ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА

ВИРТУАЛЬНАЯ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 17в (2_8)
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Методические указания для работы с программой «Открытая Физика 1.1»
Цель работы:
* Знакомство с моделированием процесса сложения когерентных электромагнитных волн.
* Экспериментальное исследование интерференции световых волн от двух источников (щелей).
Краткая теория
Волной называется возмущение физической характеристики (физической величины), имеющее произвольную форму и распространяющееся в пространстве при сохранении формы этого возмущения. Гармонической называется волна, у которой возмущение физической характеристики зависит от координат и
времени по закону синуса или косинуса. Длиной волны называется пространственный период волны, т.е.
минимальное расстояние, через которое возмущение полностью повторяется. Волновой поверхностью
или фронтом волны называется геометрическое место точек, в каждой из которых в данный момент времени фаза изменения (колебаний) физической величины одна и та же. Волна называется плоской, если ее
волновые поверхности представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу.
Форму волны и направление ее распространения определяет источник, который порождает волну. Скорость распространения волны определяют свойства среды, в которой она распространяется. Для электрос
магнитной волны это есть показатель преломления среды:   .
n
Уравнение волны. Если колебания физической величины s в начале координат происходят по некоторому закону s=f(t), то колебания в любой другой точке волны с координатой x сдвинуты по времени на x/,
где  – скорость распространения волны. Поэтому в общем виде уравнение плоской волны имеет вид
x
s  f (t  ) .
(17.1)

Уравнение плоской волны, распространяющейся в противоположном направлении
x
s  f (t  ) .

Рассмотрим плоскую гармоническую волну. Если колебания величины s в точках, лежащих в плоскости x=0, описываются функцией
s (0, t )  A cos t ,
то в точках плоскости, расположенной на расстоянии x от начала координат, колебания будут отставать по
x
времени на время   . Тогда уравнение колебаний величины s в точках, лежащих в плоскости x, т.е.

уравнение волны, в соответствие с (17.1) имеет вид
x

s ( x, t )  A cos   t   ,
(17.2)
 
откуда следует, что s ( x, t ) является не только периодической функцией времени, но периодической функцией координаты x. Пространственным периодом является длина волны , что хорошо видно, если, с уче2 
 2
t
x  . Если плоская волна распротом формулы   T , представить (17.2) в виде s( x, t )  A cos
 
 T
страняется в противоположном направлении, то
x

s ( x, t )  A cos   t   .
 
В общем случае уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси x в среде, не поглощающей энергию, имеет вид
 

x
s( x, t )  A cos   t     0  ,
(17.3)
  

где A=const – амплитуда волны;  – циклическая частота; 0 – начальная фаза волны, определяемая в
 

x
общем случае выбором начал отсчета x и t;   t     0  – фаза плоской волны.
  

1
Для характеристики волн используется волновое число
2 2 
k

 .
(17.4)
 T 
Учитывая (17.4), уравнению плоской волны (17.3) можно придать компактный вид
(17.5)
s( x, t )  A cos(t  kx  0 ) .
Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси x, отличается от (17.5)
только знаком перед kx.
Можно доказать, что уравнение сферической волны – волны, волновые поверхности которой имеют
вид концентрических сфер, – записывается так:
a
s (r , t )  0 cos(t  kr   0 ) ,
(17.6)
r
где r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды; а0 – амплитуда волны на расстоянии
r=1 м от центра волны.
В случае распространения плоской или сферической волны в поглощающей среде в формулы (17.5) или
(17.6) нужно добавить множитель, соответственно, e   x или e   r , где  – коэффициент затухания волны.
Интерференция и дифракция света. Между дифракцией и интерференцией нет существенных физических различий. Оба явления заключаются в перераспределении в пространстве энергии светового потока, возникающем в результате суперпозиции (наложения) волн.
Необходимым условием интерференции волн является их когерентность. Когерентностью называется
согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов.
Когерентными называются волны, для которых разность фаз возбуждаемых ими колебаний остается постоянной во времени. Когерентными являются гармонические волны с одинаковыми частотами или длинами волн: в этом случае в некоторой точке, в которой сходятся две волны, разность фаз
 
  
 
x
y
  t      0     t     1     y  x    0  1  const .


 
  

Для света когерентными являются монохроматические волны – неограниченные в пространстве гармонические волны одной определенной и строго постоянной частоты. Из-за поперечности электромагнитных волн для получения интерференционной картины кроме когерентности еще необходимо, чтобы коле
бания векторов E электромагнитных полей интерферирующих волн совершались вдоль одного и того же
или близких направлений.
Интерференцией называется устойчивое перераспределение в пространстве интенсивности результирующей волны, возникающее в результате суперпозиции волн, возбуждаемых конечным количеством дискретных когерентных источников волн.
Дифракцией называется устойчивое перераспределение в пространстве интенсивности результирующей волны, возникающее в результате суперпозиции волн, возбуждаемых расположенными непрерывно
когерентными источниками волн (вторичными источниками). Одним из проявлений дифракции является
распространение волны в область геометрической тени, то есть туда, куда не попадают световые лучи.
Проникновение световых волн в область геометрической тени качественно может быть объяснено с
помощью принципа Гюйгенса, который устанавливает способ построения фронта волны в момент времени t+t по известному положению фронта в момент времени t. Согласно принципу Гюйгенса, каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит центром вторичных волн; огибающая этих волн дает
положение фронта волны в следующий момент (рис. 17.1; среда предполагается неоднородной – скорость
волны в нижней части рисунка больше, чем в верхней).
Пусть на плоскую преграду с отверстием падает параллельный ей фронт волны (рис. 17.2). По Гюйгенсу каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит центром вторичных волн, которые в однородной и изотропной среде будут сферическими. Построив огибающую вторичных волн, мы
убеждаемся в том, что за отверстием волна проникает в область геометрической тени (на рисунке границы
этой области показаны пунктиром), огибая края преграды.
2
Рис. 17.1
Рис. 17.2
Однако принцип Гюйгенса не дает сведений об амплитуде, а, следовательно, и об интенсивности волн,
распространяющихся в различных направлениях. Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением
об интерференции вторичных волн. Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет найти амплитуду результирующей волны в любой точке пространства. Развитый таким способом принцип Гюйгенса получил
название принципа Гюйгенса–Френеля. Согласно принципу Гюйгенса–Френеля каждый элемент dS волновой поверхности S (рис. 17.3) служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой
пропорциональна величине элемента dS. Амплитуда сферической волны убывает с расстоянием r от источника по закону 1/r (см. (17.6)). Следовательно, от каждого участка dS волновой поверхности в точку
наблюдения P, лежащую перед этой поверхностью, приходит колебание
a dS
dE  K 0 cos(t  kr   0 ) .
(17.7)
r
В этом выражении dE – величина напряженности электрического поля электромагнитной волны, создаваемой элементом площади dS; t   0 – фаза колебания в месте расположения волновой поверхности S;
k=2/ – волновое число; r – расстояние от элемента поверхности dS до точки P. Множитель a0 определяется амплитудой светового колебания в том месте, где находится dS. Коэффициент K зависит от угла 

между нормалью n к площадке dS и направлением на точку наблюдения P. При =0 этот коэффициент
максимален, при =/2 он обращается в нуль.
Результирующее колебание в точке P представляет собой суперпозицию колебаний (17.7), взятых для
всей волновой поверхности S:
a
(17.8)
E   K ( ) 0 cos(t  kr  0 )dS
r
S
Эта формула является аналитическим выражением принципа Гюйгенса–Френеля.
Кратко принцип Гюйгенса–Френеля может быть сформулирован так: каждый элемент волновой поверхности является источником вторичной сферической волны, а волна в любой следующей точке в
направлении распространения волны может быть найдена как результат суперпозиции когерентных волн,
излучаемых указанными вторичными источниками.
Вычисления по формуле (17.8) представляют собой в общем случае очень трудную задачу. Однако, как
показал Френель, в случаях, отличающихся симметрией, нахождение амплитуды результирующего колебания может быть осуществлено простым алгебраическим или геометрическим суммированием. Для этого
поверхность волнового фронта нужно разбить на зоны Френеля.
Рис. 17.3
Рис. 17.4
3
Зонами Френеля называются такие участки на поверхности волнового фронта, для которых излучение
от двух соседних участков при сложении дает практически нулевой (минимальный) результат (излучение
от двух соседних зон Френеля компенсируется). Расстояния от краев каждой зоны до точки наблюдения
отличаются на /2. На рис. 17.4 показаны зоны Френеля для сферического волнового фронта. Если взять
произвольную точку внутри любой зоны Френеля, то в соседней зоне всегда найдется такая точка, что разность хода волн от этих точек до точки наблюдения будет равна /2 и результат интерференции будет нулевой.
Основной принцип интерференционных схем. Общий принцип получения когерентных световых
волн (от обычных источников) таков: волну, излучаемую одним источником света, разделяют тем или
иным способом на две части и затем накладывают их друг на друга подходящим способом. В каждой из
разделенных волн представлено излучение одних и тех же атомов источника. Из-за общности происхождения обе эти системы волн когерентны между собой и интерферируют при наложении. Образовавшиеся
после разделения вóлны во всех интерференционных схемах можно представить как бы исходящими из
двух точечных источников. Поэтому рассмотрим интерференцию от двух точечных источников.
Рис. 17.5
Пусть два точечных когерентных источника расположены в вакууме на расстоянии d друг от друга и
на расстоянии L >> d от экрана (рис. 17.5). Линия источников (1 и 2) параллельна экрану. Тогда, максимум
при интерференции волн на экране будет наблюдаться при условии, что разность хода r=r2–r1 волн, приходящих в данную точку экрана, равна целому числу длин волн (кратна длине волны):
r = m
(m = 0, 1, 2, ...).
(17.9)
Минимум будет наблюдаться, если разность хода будет равна нечетному числу полуволн:

r  (2m  1)
(m = 0, 1, 2, ...).
(17.10)
2
Если волны от источников распространяются не в вакууме, а в среде с показателем преломления n, то в
условиях максимума (17.9) и минимума (17.10) вместо геометрической разности хода r=r2–r1 нужно
подставлять оптическую разность хода интерферирующих волн: =n(r2–r1). При этом  – это попрежнему длина волны в вакууме. При распространении интерферирующих волн в различных средах с показателями преломления n1 и n2 оптическая разность хода запишется =n2r2–n1r1=L2–L1, где L2= n2r2 и
L1= n1r1 – оптические длины путей, проходимых волнами.
Из рис. 17.5 видно, что при большом расстоянии до экрана L >> d, разность хода r можно записать
r = d sin .
Тогда в соответствие с (17.9) условие максимума при интерференции от двух точечных когерентных источников будет
d sin = m.
(17.11)
Если l – расстояние между центральным (нулевым) и первым интерференционными максимумами (оно
равно координате первого максимума l  xmax ), то при L >> d получаем
d
l 
2  2l  d  l  d   l .
sin  tg =
(17.12)
L
2L
L 2L L
Тогда формулу (17.11) для первого максимума (m=1) можно записать так:
4
d
l
,
L
откуда
1
.
(17.13)
d
Такой же формулой выражается и расстояние l между двумя любыми соседними максимумами или
минимумами (ширина интерференционной полосы).
Практически для получения более яркой интерференционной картины вместо точечных источников 1 и
2 используют две щели, как, например, в опыте Юнга (рис. 17.6). Все полученные в данном пункте формулы ((17.9)-(17.13)) остаются верными и для двух щелей.
l = λL
Рис. 17.6
Порядок выполнения работы
Запустите программу. Выберите «Оптика» и «Интерференционный опыт Юнга» (рис. 17.6).
1. Нажмите вверху внутреннего окна кнопку
2. Закройте окно теории. Нажмите кнопку
шение в конспект.
. Прочитайте краткие теоретические сведения.
и решите задачу. Проверьте ваш ответ и напишите ре-
3. Закройте окно с задачей. Подведите маркер мыши к движку регулятора
длины волны , нажмите левую кнопку мыши и, удерживая ее в нажатом состоянии, двигайте движок, установив
числовое значение длины волны 1, взятое из табл. 17.1 для вашего варианта. Для точной установки значения длины волны, можно пользоваться кнопками и . Запишите значение 1 в табл. 17.2.
4. Аналогичным образом, зацепив мышью движок регулятора
расстояния d между щелями, установите минимальное значение d = 1 мм. Теперь двигайте движок регулятора в сторону увеличения d до тех пор, пока на графике распределения интенсивности вдоль экрана не станет виден первый
максимум (примерно так, как показано на рис. 17.6). Измерьте, используя шкалу на экране, расстояние l
между нулевым и первым максимумами. Запишите l и соответствующее значение d в табл. 17.2. Увеличивая d каждый раз на 0,2-0,3 мм, измерьте еще несколько значений расстояния l (до конца шкалы d, не
менее 4 замеров).
5. Устанавливая новые числовые значения длины волны  из табл. 17.1 для вашего варианта, повторите
измерения по п. 4, записывая результаты в табл. 17.3, 17.4, 17.5, аналогичные таблице 17.2.
6. Сделайте оценочный расчет произведения L по крайним в таблице 17.2 значениям l и 1/d, напри(l )8  (l )1
мер, для первого и восьмого замеров: L 
. Проведите подобный оценочный расчет для
1 1
   
 d 8  d 1
табл. 17.3-17.5. Подойдите к преподавателю на проверку.
5
Таблица 17.1
Вариант 
1, нм
2, нм
3, нм
4, нм
1
400
500
580
630
2
405
505
585
635
3
410
510
590
640
4
415
515
595
645
5
420
520
600
650
6
425
525
605
655
7
430
530
610
660
8
435
535
615
665
Таблица 17.2 (17.3, 17.4, 17.5)
 = … нм, цвет: …
Номер замера 
1
2
3
4
5
6
7
8
d, мм
l, мм
1/d, мм–1
L, мм2
Обработка результатов измерений
1. Рассчитайте и внесите в таблицы значения 1/d обратного расстояния между щелями.
2. Постройте на одном рисунке графики экспериментальных зависимостей смещения первого максимума l от обратного расстояния между щелями 1/d (указав на них длину волны ).
3. Для каждой линии определите по наклону графика (с учетом масштаба) экспериментальное значение
(l )
произведения L, используя формулу L  tg 
, где  – угол наклона графика к оси 1/d.
1
 
d 
4. По найденным графическим способом значениям произведения L определите для каждой линии
экспериментальное значение длины волны  и сравните его с точным. Расстояние от щелей до экрана в
модели взято L=4 м.
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Что такое волна?
Что такое гармоническая волна?
Что такое длина волны?
Напишите математическое условие того, что функция f(x, t) описывает волну.
Что определяет форму волны и направление ее распространения?
Что определяет скорость распространения волны?
Напишите математическую функцию, определяющую плоскую гармоническую волну, распространяющуюся в
положительном направлении оси x.
Что такое когерентность?
Дайте определение когерентных волн.
Дайте определение явления интерференции.
Дайте определение явления дифракции.
Что такое волновая поверхность?
Сформулируйте принцип Гюйгенса–Френеля.
Дайте определение зон Френеля.
Напишите формулу для напряженности электрического поля dE электромагнитной волны, излучаемой элементарным участком площадью dS волновой поверхности в точке наблюдения, расположенной на расстоянии r от
этого участка. Поясните рисунком.
Что такое разность хода двух гармонических волн, излучаемых двумя точечными источниками в вакууме?
При какой разности хода двух гармонических волн при их сложении наблюдается максимум?
При какой разности хода двух гармонических волн при их сложении наблюдается минимум?
Запишите формулу интерференционного максимума для волн, излучаемых под углом  двумя точечными источниками, расположенными на расстоянии d друг от друга.
Запишите формулу для координаты x первого интерференционного максимума для волн, излучаемых двумя точечными источниками, расположенными на расстоянии d друг от друга при большом расстоянии до экрана
L>>d.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
6
1. Трофимова Т. И., Курс физики, М.: Академия, 2007. С. 281-285 (§ 153, 154), 286-287 (§ 156), 318-324 (§ 171-173), 331335 (§ 176-177).
2. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики: Учеб. пособ. для втузов. – М.: Высш. шк., 2000. С. 387-389 (§ 29.2), 420-426
(§ 31.1, 31.2), 436-440 (§ 32.1).
Сост. преп. Харитонов Д.В.
на основе учеб. пособия Ю.В. Тихомирова
«Лабораторные работы по курсу физики
с компьютерными моделями» М., 2002.
2009-05-29
7