Сопротивление в цепи переменного тока

-1-
Цепи переменного тока
Переменный ток можно считать квазистационарным, т.е. для него мгновенные
значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, так как их
изменения происходят достаточно медленно, а электромагнитные возмущения
распространяются по цепи со скоростью, равной скорости света.
В дальнейшем рассматриваем квазистационарные цепи, для которых τ<<Т,
где τ – время распространения колебаний в цепи;
Т – период колебаний.
Режим будем считать установившимся, токи и напряжения меняются по
гармоническому закону.
Сопротивление в цепи переменного тока
В цепь переменного тока включен резистор сопротивлением R.
Напряжение на входе
U  U 0 cos t .
Сила тока через сопротивление определяется законом Ома:
I
U U0

cost  I 0 cost ,
R R
I0 
U0
R
– амплитуда силы тока
R
U0
I0
– омическое сопротивление цепи.
Фазы силы тока и напряжения – одинаковы.
Введем понятие векторной диаграммы: это изображение гармонических
колебаний (комплексных чисел) в комплексной плоскости.
Для омического сопротивления векторная диаграмма:
-2-
она соответствует графикам:
Конденсатор в цепи переменного тока
В цепь переменного тока включен конденсатор емкостью C.
Напряжение на входе U
 U 0 cos t .
Если переменное напряжение приложено к конденсатору, то он все время
перезаряжается и в цепи течет переменный ток.
Заряд на пластинах конденсатора:
Q  СU
C – емкость конденсатора, Q – заряд одной из пластин.
Сила тока:
I
dQ d
d
 (CU )  C (U 0 cost )  CU 0 sin t .
dt dt
dt

I  I 0 cos(t  )
2
I 0  CU 0 
U0
1
C 
По аналогии с законом Ома для постоянного тока, введем
-3-
Rc 
U0
1

– реактивное емкостное сопротивление.
I 0 c
Фазы тока и напряжения отличаются на  : ток опережает напряжение на
2
 , или напряжение отстает от тока на  .
2
2
Если ток – постоянный,   0, Rc 
1
  . Т.е. постоянный ток через
c
конденсатор течь не может.
Индуктивность в цепи переменного тока
В цепь переменного тока включена катушка индуктивностью L.
Напряжение, приложенное к концам участка:
U  U 0 cos t
Если в цепи приложено переменное напряжение, то в ней потечет переменный
ток, в результате чего возникнет ЭДС самоиндукции
 сам оинд   L
dI
dt
Закон Ома для рассматриваемого участка цепи:
-4-
U L
dI
0
dt
Отсюда:
L
dI
 U 0 cost ,
dt
dI 
I
Uo
costdt
L
U0

sin t  I 0 cos(t  )
L
2
Введем RL  L – реактивное индуктивное сопротивление;
Фазы тока и напряжения отличаются на  : ток отстает от напряжения на
2

2
или напряжение опережает ток на  2 .
Причина появления индуктивного сопротивления – эдс самоиндукции,
возникающая в катушке, если ток – постоянный,   0, J L  L  0 , т.к. эдс
самоиндукции не возникает в катушке, по которой течет постоянный ток.
R, L, C – в цепи переменного тока
В цепь переменного тока последовательно включены: катушка индуктивностью
L, резистор сопротивлением R, конденсатор емкостью С.
-5-
Напряжение, приложенное к концам участка:
на входе
U  U 0 cos t .
Сумма мгновенных значений падений напряжений на элементах цепи:
U L  UC  U R  U
Из векторной диаграммы следует, что U 0  U oR2  (U oL  U oC ) 2 ,
Сила тока в цепи:
I  I 0 cos(t   )
Сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением:
  arctg
Z
U 0 L  U 0C
.
U 0R
U0
1 2
 R 2  (L 
) – полное сопротивление цепи.
I0
C
(L 
1
) - активное сопротивление.
C
Z минимально, когда (L 
1
)  0 . При этом Z min  R , а сила тока в цепи –
C
максимальна. Это явление носит название: «резонанс напряжений».

1
– резонансная частота.
LC
При резонансе U 0 L
 U 0C
и векторная диаграмма примет вид:
-6-
Мощность в цепи переменного тока
Закон Джоуля – Ленца для постоянного тока имеет вид P  UI .
Напряжения и силу тока для цепи переменного тока запишем в виде:
I  I 0 cos t , U  U 0 cos(t   ) .
Мгновенное значение мощности:
P(t )  I (t )  U (t )  I 0U 0 cos t  cos(t   ) .
Среднее значение мощности (за период):
Pср 
I 0U 0 T
1T
P
(
t
)
dt


 cost  cos(t   )dt
T0
T 0
Pср 
I 0U 0
cos .
2
средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока, зависит от сдвига
фаз φ между током и напряжением.
Pср для идеальной катушки (φ=π/2) и для идеального конденсатора (φ= –π/2)
равна нулю.
Тепловая мощность выделяется только в омическом сопротивлении. В
случае идеальной катушки идет перекачка энергии источника в энергию
магнитного поля катушки и назад – в источник. В случае конденсатора – в
энергию электрического поля и назад – в источник.
Эффективный ток.
Мощность, выделяемая на омическом сопротивлении
P  I 2 R , I  I 0 cos t .
Эффективный ток – это такой постоянный ток, который выделяет в нагрузке ту же
мощность, что и данный переменный, т.е.
2
I 2 (t ) R  I эфф
 R – за некоторый промежуток времени (например, за период)
I
2
эфф
I эфф
I 02 T
I 02
1T 2
2
  I (t )dt   cos tdt 
T0
T 0
2
I
 0
2
-7-
Аналогично, для напряжения: U эфф 
U0
.
2
Как правило, амперметры и вольтметры измеряют эффективные значения тока и
напряжения.