Решение задачи определения взаимного расположения

УДК 004(06) Информатика и процессы управления
М.А. ГАЛЬКОВ, Н.А. КРИЦЫНА, П.В. ХАЙБУЛИН
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЗАИМНОГО
РАСПОЛОЖЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИНИЙ
НА ПОВЕРХНОСТИ СФЕРЫ И ЗЕМНОГО ЭЛЛИПСОИДА
В работе даны постановка и алгоритмы решения задач определения взаимного
расположения геодезических линий на поверхности сферы и земного эллипсоида.
Суть первого алгоритма состоит в тривиальном анализе расположения
геодезических линий на основе координат их вершин, а суть второго алгоритма
заключается в сведении геодезической задачи к задаче Коши.
В настоящее время в теории высшей геодезии принято три основных
определения геодезической линии:
1. Это линия на поверхности, в каждой точке которой главная нормаль
к кривой [1] совпадает с нормалью к поверхности.
2. Это кривая на поверхности, в каждой точке которой геодезическая
кривизна [1] равна нулю.
3. Это линия кратчайшего расстояния между двумя точками поверхности.
Данные определения справедливы для всякой регулярной поверхности, в
том числе для поверхностей сферы и общего земного эллипсоида. Две
геодезические линии на поверхности сферы и земного эллипсоида по
отношению друг к другу могут располагаться следующим образом: не
пересекаться (не иметь общих точек), пересекаться в одной точке (при этом
точка пересечения не является вершиной какой-либо из двух геодезических
линий), упираться одна в другую (то есть иметь одну общую точку, которая
является вершиной одной линии, но не является вершиной другой линии),
совпадать (все точки одной линии являются точками другой линии и
наоборот), накладываться (все точки одной линии являются точками другой
линии, а обратное неверно), иметь одну общую вершину, но не
накладываться.
Алгоритм решения задачи определения взаимного расположения
геодезических линий на поверхности сферы основан на том факте, что
геодезическая линия является плоской кривой и однозначно задаётся
координатами своих вершин. В качестве координат выступают
географическая широта φ и географическая долгота λ. Алгоритм
опирается на решение следующих подзадач:
ISBN 5-7262-0555-3. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2005. Том 12
51
УДК 004(06) Информатика и процессы управления
1. Определение факта принадлежности точки, заданной своими
географическими координатами, геодезической линии, заданной
географическими координатами своих вершин.
2. Определение взаимного расположения одной геодезической линии и
плоскости, содержащей другую геодезическую линию.
В ходе алгоритма возникает необходимость расчёта длин
геодезических линий. Данный расчёт производится на основе
классического решения обратной геодезической задачи на шаре [1].
К решению аналогичной задачи на поверхности земного эллипсоида
вышеприведённый алгоритм применим лишь для малых расстояний. В
общем случае для решения задачи определения взаимного расположения
геодезических линий на поверхности земного эллипсоида предлагается
алгоритм, основанный на аналитическом описании геодезических линий.
Каждая точка геодезической линии характеризуется своей геодезической
широтой B, геодезической долготой L и азимутом A [1]. На любой
поверхности вращения данная линия может быть описана системой
дифференциальных уравнений
где:
N
M 
c
1  e 2 cos 2 B
с
(1  e cos 2 B ) 3
2
sin A
 dL
 ds  N cos B ,

 dA tgB

sin A,

N
 ds
 dB cos A
 ds  M ,

-
(1)
главный
радиус
кривизны
[1],
- радиус первого вертикала [1], е2 =0,0067385254, с =
6 399 698,9018 м. Известны геодезические координаты вершин линии B0,
L0, B1, L1. Не нарушая общности, в качестве начальной можно выбрать
точку (B0, L0) и, решив обратную геодезическую задачу на эллипсоиде [1]
методом Бесселя [1], определить азимут A0, а также длины s1 и s2
геодезических линий. Система (1) вместе с начальными условиями
B(0)=B0, L(0)=L0, A(0)=A0 образует задачу Коши, которую предлагается
решать явным методом Рунге-Кутты 4-ого порядка для каждой из двух
линий. Анализ численного решения задачи Коши позволяет сделать вывод
о взаимном расположении геодезических линий. Как правило, решать
задачу Коши в данном алгоритме приходится многократно.
Список литературы
ISBN 5-7262-0555-3. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2005. Том 12
52
УДК 004(06) Информатика и процессы управления
1. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии. Издание второе, переработанное и
дополненное. М., Недра, 1979. 296 с.
ISBN 5-7262-0555-3. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2005. Том 12
53