Б3.В.25 Теория функций комплексной переменной

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся
по дисциплине (модулю):
Общие сведения
1.
Кафедра
2.
Направление подготовки
3.
Дисциплина
4.
Тип заданий
Количество этапов формирования компетенций
(ДЕ, разделов, тем и т.д.)
5.
Математики и математических методов в
экономике
050100 «Педагогическое образование»,
профиль «Математика, информатика»
Б.3.В.25 Теория функций комплексной
переменной
Контрольная работа
5
Перечень компетенций
ОК-1: владеет культурой мышления, способен к обобщению,
анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей её достижения
ОК-6: умеет логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь
ОПК-3: владеет основами речевой профессиональной культуры
Критерии и показатели оценивания компетенций
Знания: свойства комплексных чисел, определения и свойства основных элементарных функций
комплексного переменного, производную и интеграл функции комплексного переменного, числовые
и степенные ряды, классификацию особых точек.
Умения: производить действия над комплексными числами, находить значения элементарных
функций комплексного переменного, вычислять интегралы функций комплексного переменного,
применять вычеты к нахождению несобственных интегралов.
Навыки: владение основными положениями классических разделов теории функций комплексного
переменного, базовыми идеями и методами теории функций комплексного переменного; системой
основных математических структур и аксиоматическим методом.
Опыт деятельности: в результате освоения дисциплины студент должен приобрести опыт,
позволяющий, опираясь на традиционные подходы, получать положительные результаты,
отвечающие современным требованиям.
Этапы формирования компетенций
1. Функции комплексного переменного (ФКП).
2. Дифференциальное исчисление ФКП.
3. Интегрирование функции комплексного переменного. Теорема Коши.
4. РядыТейлора и Лорана.
5. Классификация особых точек. Теория вычетов и ее применения.
Шкала оценивания (за правильный ответ дается 1 балл)
«2» – 60% и менее
«3» – 61-80%
«4» – 81-90%
«5» – 91-100%
Типовое контрольное задание
1. Дано комплексное число z . Требуется записать число
тригонометрической формах
z
в алгебраической и
z
2 2
.
1 i
2. Пусть z1 = 2 - 3 i, z2 = 4 + 5 i. Найти z1  z2 , z1  z2 и
z1
.
z2
20
 1 i 3 
3. Вычислить 
 1  i  .


3
4. 1. f  z   z , 2. f  z   e z . Найти Re f(z) и Im f(z).
5. Пусть z1 = 1 + i, z2 = 2 + i, z3 = 1 + 2 i.
Найти образ треугольника z1z2z3 при отображении w = z2.
6. Проверить выполнение условий Коши - Римана и найти f ' ( z ): а) f  z   z 2 , б) f  z   e z
7. Может ли функция v(x, y) = e -y(xcos x - ysin x) быть мнимой частью некоторой
аналитической функции w = f(z)? В случае положительного ответа найти функцию w = f(z).
Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний
Решения типовых контрольных заданий
2 2 2 2 1  i 
Решение.
z

 2 i 2
1 i
2
1.
z  2  2  2, arg z  arctg
-
алгебраическая
форма,
2

 arctg  1   
4
 2

 
  
z  2  cos     i sin     - тригонометрическая форма.
 4
 4 

2. Решение. z1 + z2 = (2 – 3i) + (4 + 5i) = (2 + 4) + (-3 + 5) i = 6 + 2 i; z1z2 = (2 – 3i) (4 + 5i) =


 2  4  (3)  5  i 2  2  5  (3)  4i  23  2i ;
z1 2  3i (2  3i )( 4  5i ) (8  15)  (12  10)i
7 22



   i.
z 2 4  5i (4  5i )( 4  5i )
16  25
41 41
1 i 3 

3. Решение. 

1

i



2 20 e i  20  / 3
210 e i  ( 5)
20
10 e
2
 2(cos(  / 3)  i sin(  / 3) 

 

2
(cos(


/
4
)

i
sin(


/
4
)


i  (6  2 / 3)
e i 
20

 1
e i  2 / 3
3
  512(1  i 3 ) .
 1024
 1024   i

1
2
2


2
4. Решение. 1. Выражаем z 3 через х,у: z 3 = (x + iy) 3 = x 3 + 3 x 2 i y + 3 x i 2 y 2 + i 3 y 3
3
2

u( x, y)  x  3 xy ,
 x 3  3ix 2 y  3 xy 2  iy 3  x 3  3 xy 2  i 3 x 2 y  y 3  u  iv  
2
3

v ( x, y)  3 x y  y .

 

x

u( x, y)  e cos y,
2. w = e z. Здесь u  iv  e z  e x  iy  e x  e iy  e x (cos y  i sin y)  
x

v ( x, y)  e sin y.
5. Решение. Находим, куда отображаются вершины треугольника. w1 = z12 = (1 + i)2 = 1 + 2i- 1
= 2i; w2 = z22 = (2 + i)2 = 4 + 4i- 1 = 3 + 4i; w3 = z32 = (1 + 2i)2 = 1 + 4i- 4 = -3 + 4i. Сторона z1z2
является частью прямой у= у0=1. Эта прямая отображается, как мы видели, в параболу
v2
 y02 
 1 . Нам нужна часть этой параболы между точками w1 и w2. Далее,
4
4 y02
сторона z1z3 является частью прямой х= х0=1, отображаемой в параболу
u
v2
v2
v2
; берём участок этой параболы между точками w1 и w3. Сторона z 2 z3
u  x 02 
 1
4
4 x 02
лежит на прямой х+у=3; уравнение образа этой прямой получим, исключив из системы
 x  y  3,

2
2
u  x  y , переменные х и у:
v  2 xy,

u9
u9
u  9  9 u2
y  3  x, u  x  (3  x )  6 x  9  x 
 v  2
. Участок
3 
 
6
6 
6  2 18
этой параболы между точками w2 и w3 и даст образ стороны z 2 z3. Изображение треугольника
построено. Легко убедиться, что область, ограниченная этим треугольником, переходит во
внутренность криволинейного треугольника w1w2w3 (для этого достаточно найти, например,
образ одной точки этой области).
2
2
v
у
z3
С
z1
z2
w3
w2
W
w1
х
u
6. Решение. 1. Проверим, что для функции f(z) = z2 выполняются условия Коши-Римана. Так
u
v u
v
 2x  ,
 2 y   .
как w = z2 = (x + iy)2 = x2 - y2 + 2 ixy, то u  x 2  y 2 , v  2 xy,
x
y y
x
Тогда f ( z ) 
u
v
i
 2 x  i  2 y  2( x  iy)  2 z .
x
x
3
2. Для функции w = e z мы получили u(x, y) = e x cos y, v(x, y) = e x sin y. Поэтому
u
v u
v
 e x cos y  ,
 e x sin y   , т.е. функция дифференцируема.
x
y y
x
f ( z ) 
u
v
i
 e x cos y  i  e x sin y  e x (cos y  i  sin y )  e x  e iy  e x  iy  e z .
x
x
7. Решение. Докажем, что v(x, y) - гармоническая функция.
  e  y (  sin x  sin x  x cos x  y sin x )  e  y (2 sin x  x cos x  y sin
v x  e  y (cos x  x sin x  y cos x ); v xx
  e  y ( x cos x  y sin x  sin x  sin x )  e  y ( x cos x  y sin x  2 sin x )
v y  e  y ( x cos x  y sin x  sin x); v yy
 2v
 2v

 0 , т.е. v(x, y) - гармоническая функция и, следовательно, может являться
x 2 y 2
мнимой частью аналитической функции.
Найдём эту функцию. Для действительной части u(x, y) справедливы соотношения
 u v
y
 x  y  e ( x cos x  y sin x  sin x ),


 u   v  e  y (cos x  x sin x  y cos x );
x
 y
 u  e  y  ( x cos x  y sin x sin x ) dx  e  y  x  d sin x 
 e  y  y cos x  e  y cos x  e  y  x sin x  e  y  sin xdx 
 e  y  y cos x  e  y cos x  e  y ( x sin x  y cos x )  ( y) ,
для нахождения ( y ) используем второе уравнение системы:
u 
y
y

 e  y ( x sin x  y cos x )  ( y )  e
( x sin x  y cos x  cos x )  ( y )  e
(cos x  x sin x  y cos x ) 

y
y
 ( y )  0  ( y )  C  const .
Формально мы можем выписать
w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) = e –y [- (xsin x + ycos x) + i(xcos x - ysin x)] + C, но толку в этой
записи нет, так как не видна зависимость f от z. Поэтому сделаем по-другому. Выпишем
производную f (z ) :
u
v v
v
f ( z ) 
i

i
 e  y  ( x cos x  y sin x  sin x )  i (cos x  x sin x  y cos x ) . На
x
x y
x
действительной оси (при у = 0, т.е при z = x) функция w = f(z) превращается в функцию
действительной переменной f(x), её производная - в f ( х ) . Положим в f (z ) у = 0, x = z:


f ( z ) y 0; z  x   e  y ( x cos x  y sin x  sin x )  i (cos x  x sin x  y cos x )
y 0; z  x

  z cos z  sin z  i (cos z  z sin z ) ; проинтегрировав это выражение, получим f(z).
Техника нахождения неопределённых интегралов в теории функций комплексной
переменной в основном та же, что и в математическом анализе; таблица основных
интегралов в обоих случаях одинакова, поскольку одинакова таблица производных. Поэтому
f ( z)   z cos zdz   sin zdz  i  cos zdz  i  z sin zdz   zd (sin z)  cos z  i sin z  i  zd (cos z) 
  z sin z   sin zdz  cos z  i sin z  iz cos z  i  cos zdz   z sin z  cos z  cos z  i sin z  iz cos z 
i sin z  C = - z sin z + iz cos z + C = iz (cos z + i sin z) + C = iz e iz + C, где С – произвольная
вещественная постоянная интегрирования. Постоянная интегрирования будет
действительной, если по условию задачи задана функция v(x, y), и с точностью до
4
произвольной постоянной находится действительная часть
u(x, y) функции f(z); если же задана функция u(x, y), то с точностью до произвольной
постоянной интегрирования находится мнимая часть v(x, y), т.е постоянная будет чисто
мнимым числом Ci (C - произвольное вещественное число).
Проверим полученный результат. Если f(z) = iz e iz + C, то f(z) = (ix - y) e (ix - y) + C =
= e - y (ix - y)(cos x + i sin x) + C = i e - y x cos x - e - y x sin x - e - y y cos x - i e - y y sin x + C =
 e  y ( x sin x  y cos x )  C  i  e  y ( x cos x  y sin x ) ;




u( x , y )
v ( x , y )  по условию
u
v u
v
 e  y (sin x  x cos x  y sin x )  ,
 e  y ( x sin x  y cos x  cos x )   ; условия
x
y
y
x
iz
Коши-Римана выполнены, следовательно, функция f(z) = iz e + C - аналитическая на всей
комплексной плоскости функция.
Вопросы к экзамену
1. Определение комплексных чисел. Геометрическое изображение комплексных чисел на
плоскости.
2. Операции над комплексными числами. Свойство модуля и аргумента комплексного числа.
3. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа.
4. Предел последовательности комплексных чисел. Пример.
5. Числовые ряды.
6. Бесконечность и стереографическая проекция.
7. Множества точек на плоскости.
8. Функция комплексного переменного.
9. Предел и непрерывность ФКП.
10. Производная и дифференциал.
11. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости (условия Коши – Римана).
12. Аналитичность функции в точке и области.
13. Конформные отображения. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
14. Определение показательной функции.
15. Отображение посредством показательной функции.
16. Тригонометрические функции. Теоремы сложения для функций sin z и cos z .
17. Гиперболические функции, их связь с тригонометрическими функциями.
18. Целая степенная функция. ([2], с. 68-71)
19. Функция
  n z . Выделение однозначных ветвей.
20. Риманова поверхность n z .
21. Логарифмическая функция. Парадокс Бернулли.
22. Обратные тригонометрические функции.
23. Степень с произвольным комплексным показателем.
24. Общие показательная и степенная функции.
25. Дробно-линейная функция.
26. Групповое и круговое свойства дробно-линейных отображений.
27. Построение отображения по образам трех точек.
28. Отображение круговых областей друг на друга.
29. Понятие интеграла по комплексному переменному. Формулы для вычисления.
30. Оновные свойства интеграла по комплексному переменному. Интегрирование
равномерно сходящегося ряда.
5
31. Теорема Коши (с предположением о непрерывности производной функции).
32. Основная лемма.
33. Теорема Коши (предполагающая существование лишь конечной производной).
34. Распространение теоремы Коши на случай сложных контуров.
35. Понятие неопределенного интеграла в комплексной области.
36. Интегральная формула Коши (случай односвязной области).
37. Интегральная формула Коши (случай многосвязной области).
38. Интеграл типа Коши.
39. Существование производных всех порядков для функции аналитической в области.
Теорема Морера.
40. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций. Первая теорема Вейерштрасса.
41. Ряд Тейлора.
42. Разложение аналитической функции в степенной ряд.
43. Понятие голоморфной функции и его эквивалентность с понятием аналитической
функции.
44. Теорема единственности аналитических функций.
45. Нули аналитической функции.
46. Неравества Коши для коэффициентов степенного ряда. Теорема Лиувилля. Вторая
теорема Вейерштрасса.
47. Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Едиственность разложения Лорана.
48. Классификация изолированных особых точек.
49. Теорема Сохоцкого.
50. Поведение аналитической функции на бесконечности.
51. Вычет функции относительно изолированной особой точки. Основная теорема о вычетах.
52. Вычисление вычета относительно полюса.
53. Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки.
54. Приложение теории вычетов к вычислению определенных интегралов.
6