МФТИ, 2012-2013 уч.г., 18.10.2012 Темы: Частичное равновесие: случай совершенной конкуренции. План 1. Частичное равновесие: описание модели; определение равновесия; совокупный спрос и совокупное предложение; графическая иллюстрация поиска равновесия. Основные определения Потребители: Пусть в экономике два товара: x и m и M потребителей с квазилинейными функциями полезности u k ( x k , m k ) ( x k ) m k , u k (0, 0) k (0) 0 , причем ( k ) 0 , ( k ) 0 x k 0 . Пусть цена товара m равна p m 1 , а цену товара x обозначим через p . У каждого потребителя имеется первоначальный запас блага m , равный потребителя, mk и нет запаса блага x . Фирмы: Пусть в экономике J фирм, производящих товар x из товара m в соответствии с функцией издержек c j ( y j ) , причем с j (.) 0, c j (.) 0 y j 0 , где y j - уровень выпуска блага x фирмой j . Обозначим через kj – долю потребителя k в прибыли фирмы j , j , т.е. jk 0 , k j 1. k Определение равновесия: Равновесием называется распределение ( ~ x 1 ,..., ~ x M ) , (~ y1 ,..., ~ y J ) и цена ~p , такие, что 1) j : ~y j является решением задачи фирмы max py j c j ( y j ). при цене ~p ; y j 0 x k является решением задачи потребителя k max k ( x k ) k jk j ( p) px k 2) k : ~ k x 0 j при цене ~p ; 3) рынок уравновешен: M J k 1 j 1 ~x k ~y j , т.е. совокупный спрос на благо x равен совокупному предложению этого блага. Замечание 1: В определение равновесия можно было бы также включить распределение блага m и соответственно баланс на этом рынке. При сбалансированности рынка товара x как следствие закона Вальраса баланс на рынке товара m выполняется автоматически. Замечание 2: В условиях, характеризующих равновесие (условиях первого порядка задач потребителей, фирм и условии уравновешенности рынка) ни в каком виде не присутствуют первоначальные запасы потребителей и доли участи в прибыли фирмы. В связи с этим можно сделать вывод, равновесное распределение и цена не зависят от распределения первоначальных запасов и долей участия в прибыли в фирмы. Этот результат является следствием квазилинейности предпочтений потребителей. Спрос: Условия первого порядка задачи потребителя (необходимые и достаточные в силу строгой вогнутости функции полезности): 1 МФТИ, 2012-2013 уч.г., 18.10.2012 k ( x k ) p; . k ( x k ) p, если x k 0 Для каждого возможного уровня p 0 мы можем определить единственное значение x k , которое обозначим через x k ( p) , удовлетворяющее условию первого порядка (это (прямая) функция спроса потребителя k ). Из условий первого порядка следует, что x k ( p) 0 при p k (0) , причем функция спроса x k ( p ) не возрастает по p для любого p 0 и строго убывает при p k (0) (поскольку по теореме о дифференцировании обратной функции x k ( p) 1 / k ( x k ( p)) 0 ). Совокупный спрос: Графически для того, чтобы получить совокупный спрос на благо x , нужно горизонтально сложить индивидуальные кривые спроса. Совокупный спрос x ( p) 0, если p max k (0) k k . x( p ) k x k ( p) 0, если p max (0) k Предложение: Условия первого порядка задачи фирмы (необходимые и достаточные): p c j ( y j ); p c j ( y j ), если y j 0. Условия первого порядка задачи фирмы определяют ее функцию предложения y j ( p ) : для любого p 0 мы можем определить единственный уровень выпуска y j , удовлетворяющий условию первого порядка. Функция y j ( p ) не убывает при любом p 0 и строго возрастает при p c j (0) (поскольку по теореме о дифференцировании обратной функции y j ( p) 1 / c j ( y j ( p)) 0 ), причем при p c j (0) предложение фирмы равно нулю: y j ( p ) 0 . Совокупное предложение: Графически для того, чтобы получить совокупное предложение блага x , нужно горизонтально сложить индивидуальные кривые предложения. Совокупное предложение: y j ( p) 0, если p min c j (0) j y( p) . y ( p ) 0 , если p min c ( 0 ) j j j Равновесие: Чтобы найти равновесную цену блага нам нужно только найти такую цену ~p , где совокупный p) y( ~ p ) , т.е. графически нужно найти точку спрос равен совокупному предложению: x( ~ пересечения кривых совокупного спроса и совокупного предложения, и такая точка будет соответствовать положительному уровню блага x , если max k (0) min c j (0) . Причем, k j 2 МФТИ, 2012-2013 уч.г., 18.10.2012 поскольку при p min c j (0) функция совокупного предложения является строго возрастающей, а при p max k (0) функция совокупного спроса является строго убывающей, то эта k равновесная цена определена единственным образом. Индивидуальные уровни спроса и предложения блага в равновесии определяются как ~ y j y j (~ p ) для всех производителей. x k xk ( ~ p ) для всех потребителей и ~ 3 МФТИ, 2012-2013 уч.г., 18.10.2012 Темы: Частичное равновесие: случай совершенной конкуренции (сравнительная статика); монополия План 1. Частичное равновесие: случай совершенной конкуренции: сравнительная статика – введение потоварного налога; равновесие и оптимальность. 2. Монополия: задача монополиста, характеристика решения; сравнительная статика: введение потоварного налога. Основные определения 1. Сравнительная статика. Предположим, на рынке действует потоварный налог t на товар x . Введение налога для потребителей эквивалентно увеличению цены на величину t , то совокупный при введении налога t и цене p составит x ( p t ) . Таким образом, равновесная рыночная цена при введении налога (которую и получает производитель), обозначим ее через ~ p (t ) , должна удовлетворять условию: x( ~ p (t ) t ) y ( ~ p (t )) . x ( ~ p (t ) t ) p (t ) 0 . Таким образом, цена ~ p (t ) , получаемая Тогда ~ , т.е. 1 ~ p (t ) ~ ~ x ( p (t ) t ) y ( p (t )) производителями, снижается с ростом налога, тогда как совокупные издержки приобретения p (t ) t растут, а следовательно совокупное количество товара для потребителей ~ приобретаемого и производимого блага сокращается. p (t )) (кривая совокупного предложения Два специальных случая: 1) если y ( ~ ~ горизонтальна), то p (t ) 0 , т.е. на цену, получаемую фирмами, налог никакого влияния не p (t )) 0 (кривая совокупного оказывает - все бремя налога несут потребители; 2) если y ( ~ ~ предложения вертикальна), то p (t ) 1 , т.е. влияние налога ощущают на себе только фирмы. Равновесие и оптимальность: Задача на поиск Парето-оптимальных распределений в данной экономике сводится к следующей: max W ( x, y ) k ( x k ) c j ( y j ) x k , y j 0 x k k k 1 j yj j где W ( x, y ) - индикатор общественного благосостояния. Условия первого порядка этой задачи совпадают с условиями первого порядка, характеризующими равновесие, при множителе Лагрнажа равном равновесной цене ~p . Таким образом, равновесное распределение Парето- оптимально. 2. Монополией называется фирма, являющиеся единственным производителем некоторого товара. Задача монополиста: max ( y) p( y) y c( y) , где p( y) x 1 ( p) - обратная функция y 0 совокупного спроса. Равновесный выпуск монополиста y m 0 характеризуется условием: p( y m ) y m p' ( y m ) c( y m ) или MR ( y m ) MC ( y m ) , где MR ( y ) p( y ) yp ( y ) - предельный доход (выручка) монополиста (от англ. marginal revenue), MC c ( y ) - предельные издержки (от англ. marginal costs). 4 МФТИ, 2012-2013 уч.г., 18.10.2012 Если обратная функция спроса p(0) c (0) , то y m 0 . p ( y ) и функция издержек c( y ) дифференцируемы и Сравнительная статика: введение потоварного налога в случае, когда c( y ) cy , c 0 . Введение потоварного налога приводит к росту предельных издержек на величину налога, а следовательно к параллельному сдвигу вверх кривой предельных издержек. Условие первого порядка p( y m ) y m p' ( y m ) c неявным образом описывает зависимость равновесного объема выпуска монополиста от предельных издержек c . Как изменятся оптимальный уровень выпуск и равновесная цена при малом увеличении предельных издержек? Продифференцируем условие первого порядка по c , учитывая, что оптимальный уровень 1 выпуска зависит от c , y m y c . Тогда y (c) 0 (по условию второго порядка 2 p ( y ) yp ( y ) p ( y ) задачи монополиста) и p (c) p ( y ) y (c) 0 , т.к. p ( y ) 0 . 2 p ( y ) yp ( y ) При линейной обратной функции спроса p( y ) a by , a c t , b 0 , p (c) 1 / 2 , т.е. в этом случае равновесная цена возрастет на половину величины налога с единицы выпуска. При обратной функции спроса p( y) 2 / y p (c ) 2 , т.е. введение потоварного налога t приводит к росту предельных издержек на величину налога, а равновесная цена возрастает на величину 2t . 5