Порядок решения задачи

Порядок решения задачи
В задаче требуется найти показание амперметра, включенного в нулевой
провод, и значение начальной фазы тока в нулевом проводе. Показание
амперметра – это величина тока в нулевом проводе. При решении задачи
электрические величины представляются в комплексном виде, и далее все
действия выполняются с комплексными величинами по соответствующим
математическим правилам. Для выполнения вычислений нужен инженерный
калькулятор (в виде аппарата или в виде программы на смартфоне или на
ПК), в котором, в частности, имеются функции вычисления синусов,
косинусов, арктангенсов, причем они должны читать или возвращать
значения в градусах, а не в радианах, иначе будут ошибки при вычислениях.
Это легко проверить: если при вычислении синуса от числа 30 на
калькуляторе получается 0,5, то калькулятор работает с градусами, если нет –
то нужно изменить настройки или использовать другой калькулятор.
Численный пример: UAB=380, f=50 Гц, С=5 мкФ, L=1 Гн, RL=127 Ом, R=200
Ом. Найти: ток в нулевом проводе I0 и начальную фазу тока в нулевом
проводе φI0. В этом примере округление осуществляется не по требуемым
правилам, чтобы не усложнять объяснение и сосредоточить внимание на сути
решения задачи.
1. Записываем в комплексном виде фазные напряжения:
380
380
380
𝑈̇𝐴 =
∙ ej0˚ вольт; 𝑈̇𝐵 =
∙ e-j120˚ вольт; 𝑈̇С =
∙ ej120˚ вольт;
√3
√3
√3
𝑈̇𝐴 = 219 ∙ ej0˚ вольт; 𝑈̇𝐵 = 219 ∙ e-j120˚ вольт; 𝑈̇С = 219 ∙ ej120˚ вольт.
2. Рассчитываем и записываем в комплексном виде сопротивления элементов
цепи:
ZR=200∙ej0˚ Ом – комплексное сопротивление резистора;
5 мкФ=0,000005 Ф – переводим емкость конденсатора в системные единицы;
ZС=(1/(2∙π∙50∙0,000005))∙e-j90˚ Ом =637∙e-j90˚ Ом – комплексное сопротивление
конденсатора;
L=1 Гн – индуктивность дросселя; RL=127 Ом – сопротивление обмотки
дросселя;
|ZL|=√(2 ∙ π ∙ 50 ∙ 1)2 + 1272 = 339 Ом – модуль комплексного сопротивления
дросселя;
φL=arctg(
2∙π∙50∙1
127
)=68˚ – аргумент комплексного сопротивления дросселя;
ZL=339∙ej68˚ – комплексное сопротивление дросселя.
3. Рассчитываем по закону Ома комплексные фазные токи:
𝐼𝐴̇ = (219 ∙ ej0˚)/(200∙ej0˚)=219/200∙ej(0˚-0˚)=1,095∙ej0˚ ампер – ток фазы А;
𝐼𝐵̇ = (219 ∙ e-j120˚)/(339∙ej68˚)=219/339∙ej(-120˚-68˚)=0,646∙e-j188˚ ампер – ток фазы B;
𝐼𝐶̇ = (219 ∙ ej120˚)/(637∙e-j90˚)=219/637∙ej(120˚-(-90˚))=0,344∙ej210˚ ампер – ток фазы C.
4. Переводим комплексные фазные токи из показательной формы в
алгебраическую форму:
𝐼𝐴̇ =1,095∙cos(0˚)+j∙1,095∙sin(0˚) = 1,095+j∙0;
𝐼𝐵̇ =0,646∙cos(-188˚)+j∙0,646∙sin(-188˚) = -0,64+j∙0,09;
𝐼𝐶̇ =0,344∙cos(210˚)+j∙0,344∙sin(210˚) = -0,298-j∙0,172.
5. Комплексный ток в нулевом проводе равен:
𝐼0̇ =𝐼𝐴̇ +𝐼𝐵̇ +𝐼𝐶̇ =1,095+j∙0–0,64+j∙0,09–0,298–j∙0,172=0,157–j∙0,082.
6. Переведем комплексный ток в нулевом проводе из алгебраической формы
в показательную форму:
|𝐼0̇ |=√(0,157)2 + (−0,082)2 = 0,1771 А – модуль комплексного тока в
нулевом проводе;
φI0=arctg(
−0,082
0,157
)=-28˚ – аргумент комплексного тока в нулевом проводе;
𝐼0̇ =0,1771 ∙ e-j28˚ А – комплексный ток в нулевом проводе в показательной
форме записи.
7. Ответ:
0,1771 А – показание амперметра;
-28˚ – значение начальной фазы тока в нулевом проводе.