001501-27

Шифр: 001501-27
Задание согласно варианту представлено в таблице:
Номер ветви
1
2
3
4
5
6
7
8
Начало конец
54
46
61
13
32
25
65
43
Сопротивления
290
820
440
620
590
780
360
590
Источники
ЭДС, В
0
0
0
500
0
0
100
0
Источники
тока, А
0
0
4
0
0
0
4
0
Составить баланс мощностей.
МЭГ напряжения найти ток сопротивления R2.
Найти напряжение между узлами 2 и 4 (U24).
Решение
Изобразим граф схемы. При этом расположим узлы таким образом,
чтобы ветви не пересекались (рис. 1)
7
5
1
6
2
4
6
2
8
5
3
4
3
1
Рис. 1. Граф схемы
1
Включим в ветви цепи сопротивления и источники ЭДС. Источники
тока подключаем параллельно соответствующим ветвям (рис.2).
Расчёт токов методом преобразования
На схеме (рис.2) преобразуем источник тока J03 в источник напряжения
E03:
𝐸03 = 𝐽03 ∙ 𝑅3 = 4 ∙ 440 = 1760 (В),
а источник тока J07 в источник напряжения E07:
𝐸07 = 𝐽07 ∙ 𝑅7 = 4 ∙ 360 = 1440 (В).
J07
R7
E7
I7
R1
I1
5
R2
4
6
I2
R6
R3
R8
I3
I6
I8
R5
2
J03
I4
I5
3
E4
R4
1
Рис. 2. Схема цепи.
Полученная схема показана на рисунке 3. На этой схеме источники
напряжения E7 и E07 объединены в источник напряжения 𝐸7′ , а источники
напряжения E4 и E03 объединены в источник напряжения 𝐸4′ :
𝐸7′ = 𝐸7 + 𝐸07 = 100 + 1440 = 1540 (В),
𝐸4′ = 𝐸4 + 𝐸03 = 500 + 1760 = 2260 (В),
а последовательно включённые сопротивления 𝑅3 и 𝑅4 , 𝑅5 и 𝑅6 :
𝑅34 = 𝑅3 + 𝑅4 = 440 + 620 = 1060 (Ом);
2
𝑅56 = 𝑅5 + 𝑅6 = 590 + 780 = 1370 (Ом).
E’7
R7
R1
I1
5
I’7
R2
4
6
I2
R56
R8
I’3
I6
E’4
I8
I4
I5
2
3
1
R34
Рис. 3. Преобразованная схема цепи.
Пассивный треугольник 4-5-3 преобразуем в пассивную звезду (рис.4),
где
𝑅1 ∙ 𝑅56
= 176.578 (Ом)
𝑅1 + 𝑅56 + 𝑅8
𝑅1 ∙ 𝑅8
𝑅18 =
= 76.044 (Ом)
𝑅1 + 𝑅56 + 𝑅8
𝑅8 ∙ 𝑅56
𝑅856 =
= 359.244 (Ом)
𝑅1 + 𝑅56 + 𝑅8
𝑅156 =
R1
5
4
I1
R8
R18
R56
I8
R156
R856
3
Рис.4. Преобразование «треугольник-звезда».
3
В результате этих преобразований схема будет иметь следующий вид,
представленный на рисунке 5.
R156
R18
0
E’7
5
4
I’7
R2
I2
R856
R7
6
E’4
3
R34
I4
Рис. 5. Преобразованная схема цепи
С целью дальнейшего упрощения схемы объединим последовательные
сопротивления:
𝑅7′ = 𝑅7 + 𝑅156 = 536.578 (Ом)
𝑅2′ = 𝑅2 + 𝑅18 = 896.044 (Ом)
′
𝑅34
= 𝑅856 + 𝑅34 = 1419 (Ом)
Теперь схема имеет следующий вид (рис.6):
E’7
R’7
R’2
0
R’34
I’7
I2
6
E’4
I4
Рис. 6. Преобразованная схема цепи
Далее целесообразно использовать метод узловых напряжений. Для
определения напряжения 𝑈03 необходимо составить одно уравнение:
1
1
1
𝐸7′
𝐸4′
𝑈06 ∙ ( ′ + ′ + ′ ) = ′ + ′
𝑅7 𝑅2 𝑅34
𝑅7 𝑅34
4
𝑈06 =
𝐸7′
𝐸4′
+
′
𝑅7′ 𝑅34
1
1
1
( ′ + ′ + ′ )
𝑅7 𝑅2 𝑅34
= 1211 (В)
Определим токи на рисунке 6 на основании второго закона Кирхгофа:
𝐸7′ − 𝑈06
′
′ ′
′
𝑈06 = 𝐸7 − 𝐼7 𝑅7 ;
𝐼7 =
= 0.613 (А)
𝑅7′
𝑈06
𝑈06 = 𝐼2 𝑅2′ ;
𝐼2 = ′ = 1.352 (А)
𝑅2
𝐸4′ − 𝑈06
′
′
𝑈06 = −𝐼4 𝑅34 + 𝐸4 ;
𝐼4 =
= 0.739 (А)
′
𝑅34
По схеме (рис. 5) определим напряжение между узлами 5 и 4:
𝑈54 = 𝐸7′ − 𝐼7′ 𝑅7 − 𝐼2 𝑅2 = 210.99 (В),
Определим ток 𝐼1 (рис. 3):
𝐼1 =
𝑈54
= 0.728 (А).
𝑅1
Для определения неизвестных токов 𝐼5 , 𝐼3 , 𝐼8 , 𝐼7 составим уравнение по
первому закону Кирхгофа для узлов 5 (рис. 3), 1, 4, 5 (рис. 2):
для узла 5
для узла 1
для узла 4
для узла 5
𝐼5
𝐼3
𝐼8
𝐼7
= 𝐼1 − 𝐼7′ = 0.115 (А),
= 𝐼4 − 𝐽03 = −3.261 (А).
= 𝐼1 − 𝐼2 = −0.624 (А),
= 𝐼1 − 𝐼5 − 𝐽07 = −3.387 (А).
Составление баланса мощностей.
ЭДС положительна при совпадающих направлениях ЭДС и тока ветви и
отрицательна при противоположном направлении ЭДС и тока ветви.
Мощность источника тока определяется произведением тока данного
источника и напряжения на его зажимах. Она положительна при
противоположных направлениях на зажимах источника тока и тока источника.
5
Мощность, выделяемая в активных сопротивлениях, всегда положительна
и равна:
𝐼 2 𝑅 = 𝑃.
Баланс мощности записывается в виде 𝑃ист = 𝑃пр :
𝑓
𝑛
2
∑𝑚
𝑖=1 𝐸𝑖 𝐼𝑖 + ∑𝑘=1 𝐽𝑘 𝑈𝑘 = ∑𝑙=1 𝑅𝑙 𝐼𝑙 ,
где
m - число источников ЭДС в схеме;
n - число источников тока в схеме;
f - число активных сопротивлений в схеме.
Составим баланс мощностей для схемы рис. 2:
𝑈56 = 𝐸7 − 𝐼7 𝑅7 = 1.319 ∙ 103 (В),
𝑈16 = −𝐼3 𝑅3 = 1.435 ∙ 103 (В),
𝑃ист = 𝐸4 𝐼4 + 𝐸7 𝐼7 + 𝐽03 𝑈16 + 𝐽07 𝑈56 = 1.105 ∙ 104 (Вт),
𝑃пр = 𝐼12 𝑅1 + 𝐼22 𝑅2 + 𝐼32 𝑅3 + 𝐼42 𝑅4 + 𝐼52 (𝑅5 + 𝑅6 ) + 𝐼72 𝑅7 + 𝐼82 𝑅8 =
= 1.105 ∙ 104 (Вт)
Так как мощность источников равна мощности тепловых потерь, то
значения рассчитанных токов верны.
Определение напряжения 𝑈24 .
Для определения напряжения 𝑈24 воспользуемся рисунком 2. Тогда на
основании второго закона Кирхгофа можно записать:
𝜑2 = 𝜑4 + 𝐼1 𝑅1 + 𝐼6 𝑅6 .
Отсюда
𝑈24 = 𝜑2 − 𝜑4 = 𝐼1 𝑅1 + 𝐼6 𝑅6 = 300.534 (В).
6
Определение тока в резисторе 𝑅2 методом эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора используется для исследования
работы какого-либо участка в сложной электрической цепи.
Разделим электрическую цепь на две части: эквивалентный генератор и
потребитель (рис. 7).
R2
4
I2
6
Eэ
Rэ
Рис. 7. Эквивалентная схема замещения
На схеме (рис.7) искомый ток 𝐼2 определим по закону Ома для
замкнутой цепи:
𝐼2 =
𝐸э
,
𝑅2 + 𝑅э
где
𝐸э - ЭДС эквивалентного генератора, величину которой определяют как
напряжение на зажимах генератора в режиме холостого хода (𝐸э = 𝑈хх );
𝑅э - внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, величину
которого определяют как эквивалентное сопротивление пассивного
двухполюсника относительно исследуемых зажимов.
Для определения напряжения на зажимах генератора в режиме холостого
хода исключим из рассматриваемой цепи (рис. 2) ветвь, содержащую
сопротивление R2, и представим остальную часть цепи (режим холостого хода):
7
J07
R7
I7
R1
I1
5
E7
4
Uxx
6
I2
R6
R3
R8
III
I6
R5
I3
II
J04
I8
I4
I5
2
3
R4
E4
1
Рис. 8. Схема для расчета 𝐸э
Методом контурных токов определим токи в ветвях схемы. Составим
уравнения по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов (рис.8):
(𝑅 + 𝑅3 + 𝑅4 + 𝑅8 + 𝑅1 )𝐼𝐼 − (𝑅1 + 𝑅8 )𝐼𝐼𝐼 + 𝐽03 𝑅3 − 𝐽07 𝑅7 = 𝐸4 − 𝐸7
{ 7
(𝑅5 + 𝑅6 + 𝑅1 + 𝑅8 )𝐼𝐼𝐼 − (𝑅1 + 𝑅8 )𝐼𝐼 = 0
Отсюда:
𝐼𝐼 = 0.368(А),
𝐼𝐼𝐼 = 0.144 (А).
Тогда токи в ветвях схемы равны:
𝐼07 = −𝐼𝐼 − 𝐽03 = −4.368(А);
𝐼01 = 𝐼𝐼𝐼 − 𝐼𝐼 = −0.224 (А);
Знание токов 𝐼07 и
𝐼01 позволяет определить напряжение холостого
хода:
𝑈хх = 𝐼07 𝑅7 − 𝐼01 𝑅1 + 𝐸7 = 1738 (В).
8
Для расчёта внутреннего сопротивления эквивалентного генератора
необходимо преобразовать активный двухполюсник (рис. 8) в пассивный, при
этом источники ЭДС закорачиваются, а источники тока размыкаются:
R7
R1
4
5
R6
Rэ
6
R8
R3
R5
2
1
R4
Рис.9. Схема для расчета 𝑅э
Необходимо найти сопротивление между точками 4 и 6.
Заменим треугольник резисторов 𝑅1 𝑅8 , и 𝑅56 звездой. Схема замещения
представлена на рисунке 10.
R7
R156
R18
R2
0
6
R856
Rэ
R3
Рис. 10. Схема замещения треугольника звездой
Сопротивления 𝑅156 , 𝑅18 , 𝑅856 равны:
𝑅1 ∙ 𝑅56
= 176.578(Ом)
𝑅1 + 𝑅56 + 𝑅8
𝑅1 ∙ 𝑅8
𝑅18 =
= 76.044 (Ом)
𝑅1 + 𝑅56 + 𝑅8
𝑅8 ∙ 𝑅56
𝑅856 =
= 359.244 (Ом)
𝑅1 + 𝑅56 + 𝑅8
𝑅156 =
9
Тогда
𝑅э = 𝑅18 +
(𝑅7 + 𝑅156 )(𝑅856 + 𝑅34 )
= 465.413 (Ом).
𝑅7 + 𝑅156 + 𝑅856 + 𝑅34
Зная 𝐸э = 𝑈хх и 𝑅э , найдем ток исследуемой ветви:
𝐼02 =
𝐸э
= 1.352 (А).
𝑅2 + 𝑅э
Построение потенциальной диаграммы.
Для построения потенциальной диаграммы необходимо знать
напряжение на всех элементах контура, а также сопротивления всех элементов
контура. На рис. 11 показан контур, для которого мы будем строить
потенциальную диаграмму.
R2
I2
4
6
R3
R8
2
I4
I8
E03
R4
3
5
I4
E4
1
Рис. 11. Контур для построения потенциальной диаграммы
Базисную точку выберем произвольно, например точку 4. Построение
будем производить, обходя контур по часовой стрелке.
Определим потенциалы точек:
𝜑6 = 𝜑4 − 𝐼2 𝑅2 = −1108 (В);
𝜑2 = 𝜑6 − 𝐼4 𝑅4 = −1434 (В);
𝜑1 = 𝜑2 + 𝐸03 = 326.431 (В);
𝜑5 = 𝜑1 + 𝐸4 = 826.431 (В);
𝜑3 = 𝜑5 − 𝐼4 𝑅4 = 368.265 (В);
𝜑4 = 𝜑3 + 𝐼8 𝑅8 = 0 (В);
10
По оси абсцисс будем откладывать значения сопротивлений элементов,
а по оси ординат – значения потенциалов точек. Базисную точку помещаем в
начало координат (рис.12).
U(В)
1000
5
750
500
4
3
1
250
250
500
750
1000
1250
1500
1750
2000
2250
2500
R(Ом)
4
0
-250
-500
-750
-1000
6
-1250
2
-1500
Рис. 12. Потенциальная диаграмма
Результаты расчетов представим в виде таблицы:
I1 , А
I2 , А
I3 , А
I4 , А
I5 , А
I6 , А
0.728
1.352 -3.261
0.739
0.115
0.115 -3.387 -0.624 300.534
I7 , А I8 , А U24 ,В Uхх , В
Rэ,
Ом
Р, Вт
1738 465.413 11050
11
Литература
1. Ю.Г.Толстов, А.А. Теврюков: Теория электрических цепей. Москва: 1970;
2. Башарин С.А., Федоров В. А.: Теоретические основы электротехники.
Теория электрических цепей и электромагнитного поля. Москва: 2004г.
3. Методическая разработка БГУИР.
4. Интернет
12