Проверка статистич. гипотез -1

С. В. Мягкова, В. Ф. Казак
ПРОВЕРКА
СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Вероятность невозврата
70%
p=0,15
p=0,40
p=0,90
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
0
1
2
3
Количество невозвращенных кредитов
4
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
С. В. Мягкова, В. Ф. Казак
ПРОВЕРКА
СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Учебное пособие
Волгоград
2008
1
УДК 519.2(075.8)
М 99
Рецензенты: Камышинский филиал Современной гуманитарной академии ст. преподаватель Н. В. Выпова; доцент представительства ВЗФЭИ
Л. Л. Савелло.
Мягкова, С. В. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ: учеб. пособие /
С. В. Мягкова, В. Ф. Казак. – Волгоград, ВолгГТУ, 2008. – 40 с.
ISBN 978-5-9948-0082-9
Рассматриваются вопросы статистического анализа случайных величин и проверки гипотез, необходимые при решении задач математической статистики.
Предназначено для студентов ВПО очных форм обучения, изучающих дисциплину «Математическая статистика».
Ил. 11.
Табл. 11.
Библиогр.: 2 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
Светлана Васильевна Мягкова, Вячеслав Федорович Казак
ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Учебное пособие
Редактор Попова Л. В.
Компьютерная верстка Сарафанова Н. М.
Темплан 2008 г., поз. № 30К.
Лицензия ИД № 04790 от 18 мая 2001 г.
Подписано в печать 23. 10. 2008 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 2,5. Усл. авт. л. 2,38.
Тираж 100 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.

ISBN 978-5-9948-0082-9
2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2008
ВВЕДЕНИЕ
Математическая статистика, основой которой служит теория вероятностей, входит в число основных дисциплин экономического образования.
Методы математической статистики дают возможность на основе
экспериментальных данных определять вероятностные и функциональные характеристики моделей экономических задач, которые определяются приближенно по статистическим данным.
Разработка методов определения их параметров, оценка и анализ их
свойств являются основными задачами математической статистики. Одна
из этих задач – проверка статистических гипотез – рассматривается в
данном пособии.
3
1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Идеалом научного описания изучаемых явлений считаются математические модели происходящих процессов: зависимости, позволяющие
по известному начальному состоянию и известным причинам его изменения однозначно определить все будущие состояния явления и изменения этих состояний. Если функционирование некоторой системы физических объектов строго определяется законами механики, то подробное
предсказание не вызывает затруднений. Например, если знать положение
материальной точки в пространстве в начальный момент времени и
учесть все силы, действующие на эту точку, то можно определить ее положение в любой момент времени.
Однако, развитие общества, в частности, экономическое, не подчиняется только законам физики или другим, столь же строгим законам.
Точное предсказание событий невозможно также потому, что до сегодняшнего дня не существует единого взгляда на причины происходящих
явлений. Кроме того, собственно список этих «причин» до сих пор не
определен. Показатели жизни общества определяются не только законами экономики, но и случайными «возмущениями», не позволяющими однозначно определить характеристики изучаемых явлений.
Изучением подобных закономерностей занимается раздел математики, называемый «Теория вероятностей». Точнее, теория вероятностей
изучает закономерности, возникающие при взаимодействии большого
числа случайных факторов. Инструментом, позволяющим проанализировать подобные закономерности, является математическая статистика.
1.1. Статистические характеристики случайной величины
Количественную характеристику случайного события, измеряемую в
ходе эксперимента, называют случайной величиной. Случайная величина может быть дискретной, если при повторениях опыта она может
принимать только изолированные, отдельные возможные значения с
определенными вероятностями. Например, если в качестве случайного
события принять попадание величины среднего месячного дохода сотрудника фирмы в определенный диапазон (менее 5 МРОТ, от 5 до 10
МРОТ и т. д.), то случайная величина «месячный доход» будет дискретной, а если ту же величину оценивать в денежных единицах (рублях, копейках, у. е.), то случайная величина окажется непрерывной. Соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями появления этих значений называют плотностью вероятности или
законом распределения случайной величины. Функцией распределения или интегральным законом распределения F  x  
x
 f x dx

4
назы-
вают вероятности того, что случайная величина примет значение меньшее некоторого заданного X либо равное ему. Законы распределения могут задаваться в табличной, графической или аналитической форме.
Наиболее часто контролируемыми количественными параметрами
распределения являются: математическое ожидание, мода, среднеквадратичное отклонение, дисперсия.
Рассмотрим эти понятия подробнее.
Мода – это значение случайной величины, которое появляется при
повторениях опыта с наибольшей вероятностью. На графике плотности
вероятности мода проявляется как локальный максимум. В некоторых
случаях возможны полимодальные распределения.
Математическое ожидание (среднее значение) – значение случайной величины, которое характеризует центр распределения. Для дискретной случайной величины:
n
X
x m
i 1
i
i
n
n
  xi  pi ,
(1)
i 1
где xi – каждое из возможных значений случайной величины; mi – частота появления значения xi ; pi – вероятность появления значения xi ; n
– количество возможных значений xi (количество наблюдений).
Следует учитывать, что иногда значения моды и математического
ожидания могут совпадать (симметричный нормальный закон, закон
Симпсона). Однако, для равновероятного распределения, например, понятие моды может отсутствовать, а при несимметричных распределениях
(закон Пуассона, двухпараметрическое β-распределение) эти два значения различаются. В дальнейшем, если не оговорено особо, будем использовать понятие математического ожидания в смысле «наиболее вероятное
значение», т. е. мода.
Среднеквадратичное отклонение – среднее отклонение случайной
величины (без учета знака) от ее среднего значения.
 x
n
S
i 1
n
 x
n
S
 X   mi
2
i
i
 X   mi
, n  100 ;
(2)
2
(3)
, n  100 .
n 1
Значение, определенное по (2), называют среднеквадратичным отклонением генеральной совокупности или просто среднеквадратичным
i 1
5
отклонением, а определенное по (3) – исправленным среднеквадратичным отклонением выборочной совокупности. Для дискретных случайных
величин среднеквадратичное отклонение обычно обозначается латинской
буквой S – «эс большое», для непрерывных – греческой буквой σ – «сигма малое».
Дисперсия – среднее значение квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения:
(4)
Dx  S 2 .
Значение дисперсии рассчитывают по среднеквадратичному отклонению генеральной совокупности. Мода и математическое ожидание характеризуют расположение кривой распределения, а среднеквадратичное
отклонение и дисперсия – ее форму и размеры.
1.2. Законы распределения
В табл. 1 приведены наиболее часто применяемые законы распределения случайных величин.
Таблица 1
Законы распределения случайных величин
Распределение
Нормальное или
распределение
Гаусса
Плотность
вероятности
1
e
 2
Треугольное или
распределение
Симпсона
Биномиальное
Функция
распределения
 x  x 2
1
 2
2 2
x
e
Среднее Дисперзначение
сия
 x  x 2
2
x
2

x  x  x  x 
x

3
18 2
xx
1

3 9 2
x
2 2
Плотность вероятности:
Среднее
Np
N!
N k 
 p k  1  p 
k!N  k !
Дисперсия
Функция распределения:
k
N!

 i!N  k !  p  1  p 
i
N  p  1  p 
N i 
i 0
Равномерное или
прямоугольное
Распределение
Пуассона
 1

 2

 0
x  x
x  x
Pn m 
x 
0

  
x 
 1
x  x    
    2
x 


x 
1
m  e 
x 
x  

x   
x 
x
2
3
  n p
m!
m – число благоприятных исходов в n опытах n   ;
p – вероятность благоприятного исхода в отдельном опыте  p  0
6
Окончание табл. 1
Распределение
Плотность
вероятности
Бета-распределение
Функция
распределения
Среднее Дисперзначение
сия
Плотность вероятности:
Среднее
Функция распределения:
Дисперсия
x  0; x  1
0


0  x 1


Г



 1

x 1 1  x 






 0,   0
Г

Г



0
 Bx  ,  

 B ,  

1
Гаммараспределение
x  0
0  x  1
x  1

 

   2     1


Плотность вероятности:
x  0
0

 
x0
  x 1e x
 Г  
  0,   0

2
Функция распределения:
0

 1

Г  
 Г   x
x  0
x  0
Функция
распределения
Функция
распределения
Плотность
распределения
Плотность
распределения
Рис. 1. Нормальное распределение
Рис. 2. Распределение Симпсона
Плотность распределения при
вероятности независимого события
Функция
распределения
<< 50 %
>> 50 %
~ 50 %
Плотность
распределения
Рис. 4. Биномиальное распределение
Рис. 3. Распределение Пуассона
7
Функция
распределения
Функция
распределения
Плотность
распределения
Плотность
распределения
Рис. 5. Равновероятное распределение
Рис. 6. Гамма-распределение
Функция
распределения
Функция
распределения
Плотность
распределения
Плотность
распределения
Рис. 7. Распределение Хи-квадрат
Рис. 8. Распределение Стьюдента
Следует учитывать, что при определенных сочетаниях параметров
различия между некоторыми распределениями могут сглаживаться. Так,
например, при достаточно больших объемах выборки распределение
Пуассона (рис. 3) не отличается от нормального распределения со смещенным математическим ожиданием. С симметричным нормальным распределением (рис.1) могут совпадать биномиальное распределение (рис.
4) – при вероятности независимого события равной 50 % и бетараспределе-ние с равными параметрами.
Биномиальное распределение используется для прогнозирования
коммерческих рисков, в предположении, что каждый из рисков представляет собой событие, независимое от других рисков.
Для примера рассмотрим следующую ситуацию. Банк выдает кредиты 4 заемщикам. Вероятность невозврата кредита одинакова для всех заемщиков и составляет 15 %. Требуется определить вероятности невозврата в срок кредитов одним, двумя, тремя или всеми заемщиками.
Решение. В качестве ожидаемого события определим невозврат кредита. Так как заемщики действуют независимо, то выдачу кредитов можно считать за n  4 независимых события. Вероятность невозврата кредита любым из заемщиков составляет p  0,15 , следовательно, вероятность
противоположного события (возврат кредита) равна q  1  0,15  0,85 .
8
Величина k может принимать целые значения в интервале от 0 (все кредиты возвращены в срок) до 4 (в срок не возвращен ни один кредит).
Подставляя данные в формулу плотности биномиального распределения
(табл. 1) и изменяя величину k  0; 4 , получаем:
Таблица 2
Количество кредитов,
невозвращенных в срок
Вероятность невозврата в
срок, %
0
1
2
3
4
52,201
36,848
9,754
1,148
0,051
Таким образом, при невысокой вероятности ( p  0,15 ) каждого из
независимых событий, вероятность невозврата в срок всех выданных
кредитов превышает 50 %.
Проверка решения. Элементарные события (возврат некоторого количества кредитов) в рассмотренной ситуации являются несовместными,
то есть в любом случае возможен только один из ожидаемых исходов,
следовательно, вероятность ожидаемого исхода будет определена в соответствии с ф. 3. Кроме того, элементарные события образуют полную
группу, то есть суммарная вероятность должна быть равна 100 %.
Изменяя в исходных данных рассмотренного примера величину вероятности невозврата кредита любым из заемщиков, можно увидеть (рис. 5),
как меняется кривая плотности распределения вероятности ожидаемого
события.
Вероятность невозврата
70%
p=0,15
p=0,40
p=0,90
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
0
1
2
3
4
Количество невозвращенных кредитов
Рис. 9. Биномиальное распределение
Пусть в каждом из испытаний вероятность появления некоторого
события оценивается малой величиной. Рассчитать вероятность того, что
событие произойдет заданное количество раз при большом числе испытаний можно по формуле Пуассона. Расчет выполняется в предположении, что произведение   n  p есть величина постоянная. Здесь n – количество испытаний, p – вероятность появления события в каждом испытании.
9
Решим следующую задачу: предприятие-изготовитель отгрузило покупателю партию из 10000 изделий. Вероятность того, что изделие при
транспортировке будет повреждено, составляет 0,03 %. Найти вероятность того, что покупатель получит 1, 2, 3, или 4 поврежденных изделия.
Решение. Количество испытаний n  10000 ; вероятность повреждения
одного изделия p  0,0003 ; m  1, 2, 3, 4. Находим   10000  0,0003  3 .
Подставляя значения в формулу Пуассона (табл.1), получаем следующие
результаты:
Таблица 3
Количество поврежденных изделий
0
1
2
3
4
Вероятность повреждения указанного
количества изделий, %
4,98
14,94
22,40
22,40
16,80
На рис. 3 показаны дифференциальное (закрашенная область) и интегральное (гладкая кривая) распределения Пуассона для рассмотренной
задачи. Следует отметить, что значение вероятности, определенное по
формуле Пуассона, зависит от частоты m – ось абсцисс на рис. 3 и произведения   n  p . Значения объема выборки n и вероятности p сами по
себе на результат не влияют.
2. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Гипотезой принято называть некоторое предположение, которое
требуется подтвердить либо опровергнуть. Статистическими называют
гипотезы о виде неизвестного распределения вероятностей, о неизвестных параметрах известного распределения или о степени соответствия
неизвестного распределения некоторому известному. Различают гипотезы:
нулевую или основную – выдвинутое предположение; конкурирующую
(альтернативную) – предположение, которое противоречит основной гипотезе; простую – гипотезу, которая содержит только одно предположение; сложную – гипотезу, которая содержит несколько предположений.
Для проверки гипотезы используют случайную величину, которую
называют статистическим критерием. Проверить гипотезу, значит,
определить вероятность того, что нулевая гипотеза представляет собой
истину. Основной принцип проверки: если наблюдаемое (вычисленное
по выборке) значение критерия с определенной (заданной) вероятностью
принадлежит области допустимых значений, то нулевую гипотезу принимают; если не принадлежит – справедлива альтернативная гипотеза. Вероятность принятия верной гипотезы называют достоверной вероятностью.
2.1. Проверка гипотезы о виде распределения
Нулевая гипотеза: значения случайной величины из выборочной совокупности распределены в соответствии с законом нормального распре10
деления. Конкурирующая гипотеза: распределение значений случайной
величины в выборочной совокупности не подчиняется закону Гаусса.
Подтвердить нулевую гипотезу можно, доказав, что наблюдаемое
значение среднеквадратичного отклонения S 0 совпадает со среднеквадратичным отклонением S1 генеральной нормально распределенной совокупности с вероятностью не менее  . Для этого вычисляем наблюдаемое
значение статистического критерия
2
 набл

n  1S 2 ,
(5)
S02
называемого «критерий Пирсона» или «критерий ‘ХИ-квадрат’» (рис. 7);
где n – объем выборочной совокупности; S – исправленное выборочное среднеквадратичное отклонение (3); S 0 – выборочное среднеквадратичное отклонение (2).
Наблюдаемое значение критерия (5) сравнивают с табличными значениями критерия Пирсона для двустороннего распределения (Приложение 2) при доверительной вероятности  и числе степеней свободы
k  n  1;
2
 лев
  2 1 ; k ,
2
2
2 
(6)
 прав  
;k .
2

Если выполняется условие 
можно принять.

2
лев



2
набл
2
, нулевую гипотезу
  прав
2.2. Сравнение двух дисперсий нормально распределенных
совокупностей
Нулевая гипотеза: генеральные дисперсии двух независимых нормально распределенных выборочных совокупностей равны между собой
с доверительной вероятностью  . Конкурирующая гипотеза: генеральные дисперсии существенно отличаются. Для проверки нулевой гипотезы
вычисляем наблюдаемое значение статистического критерия Фишера
(F-критерия):
Fнабл 
S Б2 ,
S М2
(7)
где
S Б – исправленное (3) среднеквадратичное отклонение для совокупности с большей дисперсией; S М – исправленное (3) среднеквадратичное
отклонение для совокупности с меньшей дисперсией.
Наблюдаемое значение F-критерия сравнивается с табличным значением (приложение 4), определенным для доверительной вероятности (1–
11
 ) и чисел степеней свободы p  n1  1 ; m  n2  1 . Здесь n1 и n2 – объемы выборок, соответственно, с большей ( n1 ) и меньшей ( n2 ) дисперсиями. Если условие Fнабл  Fтабл 1   ; p; m выполняется, нулевую гипотезу можно считать подтвержденной.
2.3. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с
гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности
Нулевая гипотеза: дисперсия генеральной совокупности равна гипотетическому (предполагаемому) значению, т. е.  2  a с доверительной
Конкурирующая
гипотеза
H1 :  2  a
.
а)  2  а, б)  2  а . Для проверки нулевой гипотезы надо вычислить
вероятностью
2
наблюдаемое значение  набл

(n  1) S 2
, где n – объем выборки, S 2 –
a
исправленная дисперсия. Наблюдаемое значение сравнивается с табличным (Приложение 2) по заданному уровню значимости  и числу степе2
ней
свободы
если
 набл
  кр2  ; k 
k  n 1 ,

 , то нулевую гипотезу

2
2 
2
2
 а)  набл   кр  2 ; k ; б)  набл   кр 1   ; k 




можно считать подтвержденной.
2.4. Сравнение двух средних значений
А. Большие независимые выборки
Обозначим через n и m объемы больших (n; m > 30) независимых
выборок, по которым найдены выборочные средние x и y . Генеральные дисперсии D(x) и D( y ) известны. Нулевая гипотеза: математические ожидания двух независимых нормально распределенных выборочных совокупностей равны между собой при данном уровне значимости
 H 0 : M ( x)  M ( y) . Конкурирующая гипотеза
H 1 : M ( x)  M ( y)
а) H1 : M ( x)  M ( y); б) H1 : M ( x)  M ( y) . Необходимо найти наблюдаеxy
мое значение критерия
. Наблюдаемое значение,
zнабл 
D( x) D( y )

n
m
вычисленное для совокупностей сравнивается с табличным значением
критерия z кр , которое находится по таблице функции Лапласа (приложение 1) по формуле  zкр   1  
1  2
1  2  .

; б ) zкр  
 а)  zкр  

2
2 

2
12
Если zнабл  zкр (а) zнабл  zкр
б) z набл   z кр
),
то нулевую гипотезу
можно принять.
Б. Малые независимые выборки
Нулевая гипотеза: математические ожидания x , y двух независимых нормально распределенных выборочных совокупностей с примерно
2
одинаковыми дисперсиями ( S ) равны между собой с доверительной вероятностью  . Конкурирующая гипотеза: математические ожидания существенно отличаются. Для проверки нулевой гипотезы вычисляем
наблюдаемое значение:
xy
(8)
Tнабл 
n,
S
где n – объем выборки; S – исправленное среднеквадратичное отклонение.
Если дисперсии и объемы выборок X  и Y  не равны, необходимо
2
2
проверить существенность различий дисперсий S X и SY по критерию
Фишера (7). При равенстве дисперсий, определяем наблюдаемое значение
xy
n  m  n  m  2 ,
(9)
Tнабл 

2
2
n  1  S X  m  1  SY
nm
где n – объем выборки X ; m – объем выборки Y  ;
S X2 – исправленное
среднеквадратичное отклонение выборки X ; SY – исправленное среднеквадратичное отклонение выборки Y  .
Наблюдаемое значение, вычисленное для совокупностей с равными
дисперсиями, сравнивается с табличным (Приложение 3) значением критерия Стьюдента (Т-критерий), определенным для уровня значимости 
и числа степеней свободы p  ( n  1) . Для выборок с разными объемами
число степеней свободы p  n  m  2 . Если условие
2
(10)
Tнабл  Tнабл  ; p 
2
выполняется, нулевую гипотезу о равенстве средних с достоверностью 
можно считать подтвержденной.
Пример 1. Студенты двух вузов сдавали экзамены по физике. В вузе
А экзаменовалось 30 студентов, средняя оценка 52, во втором вузе В – 36
студентов, средняя оценка 47 (по спец. системе оценок). Стандартное отклонение (  ) оценок на экзаменах, вычисленное для нескольких тысяч
13
студентов, равно 12. Можно ли утверждать, что вуз А дает подготовку по
физике лучше, чем вуз В?
Решение.
Обозначим
x  52 ,
n  30 ,
m  36 ,
y  47 ,
2
,
.
  12  D( x)  D( y )  12   0,05
H 0 : подготовка одинаковая M ( x)  M ( y )
H1 : M ( x)  M ( y ) вуз А готовит лучше.
z кр  1,65 ,  z кр   1  2  0,05

0,90
2
52  47
z набл 
12
1
30

5

1
 0, 455
2
 1,69
2,96
36
1,69  1,65  z набл  z кр  H 0 – отвергается. Подготовка студентов по
физике вуза А лучше, чем вуза В.
Пример 2. Для определения средней дальности полета артиллерийского снаряда по схеме случайной бесповторной выборки из очень большой серии снарядов отобрано 100 снарядов. Результаты измерений представлены в табл. 4.
Таблица 4
Дальность
полета (км)
Число
снарядов
28,1-28,2 28,2-28,3 28,3-28,4 28,4-28,5 28,5-28,6 28,6-28,7
10
18
22
24
20
6
Итого
100
Используя  2 – критерий Пирсона на уровне значимости   0,05
проверить гипотезу о том, что случайная величина X – дальность полета
снаряда распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую
нормальную кривую. Множество значений случайной величины уже разбито на 6 частей. Найдем x и
2
методом произведений
Таблица 5
Дальность полета
28,1–28,2
28,2–28,3
28,3–28,4
28,4–28,5
28,5–28,6
28,6–28,7
Итого:
x0
ni
ui
u i  n0
u  n0
28,15
28,25
28,35
28,45
28,55
28,65
10
18
22
24
20
6
-3
-2
-1
0
1
2
-30
-36
-22
0
20
12
90
72
22
0
20
24
–
100
–
-56
228
2
0
6

i 1
14
h  28,2  28,1  0,1 M1  0,56 M 2  2,28
x  0,56  h  c  0,056  28,45  28,394


 2  M 2  M 1  h 2  2,28  0,56 2   0,01  0,019
2
  0,019  0,14
Для расчета вероятности
Pi попадания случайной величины X в xi ; xi 1 
используем формулу
 x a
 x a
Pxi  x  xi 1    i 1
   i
  P28,1  x  28,2 
  
  
 28,2  28,394 
 28,1  28,394 
 
  
   1,39   2,1  2,1  1,39 
0,14
0,14




 0,4821  0,4177  0,0644 .
P2  P28,2  x  28,3  0,1692
P3  P28,3  x  28,4  0,2645
P4  P28,4  x  28,5  0,2604
P5  P28,5  x  28,6  0,1529
P6  P28,6  x  28,7  0,0566
Для определения статистики  2 , где
m
2  
ni  np1 2 ,
npi
i 1
составим таблицу:
Таблица 6
№
1
2
3
4
5
6
Интервал
xi ; xi1 
Эмпирические
частоты ni
Вероятности
28,1-28,2
28,2-28,3
28,3-28,4
28,4-28,5
28,5-28,6
28,6-28,7
10
18
22
24
20
6

100
ni  npi 2
Теоретические
частоты npi
ni  npi 2
0,0644
0,1692
0,2645
0,2604
0,1529
0,0566
6,44
16,92
26,45
26,04
15,29
5,66
12,67
1,17
19,80
4,16
22,18
0,116
1,968
0,069
0,749
0,159
1,451
0,020
0,968
96,8
-
4,416
Pi
np i
Итак, фактически наблюдаемое значение статистики   4,416 . Так
как число интервалов m  6 , а нормальный закон распределения определяется r  2 параметрами, то число степеней свободы
2
k  m  r 1  6  2 1  3
15
Соответствующее критическое значение статистики  2 по таблице
02,05; 3  7,82 .
Так как  2   02,05; 3 , то гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе распределения с параметрами a  28,394 и  2  0,0197 согласуется с опытными данными.
Изобразим гистограмму эмпирического распределения ступенчатой
фигурой, состоящей из прямоугольников с основаниями, равными величинам интервалов xi  xi 1  xi и высотами, равными частотам ni этих
интервалов (рис. 10).
Для построения нормальной кривой для середины каждого интервала
по оси ординат откладываем соответствующие теоретические частоты npi .
y
ni
npi
24
22
20
18
10
6
x
28,1
28,2
28,3
в
x
28,4
28,5
28,6
28,7
дальность
полета, км
Рис. 10.
Мы видим (см. рис. 10), что нормальная кривая теоретического распределения достаточно хорошо «выравнивает» гистограмму эмпирического распределения.
3. ИСПЫТАНИЕ ГИПОТЕЗЫ ПО ДВУМ ВЫБОРОЧНЫМ ДОЛЯМ
Если две большие выборки взяты независимо из двух биномиальных
генеральных совокупностей, то статистика p1  p2 нормально распределена со средней  p1  p2  и стандартной ошибкой:
SE p1  p2 
p1 1  p1  p2 1  p 2  ,

n1
n2
16
где p – выборочная статистика; p – параметр генеральной совокупности; обе выборки большие, т. е. n1 и n2 больше или равны 30.
Нас обычно интересует, взяты ли или нет две выборки из биномиальных генеральных совокупностей с одинаковой долей случаев, т. е.
p1  p2 . Проверочная статистика приблизительно нормально распределена при больших размерах выборки:
 p  p2    p1  p2  .
z 1
SE p1  p 2
Пример.
Внутренние аудиторы большой компании интересуются системой
обработки счетов доходов. Они взяли случайную выборку объемом
n1  50 законченных счетов и проверили их. Четыре из них оказались дефектными. Затем провели вторую случайную выборку объемом n2  60
завершенных счетов и обнаружили три неисправных счета. Имеется ли
какое-либо основание предполагать, что ошибки стали делаться реже?
Решение.
Нулевая гипотеза предполагает, что две выборки случайно взяты из
двух биномиальных генеральных совокупностей с равными долями ошибок:
H 0 : p1  p2  p ;
H1 : p1  p2 ,
т. е. предполагается, что доля ошибок сократилась, поэтому здесь приемлемо испытание с одной границей.
Будем принимать решение на 5 %-м уровне значимости. Здесь проходит нормальное распределение, поскольку размеры обеих выборок большие. По таблице нормального распределения в Приложении 4 находим:
z0, 05  1,645 ;

p1  4 / 50  0,08 ;

p2  3 / 60  0,05 .
Предполагая, что гипотеза H 0 верна, лучшая оценка доли дефектных счетов в генеральной совокупности достигается осреднением долей
двух выборок. В общем оказывается 7 дефектов из 110 случаев. Поэтому
лучшей оценкой генеральной доли является
p2  7 / 110  0,0636 ,
тогда
SE p1  p2 
SE p1  p2 
p1  p  p1  p  ,

n1
n2
0,0636  0,9364 0,0636  0,9364

 0,0467 .
50
60
17
Проверочной статистикой является:
 p  p2    p1  p2   0,08  0,05  0,64 .
z 1
0,0467
SE p1  p 2
Поскольку
0,64  Z 0,05  1,645.
Результат не существенен на 5 %-м уровне. Факты согласуются с гипотезой H 0 на данном уровне значимости. У нас нет причины предполагать, что при обработке счетов доля ошибок сократилась.
4. ИСПЫТАНИЯ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Будем рассматривать примеры испытаний гипотез, которые не требуют ни предположения о нормальности, ни использования генеральных
параметров. Этот раздел испытаний относится к непараметрическим испытаниям. Общая процедура испытания гипотез та же, что и для параметрических испытаний.
Рассмотрим самый общий непараметрический критерий «хиквадрат». Он основан на сравнении ряда наблюдаемых частот с ожидаемыми частотами, если верна нулевая гипотеза. Будем использовать этот
метод для проверки взаимосвязи признаков. Предположим, что нас интересуют два разных признака и мы хотим знать, существуют ли между
ними какие-либо связи.
Пример.
Имеются данные по оценкам, полученным группой студентов на экзамене по экономической теории и по математике. Нас интересует, существует ли связь между оценками, полученными на экзамене по экономической теории и тем, сдан ли студентами экзамен по математике (табл. 7)
Таблица 7
Пример таблицы сопряженности
Результат
экзамена
по математике
Сдан
Не сдан
Отлично
f11
f 21
Оценка по экономической теории
УдовлетвоНеудовлетвоХорошо
рительно
рительно
f 13
f12
f14
f 22
f 23
f 24
Число или частота студентов, которые сдали экзамен по математике
и получили оценку отлично по экономической теории, записано в верхней левой части таблицы. Число студентов, не сдавших математику и получивших оценку отлично по экономической теории, записывается в
нижней левой части таблицы и т. д. Такой тип таблицы называется таблицей сопряженности.
18
Табл. 7 имеет две строки и четыре столбца, т. е. является таблицей
2  4 «два на четыре». Используя соответствующую нулевую гипотезу,
мы можем рассчитать число студентов, которое ожидается в каждой
клетке. Если нулевая гипотеза верна, различия между наблюдаемыми и
ожидаемыми частотами будут небольшие. Будем использовать те же правила для решения, что и в прошлом испытании. Проверочная статистика
рассчитывается на основе разницы между наблюдаемыми и ожидаемыми
частотами для всех клеток таблицы.
Если обозначить наблюдаемую частоту события f 0 и ожидаемую
частоту f E , то  f 0  f E  – разность между наблюдаемой и ожидаемой частотами. Проверочной статистикой будет служить
  f  f 2 
 0 f E .
E


Возведение в квадрат разности  f 0  f E  необходимо для того, чтобы
избежать нулевого эффекта при суммировании отрицательных и положительных величин. К тому же, чтобы достичь независимости от значения
фактических частот, квадраты отклонений делят на ожидаемые частоты.
Это стандартизирует все величины. Получаемая статистика подчиняется
 2 -распределению при достаточно больших значениях ожидаемых частот. Ориентиром обычно служит условие: ожидаемая частота должна
быть не меньше 5, т. е. f E  5 .
Если одна или более ожидаемых частот меньше, чем 5, то категории
должны быть скомбинированы до тех пор, пока частота не превысит
установленного значения.
Для таблиц сопряженности 2  2 , в которых сумма частот меньше
или равна 100, иногда применяется корректировка – поправка Йетса. Тогда проверочная статистика вычисляется по следующей формуле:
  f 0  f E  0,52  .

fE


2  
Такая поправка проводится потому, что  2 является непрерывным
распределением, а данные выборки – дискретные.
Для больших выборок разница между исправленными и неисправленными значениями  2 является небольшой и в таких случаях корректировка не требуется.
Форма  2 -распределения зависит от числа степеней свобод в данной
задаче. При использовании таблиц сопряженности число степеней свободы равняется:
V  r  1c  1 ,
19
где r и c – число строк и столбцов в таблице сопряженности, соответственно. Если таблица имеет только одну строку, то число степеней
свободы равно c  1 и данные представляют собой ряд распределения по
одной переменной.
Пример.
Управляющий рестораном и кафе для выработки стратегии деятельности предприятия провел опрос жителей микрорайона, в котором расположены эти объекты. Результаты опроса представлены в табл. 8.
Таблица 8
Результаты опроса
Группа опрошенных
Оценка по экономической теории
Молодые
Часто
120
Иногда
55
Не посещают
47
Пожилые
139
105
98
Решение.
H 0 : нет связи между возрастной категорией опрашиваемого и частотой посещения ресторана и кафе, т. е. H 0 : f 0  f E .
H1 : есть связь между возрастом опрашиваемого и частотой посещения ресторана и кафе, т. е. H1 : f 0  f E .
Будем испытывать нулевую гипотезу на 5 %-м уровне значимости,
используя критерий  2 с 2  1  3  1  2 степенями свободы.
Из таблицы в Приложении 2 находим, что  02,05, 2  5,991 .
Для расчета проверочной статистики нужно определить ожидаемые
частоты по каждой категории.
Таблица 9
Ожидаемые частоты
Группа опрошенных
Частота посещения ресторана или кафе
Молодые
Часто
102
Пожилые
157
Итого
259
Не посещают
57
Итого
222
97
88
342
160
145
564
Иногда
63
259 опрошенных заявили, что они посещают эти учреждения часто.
Доля этой категории составляет 259/564. Если нет связи между посещением и возрастом, то такая же доля часто посещающих будет как среди
молодых, так и среди пожилых, т. е. 259/564 из 222 относятся к категории
завсегдатаев. Таким образом, ожидаемая клеточная частота в первой
клетке таблицы равна: 259 / 564  222  102 чел., т. е. ожидаемые часто20
ты рассчитываются как произведение сумм частот по строке и столбцу
таблицы, деленное на объем выборки.
Ожидаемые частоты являются средними значениями и могут не
округляться до целого. Расчет «хи-квадрат» приведен в табл. 10.
Таблица 10
Ожидаемые частоты
f0
fE
f0  f E
 f 0  f E 2
 f 0  f E 2 / f E
120
139
55
105
47
98
564
102
157
63
97
57
88
564
18
-18
-8
8
-10
10
–
324
324
64
64
100
100
–
3,18
2,06
1,02
0,66
1,75
1,14
9,81
Найденное значение
 2  9,81 показано на рис. 11.
 
f 2
Принятие H0
Отклонение H0
0,5%
 2  5,991
 2  9,81
2
Рис. 11. Критическое значение  2 на 5 %-м уровне значимости
при двух степенях свободы
9,81  5,991 , следовательно, гипотеза H 0 отклоняется: связь между воз-
растом и частотой посещения ресторана и кафе следует признать доказанной на 5 %-м уровне значимости.
5. ОЦЕНКА СУЩЕСТВЕННОСТИ ПАРАМЕТРОВ
ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ И КОРРЕЛЯЦИИ
После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится
оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.
Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью
F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии равен нулю: b  0 и, следовательно, фактор x не оказывает влияния на результат y.
21
Непосредственному расчету F-критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нем занимает разложение общей суммы
квадратов отклонений величины y от ее среднего значения y на «объясненную» и «необъясненную» компоненты:
 y
2
y

2
Общая сумма квад 
ратов отклонений

 y
x
 y

2
 y  y 
2
x
Сумма квадратов
Остаточная сумма
отклонений , обуслов 
квадратов откло 
ленная регрессией
нений
Общая сумма квадратов отклонений индивидуальных значений результативного признака y от своего значения y вызвана влиянием множества причин. Условно разделим всю совокупность причин на две группы: изучаемый фактор x и прочие факторы. Если фактор не оказывает
влияния на результат, то линия регрессии на графике параллельна оси OX
и y  y . Тогда вся дисперсия результативного признака обусловлена
воздействием прочих факторов и общая сумма квадратов отклонений
совпадает с остаточной. Если же прочие факторы не влияют на результат,
то y связан с x функционально, и остаточная сумма квадратов равна нулю. В этом случае общая сумма квадратов совпадает с суммой квадратов
отклонений, обусловленной регрессией.
Поскольку не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии,
то всегда имеет место их разброс, как обусловленный влиянием фактора
x, т. е. регрессией y по x, так и вызванный действием прочих причин
(необъясненная вариация). Пригодность линии регрессии для последующего прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака y
приходится на объясненную вариацию. Очевидно, что если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет много больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии статистически значимо
и фактор x оказывает существенное воздействие на результат y. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации ryx2 будет приближаться к
1.
Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы, т. е. с числом свободы независимого варьирования признака. Число
степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом
определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме
число степеней свободы должно показать, сколько независимых отклонений из n возможных  y1  y ,  y2  y , ...,  yn  y  требуется для образования данной суммы квадратов. Так, для общей суммы квадратов
n
 y
i t
22
 y
2
i
требуется n  1 независимых отклонений, ибо по совокупности из n
единиц после расчета среднего уровня свободно варьируют лишь n  1 число отклонений. Например, имеем ряд значений y: 1, 2, 3, 4, 5. Среднее
значение равно 3 и тогда n отклонений от среднего составят: -2; -1; 0; 1; 2.
Так как   yi  y   0 , то свободно варьируют лишь 4 отклонения, а пятое может быть определено, если предыдущие 4 известны.
При расчете факторной суммы квадратов   y x  y  используются

теоретические (расчетные) значения результативного признака y x ,

найденные по линии регрессии: y x  a  bx .
В линейной регрессии   y x  y 2  b 2   x  x 2 . В этом нетрудно
убедиться, обратившись к формуле линейного коэффициента корреляции: r  b  x . Отсюда r 2  b 2  x ,
yx
2
2
y
y
где  – общая дисперсия признака y,
2
y
2
b   x2 – факторная дисперсия, т. е. обусловленная регрессией.
Соответственно сумма квадратов отклонений, обусловленных линейной регрессией, составит:
2

2
  y x  y   b 2   x  x 
Поскольку при заданном объеме наблюдений по x и y факторная
сумма квадратов при линейной регрессии зависит только от одной константы – коэффициента регрессии b, то данная сумма квадратов имеет
одну степень свободы. К этому же выводу придем, если рассмотрим со
держательную сторону расчетного значения признака y, т. е. y x . Значе-


ние y x определяется по уравнению линейной регрессии: y x  a  bx .
Но параметр a можно определить как a  y  bx . Подставив это выражение параметра a в линейную модель, получим:

y x  y  b  x  b  x  y  bx  x  .
Отсюда видно, что при заданном наборе переменных y и x расчетное

значение y x является в линейной регрессии функцией только одного параметра – коэффициента регрессии. Соответственно и факторная сумма
квадратов отклонений имеет число степеней свободы, равное 1.
Поскольку существует балансовое равенство между числом степеней
свободы общей, факторной и остаточной сумм квадратов, то число степеней свободы остаточной суммы квадратов при линейной регрессии составит n  2 , т. е. n  1  1  n  2 . Итак имеем два балансовых равенства:
23
y
i

 2
2
2
 y     yix  y     yi  yix  ,
i
i
n  1  1  n  2 .
Поделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число
степеней свободы, получим средний квадрат отклонений или, что то же
самое, дисперсию D на одну степень свободы. Определение дисперсии на
одну степень свободы приводит их к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии на одну степень свободы, найдем величину F-отношения:
F  Dфакторная / Dостаточная .
Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для опровержения ее необходимо,
чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз. Разработаны (английским статистиком Снедекором) таблицы критических
значений F-отношений при разных уровнях существенности нулевой гипотезы и различном числе степеней свободы. Табличное значение F-критерия
– это максимальное значение отношения дисперсий, которое может иметь
место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности
наличия нулевой гипотезы. Вычисленное значение F-отношения признается достоверным (отличным от 1), если оно больше табличного. В этом
случае отбрасывается нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков и
делается вывод о существенности этой связи.
Если же значение F-критерия окажется меньше табличного, то вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня (например, 0,05) и она
не может быть отклонена без серьезного риска сделать неправильный
вывод о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считается
статистически незначимым.
В рассматриваемом примере:
2
2
  yi  y x    y 2  n y   99700  7 110 2  15000 (общая сумма
i 
квадратов);

2
2
2
2
  y x  y   b 2   x  x   36,84  80  7  22 : 7  14735
i 
(факторная сумма квадратов);

 y  y 
2
x
 15000  14735  265 ;
Dфакторная  14735 ;
Dостаточная  265 : 5  53 ;
Fфактическо е  14735 : 53  278 .
24
Критические значения F-критерия для уровней значимости   0,005
и   0,01 :
для   0,005 F 1,5  6,61 ; для   0,01 F 1,5  16,26 .
Поскольку Fфактическо е превышает табличные значения при 5-и и 1 %-м
уровне значимости, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана).
Значение F-критерия связано с коэффициентом детерминации r.
Факторную сумму квадратов отклонений можно представить как r 2 y2 n , а
остаточную сумму квадратов – как 1  r 2   y2  n .
Тогда значение F-критерия можно получить, исходя из формулы:
r2
F
 n  2 .
1 r 2
В нашем примере r 2  0,982 . Тогда F  0,982  7  2  273 (некото1  0,982
рое несовпадение результатов связано с ошибками округления).
Оценка значимости уравнения регрессии обычно дается в виде таблицы дисперсионного анализа (см. табл. 11).
В линейной регрессии обычно оценивается значимость не только
уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по
каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: mb и ma .
Таблица 11
Дисперсионный анализ результатов регрессии
Источники
вариации
Общая
Регрессия
Остаток
Число
степеней
свободы
Сумма
квадратов
отклонений
Дисперсия
на одну
степень
свободы
6
1
5
15000
14735
265
–
14735
53
F-отношение
фактическое
–
278
1
табличное при
  0,05
–
6,61
–
Стандартная ошибка для коэффициента регрессии определяется по
формуле:
 2
S2
  y  y x  /n  2 
.
mb 
2


x

x


x

x


В числителе подкоренного выражения используется остаточная дисперсия на одну степень свободы, обозначаемая часто в литературе S.
Для нашего примера значение стандартной ошибки коэффициента
регрессии составило:
25
mb 
53
 2,21 ,
10,857
где S 2  53 (по таблице дисперсионного анализа).
Величина стандартной ошибки совместно с t-распределением Стьюдента при двух степенях свободы применяется для проверки существенности
коэффициента регрессии и для расчета его доверительных интервалов.
Для оценки существенности коэффициента регрессии его значение
сравнивается с его стандартной ошибкой, т. е. определяется фактическое
значение t-критерия Стьюдента: tb  b / mb , которое затем сравнивается с
табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы n  2 . В рассматриваемом примере фактическое значение
t-критерия для коэффициента регрессии составило: t  36,84 16,67 .
b
2,21
Этот же результат получим, извлекая квадратный корень из найденного ранее F-критерия, т. е. tb  F  278  16,67 .
Справедливость равенства tb  F можно показать, раскрыв содержание величины t, выразив mb через его составляющие:
   y  y x 2 / n  2
2
2
2
2
tb  b / mb  b  

2

 x  x  
b 2 /  x  x   n  2
  y x  y   Dфакторная  F .


 2
 2
 y  yx 
  y  y x  /n  2 Dостаточная
2
2
При   0,05 (для двустороннего критерия) и числе степеней свободы
5 табличное значение tb  2,57 . Если фактическое значение t-критерия
превышает табличное, то следовательно, гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить, что имеет место в нашем примере.
Доверительный интервал для коэффициента регрессии определим
как b  t  mb . В нашем примере 98 %-е границы для коэффициента регрессии b составят: 36,84  2,57  2,21  36,84  5,68 , т. е. 31,60  b  42,52 .
Поскольку коэффициент регрессии в эконометрических исследованиях имеет четкую экономическую интерпретацию, то доверительные
границы интервала для коэффициента регрессии не должны содержать
противоречивых результатов (например, 10  b  40 ), по которым истинное значение одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль.
Стандартная ошибка параметра a определяется по формуле:
26

ma 
y  y 
2
x
n2
x
n   x  x 
2

2
x
n   x  x 
2
 S
.
2
В остальном процедура оценивания существенности данного параметра не отличается от рассмотренной выше для коэффициента регрессии: t a  a / ma ; сравнение t a с табличным значением.
Надежность линейного коэффициента корреляции проверяется по значению ошибки коэффициента корреляции mr с использованием формулы:
1 r2 .
n2
Фактическое значение t-критерия Стьюдента определяется аналогично предыдущим показателям, т. е.
r
tr 
 n2 .
1 r 2
Данная формула наглядно показывает, что в парной линейной ре2
грессии t r2  F , ибо, как уже указывалось, F  r  n  2 .
1 r2
Кроме того, t 2  F . Следовательно, t r  tb . Таким образом, проверка
гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна
проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.
В рассматриваемом примере t r не совпало с t b в результате ошибок
mr 
округлений. Значение tr  16,73 заметно превышает табличное значение
2,57 при   0,05 . Следовательно, коэффициент корреляции существенно
отличен от нуля и зависимость достоверная.
Однако рассмотренная формула оценки коэффициента корреляции
рекомендуется к применению при большом числе наблюдений и если r не
близко k+1 или -1. Если же значение коэффициента корреляции близко
k+1, то распределение его оценок отличается от нормального или распределения Стьюдента, так как значение коэффициента корреляции
ограничено: от -1 до +1. Чтобы обойти это затруднение, Р. Фишером было предложено ввести для оценки существенности r вспомогательную величину z, связанную с коэффициентом корреляции следующим отношением:
1 1 r .
z   ln
2
1 r
При изменении r от -1 до +1 величина z меняется от -∞ до +∞, что
соответствует нормальному распределению. Математический анализ доказывает, что распределение величины z мало отличается от нормального
27
даже при ближних к 1 значениях коэффициента корреляции. Стандартная
ошибка величины z определяется по формуле:
1 ,
mz 
n3
где n – число наблюдений.
При r  0,991 z  0,5  ln 1  0,991 : 1  0,991  2,699 , а mz  1 :
7  3  0,5 . Значение z можно не рассчитывать, а воспользоваться готовыми таблицами z-преобразования, в которых приведены значения z для
различных r.
Далее выдвигаем нулевую гипотезу, что корреляция отсутствует, т.е.
теоретическое значение коэффициента корреляции равно нулю. Коэффициент корреляции значимо отличен от нуля, если z  t  t  0,05 , т. е.
mz
z

если фактическое значение t z превышает его табличное значение при
условиях значимости   0,05 или   0,01 .
В рассмотренном примере: z  n  3  2,699  7  3  5,398 при
tф  0,05  2,57 .
Ввиду того, что r и z связаны между собой приведенным выше соотношением, можно вычислить критические значения r, соответствующие
каждому из значений z. Таблицы критических значений z разработаны
для уровня значимости 0,05 и 0,01 и соответствующего числа степеней
свободы (см. Приложение). Критические значения r предполагают справедливость нулевой гипотезы, т. е. r отлично от нуля. Если фактическое
значение коэффициента корреляции по абсолютной величине превышает
табличное, то данное значение r считается существенным. Если же r оказывается меньше табличного, то фактическое значение r несущественно.
В рассматриваемом примере при числе степеней свободы n  2  5 критическое значение r при   0,05 составляет 0,754, а при   0,01 оно равно
0,874, что ниже фактического значения ryx  0,991 . Следовательно, полученное значение r существенно отлично от нуля.
Задачи:
1. По двум независимым выборкам, объем которых n1  11 и n2  14 , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены
исправленные выборочные дисперсии S12  0,76 и S 22  0,38 . При уровне
значимости   0,05 , проверить нулевую гипотезу H 0 : D( X )  D(Y ) о
равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе
H1 : D( X )  D(Y ) .
28
2. По двум независимым выборкам, объем которых n1  9 и n2  6 , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены
выборочные дисперсии DB  X   14,4 и DB Y   20,5 . При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу: H 0 : D X   DY  о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе H1 : D X   DY  .
3. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема
n  17 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s 2  0,24 .
Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу
H 0 :  2   02  0,18 , приняв в качестве конкурирующей гипотезы
H1 :  2  0,18 .
4. По двум независимым выборкам, объем которых n  40 и m  50 , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние: x  130 и y  140 . Генеральные дисперсии известны:
D X   80 , DY   100 . Требуется при уровне значимости 0,01 проверить
нулевую гипотезу H 0 : M  X   M Y  при конкурирующей гипотезе
H1 : M  X   M Y  .
5. При выборке объема n  30 найден средний вес x  130 г изделий, изготовленных на первом станке; по выборке объема m  40 найден средний вес y  125 г изделий, изготовленных на втором станке. Генеральные
дисперсии известны: D X   60 г 2 , DY   80 г 2 . Требуется, при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H 0 : M  X   M Y  при конку-
рирующей гипотезе H1 : M  X   M Y  . Предлагается, что случайные величины X и Y распределены нормально и выборки независимы.
6. По двум независимым малым выборкам, объемы которых n  12 и
m  18 , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y,
найдены выборочные средние: x  31,2 , y  29,2 и исправленные дисперсии: s x2  0,84 и s y2  0,40 . Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу: H 0 : M  X   M Y  при конкурирующей гипотезе
H1 : M  X   M Y  .
7. По двум независимым малым выборкам, объем которых n  10 и
m  8 , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние x  142,3 , y  145,3 и исправленные дисперсии:
s x2  2,7 и s y2  3,2 . При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу H 0 : M  X   M Y  при конкурирующей гипотезе H1 : M  X   M Y  .
29
8. При выборочном опросе 150 телезрителей, пользующихся услугами
спутникового телевидения, получены следующие результаты распределения их по возрасту:
Возраст (лет)
Кол-во
пользователей
(чел)
Менее 20 20–30
30–40
40–50
50–60
60–70
Более 70 Итого
8
31
40
32
15
7
18
150
2
По данным задачи, используя критерий  – Пирсона, при уровне значимости   0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X –
продолжительность командировок – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
9. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить,
согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Xс эмпирическим распределением выборки объема n  200 ;
xi
5
7
9
11
13
15
17
19
21
ni
15
26
25
30
26
21
24
20
13
10. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратичным отклонением   40 извлечена выборка объема n  64 и по ней
найдена выборочная средняя x  136,5 . Требуется при уровне значимости
0,01 проверить нулевую гипотезу H 0 :    0  130 при конкурирующей
гипотезе H1 :   130 .
б) Решить эту задачу при конкурирующей гипотезе H1 :   130 .
11. Установлено, что средний вес таблетки лекарства сильного действия
должен быть равен  0  0,50 мг. Выборочная проверка 121 таблетки полученной партии лекарства показала, что средний вес таблетки этой партии x  0,53 мг. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу H 0 :    0  0,50 при конкурирующей гипотезе
H1 :   0,50 . H1 :   130 многократными предварительными опытами
по взвешиванию таблеток, поставляемых фармацевтическим заводом,
было установлено, что вес таблеток распределен нормально со средним
квадратическим отклонением   0,11 мг.
12. По выборке объема n  16 , извлеченной из нормальной генеральной
совокупности, найдены выборочная средняя x  118,2 и «исправленное»
среднее квадратическое отклонение s  3,6 . Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H 0 :    0  120 при конкурирующей гипотезе H1 :   120 .
30
13. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами ni и теоретическими частотами ni' , которые вычислены исходя из
гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности X:
а)
ni
5
10
20
8
7
ni'
6
14
18
7
5
б)
ni
6
8
13
15
20
16
10
7
5
ni'
5
9
14
16
18
16
9
6
7
Ответы
1. Fнабл  2 , H 0 – принимается.
2. Fнабл  1,52 , H 0 – принимается.
2
3.  набл
 21,33 , H 0 – принимается.
4. zнабл  5 , H 0 – отвергается.
5. zнабл  2,5 , H 0 – отвергается.
6. а) H 0 : D X   DY  , Fнабл  2,1, H 0 – принимается;
б) H 0 : M  X   M Y  , Tнабл  7,1 , H 0 – отвергается.
7. а) H 0 : D X   DY  , Fнабл  1,19 , H 0 – принимается;
б) H 0 : M  X   M Y  , Tнабл  3,7 , H 0 – отвергается.
2
8.  набл
 22,2 , H 0 – отвергается.
9. а) U наб  16 , H 0 – принимается;
б) H 0 – принимается.
10. U н  3 , H 0 – отвергается.
11. Tнабл  2 , H 0 – принимается.
31
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ И РЕКОМЕНДУЕМОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ермаков, В. И. Сборник по высшей математике для экономистов: учеб. пособие /
В. И. Ермаков, Г. И. Бобрик. – М: Инфра- М, – 2004.
2. Бородач, С. А. Эконометрика: Учеб. пособие / С. А. Бородач. – Мн: Новое знание, 2001.
32
Приложение 1
Таблица значений интегральной функции Лапласа
t2
Ф( x ) 
х
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
0
0,0000
0,0398
0,0793
0,1179
0,1554
0,1915
0,2257
0,2580
0,2881
0,3159
0,3413
0,3643
0,3849
0,4032
0,4192
0,4332
0,4452
0,4554
0,4641
0,4713
0,4772
0,4821
0,4861
0,4893
0,4918
0,4938
0,4953
0,4965
0,4974
0,4981
0,4987
0,01
0,0040
0,0438
0,0832
0,1217
0,1591
0,1950
0,2291
0,2611
0,2910
0,3186
0,3438
0,3665
0,3869
0,4049
0,4207
0,4345
0,4463
0,4564
0,4649
0,4719
0,4778
0,4826
0,4864
0,4896
0,4920
0,4940
0,4955
0,4966
0,4975
0,4982
0,4987
0,02
0,0080
0,0478
0,0871
0,1255
0,1628
0,1985
0,2324
0,2642
0,2939
0,3212
0,3461
0,3686
0,3888
0,4066
0,4222
0,4357
0,4474
0,4573
0,4656
0,4726
0,4783
0,4830
0,4868
0,4898
0,4922
0,4941
0,4956
0,4967
0,4976
0,4982
0,4987
0,03
0,0120
0,0517
0,0910
0,1293
0,1664
0,2019
0,2357
0,2673
0,2967
0,3238
0,3485
0,3708
0,3907
0,4082
0,4236
0,4270
0,4484
0,4582
0,4664
0,4732
0,4788
0,4834
0,4871
0,4901
0,4925
0,4943
0,4957
0,4968
0,4977
0,4983
0,4988
1 x 2
dt
e
2 0
0,04
0,0160
0,0557
0,0948
0,1331
0,1700
0,2054
0,2389
0,2704
0,2995
0,3264
0,3508
0,3729
0,3925
0,4099
0,4251
0,4382
0,4495
0,4591
0,4671
0,4738
0,4793
0,4839
0,4875
0,4904
0,4927
0,4945
0,4959
0,4969
0,4977
0,4984
0,4988
33
0,05
0,0199
0,0596
0,0987
0,1368
0,1736
0,2088
0,2422
0,2734
0,3023
0,3289
0,3531
0,3749
0,3944
0,4115
0,4265
0,4394
0,4505
0,4599
0,4678
0,4744
0,4798
0,4842
0,4878
0,4906
0,4929
0,4946
0,4960
0,4970
0,4978
0,4984
0,4989
0,06
0,0239
0,0636
0,1026
0,1406
0,1772
0,2123
0,2454
0,2764
0,3051
0,3315
0,3554
0,3770
0,3962
0,4131
0,4279
0,4406
0,4515
0,4608
0,4686
0,4750
0,4803
0,4846
0,4881
0,4909
0,4931
0,4948
0,4961
0,4971
0,4979
0,4985
0,4989
0,07
0,0279
0,0675
0,01064
0,1443
0,1808
0,2157
0,2486
0,2794
0,3078
0,3340
0,3577
0,3790
0,3980
0,4147
0,4292
0,4418
0,4525
0,4616
0,4693
0,4756
0,4808
0,4850
0,4884
0,4911
0,4932
0,4949
0,4962
0,4972
0,4979
0,4985
0,4989
0,08
0,0319
0,0714
0,1103
0,1480
0,1844
0,2190
0,2517
0,2823
0,3106
0,3365
0,3599
0,3810
0,3997
0,4162
0,4306
0,4429
0,4535
0,4625
0,4699
0,4761
0,4812
0,4854
0,4887
0,4913
0,4934
0,4951
0,4963
0,4973
0,4980
0,4986
0,4990
0,09
0,0359
0,0753
0,1141
0,1517
0,1879
0,2224
0,2549
0,2852
0,3133
0,3389
0,3621
0,3830
0,4015
0,4177
0,4319
0,4441
0,4545
0,4633
0,4706
0,4767
0,4817
0,4857
0,4890
0,4916
0,4936
0,4952
0,4964
0,4974
0,4981
0,4986
0,4990
Приложение 2
Значения
Число степеней
свободы k
33
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
2;k
– критерия Пирсона
Вероятность α
0,99
0,00
0,02
0,11
0,30
0,55
0,87
1,24
1,65
2,09
2,56
3,05
3,57
4,11
4,66
5,23
5,81
6,41
7,02
7,63
8,26
8,90
9,54
10,2
10,9
11,5
12,2
0,98
0,00
0,04
0,18
0,43
0,75
1,13
1,56
2,03
2,53
3,06
3,61
4,18
4,76
5,37
5,98
6,61
7,26
7,91
8,57
9,24
9,92
10,6
11,3
12,0
12,7
13,4
0,95
0,00
0,10
0,35
0,71
1,14
1,63
2,17
2,73
3,32
3,94
4,58
5,23
5,89
6,57
7,26
7,96
8,67
9,39
10,1
10,8
11,6
12,3
13,1
13,8
14,6
15,4
0,90
0,02
0,21
0,58
1,06
1,61
2,20
2,83
3,49
4,17
4,86
5,58
6,30
7,04
7,79
8,55
9,31
10,1
10,9
11,6
12,4
13,2
14,0
14,8
15,7
16,5
17,3
0,80
0,06
0,45
1,00
1,65
2,34
3,07
3,82
4,59
5,38
6,18
6,99
7,81
8,63
9,47
10,3
11,1
12,0
12,9
13,7
14,6
15,4
16,3
17,2
18,1
18,9
19,8
0,70
0,15
0,71
1,42
2,20
3,00
3,83
4,67
5,53
6,39
7,27
8,15
9,03
9,93
10,8
11,7
12,6
13,5
14,4
15,3
16,3
17,2
18,1
19,0
19,9
20,9
21,8
0,50
0,45
1,39
2,37
3,36
4,35
5,35
6,35
7,34
8,34
9,34
10,3
11,3
12,3
13,3
14,3
15,3
16,3
17,3
18,3
19,3
20,3
21,3
22,3
23,3
24,3
25,3
0,30
1,07
2,41
3,66
4,88
6,06
7,23
8,38
9,52
10,7
11,8
12,9
14,0
15,1
16,2
17,3
18,4
19,5
20,6
21,7
22,8
23,9
24,9
26,0
27,1
28,2
29,2
0,20
1,64
3,22
4,64
5,99
7,29
8,56
9,80
11,0
12,2
13,4
14,6
15,8
17,0
18,1
19,3
20,5
21,6
22,8
23,9
25,0
26,2
27,3
28,4
29,6
30,7
31,8
0,10
2,71
4,60
6,25
7,78
9,24
10,6
12,0
13,4
14,7
16,0
17,3
18,5
19,8
21,1
22,3
23,5
24,8
26,0
27,2
28,4
29,6
30,8
32,0
33,2
34,4
35,6
0,05
3,84
5,99
7,82
9,49
11,1
12,6
14,1
15,5
16,9
18,3
19,7
21,0
22,4
23,7
25,0
26,3
27,6
28,9
30,1
31,4
32,7
33,9
35,2
36,4
37,7
38,9
0,02
5,41
7,82
9,84
11,7
13,4
15,0
16,6
18,2
19,7
21,2
22,6
24,1
25,5
26,9
28,3
29,6
31,0
32,3
33,7
35,0
36,3
37,7
39,0
40,3
41,7
42,9
0,01
6,64
9,21
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
24,7
26,2
27,7
29,1
30,6
32,0
33,4
34,8
36,2
37,6
38,9
40,3
41,6
43,0
44,3
45,6
Окончание прилож. 2
Число степеней
свободы k
27
28
29
30
Вероятность α
0,99
12,9
13,6
14,3
14,9
0,98
14,1
14,8
15,6
16,3
0,95
16,1
16,9
17,7
18,5
0,90
18,1
18,9
19,8
20,6
0,80
20,7
21,6
22,5
23,4
0,70
22,7
23,6
24,6
25,5
34
1
0,50
26,3
27,3
28,3
29,3
0,30
30,3
31,4
32,5
33,5
0,20
32,9
34,0
35,1
36,2
0,10
36,7
37,9
39,1
40,3
0,05
40,1
41,3
42,6
43,8
0,02
44,1
45,4
46,7
48,0
0,01
47,0
48,3
49,6
50,9
Приложение 3
Значения t , k – критерия Стьюдента
Число степеней
свободы k
35
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Вероятность γ
0,1
0,16
14
14
13
13
0,13
13
13
13
13
0,13
13
13
13
13
0,13
13
13
13
13
0,13
13
13
13
13
0,13
13
0,2
0,32
29
28
27
27
0,26
26
26
26
26
0,26
26
26
26
26
0,26
26
26
26
26
0,26
26
26
26
26
0,26
26
0,3
0,51
44
42
41
41
0,40
40
40
40
40
0,40
39
39
39
39
0,39
39
39
39
39
0,39
39
39
39
39
0,39
39
0,4
0,73
62
58
57
56
0,55
55
55
54
54
0,54
54
54
54
54
0,53
53
53
53
53
0,53
53
53
53
53
0,53
53
0,5
1,00
0,82
76
74
73
1,72
71
70
70
70
0,70
69
69
69
69
0,69
69
69
69
69
0,69
69
68
68
68
0,68
68
0,6
1,38
06
0,98
94
92
1,91
90
89
88
88
0,88
87
87
87
87
0,86
86
86
86
86
0,86
86
86
86
86
0,86
85
0,7
1,96
34
25
19
16
1,13
12
11
10
09
1,09
08
08
08
07
1,07
07
07
07
06
1,06
06
06
06
06
1,06
06
0,8
3,08
1,89
64
53
48
1,44
41
40
38
37
1,36
36
35
34
34
1,34
33
33
33
32
1,32
32
32
32
32
1,31
31
0,9
6,31
2,92
35
13
01
1,94
89
86
83
81
1,80
78
77
76
75
1,75
74
73
73
72
1,72
72
71
71
71
1,71
70
0,95
12,71
4,30
3,18
2,78
57
2,45
36
31
26
23
2,20
18
16
14
13
2,12
11
10
09
09
2,08
07
07
06
06
2,06
05
0,98
31,82
6,96
4,54
3,75
36
3,14
00
2,90
82
76
2,72
68
65
62
60
2,58
57
55
54
53
2,52
51
50
49
48
2,48
47
0,99
63,66
9,92
5,84
4,60
03
3,71
50
35
25
17
3,11
05
01
2,98
95
2,92
90
88
86
84
2,83
82
81
80
79
2,78
77
Окончание прилож. 3
Число степеней
свободы k
28
29
30
40
60
120

Вероятность γ
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
13
13
13
0,13
13
0,13
13
26
26
26
0,25
25
0,25
25
39
39
39
0,39
39
0,39
38
53
53
53
0,53
53
0,53
52
68
68
68
0,68
68
0,.68
67
85
85
85
0,85
85
0,8
84
06
05
05
1,05
05
1,04
04
31
31
31
1,30
30
1,9
28
70
70
70
1,68
67
1,66
64
36
1
0,95
05
04
04
2,02
00
1,98
96
0,98
47
46
46
2,42
39
2,36
33
0,99
76
76
75
2,70
66
2,62
58
Приложение 4
Значения F ; k1 ; k 2 – критерия Фишера
  0,05
k1
k1
37
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
24
30
40
60
120

161
18,5
10,1
7,71
6,61
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
4,84
4,75
4,67
4,60
4,54
4,49
4,45
4,41
4,38
4,35
4,32
200
19,0
9,55
6,94
5,79
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
3,98
3,89
3,81
3,74
3,68
3,63
3,59
3,55
3,52
3,49
3,47
216
19,2
9,28
6,59
5,41
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,24
3,20
3,16
3,13
3,10
3,07
225
19,2
9,12
6,39
5,19
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,01
2,96
2,93
2,90
2,87
2,84
230
19,3
9,01
6,26
5,05
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
3,20
3,11
3,03
2,96
2,90
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
2,68
234
19,3
8,94
6,16
4,95
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
3,09
3,00
2,92
2,85
2,79
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,57
237
19,3
8,89
6,09
4,88
4,21
3,79
3,50
3,29
3,14
3,01
2,91
2,83
2,76
2,71
2,66
2,61
2,58
2,54
2,51
2,49
239
19,4
8,85
6,04
4,82
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
2,95
2,85
2,77
2,70
2,64
2,59
2,55
2,51
2,48
2,45
2,42
240
19,4
8,81
6,00
4,77
4,10
3,68
3,39
3,18
3,02
2,90
2,80
2,71
2,65
2,59
2,54
2,49
2,46
2,42
2,39
2,37
242
19,4
8,79
5,96
4,74
4,06
3,64
3,35
3,14
2,98
2,85
2,75
2,67
2,60
2,54
2,49
2,45
2,41
2,38
2,35
2,32
244
19,4
8,74
5,91
4,68
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,42
2,38
2,34
2,31
2,28
2,25
246
19,4
8,70
5,86
4,62
3,94
3,51
3,22
3,01
2,85
2,92
2,62
2,53
2,46
2,40
2,35
2,31
2,27
2,23
2,20
2,18
248
19,4
8,66
5,80
4,56
3,87
3,44
3,15
2,94
2,77
2,65
2,54
2,46
2,39
2,33
2,28
2,23
2,19
2,16
2,12
2,10
249
19,4
8,64
5,77
4,53
3,84
3,41
3,12
2,90
2,74
2,61
2,51
2,42
2,35
2,29
2,24
2,19
2,15
2,11
2,08
2,05
250
19,5
8,62
5,75
4,50
3,81
3,38
3,08
2,86
2,70
2,57
2,47
2,38
2,31
2,25
2,19
2,15
2,11
2,07
2,04
2,01
251
19,5
8,59
5,72
4,46
3,77
3,34
3,04
2,83
2,66
2,53
2,43
2,34
2,27
2,20
2,15
2,10
2,06
2,03
1,99
1,96
252
19,5
8,57
5,69
4,43
3,74
3,30
3,01
2,79
2,62
2,49
2,38
2,30
2,22
2,16
2,11
2,06
2,02
1,98
1,95
1,92
253
19,5
8,55
5,66
4,40
3,70
3,27
2,97
2,75
2,58
2,45
2,34
2,25
2,18
2,11
2,06
2,01
1,97
1,93
1,90
1,87
254
19,5
8,53
5,63
4,36
3,67
3,23
2,93
2,71
2,54
2,40
2,30
2,21
2,13
2,07
2,01
1,96
1,92
1,88
1,84
1,81
2
Продолжение прилож. 4
  0,05
k1
k1
38
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
4,30
4,28
4,26
4,24
4,23
4,21
4,20
4,18
4,17
4,08
4,00
3,92
3,84
2
3,44
3,42
3,40
3,39
3,37
3,35
3,34
3,33
3,32
3,23
3,15
3,07
3,00
3
3,05
3,03
3,01
2,99
2,98
2,96
2,95
2,93
2,92
2,84
2,76
2,68
3,60
4
2,82
2,80
2,78
2,76
2,74
2,73
2,71
2,70
2,69
2,61
2,53
2,45
2,37
5
2,66
2,64
2,62
2,60
2,59
2,57
2,56
2,55
2,53
2,45
2,37
2,29
2,21
6
2,55
2,53
2,51
4,49
2,47
2,46
2,45
2,43
2,42
2,34
2,25
2,17
2,10
7
2,46
2,44
2,42
2,40
2,39
2,37
2,36
2,35
2,33
2,25
2,17
2,09
2,01
8
2,40
2,37
2,36
2,34
2,32
2,31
2,29
2,28
2,27
2,18
2,10
2,02
1,94
9
2,34
2,32
2,30
2,28
2,27
2,25
2,24
2,22
2,21
2,12
2,04
1,96
1,83
10
2,330
2,27
2,25
2,24
2,22
2,20
2,19
2,18
2,16
2,08
1,99
1,91
1,83
12
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,10
2,09
2,00
1,92
1,83
1,75
4052 4999,5 5403 5625 5764 5859
98,50 99,00 99,17 99,25 99,30 99,33
34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91
21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21
16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67
13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47
12,25
9,55 8,45 7,85 7,46 7,19
11,26
8,65 7,59 7,01 6,63 6,37
10,56
8,02 6,99 6,42 6,06 5,80
10,04
7,56 6,55 5,99 5,64 5,39
9,65
7,21 6,22 5,67 5,32 5,07
9,33
6,93 5,95 5,41 5,06 4,82
9,07
6,70 5,74 5,21 4,86 4,62
8,86
6,51 5,56 5,04 4,69 4,46
8,68
6,36 5,42 4,89 4,56 4,32
5928
99,36
27,67
14,98
10,46
8,26
6,99
6,18
5,61
5,20
4,89
4,64
4,44
4,28
4,14
5982
99,37
27,49
14,80
10,29
8,10
6,84
6,03
5,47
5,06
4,74
4,50
4,30
4,14
4,00
6022
99,39
27,35
14,66
10,16
7,98
6,72
5,91
5,35
4,94
4,63
4,39
4,19
4,03
3,89
6056
99,40
27,23
14,55
10,05
7,87
6,62
5,81
5,26
4,85
4,54
4,30
4,10
3,94
3,80
6106
99,42
27,05
14,37
9,89
7,72
6,47
5,67
5,11
4,71
4,40
4,16
3,96
3,80
3,67
  0,01
3
15
2,15
2,13
2,11
2,09
2,07
2,06
2,04
2,03
2,01
1,92
1,84
1,75
1,67
20
2,07
2,05
2,03
2,01
1,99
1,97
1,96
1,94
1,93
1,84
1,75
0,66
1,57
24
2,03
2,01
1,98
1,96
1,95
1,93
1,91
1,90
1,89
1,79
1,70
1,61
1,52
30
1,98
1,96
1,94
1,92
1,90
1,88
1,87
1,85
1,84
1,74
1,65
1,55
1,46
40
1,94
1,91
1,89
1,87
1,85
1,84
1,82
1,81
1,79
1,69
1,59
1,50
1,39
60
1,89
1,86
1,84
1,82
1,80
1,79
1,77
1,75
1,74
1,64
1,53
1,43
1,32
120
1,84
1,81
1,79
1,77
1,75
1,73
1,71
1,70
1,68
1,58
1,47
1,35
1,22

1,78
1,76
1,73
1,71
1,69
1,67
1,65
1,64
1,62
1,51
1,39
1,25
1,00
6157 6209 6235 6261 6287 6313 6339 6366
99,43 99,45 99,46 99,47 99,47 99,48 99349 99,50
26,87 26,69 26,60 26,50 26,41 26,32 26,22 26,13
14,20 14,02 13,93 13,84 13,75 13,65 13,56 13,46
9,72 9,55 9,47 9,38 9,29 9,20 9,11 9,02
7,56 7,40 7,31 7,23 7,14 7,06 6,97 6,88
6,31 6,16 6,07 5,99 5,91 5,82 5,74 5,65
5,52 5,36 5,28 5,20 5,12 5,03 4,95 4,86
4,96 4,81 4,73 4,65 4,57 4,48 4,40 4,31
4,56 4,41 4,33 4,25 4,17 4,08 4,00 3,91
4,25 4,10 4,02 3,94 3,86 3,78 3,69 3,60
4,01 3,86 3,78 3,70 3,62 3,54 3,45 3,36
3,82 3,66 3,59 3,51 3,43 3,34 3,25 3,17
3,66 3,51 3,43 3,35 3,27 3,18 3,09 3,00
3,52 3,37 3,29 3,21 3,13 3,05 2,96 2,87
Окончание прилож. 4
  0,01
k1
k1
39
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120

1
8,53
8,40
8,29
8,18
8,10
8,02
7,95
7,88
7,82
7,77
7,72
7,68
7,64
7,60
7,56
7,31
7,08
6,85
6,63
2
6,23
6,11
6,01
5,93
5,85
5,78
5,72
5,66
5,61
5,57
5,53
5,49
5,45
5,42
5,39
5,18
4,98
4,79
4,61
3
5,29
5,18
5,09
5,01
4,94
4,87
4,82
4,76
4,72
4,68
4,64
4,60
4,57
4,54
4,51
4,31
4,13
3,95
3,78
4
4,77
4,67
4,58
4,50
4,43
4,37
4,31
4,26
4,22
4,18
4,14
4,11
4,07
4,04
4,02
3,83
3,65
3,48
3,32
5
4,44
4,34
4,25
4,17
4,10
4,04
3,99
3,94
3,90
3,85
3,82
3,78
3,75
3,73
3,70
3,51
3,34
3,17
3,02
6
4,20
4,10
4,01
3,94
3,87
3,81
3,76
3,71
3,67
3,63
3,59
3,56
3,53
3,50
3,47
3,29
3,12
2,96
2,80
7
4,03
3,93
3,84
3,77
3,70
3,64
3,59
3,54
3,50
3,46
3,42
3,39
3,36
3,33
3,30
3,12
2,95
2,79
2,64
8
3,89
3,79
3,71
3,63
3,56
3,51
3,45
3,41
3,36
3,32
3,29
3,26
3,23
3,20
3,17
2,99
2,82
2,66
2,51
9
3,78
3,68
3,60
3,52
3,46
3,40
3,35
3,30
3,26
3,22
3,18
3,15
3,12
3,09
3,07
2,89
2,72
2,56
2,41
4
10
3,69
3,59
3,51
3,43
3,37
3,31
3,26
3,21
3,17
3,13
3,09
3,06
3,03
3,00
2,98
2,80
2,63
2,47
2,32
12
3,55
3,46
3,37
3,30
3,23
3,17
3,12
3,07
3,03
2,99
2,96
2,93
2,90
2,87
2,84
2,66
2,50
2,34
2,18
15
3,41
3,31
3,23
3,15
3,09
3,03
2,98
2,93
2,89
2,85
2,81
2,78
2,75
2,73
2,70
2,52
2,35
2,19
2,04
20
3,26
3,16
3,08
3,00
2,94
2,88
2,83
2,78
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,57
2,55
2,37
2,20
2,03
1,88
24
3,18
3,08
3,00
2,92
2,86
2,80
2,75
2,70
2,66
2,62
2,58
2,55
2,52
2,49
2,47
2,29
2,12
1,95
1,79
30
3,10
3,00
2,92
2,84
2,78
2,72
2,67
2,62
2,58
2,54
2,50
2,47
2,44
2,41
2,39
2,20
2,03
1,86
1,70
40
3,02
2,92
2,84
2,76
2,69
2,64
2,58
2,54
2,49
2,45
2,42
2,38
2,35
2,33
2,30
2,11
1,94
1,76
1,59
60
2,93
2,83
2,75
2,67
2,61
2,55
2,50
2,45
2,40
2,36
2,33
2,29
2,26
2,23
2,21
2,02
1,84
1,66
1,47
120
2,84
2,75
2,66
2,58
2,52
2,46
2,40
2,35
2,31
2,27
2,23
2,20
2,17
2,14
2,11
1,92
1,73
1,53
1,32

СОДЕРЖАНИЕ
Введение..............................................................................................
1. Теория вероятностей …...………………...……………………....
1.1. Статистические характеристики случайной величины .….
1.2. Законы распределения ……………………………………...
2. Проверка гипотез………….……………………………….……..
2.1. Проверка гипотезы о виде распределения ...………..……..
2.2. Сравнение двух дисперсий нормально распределенных совокупностей…….....................………………………………...
2.3. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической
генеральной дисперсией нормальной совокупности…..................................................................................……….
2.4. Сравнение двух средних значений ………………….....….
3. Испытание гипотезы по двум выборочным долям…………….
4. Испытания непараметрических гипотез………………………...
5. Оценка существенности параметров линейной регрессии и корреляции…………………………....................………… ……….
Список использованной и рекомендуемой литературы..................
Приложение 1……………………..…………………………………
Приложение 2……………………..…………………………………
Приложение 3……………………..…………………………………
Приложение 4……………………..…………………………………
40
3
4
4
6
10
10
11
12
12
16
18
21
31
32
33
35
37