр 2.
Модуль 1 Геометрические построения на плоскости методами преобразований и геометрических мест
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1
ТЕМА: Основные задачи на построение с помощью циркуля и линейки
на плоскости
1. Студент должен
знать: простейшие построения на плоскости с помощью циркуля и
линейки; основные задачи на построение на плоскости; свойства
геометрических фигур на плоскости (отрезка, угла, треугольника,
окружности и т.д.)
уметь: строить с помощью циркуля и линейки основные геометрические
фигуры на плоскости (точку, прямую, окружность) и основные построения.
8
2. На занятии: основные построения на плоскости с помощью циркуля и
линейки (деление отрезка пополам, построение угла равного данному,
построение биссектрисы угла, построение прямой перпендикулярной
(параллельной) данной через точку не лежащей (лежащей) на данной прямой,
построение треугольника по трем элементам)
3. Домашнее задание:
основные построения на плоскости
построение прямоугольного треугольника по двум элементам;
построение касательной к окружности через точку, не лежащую на ней.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2
ТЕМА: Решение задач на построение методом геометрических мест
1. Студент должен
знать: основные задачи на построение на плоскости; свойства
геометрических фигур на плоскости; этапы решения задачи на построение;
основные геометрические места точек на плоскости; прием решения задачи
на построение методом геометрических мест точек
уметь: строить с помощью циркуля и линейки основные геометрические
построения на плоскости (точку, прямую, окружность); проводить анализ и
синтез решения задачи; выполнять чертеж от руки сохраняя свойства
исходного объекта; определять основные геометрические места точек на
плоскости; применять известный прием.
2. К занятию: найти в основной и дополнительной литературе основные
геометрические места точек на плоскости и построить их в рабочих тетрадях
3. На занятии: решение конструктивных задач методом геометрических
мест.
4. Домашнее задание:
7 класс
1. Постройте углы 30°, 45°, 60°, 90°, 22°30'.
2. Постройте треугольник по сторонам a=2 см, b=3 см, c=4 см.
3. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.
4. Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной
окружности.
- Домашняя контрольная работа
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3
ТЕМА: Решение задач на построение методом параллельного переноса
1. Студент должен
знать: основные задачи на построение на плоскости; свойства
геометрических фигур на плоскости; этапы решения задачи на построение;
определение и свойства параллельного переноса; прием решения задачи на
построение методом параллельного переноса
9
уметь: строить с помощью циркуля и линейки основные геометрические
построения на плоскости (точку, прямую, окружность); проводить анализ и
синтез решения задачи; выполнять чертеж от руки сохраняя свойства
исходного объекта; выполнять параллельный перенос элементов в заданном
направлении; применять известный прием.
2. На занятии: решение конструктивных задач методом параллельного
переноса
3. Домашнее задание:
- 8 класс
1. Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и диагонали; 2) по
стороне и двум диагоналям.
2. Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и углу; 2) по диагоналям и углу между ними.
3. Постройте ромб: 1) по углу и диагонали, исходящей из вершины этого
угла; 2) по диагонали и противолежащему углу.
4. Постройте ромб: 1) по стороне и диагонали; 2) по двум диагоналям.
- Домашняя контрольная работа
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4
ТЕМА: Решение задач на построение методом поворота, симметрии
1. Студент должен
знать: основные задачи на построение на плоскости; свойства
геометрических фигур на плоскости; этапы решения задачи на построение;
определение поворота как геометрического преобразования плоскости и его
основные свойства; определение симметрии как геометрического
преобразования плоскости и его основные свойства; прием решения задачи
методом поворота, симметрии
уметь: выполнять с помощью циркуля и линейки основные
геометрические построения на плоскости; проводить анализ и синтез
решения задачи; выполнять чертеж от руки сохраняя свойства исходного
объекта; выполнять поворот фигуры вокруг заданного центра; определять и
распознавать симметричные фигуры; строить симметричные объекты
относительно данной точки или прямой; решать задачи на построение;
применять известный прием решения задач.
2. К занятию: построить в рабочих тетрадях угол 45º и 30º; фигуру,
симметричную окружности относительно точки, лежащей на окружности, и
точки, не лежащей на окружности
3. На занятии: решение конструктивных задач методом поворота
4. Домашнее задание:
- 9 класс
1. В данную окружность впишите: 1) правильный десятиугольник; 2)
правильный пятиугольник; 3) пятиконечную звезду.
2. Даны две параллельные прямые b и c и точка А, не лежащая ни на
одной из них. Постройте равносторонний треугольник АВС так, чтобы вер10
шины В и С лежали соответственно на прямых b и c. Сколько решений имеет
задача?
3. Постройте треугольник, который получается из данного треугольника АВС поворотом вокруг точки А на угол 150° против часовой стрелки.
- Домашняя контрольная работа
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5
ТЕМА: Решение задач на построение методом гомотетии
1. Студент должен
знать: основные задачи на построение на плоскости; свойства
геометрических фигур на плоскости; этапы решения задачи на построение;
определение гомотетии (подобия) как геометрического преобразования
плоскости и основные свойства; свойства подобных и гомотетичных фигур;
прием решения задачи методом гомотетии
уметь: выполнять с помощью циркуля и линейки основные
геометрические построения на плоскости; проводить анализ и синтез
решения задачи; выполнять чертеж от руки сохраняя свойства исходного
объекта; различать и выделять подобные и гомотетичные объекты;
определять коэффициент и центр гомотетии (подобия); строить подобные
фигуры; применять известный прием решения задач
2. К занятию: подготовиться к самостоятельной работе по основным
задачам на построение и решению задач на построение школьного курса.
3. На занятии: самостоятельная работа; решение конструктивных задач
методом гомотетии.
4. Домашнее задание:
7 класс
1. Постройте окружность, вписанную в данный треугольник.
2. Разделите угол на четыре равные части.
3. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к
одной из них.
4. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой
стороне, и радиусу описанной окружности.
5. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к
третьей стороне.
- Домашняя контрольная работа
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6
ТЕМА: Решение задач на построение методом инверсии
1. Студент должен
знать: основные задачи на построение на плоскости; свойства
геометрических фигур на плоскости; этапы решения задачи на построение;
определение инверсии как геометрического преобразования плоскости и
основные свойства; прием решения задачи методом инверсии
уметь: выполнять с помощью циркуля и линейки основные фигуры на
плоскости; проводить анализ и синтез решения задачи; выполнять чертеж от
11
руки сохраняя свойства исходного объекта; применять известный прием
решения задач
2. К занятию: записать в тетради определение преобразования инверсии
и основные свойства.
3. На занятии: решение конструктивных задач методом инверсии
4. Домашнее задание:
9 класс
1. Постройте трапецию по боковой стороне, большему основанию, углу
между ними и отношению двух других сторон.
2. Постройте треугольник АВС, если даны углы А и С и отрезок, равный
сумме стороны АС и высоты ВН.
3. Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между
ними.
- Домашняя контрольная работа (задача № 6)
Модуль 2. Геометрические построения на плоскости алгебраическим методом и ограниченными средствами
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7
ТЕМА: Решение задач на построение алгебраическим методом
1. Студент должен
знать: основные отрезки на плоскости; свойства геометрических фигур
на плоскости; этапы решения задачи на построение; прием решения задач
алгебраическим методом; необходимые условия для построения любого
отрезка; алгебраический аппарат формул и зависимостей между объектами
уметь: выполнять с помощью циркуля и линейки основные отрезки на
плоскости; проводить анализ и синтез решения задачи; выполнять чертеж от
руки сохраняя свойства исходного объекта; переводить словесное задание
задачи и ее решение на алгебраический язык (с помощью формул и
символов); применять прием к решению задач
2. К занятию: построить в рабочих тетрадях основные отрезки (1 балл)
3. На занятии: решение конструктивных задач алгебраическим методом
4. Домашнее задание:
8 класс
1. Как построить треугольник, если заданы середины его сторон?
2. Даны отрезки а и в. Как построить отрезок: 1)
а3  в 2 ; 2)
а3  в 2 , а  в ..
3. Даны отрезки a, b, c, d, e. Постройте отрезок х 
abc
.
de
4.
Постройте треугольник по периметру и двум углам.
- Домашняя контрольная работа
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 8
ТЕМА: Решение школьных планиметрических задач на построение
12
1. Студент должен
знать: основные задачи на построение на плоскости; свойства
геометрических фигур на плоскости; этапы решения задачи на построение;
определения и свойства геометрических преобразований; суть метода
геометрических преобразований при решении планиметрических задач на
построение.
уметь: выполнять с помощью циркуля и линейки основные фигуры на
плоскости; проводить анализ и синтез решения задачи; выполнять чертеж от
руки сохраняя свойства исходного объекта; применять известный прием
решения задач
2. К занятию
3. На занятии: решение планиметрических конструктивных задач
4. Домашнее задание:
1. - Точка С лежит на отрезке АВ. Постройте точку К прямой АВ, не
лежащую на отрезке АВ, так, чтобы АК:КВ=АС:СВ. Всегда ли задача имеет
решение?
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 9-10
ТЕМА: Решение задач на построение одним циркулем или одной
линейкой
1. Студент должен знать: этапы решения задачи на построение;
неразрешимые задачи, с помощью циркуля и линейки; теоремы Штейнера и
Мора-Маскерони; свойства плоских геометрических фигур
уметь: проводить анализ и синтез решения задачи; выполнять чертеж от
руки сохраняя свойства исходного объекта; решать задачи, с помощью
только циркуля или линейки
2. К занятию: выписать в тетрадь для практических работ формулировки
теорем Штейнера и Мора-Маскерони.
3. На занятии: решение конструктивных задач одним циркулем или
одной линейкой
3. Домашнее задание:
- Из данных точек М и Р, расположенных по разные стороны диаметра
АВ окружности, центр которой не дан, провести две прямые,
пересекающиеся на АВ, так, чтобы угол между ними делился прямой АВ на
две равные части (с помощью одной линейки)
- Построить точку, симметричную данной относительно данной прямой
(с помощью циркуля)
- Домашняя контрольная работа (задача 9,10)
Модуль 3. Геометрические построения в пространстве
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 11-13
ТЕМА: Стереометрические задачи на построение
1. Студент должен
13
знать: определения изображения фигуры; требования предъявляемые к
изображениям; свойства плоских и пространственных фигур; определение
двухгранного,
линейного
углов,
пересекающихся,
параллельных,
скрещивающихся прямых (плоскостей) и их свойства
уметь: изображать плоские и пространственные фигуры; распознавать
плоские и пространственные фигуры на схематических чертежах; изображать
точки, прямые и плоскости в заданном взаимном расположении; правильно
изображать пересекающихся, параллельные, скрещивающиеся прямые
(плоскости); строить углы между прямыми и плоскостями
2. К занятию: определить и схематически изобразить фигуры, которые
могут быть спроектированы в отрезок, луч, треугольник, трапецию (в каких
случаях)
3. На занятии: верно изображаем плоские и пространственные фигуры
решение конструктивных стереометрических задач
4. Домашнее задание:
- Построить изображение окружности и квадрата, построенного на ее
диаметре.
- Дано изображение правильного шестиугольника. Изобразите
биссектрису внешнего угла шестиугольника.
- Дана изображение пятиугольной призмы. Прямая проходит через две
данные точки на несмежных боковых гранях призмы. Постройте
изображение точек пересечения этой прямой с диагональными плоскостями
призмы.
- Домашняя контрольная работа (задача 12)
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 14
ТЕМА: Построение сечений многогранников. Метод следов
1. Студент должен
знать: определения и свойства изображения фигуры; изображение
пространственных фигур; прием построения сечения многогранника
плоскостью методом следов
уметь: правильно изображать геометрические фигуры; строить проекции
точек на прямую или плоскость, прямой на плоскость; строить след прямой и
плоскости на плоскость; применять прием построения сечений к решению
задач
2. К занятию: определить, какие многоугольника могут получиться при
пересечении плоскости и куба
3. На занятии: построение сечений
4. Домашнее задание:
Построить сечения плоскостью, проходящей через три точки, для
следующих изображений. Условные обозначения: К, М – точки, заданные на
видимой поверхности фигуры, А и В – точки, заданные на продолжение
поверхности (вне фигуры)
14
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 15
ТЕМА: Построение сечений многогранников. Метод внутреннего
проектирования
1. Студент должен
знать: определения и свойства изображения фигуры; изображение
пространственных фигур; прием построения сечения многогранника
плоскостью методом внутреннего проектирования
уметь: правильно изображать геометрические фигуры; строить проекции
точек на прямую или плоскость, прямой на плоскость; применять прием
построения сечений к решению задач
2. К занятию: определить, какие многоугольника могут получиться при
пересечении плоскости и пятиугольной пирамидой
3. На занятии: построение сечений
4. Домашнее задание:
Построить сечения плоскостью, проходящей через три точки, для
следующих изображений: две точки – точки, заданные на видимой
поверхности фигуры, одна – точка, заданная на продолжение поверхности
(вне фигуры)
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 16
ТЕМА: Построение сечений многогранников.
1. Студент должен
знать: определения и свойства изображения фигуры; изображение
пространственных фигур; прием построения сечения многогранника
плоскостью через три точки
уметь: правильно изображать геометрические фигуры; строить проекции
точек на прямую или плоскость, прямой на плоскость; применять прием
построения сечений к решению задач
2. К занятию:
- ответить на вопросы (подготовить в тетрадях для домашних работ):
1. Приведите примеры выпуклых многогранников.
2. Многогранник имеет 12 ребер. Определите сколько в нем плоских
углов?
3. Укажите в окружающей нас обстановке примеры предметов, которые
имеют ось симметрии.
4. Верно ли утверждение: если основанием треугольной призмы является равносторонний треугольник, а одна из боковых граней представляет
собой прямоугольник и перпендикулярна к плоскости основания – то призма
правильная. Пояснить чертежом.
5. Можно ли построить прямую четырехугольную призму, у которой
три двугранных угла при боковых ребрах были бы острые. Изобразите.
6. Будет ли кубом параллелепипед, в котором равны все ребра и плоские углы при одной из вершин. Сделайте чертеж.
7. Диагональ куба равна 9 см. Определите его ребро.
15
8. Напишите какое тело опишет прямоугольник, при своем вращении
вокруг оси, которая не пересекает прямоугольник и параллельна одной из его
диагонали.
9. Напишите какое тело образуется от вращения трапеции вокруг
большего основания.
10. Докажите, что середина отрезка с концами в точках (а,с,-в) и (-а,к,в)
лежит на оси ОУ.
11. На трех некомпланарных векторах АВ, АА`, АД построен параллелепипед АВСДА`В`С`Д`. Выразите через вектора АВ, АА`, АД векторы совпадающие со сторонами, диагоналями и диагоналями граней.
- повторить суть методов построения сечений
3. На занятии: контрольная работа на построение сечений
многогранника плоскостью через три точки
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 17
ТЕМА: Построение бордюров и орнаментов
1. Студент должен
знать: определение движения плоскости и его виды; свойства движений;
алгоритм применения движения к фигурам на плоскости; определение
композиции движений
уметь: применять к фигурам на плоскости виды движений
2. На занятии работа в группах построение бордюров 7 типов,
орнаментов
3. Домашнее задание:
- Для элемента нарисуйте бордюры 1 и 2 типов
- Нарисуйте бордюры 5 и 6 типов для элемента, светлыми кругами на
нем отмечены центры симметрии. Для 5-го типа – отрезок, задающий
параллельный перенос, имеет длину в два раза большую, чем расстояние
между соседними центрами симметрии. Для 6-го типа – воспользуйтесь
вертикальной прямой (ось симметрии).
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены
16
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной
работы студентов.
Таблица 5.
№
Модули и темы
Виды СРС
Неде- Объ- Колля сеем
во
обязательные
дополниместчабалтельные
ра
сов
лов
Семестр 2
Модуль 1
1
Проработка лек- Самостоя0-4
Тема 1. Геометций, работа с
тельное
рические постролитературой,
изучение
ения на плоскости
решение типозаданного
методами преоб1-5
10
вых задач, анаматериала,
разований и геолиз современно- написание
метрических мест
го опыта
реферата –
обзора
Модуль 2
2
Тема 2. Геомет- Проработка лек- Самостоярические построций, работа с
тельное
0-4
ения на плоскости
литературой,
изучение
алгебраическим
анализ соврезаданного
6-12
14
методом м ограменного опыта
материала
ниченными средствами
Модуль 3
3
Проработка лек- Самостояций, работа с
тельное соТема 3. Геометлитературой,
ставление
рические постросоставление
задач
ения в простран- конспектов уро13-17
18
0-4
стве.
ков или фрагментов,
анализ современного опыта
Итого
38* 0-12
* - с учетом иных видов работы
17
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
(модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы (выдержка из
матрицы компетенций):
Таблица 9.
Б.1. Дисциплины (модули)
*- дисциплина базовой части
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Социальная педагогика*
+
+
+
+
Основы дидактики*
Алгебра
Действительные числа
Избранные вопросы дифференциального и интегрального исчисления
Математический анализ
+
+
+
+
Теория чисел
+
+
+
+
Дополнительные главы алгебры
+
Алгебра
Основы воспитания*
Конструктивная геометрия и методы
изображений
+
+
+
+
Теоретико-множественная топология
+
+
+
+
Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными
+
+
+
+
Математический анализ
Алгебра
Общие основы педагогики*
+
+
4 семестр
3 семестр
Математический анализ
+
+
+
+
2 семестр
Геометрия
ОК-6
ОК-1
ОПК -2
ПК-1
Геометрия
Индекс
компетенции
1 семестр
Геометрия
Циклы, дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП бакалавриата
+
Индекс
компетенции
ОК-6
ОК-1
ОПК -2
ПК-1
Неевклидовы геометрии
Основания геометрии
Физика
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Функциональный анализ
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Дополнительные главы теории вероятностей и математической статистики
+
+
+
Элементарная математика
5 семестр
Избранные вопросы теории функций действительной переменной
Случайные процессы
+
+
Практикум по решению математических задач
Основы математической обработки информации*
+
+
Теория функций комплексного переменного
+
Философия*
Методика обучения и воспитания*
Элементарная математика
+
Математическая логика и теория алгоритмов
+
Теория вероятностей и математическая статистика
+
Теория функций действительного переменного
Методика обучения и воспитания*
4 семестр
Педагогическая психология*
Теоретическая механика
Элементарная математика
+
Математический анализ
Циклы, дисциплины
(модули)
учебного плана ОП
бакалавриата
Возрастная психология*
Б.1. Дисциплины (модули)
6 семестр
+
+
+
+
+
+
+
+
*- дисциплина базовой части
19
Индекс
компетенции
ОК-6
ОК-1
ОПК -2
ПК-1
Циклы, дисциплины
(модули)
учебного плана ОП
бакалавриата
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
История развития математических понятий
История математики
7 семестр
Практикум по решению математических задач
Методология и методы психологопедагогических исследований
Дополнительные главы теории и методики обучения математике
Методика подготовки к государственной аттестации по математике
Числовые системы
Основы вариационного исчисления
+
+
+
Теория экстремальных и оптимизационных задач
6 семестр
Педагогическая инноватика
Практикум по решению математических задач
+
Дискретная математика
Экономика образования*
Системы компьютерной математики
Методика обучения и воспитания*
Методика обучения учащихся стереометрии посредством решения задач
Обучение учащихся доказательству теорем
Б.1. Дисциплины (модули)
ИГА
8 семестр
+
+
+
*- дисциплина базовой части
20
ОК-1
Код компетенции
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на
различных этапах их формирования, описание шкал оценивания
Таблица 7.
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
Виды
Оценочные
занятий
средства
(лекции,
(тесты,
пороговый
базовый (хор.)
повышенный
семинар- творческие
(удовл.)
76-90 баллов
(отл.)
ские,
работы,
61-75 баллов
91-100 баллов
практипроекты и
ческие,
др.)
лабораторные)
Знает
Знает
Знает
основные по- формулировки формулировки
нятия аналити- утверждений, утверждений, меческой геомет- методы их до- тоды их доказарии, определе- казательства
тельства из смежния и свойства
ных дисциплин
математических объектов
в этой области
Умеет
Умеет
Умеет
решать задачи решать задачи обобщать, анали- Лекции,
Индивидушкольного
на построение зировать, воспри- практиальные закурса геомет- в
строгости нимать информа- ческие
дания
рии,
доказы- структуры
цию,
находить занятия
вать утвержде- решения
план решения, выния
бирать методы решения
Владеет
Владеет
Владеет
математичеаналитичеметодами переноса
ским аппара- скими мето- приема решения на
том аналитиче- дами исследо- любую задачу
ской геометрии вания геометрических объектов
Знает
технику применения методов
элементарной
геометрии к решению прикладных задач
Знает
приемы изложения
материала, составления
описания
проводимых
исследований,
составления обзоров,
отчетов и научных
публикаций
Умеет
приводить
примеры задач
на одну и ту же
информацию
по образцу
Умеет
вычленить
геометрические
факты,
формы и отношения
в
предметах и
явлениях действительности, использовать язык геометрии для их
описания.
Владеет
различными
приемами использования
идеологии
курса элементарной
геометрии к доказательству
теорем и решению задач
школьного
курса.
Умеет
обобщить опыт работы по построению геометрических фигур
ОК-6
Знает
основные понятия и строгие
доказательства
теорем и фактов основных
разделов
школьного
курса геометрии
Владеет
методами
записи
школьных задач по образцу
или с помощью
из
вне,
решения
элементарных
задач
по
образцу
Лекции,
практические
занятия
Владеет
навыками использования методов
построения
геометрических фигур
в смежных дисциплинах.
22
Индивидуальные задания
ПК-6
ОПК-2
Знает
структуру будущей профессии на основе
учебных программ базовых
и элективных
курсов в образовательных
учреждениях
Знает
социальную
значимость
своей
будущей профессии.
Умеет
формулировать
основные понятия профессиональной деятельности
Умеет
формулировать основные
принципы
осуществления профессиональной деятельности.
Владеет
Владеет
элементарными мотивацией к
знаниями
о осуществлепрофессиях.
нию к профессиональной
деятельности.
Знает
сущность математических
понятий
и
частные приемы анализа и
сравнения математических
объектов
Знает
учебные программы базовых и элективных курсов
в различных
образовательных учреждениях
Знает
приемы использования
современных информационных технологий,
средства их реализации, основы работы в локальных
и глобальных сетях в своей профессиональной деятельности
Умеет
использовать информационные
технологии
при
разработке проектов
профессиональной деятельности.
Владеет
приемами систематизации теоретических и практических знаний
гуманитарных, социальных и экономических наук при
решении профессиональных задач
Знает
методы составления и описания
проводимых
исследований
по
учебным программам базовых и
элективных курсов
в различных ОУ ,
составление обзоров и научных
публикаций
23
Лекции,
практические
занятия
Индивидуальные задания
Лекции,
практические
занятия
Индивидуальные задания
Умеет
принимать информацию по
учебной программе
базовых и элективных
курсов;
приводить
примеры
Умеет
обрабатывать
и систематизировать
учебные программы базовых и элективных курсов
в ОУ; приводить
контрпримеры
Владеет
Владеет
методами
методами теорешения
ретического
элементарных исследования
задач
по учебных прообразцу
грамм базовых
и элективных
курсов
ОУ;
навыками
проведения
эксперимента
и обработки
его результатов; навыками
подготовки
презентационных материалов
Умеет
изучить и обобщить опыт реализации
учебных
программ базовых
и элективных курсов в различных
образовательных
учреждениях с целью
совершенствования работы
Владеет
навыками использования исследований
учебных
программ базовых
и элективных курсов в различных
образовательных
учреждениях;
навыками работы с
офисными приложениями (текстовыми процессорами, электронными
носителями) .
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые
для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности,
характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения
образовательной программы.
ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
выбор варианта – вариант соответствует номеру в журнале учета
посещения у старосты.
оформление – в отдельной тетради
срок выполнения – в течении семестра
отчет – по мере решения задач.
24
Задача 1 (метод геометрических мест)
1. Построить треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на радиусу из них.
2. Построить треугольник по стороне, высоте проведенной к этой стороне, острому углу.
3. Построить четырехугольник по трем сторонам и радиусу описанной
окружности.
4. Построить треугольник по основанию, высоте и боковой стороне.
5. Построить окружность, касающуюся к двум данным параллельным
прямым и проходящую через данную точку Р.
6. Построить четырехугольник АВСД, зная АВ, АС, ВС, СД,ВД.
7. Построить окружность данного радиуса, проходящую через данную
точку и ортогональную к данной окружности.
8. Построить окружность, касательную к сторонам данного угла АВС и к
одной из его сторон в данной точке Р.
9. Построить треугольник по данным основанию и двум высотам.
10. Построить ромб по стороне и радиусу вписанной окружности.
11. Построить параллелограмм по данной стороне, углу и диагонали.
12. Построить треугольник по углу А, высоте проведенной к стороне и
медиане, проведенной из вершины А.
13. Построить ромб по данным высоте и диагонали.
14. Построить четырехугольник по двум смежным сторонам, углу между
ними, по данной диагонали, выходящей из вершины данного угла и углу между
диагоналями.
15. Построить четырехугольник АВСД, зная АВ, ВС, ВД, АД, АС.
16. Построить треугольник по углу, противолежащей стороне и высоте,
проведенной к прилежащей стороне.
17. Построить четырехугольник АВСД, зная угол А, АВ, ВС, СД, АД.
Задача 2 (метод параллельного переноса)
1. Построить параллелограмм, две смежные вершины которого находятся в данных точках, а две другие лежат : одна на данной окружности, а другая на данной прямой.
2. Между двумя данными окружностями построить отрезок данной
длины, параллельный данной прямой.
3. Построить треугольник по стороне, высоте и медиане.
4. Построить четырехугольник, зная все его стороны и отрезок, соединяющий середины противоположных сторон.
5. Построить выпуклый четырехугольник по трем сторонам и двум углам при неизвестной стороне.
6. Построить трапецию по боковой стороне, углу между диагоналями,
средней линии и высоте.
7. Построить трапецию по разности ее оснований, боковым сторонам и
одной диагонали.
25
8. Построить трапецию по средней линии, нижнему основанию и двум
диагоналям.
9. Построить трапецию по одному ее углу, двум диагоналям и средней
линии.
10. Построить треугольник по двум высотам и медиане, проведенной к
третьей стороне.
11. Построить выпуклый четырехугольник по трем углам и двум противолежащим сторонам.
12. Построить выпуклый четырехугольник по трем углам и двум смежным сторонам.
13. Построить выпуклый четырехугольник по двум противоположным
сторонам, диагоналям и углу между диагоналями.
14. Построить трапецию по двум диагоналям, углу между ними и боковой стороне.
15. Построить треугольник, зная высоту, проведенную к одной из его
сторон, медианы проведенные к другим сторонам.
16. На данном основании построить параллелограмм так, чтобы две
остальные вершины лежали на данной окружности.
17. Построить прямую, параллельную данной прямой, так, чтобы данный угол высекал на ней отрезок заданной длины.
Задача 3. Метод поворота (вращения, симметрии)
1. Даны прямая, две окружности и отрезок р. Построить ромб так, чтобы его диагональ принадлежала данной прямой и была равна отрезку р, две
вершины, не принадлежащие прямой, лежали бы на данных окружностях.
2. Даны прямые а, с, к. Построить отрезок АВ перпендикулярный с, с
серединой на этой прямой и концами на прямых а и к.
3. Вписать квадрат в данный параллелограмм так, чтобы каждая вершина квадрата лежала только на одной стороне параллелограмма.
4. Построить квадрат по двум точкам, принадлежащим параллельным
сторонам или их продолжению.
5. Построить прямоугольный равнобедренный треугольник, если известна
вершина прямого угла, а две другие вершины лежат на двух данных окружностях.
6. Построить равноудаленные точки от точки А, лежащие на двух разных
окружностях
7. Даны: угол АОВ и точка С внутри него. Построить равносторонний
треугольник, одна вершина которого совпадает о точкой С, а две другие лежат
на сторонах данного угла.
8. Через данную точку Р провести прямую так, чтобы отрезок ее, заключенный между двумя данными окружностями, делился этой точкой пополам.
9. Даны две окружности и точка Р. Построить параллелограмм так, чтобы его вершины принадлежали данным окружностям, а точка Р являлась точкой пересечения диагоналей.
26
10. Построить равносторонний треугольник, вершины которого лежали
бы на трех концентрических окружностях.
11. Даны две окружности, точка М и угол. Построить равнобедренный
треугольник (АВ=АС) так, чтобы угол А равнялся данному, вершина А совпадала с точкой М, а две другие вершины лежали бы на данных окружностях.
12. Даны полоса с краями х и у, прямая к принадлежащая полосе. Постройте ромб АВСД так, чтобы его вершины А,В,С принадлежали соответственно прямым х,у,к и угол АВС=60°.
13. Построить квадрат так, чтобы его центр лежал в данной точке, а одна
из сторон проходила через две другие данные точки.
14. Дан угол и точка А внутри него. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник, если вершиной прямого угла которого является точка А,
а две другие вершины принадлежат сторонам данного угла.
15. Построить квадрат, три вершины которого лежат на трех данных параллельных прямых.
16. В данный квадрат вписать равносторонний треугольник, одна из вершин которого дана на стороне квадрата.
17. Построить равносторонний треугольник так, чтобы одной его вершиной была данная точка Р, две другие принадлежали бы двум данным прямым.
4.
Метод гомотетии (подобия)
1. Дан треугольник. Вписать в него ромб, если треугольник и ромб имеют
один общий угол.
2. Построить треугольник по двум углам и отрезку р равному сумме стороны и медиане, проведенной к этой стороне.
3. Построить треугольник по двум углам и отрезку равному сумме стороны, высоты и медианы, проведенных к этой стороне.
4. Построить четырехугольник с данными углами, отношению двух
смежных сторон АВ:ВС=а:с и данным периметром 2р.
5. Построить квадрат по сумме стороны и диагонали.
6. Найти внутри угла АВС точку такую, что отрезки, проведенные из этой
точки до сторон угла параллельно данным отрезкам НР и ТК, находились в
данном отношении m:n.
7. Построить треугольник, зная угол, высоту из данного угла и отношение
прилежащих сторон.
8. Построить ромб по углу и сумме диагоналей.
9. Построить треугольник по двум углам и периметру Построить треугольник по данной высоте, углу при вершине и отношению отрезков, на которые высота делит основание.
10. Построить треугольник, зная угол А, a:b=m:n, его периметр 2р.
11. Построить треугольник по отношению сторон и отрезку к=2а+в-с.
12. В данный треугольник АВС вписать две равные окружности так, чтобы
каждая из них касалась другой окружности и двух сторон треугольника.
27
13. Вписать в данную окружность равнобедренный треугольник, у которого известно отношение боковой стороны к основанию.
14. Построить вписанный в окружность четырехугольник, если известен
один его угол, отношение заключающих его сторон и диагонали.
15. Построить треугольник по двум углам и отрезку р равному сумме высоты и медиане, проведенной к одной стороне.
16. Построить треугольник по двум углам и отрезку равному сумме стороны, высоты и медианы, проведенных к этой стороне.
17. Построить четырехугольник MNKP с данными углами, отношению
двух смежных сторон MN:MP=а:с и данным периметром 2р.
18. Построить квадрат по сумме стороны и диагонали.
5. Построить отрезки
1. Построить отрезок являющийся корнем уравнения x 2  х ab  a 2  0.
2. Построить отрезок x 
3. Построить отрезок x 
5abc  tg  b 2  cos   c
a 4  b4  a 4  b4
ab 2  sin   6a 2b  tg
.
.
a 4  b4
2

a 3  b 2c  tg
a  b
a 2
4. Построить отрезок x 
.
ab
c
a 3  b3
 b  tg  4 abcd .
5. Построить отрезок x 
ab  ac
5a 5  sin   3b5  cos 
6. Построить отрезок x 
.
2a 2b 2  a 3b  tg
a3  b 2c  tg 2a 2  b2
.

ab
ab
3a 2b  sin   7ab 2  tg  b3
8. Построить отрезок x 
.
2ab  sin   4a 2  cos 
2abc  tg  3b3  cos   a 3  sin 
9. Построить отрезок x 
.

4
4
a  d  3ab  cos
2
5
5
5a  sin   3b  cos 
10. Построить отрезок x 
.
2a 2b 2  a 3b  tg
7. Построить отрезок x 
11. Построить отрезок x 
12. Построить отрезок x 
3a 2b  3ab 2  sin 
 4 a 4  b4 .
a b
ab  sin   6a 2b  tg
4
4
2
.
a 4  b4
5a 5  sin   3b5  cos 
13. Построить отрезок x 
.
2a 2b 2  a 3b  tg
3a 2b  sin   7ab 2  tg  b3
14. Построить отрезок x 
.
2ab  sin   4a 2  cos 
28
15. Построить отрезок x 
16. Построить отрезок x 
5abc  tg  b 2  cos   c
a 4  b4  a 4  b4
5a 5  sin   3b5  cos 
.
2a 2b 2  a 3b  tg
.
6. Алгебраический способ
1. Построить прямоугольный треугольник, по данной сумме катетов и
высоте проведенной к гипотенузе.
2. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и биссектрисе
прямого угла.
3. В данную окружность вписать прямоугольник, равновеликий данному
квадрату со стороной а.
4. Даны два отрезка АВ и СК и прямая. На данной прямой найти такую
точку Х, чтобы треугольники АВХ и СКХ были равновелики.
5. Построить квадрат, площадь которого была бы равна сумме площадей
двух данных прямоугольников.
6. Построить треугольник по трем высотам.
7. На стороне данного четырехугольника постройте параллелограмм,
равновеликий этому четырехугольнику.
8. Постройте квадрат равновеликий данному треугольнику.
9. В данную окружность вписать равнобедренный треугольник, зная
сумму боковой стороны и высоты, проведенной к основанию.
10. Разделите данную трапецию на две равновеликие части прямой, параллельной основаниям.
11. Построить квадрат, площадь которого была бы равна сумме площадей
двух данных прямоугольников.
12. В данную окружность вписать прямоугольник, равновеликий данному
квадрату со стороной а.
13. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и биссектрисе
прямого угла.
14. На стороне данного четырехугольника постройте параллелограмм,
равновеликий этому четырехугольнику.
15. Постройте квадрат равновеликий данному треугольнику Построить
прямоугольный треугольник, по данной сумме катетов и высоте проведенной к
гипотенузе.
16. Разделите данную трапецию на две равновеликие части прямой, параллельной основаниям.
17. Даны два отрезка АВ и СК и прямая. На данной прямой найти такую
точку Х, чтобы треугольники АВХ и СКХ были равновелики.
18. Построить треугольник по трем высотам.
7. Метод инверсии
1.
Через две данные точки проведите окружность, касающуюся данной прямой.
29
2.
Построить окружность, проходящую через две данные точки и пересекающую данную прямую под данным углом.
3.
Построить окружность, касающуюся данной прямой и данной
окружности, и проходящую через данную точку, не лежащую на данной прямой и данной окружности.
4. Даны точка К две прямые АВ и ВС. Провести секущую КХY
так, чтобы KX·KY = k2(k –есть данная длина).
5.
Построить окружность, касающуюся двух данных окружностей,
причем одной из них в данной точке А.
6.
Даны точки А, В и С. Через В провести прямую так, чтобы расстояния АХ и CY от этой прямой удовлетворяли равенству АХ2 - СY2 = к2.
7.
Построить окружность, проходящую через две данные точки и ортогональную данной прямой.
8.
Построить окружность проходящую через данную точку и ортогональную данным окружностям.
9.
Построить окружность, проходящую через две данные точки и пересекающую данную окружность под данным углом.
10. Построить окружность, проходящую через данную точку и пересекающую две данные окружности под данным углом.
11. Построить окружность, касающуюся данной окружности и проходящей через две данные точки.
12. Построить окружность, касающуюся данной прямой и проходящую
через две данные точки.
13. Даны точка К две прямые АВ и ВС. Провести секущую КХY
так, чтобы KX·KY = k2(k –есть данная длина).
14. Даны точки А, В и С. Через В провести прямую так, чтобы расстояния АХ и CY от этой прямой удовлетворяли равенству АХ2 - СY2 = к2.
15. Построить окружность, проходящую через две данные точки и пересекающую данную окружность под данным углом.
16. Построить окружность, проходящую через данную точку и пересекающую две данные окружности под данным углом.
17. Построить окружность, касающуюся данной прямой и проходящую
через две данные точки.
18. Даны точка К две прямые АВ и ВС. Провести секущую КХY
так, чтобы KX·KY = k2(k –есть данная длина).
8.Построение одной линейкой
1. Построить точку, симметричную данной относительно диаметра круга, центр которого не отмечен.
2. Дан круг и его диаметр (центр не отмечен). Построить точку, лежащую на продолжении диаметра, не продолжая диаметра.
3. Из точки, лежащей на окружности, центр которой не отмечен, опустить перпендикуляр на диаметр.
30
4. При помощи одной линейки определить центр окружности, если дан
диаметр и середина полуокружности.
5. Дан квадрат АВСД. Из О- центр квадрата- восстановить перпендикуляр к произвольной прямой НОК.
6. Построить центр окружности, если дан правильный пятиугольник,
вписанный в круг.
7. Дан параллелограмм АВСД. Требуется через данную точку М провести прямую, параллельную данной прямой к.
8. Дана средняя линия треугольника. Разделить любую его сторону на
три равные части одной линейкой.
́́́́
9. На данной средней линии В́́́́΄́́́́ ́́́́ С́́́́΄ треугольника АВС построить 1/3 стороны ВС Провести касательную к окружности в точке, являющейся концом
данного диаметра (центр окружности не отмечен).
10. Дан параллелограмм АВСД. Требуется через данную точку М провести прямую, параллельную данной прямой к.
11. Дан квадрат АВСД. Из О- центр квадрата- восстановить перпендикуляр к произвольной прямой НОК.
́́́́
12. На данной средней линии В́́́́΄́́́́ ́́́́ С́́́́΄ треугольника АВС построить 1/3 стороны ВС Дан круг и его диаметр (центр не отмечен). Построить точку, лежащую на продолжении диаметра, не продолжая диаметра.
13. Провести касательную к окружности в точке, являющейся концом
данного диаметра (центр окружности не отмечен).
14. Построить точку, симметричную данной относительно диаметра круга, центр которого не отмечен.
15. Дан параллелограмм АВСД. Требуется через данную точку М провести прямую, параллельную данной прямой к.
16. Дан круг и его диаметр (центр не отмечен). Построить точку, лежащую на продолжении диаметра, не продолжая диаметра.
17. Построить центр окружности, если дан правильный пятиугольник,
вписанный в круг.
9. Построение одним циркулем
1. Построить отрезок, равный среднему геометрическому двух данных
отрезков а и с.
2. Увеличить отрезок АВ в три раза.
3. Построить касательную к данной окружности в данной на ней точке.
4. Даны две различные точки А и В и окружность (О,r). Построить точки
пересечения прямой АВ и окружности (O,r).
5. По данной стороне АВ построить квадрат.
6. Разделить окружность на пять равных частей.
7. Удвоить данный угол АВС.
8. Построить середину данного отрезка АВ данной длины а.
31
9. По трем отрезкам а,в,с построить четвертый отрезок х такой, что
a c
 .
b x
10. По данной стороне АВ построить квадрат.
11. Построить середину данного отрезка АВ данной длины а.
12. Увеличить отрезок АВ в три раза.
13. Даны две различные точки А и В и окружность (О,r). Построить точки
пересечения прямой АВ и окружности (O,r).
14. По трем отрезкам а,в,с построить четвертый отрезок х такой, что
a c
 .
b x
15. Построить отрезок, равный среднему геометрическому двух данных
отрезков а и с.
16. По данной стороне АВ построить квадрат.
17. Утроить данный угол АВС.
18. Построить касательную к данной окружности в данной на ней точке.
10. Стереометрические задачи на построение
1.
На поверхности шара найти геометрическое место точек удаленных от
данного диаметра шара на расстояние, равное радиусу шара.
Ромб вращается вокруг прямой, перпендикулярной его диагонали и проходящей: а)через его вершину, б)вне его. Нарисовать полученное тело вращения. Комбинацией, каких известных тел оно является.
2.
На поверхности цилиндра найти геометрическое место точек удаленных
от центра его основания на данное расстояние, равное диаметру его основания.
Нарисовать тело вращения, полученное при вращении конуса вокруг
прямой, параллельной оси и проходящей вне его.
3.
На поверхности цилиндра найти геометрическое место точек равноудаленных от двух точек, лежащих: а)на окружности его основания; б) на одной
образующей.
В данную правильную четырехугольную призму вписать другую правильную четырехугольную призму так, чтобы плоскости их оснований совпали
и чтобы одно боковое ребро ее находилось на прямой а, лежащей на боковой
грани.
4.
На поверхности конуса найти геометрическое место точек, удаленных от
основания конуса на расстояние меньшее половины высоты конуса.
Равнобедренная трапеция вращается вокруг каждой из своих сторон.
Нарисовать полученное тело вращения. Комбинацией, каких известных тел оно
является.
5.
32
На поверхности конуса найти геометрическое место точек, удаленных от
основания конуса на расстояние равное половине высоты конуса.
Нарисовать тело вращения, полученное при вращении правильного тетраэдра вокруг ребра.
6.
На поверхности правильного тетраэдра найти геометрическое место точек
равноудаленных от концов его высоты.
Сектор круга с центром О и хордой АВ вращается вокруг а)крайнего радиуса, б) диаметра, не параллельного АВ. Нарисовать полученное тело вращения. Комбинацией, каких известных тел оно является.
7.
На поверхности правильного тетраэдра найти геометрическое место точек
равноудаленных от трех его вершин.
Сектор круга с хордой АВ вращается вокруг а)АВ, б) диаметра, перпендикулярного АВ. Нарисовать полученное тело вращения. Комбинацией, каких
известных тел оно является.
8.
На поверхности правильного тетраэдра найти геометрическое место точек
равноудаленных от двух его вершин.
Прямоугольная трапеция вращается вокруг каждой из своих сторон.
Нарисовать полученное тело вращения. Комбинацией, каких известных тел оно
является.
9.
На поверхности куба найти геометрическое место точек, удаленных от
его вершин на расстоянии равном длине ребра куба.
Ромб вращается вокруг: а)стороны; в)прямой перпендикулярной стороне
и проходящей вне ромба. Нарисовать полученное тело вращения, в каждом
случаи. Комбинацией, каких известных тел оно является.
10.
На поверхности куба найти геометрическое место точек, равноудаленных
от двух пересекающихся диагоналей граней куба.
Построить образ тетраэдра РАВС при осевой симметрии с осью к, если
ось к не пересекает тетраэдр; ось к содержит одно из ребер тетраэдра.
11.
На поверхности цилиндра найти геометрическое место точек удаленных
от центра его основания на данное расстояние, равное диаметру его основания.
Равнобедренная трапеция вращается вокруг каждой из своих сторон.
Нарисовать полученное тело вращения. Комбинацией, каких известных тел оно
является.
12.
На поверхности шара найти геометрическое место точек удаленных от
данного диаметра шара на расстояние, равное радиусу шара.
Нарисовать тело вращения, полученное при вращении правильного тетраэдра вокруг ребра.
33
13.
На поверхности правильного тетраэдра найти геометрическое место точек
равноудаленных от трех его вершин.
Сектор круга с хордой АВ вращается вокруг а)АВ, б) диаметра, перпендикулярного АВ. Нарисовать полученное тело вращения. Комбинацией, каких
известных тел оно является.
14.
На поверхности правильного тетраэдра найти геометрическое место точек
равноудаленных от двух его вершин.
Прямоугольная трапеция вращается вокруг каждой из своих сторон.
Нарисовать полученное тело вращения. Комбинацией, каких известных тел оно
является.
15.
На поверхности куба найти геометрическое место точек, удаленных от
его вершин на расстоянии равном длине ребра куба.
Ромб вращается вокруг: а)стороны; в)прямой перпендикулярной стороне
и проходящей вне ромба. Нарисовать полученное тело вращения, в каждом
случаи. Комбинацией, каких известных тел оно является.
16.
На поверхности куба найти геометрическое место точек, равноудаленных
от двух пересекающихся диагоналей граней куба.
Построить образ тетраэдра РАВС при осевой симметрии с осью к, если
ось к не пересекает тетраэдр; ось к содержит одно из ребер тетраэдра.
17.
На поверхности цилиндра найти геометрическое место точек удаленных
от центра его основания на данное расстояние, равное диаметру его основания.
Нарисовать тело вращения, полученное при вращении конуса вокруг
прямой, параллельной оси и проходящей вне его.
Вопросы к зачету
1. Из истории. Основные понятия и соглашения конструктивной геометрии.
2. Постулаты построения. Общая постановка задачи на построение циркулем и линейкой.
3. Взаимное расположение прямых и окружностей. Взаимное расположение двух окружностей.
4. Простейшие построения.
5. Схема решения задач на построение. Два типа задач на построение.
6. Основные методы решения задач на построение. Понятие о геометрическом месте точек. Основные ГМТ.
7. Сущность метода пересечений (геометрических мест). Решение задач
методом пересечений (геометрических мест).
34
8. Сущность метода преобразований. Решение задач методом центральной
симметрии.
9. Решение задач методом осевой симметрии и спрямления.
10. Решение задач методом параллельного переноса и методом вращения.
11. Сущность метода подобий. Решение задач методом подобий.
12. Преобразование инверсии. Сущность метода инверсии решения задач
на построение. Пример.
13. Построение отрезков, заданных алгебраически.
14. Сущность алгебраического метода решения задач на построение. Решение задач на построение алгебраическим методом.
15. Из истории задач, неразрешимых циркулем и линейкой. Задача об
удвоении куба.
16. Из истории задач, неразрешимых циркулем и линейкой. Задача о квадратуре круга.
17. Из истории задач, неразрешимых циркулем и линейкой. Задача о трисекции угла.
10.4. Методические
материалы,
определяющие
процедуры
оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности
характеризующих этапы формирования компетенций.
Текущая аттестация:
Контрольные работы;
Коллоквиум;
Тестирование (письменное) по разделам дисциплины.
Промежуточная аттестация:
Тестирование по дисциплине;
Зачет (письменно-устная форма). Зачет оценивается по системе: незачтено, зачтено.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) и традиционной
(4-балльной) систем оценок.
Оценка студента в рамках рейтинговой системы оценок является интегрированной оценкой выполнения студентом заданий во время практических занятий, индивидуальных домашних заданий, контрольной работы, сдачи коллоквиумов и результатов тестирования. Эта оценка характеризует уровень сформированности практических умений и навыков, приобретенных студентом в
ходе изучения дисциплины.
11. Образовательные технологии.
При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при
самостоятельном изучении теоретического материала), дифференцированного
обучения, репродуктивного обучения, проектная технология, кейсовые технологии, а также современные информационные технологии обучения.
35
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и интерактивные методы и формы обучения: проблемное практическое
занятие, работа в малых группах, дискуссия, самостоятельная работа с учебными материалами, представленными в электронной форме, защита проектов.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля).
12.1 Основная литература:
1. Бердюгина, О.Н. Геометрические построения по плоскости : учеб. методическое пособие для студентов очной формы обучения направления
050100.62 «Педагогическое образование» профиль подготовки «Математическое образование» /О.Н. Бердюгина. – Тюмень : Издательство ТюмГУ, 2015.41с.
12.2. Дополнительная литература:
1. Далингер, В. А. Планиметрические задачи на построение [Электронный ресурс] : учебное пособие / В. А. Далингер: учебное пособие/ В. А. Далингер ; Омский гос. пед. ун-т. - Омск: [б. и.], 1999. - 202 с. - Режим доступа :
http://icdlib.nspu.ru/catalog/details/icdlib/645076/ (дата обращения 12.10.2014).
2. Далингер, В. А. Стереометрические задачи на построение [Электронный ресурс] : учебное пособие для пед. вузов / В. А. Далингер: учебное пособие
для пед. вузов/ В. А. Далингер ; Омск. гос. пед. ун-т. - Омск: Омский гос. пед.
ун-т,
2000.
122
с.
Режим
доступа
:
http://icdlib.nspu.ru/catalog/details/icdlib/852242/. (дата обращения 12.10.2014)
3. Костовский, А. Н. Геометрические построения одним циркулем на
плоскости и одним лишь сферографом в пространстве/ А. Н. Костовский. - 3-е
изд. - Москва: Наука, 1989. - 108 с.
12.3 Интернет-ресурсы:
1. Федеральный портал «Российское образование»: http://www.edu.ru /.
2. Федеральное хранилище «Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов»: http://school-collection.edu.ru /.
3. Научная электронная библиотека eLIBRARY.RU: http://elibrary.ru /.
13. Перечень информационных технологий, используемых при
осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю),
включая перечень программного обеспечения и информационных
справочных систем (при необходимости).
1. Microsoft Word.
2. Microsoft PowerPoint.
36
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение
дисциплины (модуля).
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий,
в частности, оснащенные интерактивной доской и/или проектором.
15. Методические
дисциплины (модуля).
указания
для
обучающихся
по
освоению
Методические указания при выполнении индивидуальных заданий
1. Метод геометрических мест
Сущность метода: решение задачи сводит к построению некоторой точки
(основного элемента построения), подчиненной двум условиям. Отбрасывают
одно из этих условий и строят ГМТ фигуру Ф1 , удовлетворяющих первому
условию, потом фигуру Ф2 - ГМТ, удовлетворяющих второму условию. По соответствующей аксиоме конструктивной геометрии можем сказать Ф1∩Ф2 = Ø
или нет и если ≠ Ø, то считать построенным пересечение Ф1 ∩ Ф2. Точки
Ф1∩Ф2 и только они удовлетворяют обоим условиям одновременно. Точки пересечения и только они дают решение задачи.
Пример. Построить треугольник по стороне (а), высоте проведенной к
ней (hа) и радиусу описанной окружности (R).
Решение
I. Анализ.
Пусть треугольник АВС построен, сторона АВ = а, высота СК=hа, радиус
описанной окружности ОА=ОВ=ОС=R. Для построения треугольника необходимо знать три его вершины. Зная сторону а, можно сразу определить две вершины А и В.
Тогда остается построить вершину С. Замечаем, что вершина С во-первых, лежит на окружности с центром в точке О и заданным
радиусом, во-вторых, находится на расстоянии ha от
стороны АВ.
Для построения окружности необходимо однозначно определить ее центр. Это возможно сделать,
через построение треугольника АОВ по трем сторонам
(а, R, R).
Высота рассматривается как расстояние от точки
С до стороны АВ, тогда расстояние ha определяет прямую, параллельную прямой АВ и отстоящую от нее на расстоянии ha (ГМТ 2).
Таким образом, вершина С принадлежит двум геометрическим местам –
окружности и прямой, т.е. является их точкой пересечения.
II. Построение.
37
1. отрезки а, R, ha построены;
2. АВ=а ;
3. Δ АОВ (АВ, АО=ВО=R);
4. ω (О; R);
5. АА1┴ АВ;
6. ω (А; ha);
7. ω (А; ha)∩АА1 ={М};
8. ММ1║АВ;
9. ММ1 ∩ ω (О; R) = {C};
10.АС, ВС;
11.Δ АВС – построен.
III. Доказательство.
а) построенная фигура АВС – треугольник, т.к. все три его вершины по
построению не лежат на одной прямой.
б) в построенном треугольнике АВС
- сторона (АВ) равна данному отрезку а (по построению);
- точка О – центр описанной окружности с радиусом R (по построению);
- расстояние от точки С до стороны АВ равно заданному отрезку ha (по
построению) и определяет высоту из вершины С.
IV. Исследование.
Исследуем каждый шаг построения:
2 шаг. Построение отрезка – можно построить всегда и только один.
3 шаг. Построение треугольника – можно построить единственный
треугольник при условии, что 2R≥а.
4 шаг. Построение окружности – можно построить всегда и единственную.
5 шаг. Построение перпендикулярной прямой к данной через данную
точку – можно построить всегда и только одну.
6 шаг. Построение окружности – можно построить всегда и единственную.
7 шаг. Построение точек пересечения прямой и окружности – либо нет
точек пересечения (h<2R), либо одна точка пересечения (h=R+ R 2 
a2
), либо
4
две точки пересечения.
8 шаг. Построение параллельной прямой к данной через данную точку
– можно построить всегда и только одну.
9 шаг. Построение точек пересечения прямой и окружности – либо нет
точек пересечения, либо одна точка пересечения, либо две точки пересечения.
10 шаг. Построение отрезков - можно построить всегда и единственным
образом.
Итог. Задача не имеет решения, если 2R<а и h<2R; одно решение, если
2R=a и h=R+ R 2 
a2
; во всех остальных случаях задача имеет два решения.
4
38
2. Метод параллельного переноса
Суть метода в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматривают другие фигуры, полученные из указанных фигур (или частей) с помощью параллельного переноса; в процессе анализа замечают, что искомая фигура будет построена если сблизить некоторые части фигуры с помощью параллельного переноса.
Пример. Построить трапецию так, чтобы ее основания и диагонали были
соответственно равны четырем данным отрезкам.
I. Анализ.
Пусть ABCD - искомая трапеция.
Для построения трапеции необходимо
знать все ее четыре вершины. Замечаем,
что если сделаем параллельный перенос
плоcкости, определяемый вектором ВС:
ВС : BD → CF, то можно построить треугольник ACF по трем сторонам: AF = a
+ b, AC = d1, CF = d2.
II. Построение.
1. отрезки а, b, d1, d2 построены;
2. Δ АCF (АF=a+b, AC= d1, CF= d2);
3. ω (A; a);
4. ω (A; a) ∩ AF=D;
5. TDA(FC)=DB
6. ВС, BA
7. АВСD – построена.
III. Доказательство.
а) построенная фигура АВСD – трапеция, т.к. по построению и свойствам
параллельного переноса CF=DB, CF║DB,
DF=CB – тогда DBCF параллелограмм и DF║DC, а т.к. точка А лежит на стороне DF, то и стороны BC║AF (основания четырехугольника параллельны);
б) в построенной трапеции ABCD :
- сторона (АD) равна данному отрезку а (по построению);
- диагональ АС = d1 по построению;
- диагональ DB = d2 по свойствам параллельного переноса;
- сторона ВС = b, т.к AF=a+b (по построению), BC=DF (по свойствам параллельного переноса), DF=AF-AD=(a+b)-a=b.
IV. Исследование.
2. шаг. Построение треугольника – можно построить единственный треугольник при условии, что a+b≤ d1 + d2.
3. шаг. Построение окружности – можно построить всегда и единственную.
4. шаг. Построение точек пересечения прямой и окружности – всегда две,
т.к. центр окружности лежит на прямой, удовлетворяющей условиям задачи –
39
только одна точка пересечения.
5. шаг. Построение параллельного переноса отрезка на данный вектор –
можно построить всегда и только один.
6. шаг. Построение отрезков - можно построить всегда и единственным
образом.
Итог. Задача имеет одно решение, если a+b≤ d1 + d2.
3. Метод поворота (вращения, симметрии)
Сущность метода поворота в том, что в процессе анализа замечают, что
задача будет решена, если построена точка пересечения данной фигуры и фигуры, подвергнутой преобразованию поворота.
Пример. Построить равносторонний треугольник, так чтобы одна вершина совпадала с данной точкой, другая принадлежала данной прямой, а третья –
данной окружности
I. Анализ.
Пусть треугольник АВС построен. Для его
построения необходимо знать положение всех его
вершин. Вершина А – определена. Заметим, что т.к.
треугольник равносторонний, то все углы по 60° и
стороны равны. Тогда точку В можно построить
при пересечении окружности и образа прямой при
повороте на угол 60° вокруг точки А. Аналогично
построим точку С.
II. Построение.
1. точка А, окружность ω(О, R),
прямая а построены.
2. RA60° (a)=a1.
3. ω(О, R)∩ a1 = {B1, B2}.
4. RA60° (ω(О, R))= ω(О1, R).
5. ω(О1, R)∩ a = {C1, C2}.
6. АВ1, АС1, В1С1.
7. ∆ АВ1С1 – построен.
III. Доказательство.
1. Построенная фигура АВ1С1
– треугольник, т.к. образован тремя
точками не лежащими на одной прямой по построению.
2. ∆ АВ1С1 – равносторонний треугольник, т.к. по свойствам поворота и
по построению ∟ В1 АС1 = 60° и АВ1= АС1 значит ∆АВ1С1 - равнобедренный,
тогда ∟ АВ1С1 и ∟ В1С1А равны, ∟ АВ1С1= (180°-60°)/2= 60°.
3. Одна вершина лежит на данной окружности – по построению; одна на
данной прямой – по построению; одна в данной точке – по построению
IV. Исследование.
2. Построение поворота – существует и единственный.
40
3. Построение точек пересечения прямой и окружности – две, одна или ни
одной.
4. Построение поворота – существует и единственный.
5. Построение точек пересечения прямой и окружности – две, одна или ни
одной.
6. Построение отрезков - существует и единственно.
Итог: Задача имеет два решения, если ω(О, R)∩ RA60° (a) в двух точках;
одно решение – если одна точка пересечения; в других случаях – решения нет.
К задачам, решаемым методом поворота, можно отнести и задачи, сводящиеся к использованию свойств центральной или осевой симметрии (поворот
на 180°).
4. Метод гомотетии (подобия)
Сущность метода в том, что а процессе анализа замечают, что условие задачи можно разделить на две части: часть задающая форму искомой фигуры,
часть определяющая размер искомой фигуры. Поэтому необходимо построить
фигуру, подобную данной, не учитывая какой-нибудь линейный размер или
специальное положение искомой фигуры относительно данных. Затем, учитывая, что коэффициент подобия равен отношению любых двух соответственных
отрезков, остается построить искомую фигуру.
Пример. Даны угол и точка А внутри него. Построить окружность, проходящую через точку А и касающуюся сторон угла.
I. Анализ.
Пусть искомая окружность построена.
Центр искомой окружности должен лежать на
биссектрисе данного угла. Снимем требование,
чтобы окружность ω проходила через А (это
подобно тому, что не требуется, чтобы расстояние от точки О до точки окружности равнялось известному отрезку а).
Тогда можно построить окружность ω1, касающуюся сторон угла.
Окружности ω и ω1 гомотетичны (с центром в точке 0). Найдем образы точек
А и В: А → А', В→В' . Очевидно, АВ‫׀׀‬А'В'.
II. Построение (чертеж предлагаем выполнить самостоятельно).
1. ˪аОс – построен.
2. ОО1 - биссектриса угла аОс.
3. О2 ϵ ОО1
4. ω (О2, R), касающуюся сторон угла в точке В ϵ ˪аОс;
5. ОА;
6. ОА ∩ ω (О2, R)=А/ ;
7. k=
ОА ОВ

( ВА ВА ), В  ОВ
АА ВВ
8. НК(ω(О2; R))=ω(O3; O3B/)
9. ω (О3, О3В/) – построена.
41
III. Доказательство
1 . Построенная фигура является окружностью по построению.
2. Окружность проходит через точку А по свойствам гомотетии; касается
сторон угла, т.к. центр лежит на биссектрисе;
IV. Исследование.
1.Окружность ω1 можно построить и бесчисленным множеством способов.
2. Пересечением ОА и ω1 всегда являются две точки А' и А".
3. Через точку А можно провести две прямые, параллельные соответственно В'А' или В'А''. Эти две прямые l1 и
l2 различны, если А  ОВ'; и совпадает, если А  ОВ'.
4. Пересечения l1 ∩ ОВ и l2 ∩ ОВ' существуют и единственны, если А ОВ' , т.е.
задача в этом случае имеет два решения.
Если же А  ОВ', то этим способом
центр искомой окружности не найдем. Для
этого принципиально нового случая найдем
новое специфичное решение: строим прямую, перпендикулярную ОА-биссектрисе данного угла. Далее проведем биссектрисы углов ОСА и МСА. Точки в1 и в2 - искомые центры.
Итог, задача имеет два решения.
42