Oxvatx

Министерство общего и профессионального образования свердловской области
Государственное бюджетное образовательное учреждение
Среднего профессионального образования Свердловской области
«Сухоложский многопрофильный техникум»
Методическое пособие
по организации самостоятельной работы обучающихся
для освоения темы «Производная»
по дисциплине «МАТЕМАТИКА»
Автор: Охват Валентина Леонидовна,
Преподаватель математики
624804, Свердловская область,
г. Сухой Лог, ул. Юбилейная, 10
телефон 8(34373) 4-27-91
Lyuba1404@yandex.ru
Екатеринбург, 2015
Содержание
Введение ................................................................................................................... 3
Вычисление производной по определению.......................................................... 5
Самостоятельная работа. ........................................................................................ 6
Простейшие приёмы дифференцирования. .......................................................... 7
Применение формул дифференцирования. .......................................................... 8
Задания для самостоятельной работы: .................................................................. 8
Формулы производных ........................................................................................... 9
Самостоятельная работа. ........................................................................................ 9
Уравнение касательной ........................................................................................ 10
Промежутки возрастания и убывания функции. ............................................... 11
Экстремумы функции. .......................................................................................... 13
Практические правила исследования функции на максимум и минимум с
помощью производной. ........................................................................................ 13
Применение производной к построению графиков функций. ......................... 15
Упражнения для самостоятельной работы ......................................................... 17
Примеры с решением. ........................................................................................... 19
Тригонометрические функции. ............................................................................ 19
Показательные функции. ...................................................................................... 21
Дробно – рациональные функции. ...................................................................... 21
Логарифмические функции. ................................................................................. 22
Целые рациональные функции ............................................................................ 22
Иррациональные функции ................................................................................... 22
Задания для самостоятельной работы. ................................................................ 23
Практические задачи на нахождение наибольших и наименьших значений
величин. .................................................................................................................. 24
Самостоятельная работа. ...................................................................................... 24
Алгоритм решения прикладных задач на «экстремум»: ................................... 25
Решение текстовых задач с использованием производной. ............................. 25
Введение
Содержание разделов курса, составляющих начала математического
анализа вызывает затруднение у многих обучающихся
Однако, все обучающиеся должны знать определение производной,
основные правила дифференцирования и формулы производных
элементарных функций, понимать геометрический смысл производной, знать
уравнение касательной.
Первоначально происходит формирование начальных умений находить
производные элементарных функций на основе определения производной.
В дальнейшем все обучающиеся должны овладеть правилами
дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций,
вынесения постоянного множителя за знак производной.
В результате изучения темы у обучающихся должны быть
сформированы умения находить производные элементарных функций.
После усвоения обучающимися таблиц производных элементарных
функций и правил дифференцирования происходит знакомство с
геометрическим смыслом производной, бучение составлению уравнений
касательной к графику функции в заданной точке.
Очень важно знать всем обучающимся, что с помощью производной
можно аналитически установить много важных свойств функции. Все
обучающиеся должны по графику функции выявлять ее промежутки
возрастания и убывания. Находить интервалы монотонности функции,
заданной аналитически.
В ходе изучения темы необходимо все знать определения точек
максимума и минимума, стационарных и критических точек; уметь
применять необходимые и достаточные условия экстремума для нахождения
точек экстремума функции.
Следующей целью ставиться научиться строить график функции. С
помощью производной, применять производную к нахождению наибольшего
и наименьшего значения функций, решать прикладные задачи на
«Экстремум»
Задания на выполнение производной стали традиционными на ЕГЭ по
математике. Они предназначены для формирования устойчивых навыков
решения задач на исследование функций с применением производной.
Эти задания, по статистике ЕГЭ прошлых лет, относятся к наиболее
проблемным для обучающихся, поэтому целью своей работы я взяла
«алгоритмизацию» процессов обучения по данной теме.
Воспользовавшись методическими указаниями обучающиеся сэкономят
время для решения задач.
Считаю, что выполненная мною работы содержит полезную
информацию для самостоятельного изучения темы «Производная».
Основная цель моей работы – повысить уровень математического
образования выпускников, что дает им возможность остановиться на
решении не только доступных задач, но и интересных новых заданий.
В методическом пособии приведены задачи с готовым решением, однако
обучающиеся рекомендуют решать задачи самостоятельно и сравнивать
собственное решение с приведенным в пособии.
Тем выпускникам, кто воспользуется материалом, приведенным в
пособии, будут не страшны экзаменационные задания по этой теме.
Вычисление производной по определению.
Определение: Производной функцией y  f (x) по независимой переменной х
при данном значении х (в данной точке х) называется предел отношения
приращения ∆y функции y к вызвавшему его приращению ∆x независимой
переменной x при стремлении ∆x к 0.
Для обозначения производной применяется символ y или f (x ) . Таким
образом,
y
f ( x  x)  f ( x)
 lim
x  0 x
x  0
x
y  f ( x)  lim
Общее правило вычисления производной:
1)Вычислить значение функции у, соответствующее данному значению
аргумента х;
2) Придать данному значению аргумента приращение ∆x и вычислить новое
значение y  y функции;
3)Вычесть прежнее значение функции из нового и тем самым определить
приращение ∆y функции;
4)составить отношение
y
,т.е. разделить вычисленное приращение ∆y на ∆x;
x
5) Найти предел отношения
y
при ∆х→0; этот предел и даёт искомую
x
производную.
Пример:
Пользуясь
определением,
найдём
производную
функции
f ( x)  x  5 x  7
2
Решение.
f  f ( x  x)  f ( x)  ( x  x)2  5( x  x)  7  ( x 2  5x  7)  2 xx  (x)2  5x  (2 x  x  5)x.
f
Вычислим отношение
:
x
f
 2 x  x  5 .
x
Теперь вычислим предел отношения
f
при ∆x→0 :
x
lim
 0
f
 lim (2 x  x  5)  2 x  5
x x 0
Ответ: f ( x)  2 x  5
Для любой квадратичной функции y  ax 2  bx  c имеем, что y  2ax  b
Для функции y  x 2  4 x  7 ( a  1, b  4 ) y  2 x  4
Производная линейной функции равна коэффициенту при независимом
переменном в уравнении, определяющим функцию;
например, для функции y  5 x  3 производная y  5
kx  b   k
Самостоятельная работа.
1.Пользуясь определением производной, найдите производную функции
f ( x)  x 2  x в точке x0  2 .
2. Найти f (x ) , используя формулу производной линейной функции
f ( x)  18 x  0,5
x
f ( x)    8  
3
f ( x)  15  x 2
Простейшие приёмы дифференцирования.
1.Производная суммы (алгебраической) равна сумме производных от
каждого слагаемого.
y  u  v
y uv
2.Производная от постоянного количества равна 0.
y C
y  0
3.Производная от самого независимого переменного равна 1.
yx
y  1
4. Производная от произведения.
y  uv
y  uv  uv
Производная произведения двух функций равна сумме произведений
производной первой функции на вторую и первой на производную второй
Частный случай
Производная от произведения постоянного количества на переменное равна
этому постоянному, умноженному на производную от
переменного.(Постоянное можно выносить за знак производной)
y  Cv
y   C v
5. Производная от степени равна показателю степени, умноженному на
независимое переменное, показатель которого на единицу меньше.
у  xn
y  nx n 1
6. Производная функции y  u
 u   2uu ;
при u=x имеем
7. Производная функции y 
u
1
  2;
u
u
 x   2 1 x
1
u
1
1
при u=x имеем     2
 x
x
8. Производная от частного (или дроби).
у
u
v
y 
uv  uv
v2
Производная частного равна дроби, числитель которой есть разность между
произведением производной делимого на делитель и произведением
делимого на производную делителя, а знаменатель есть квадрат делителя.
Частный случай: 1) Если числитель дроби есть постоянное число С, y 
y  
C
, то
v
Cv
v2
Если числитель дроби – постоянная величина С, то производная равна
числителю С, умноженному на производную знаменателя и делённому на
квадрат знаменателя, взятому с противоположным знаком.
2) Если знаменатель дроби есть постоянная С, y 
u
1
,то y  u
C
C
Если знаменатель дроби – постоянная величина, то производная дроби равна
производной от числителя, делённой на знаменатель.
9. Производная от сложной функции.
Пусть у - есть функция от u, а количество u – функция от х. Найдём
производную от у как функции от х.
yx  yu  ux
Производная от сложной функции равна производной от данной функции по
промежуточному переменному, умноженной на производную от этого
переменного (по независимому переменному).
Применение формул дифференцирования.


1. ( x3  4 x2  3x  11)  x3   4 x2   3x  11  3x2  8x  3
2 
2
5



 2   1
2. 18 x 3   18      x 3  12 x 3
 3


Задания для самостоятельной работы:
Найти производную функции:
1
3
x
f ( x)  2 x 3  12 x
f ( x)  x 2 
1
f ( x)   x15
3
Формулы производных
Самостоятельная работа.
1. Вычислите производную функции, пользуясь известными производными:
a) f ( x)  2 x3  x15  1
в) f ( x)  5  3x  log 3 x  0,5 x
b) f ( x)  cos x  2 x  1
Уравнение касательной
Любая прямая может быть задана уравнением y  kx  b , где число k
,называемое угловым коэффициентом прямой, имеет следующий
геометрический смысл:
, где α-угол между положительным направлением оси Ох и данной
прямой, отсчитываемый в положительном направлении.
k  tg
Параллельные прямые имеют имеют одинаковые угловые
коэффициенты.
Угловой коэффициент k касательной к кривой, заданной уравнением
y=f(x),в точке M 0 ( x0 ; y0 ) кривой равен значению производной f (x ) функции
y  f (x)
при значении x  x0 , т.е. k  f ( x0 ) .
Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке x0 . Тогда уравнение
касательной к графику этой функции в точке M 0 ( x0 ; f ( x0 )) запишется в виде
y  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции f(x) в
точке x0 :
1) вычислить f ( x0 )
2) найти f (x )
3) вычислить f ( x0 )
4) записать в общем виде уравнение касательной y  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) и в
него подставить заданное значение x0 и вычисленные значения f ( x0 ) и f ( x0 )
5) полученное уравнение преобразовать к виду y  kx  b
Пример с решением:
1.Записать уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с
абсциссой x0  0
f ( x)  x 5  x 3  3 x  1

Сначала находим f (0)  1 , далее f ( x)  x5  x3  3x  1  5x4  3x2  3 , f (0)  3
По формуле запишем уравнение касательной y  1  3x  3x  1 .
Задания для самостоятельной работы: Напишите уравнение касательной к
графику функции y=f(x) в точке графика с абсциссой x0 , если :
f ( x)  x 2  6 x  5 , x0  2 ; f ( x)  ln x, x0  e ; f ( x)  3x , x0  1
Промежутки возрастания и убывания функции.
Исследование дифференцируемой функции на возрастание (убывание)
сводится к определению промежутков знакопостоянства ее производной.
Напомним соответствующие утверждения:
Достаточный признак возрастания функции. Если f ( x) 0 в каждой
точке интервала, то функция y=f(x) возрастает на этом интервале.
Достаточный признак убывания функции. Если f ( x)0 в каждой точке
интервала, то функция y=f(x) убывает на этом интервале.
Для нахождения промежутков возрастания или убывания функции
используются достаточные условия: на промежутке, где производная больше
нуля, функция возрастает; где меньше нуля, убывает.
При выполнении таких заданий сначала находим производную данной
функции, затем определяем, на каких промежутках она принимает
положительные, а на каких отрицательные значения, и, наконец записываем
промежутки возрастания или убывания.
Найдите промежутки возрастания функции:
f ( x)  2 x 3  3 x 2  5
Решение :

f ( x)  2 x 3  3x 2  5  6 x 2  6 x
f ( x)  0 : x 2  x  0, (;0)и (1;).
Поскольку f(x) - непрерывная функция, она возрастает на промежутках
 ;0и1;.
Ответ :  ;0и1; 
Если производная задана графиком, то на тех промежутках, где он
расположен выше оси абсцисс (т.е. производная положительна), функция
возрастает; на тех промежутках, где он расположен ниже оси абсцисс (т.е.
производная отрицательна), функция убывает. Точки, в которых график
производной пересекает ось абсцисс (т.е. точки, в которых производная
меняет знак), являются точками экстремума.
Определите промежутки возрастания и убывания функций:
f ( x)  3x 2  5 x  4
f ( x)  2 x3  x 2
Экстремумы функции.
Решение задач на нахождение точек максимума и минимума (точек
экстремума)
функции основывается на следующих утверждениях:
Признак максимума. Если функция f непрерывна в точке
x0  (a; b), f ( x)  0 на
интервале (a; x0 ), f ( x)  0 на интервале ( x0 ; b) , то x0 - точка максимума
функции f (упрощенная формулировка: если в точке x0 производная меняет
знак с плюса на минус, то x0 - точка максимума).
Признак минимума. Если функция f непрерывна в точке
x0  (a; b), f ( x)  0 на интервале (a; x0 ), f ( x)  0 на интервале ( x0 ; b) , то x0 - точка
минимума функции f (упрощенная формулировка: если в точке
x0
производная меняет знак с минуса на плюс, то x0 – точка минимума).
Практические правила исследования функции на максимум и
минимум с помощью производной.
1) Найти производную f (x ) функции f (x)
2) Найти критические точки функции y  f (x) ,т.е. точки, в которых f (x )
обращается в нуль или терпит разрыв.
3) Исследовать знак производной f (x ) в промежутках, на которые
найденные критические точки делят область определения функции f (x) . При
этом критическая точка x  x0 есть точка минимума (максимума), если
производная меняет знак при переходе через x  x0 . Если же в соседних
промежутках, разделённых критической точкой x  x0 , знак производной не
меняется, то в точке x  x0 функция не имеет ни максимума, ни минимума.
4) Вычислить значения функции в точках максимума и минимума.
Найти экстремумы функции:
Найдите точку максимума функции
.
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение
функции:
Искомая точка максимума
О т ве т : -4
.
Применение производной к построению графиков функций.
При исследовании функции и построения графика надо:
1) Найти область определения (множество значений, которые может
принимать х)
2) Выяснить особенности (чётность или нечётность функции,
периодичность и т. д.)
Чтобы построить график чётной (нечётной) функции, достаточно
исследовать её свойства и построить график при х›0 (или при х≥0), а затем
отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат).
3) Выявить характерные точки. Полезно найти точки пересечения
графика функции с осью Ох (приравняв у=0) и с осью Оу (положив х=0);
обозначить точки разрыва, границы области определения и исследовать
поведение функции вблизи них.
4) Найти промежутки знакопостоянства;
5) Используя производную, найти точки экстремума и значения функции
в этих точках;
6) Выяснить с помощью производной монотонность функции,
промежутки возрастания и убывания (определить знак производной на
полученных интервалах)
7) Построить график, учитывая предыдущие исследования.
Пример с решением: Построить график функции f ( x)  x3  6 x 2  9 x  3
Решение: 1)Функция определена на всей числовой прямой, т.е. x  R
2)Данная функция не является ни чётной, ни нечётной и не является
периодической.
3)Находим точку пересечения графика с осью Оу: при х=0 значение
функции f (0)  3 Точки пересечения графика функции с осью Ох найти
затруднительно, т.к. для этого нужно решить кубическое уравнение f ( x)  0 .
4) Находим производную f ( x)  3x2  12 x  9 .
Решив уравнение
2
3x  12 x  9  0 ,находим стационарные точки: x1  1, x2  3
5) Решив неравенства f ( x) 0 и f ( x)0 , находим промежутки
возрастания функции:  ;1, 3; и промежутки убывания 1;3 .
6)Стационарная точка x1  1 является точкой максимума, поскольку при
переходе через неё производная меняет знак с «+» на «-»; f (1)  1
Стационарная точка x2  3 является точкой минимума, так как при
переходе через неё производная меняет знак с «-» на «+»; f (3)  3
По результатам исследования составим таблицу:
x
x<1
1 1<x<3
3 x>3
f’(x)
f(x)
+
0
1
-
0
-3
+
Используя результаты исследований, строим график функции
f ( x)  x 3  6 x 2  9 x  3
Задания для самостоятельной работы.
Построить эскиз графика функции.
1. f ( x)  x3  3x 2  4
2. f ( x)  x 4  2 x 2
1
3. f ( x)   x5  x  4
5
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Алгоритм.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и имеет производную в
каждой его внутренней точке, то для нахождения его наибольшего и
наименьшего значений этой функции на отрезке [a;b] нужно:
1. Найти значения функции на концах отрезка, т.е. f(а) и f(в);
2. Найти значения функции в критических точках, принадлежащих
интервалу (а;в);
3. Из найденных в пп.1 и 2 значений функции выбрать наибольшее и
наименьшее.
Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
.
Решение.
1. Находим значения функции на концах отрезка:
y (2)  (2) 3  3  (2)  4  8  6  4  2
y (0)  4
y ( x)  3x 2  3;
3x 2  3  0
2.
3( x  1)( x  1)  0
x1  1; x 2  1
Промежутку
принадлежит только одна стационарная точка x1= -1,
y(-1)= -1+3+4=6
2. Из чисел 2,4,6 выбираем наибольшее значение.
Ответ: 6
Упражнения для самостоятельной работы
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f(x)=2x3 -9x2 +12x-2
3
на отрезке 0; 
 2
на отрезке 0;3
Может оказаться очень полезным следующее свойство непрерывных
функций: «Если функция y=f(x) имеет на промежутке I единственную точку
экстремума x0 и эта точка является точкой минимума, то в ней достигается
наименьшее значение функции на данном промежутке». Аналогичное
утверждение справедливо для точки максимума и наибольшего значения
функции.
Например, если функция y=f(x),непрерывная на отрезке [a;b], имеет на
промежутке (a;b) единственную точку экстремума x0 и эта точка является
точкой максимума функции, то наибольшее значение функции на отрезке
[a;b] равно f(x0).
Иногда при решении задач на исследование функций оказывается, что
на данном промежутке точек экстремума нет. Такой ситуации не надо
пугаться: она означает, что на этом промежутке производная принимает
значения одного знака, т. е. функция является монотонной на нем. Остается
заметить, что если функция возрастает на отрезке, то наибольшее значение
на нем достигается в правом конце отрезка, а наименьшее — в левом; если
функция убывает на отрезке, то наибольшее значение на нем достигается в
левом конце отрезка, а наименьшее — в правом.
Рассмотрим следующие упражнения.
1.На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
принимает наибольшее значение.
,
. В какой точке отрезка
Для ответа на поставленный вопрос удобно сделать вспомогательную
картинку, на которой на оси Ох отмечаются нули производной и в
полученных промежутках определяются знаки производной y  f (x).
Знак y 
Поведение y
На отрезке
функция имеет максимум в точке х = -3. Значит
наибольшее значение на этом отрезке функция принимает при х = - 3.
2.На рисунке изображен график производной функции
, определенной на
интервале
. В какой точке отрезка
принимает наибольшее
значение?
Решение: Для начала отметим на рисунке границы отрезка, о котором идёт
речь в условии задачи. Заметим, что на этом отрезке производная функции
положительна, значит сама функция
возрастает, а значит наибольшее
значение на этом отрезке она принимает в правом конце отрезка, то есть в
точке 4.
3.На рисунке изображен график производной функции
, определенной на
интервале
. В какой точке отрезка
принимает наибольшее
значение?
На данном отрезке производная функции отрицательна, значит сама
функция
убывает, значит наибольшее значение на этом отрезке она
принимает в левом конце отрезка, то есть в точке -2.
В этих задачах особенно важно прочитать условие. На рисунке
изображён график производной, это слово при решении задачи можно
специально подчеркнуть в условии для того, чтобы не запутаться.
Примеры с решением.
Тригонометрические функции.
Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Решение : Найдём производную данной функции: y   5 cos x  6 . Значение
производной отрицательно при любом значении х. Поэтому функция
убывает на всей числовой оси и, достигает своего
.
наибольшего значения на отрезке в левом конце отрезка, т.е. в точке 0.
Найдём это наибольшее значение: y(0)  5 sin 0  6  0  3  3
Ответ: 3
Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
.
Решение: Найдём производную заданной функции y   12 cos x  6 3 и решим
уравнение y   0 на отрезке
:

3
12 cos x  6 3
 y  0
cos x 




2 x .


 

6
0 x

0  x 
0  x  
2

2


2

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на
рисунке поведение функции. В точке x 

6
заданная функция имеет
максимум, являющийся её наибольшим значением на заданном отрезке.
Найдём это наибольшее значение:



y ( )  12 sin  6 3   3  6  12 .
6
6
6
Ответ: 12
Найдите точку максимума функции
принадлежащую промежутку
.
Решение: Сначала найдем производную данной функции, применив правило
для вычисления производной произведения двух функций:
y   (2 x  3) cos x  (_ 2 x  3) cos x  2 sin  x  5  2 cos x  2 x sin x  3 sin x  2 cos x  (3  2 x) sin x
На промежутке
производная обращается в нуль только при х =1,5,
 
x   0; 
 2  . В точке х =1,5 производная меняет знак с
поскольку sinx>0 при
плюса на минус, эта точка является единственной точкой максимума на
данном промежутке.
Ответ: 1,5
Показательные функции.
Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
.
Решение: Сначала найдем производную данной функции, применив правило
для вычисления производной произведения двух функций:


y   (x  2 )  e x  2  x  2  ( e x  2 )  x  x  2e x  2
2
2
Производная обращается в нуль при х=0; х=2.
Данному промежутку принадлежит единственная точка х=2.
При переходе через эту точку производная функции меняет знак с минуса на
плюс, эта точка является единственной точкой минимума на данном
отрезке и
наименьшего значения на этом отрезке функция достигает именно в этой
точке. Найдем наименьшее значение:
y ( 2)  0
Ответ: 0
Дробно – рациональные функции.
Найдите точку минимума функции
.
Решение: Найдем производную данной функции: y   
25
1
x2
Определим промежутки знакопостоянства производной, приведя полученное
выражение к общему знаменателю и разложив числитель на множители:
x 2  25 x  5x  5

x2
x2
В точке х = 5 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, эта
точка и является единственной точкой минимума.
Ответ: 5.
Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
.
Решение:
Найдём производную данной функции: y   1 
36
. Приведём полученное
x2
выражение к общему знаменателю и разложим числитель на множители:
x 2  36 x  6x  6

.
x2
x2
Отрезку
принадлежит точка х=6, в которой производная меняет знак с
минуса на плюс. Таким образом , точка х=6 является точкой минимума и
единственной точкой экстремума на данном отрезке. Значит своего
наименьшего значения на данном отрезке функция достигает именно в этой
точке. Найдём наименьшее значение:
y ( 6)  6 
36
 12
6
Ответ: 12
Логарифмические функции.
Найдите точку максимума функции
Решение: Найдём производную данной функции
y 
5 x  5
 x  5
4
5
5 
.
5
 5( x  4)
5 
.
x5
x5
Производная меняет знак в единственной точке х=-4,причём знак
производной в этой точке меняется с плюса на минус. Следовательно, эта
точка является единственной точкой максимума данной функции.
Целые рациональные функции
Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
.
Решение: Найдём производную данной функции y   3x 2  4 x  1
Производная обращается в нуль при х = 1;
1
3
Данному промежутку принадлежит единственная точка х =1. Эта точка и
является точкой минимума. Вычислим наименьшее значение функции y =3.
Ответ: 3
Иррациональные функции
Найдите точку минимума функции
.
Решение: y   x  2 . Производная обращается в ноль при х =4. В точке х = 4
производная меняет знак с минуса на плюс. Эта точка является единственной
точкой минимума.
Ответ: 4
Задания для самостоятельной работы.
1.Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
.
2. Найдите наименьшее значение функции
.
на отрезке
3. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
.
4. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
.
5. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
.
6. Найдите точку максимума функции
.
7. Найдите наименьшее значение функции
отрезке
.
на
8. Найдите точку минимума функции
.
9. Найдите точку максимума функции
.
10. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
11. Найдите точку максимума функции
.
12. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
13. Найдите точку минимума функции
.
14. Найдите точку минимума функции
15. Найдите точку максимума функции
.
.
.
.
16. Найдите точку максимума функции
17. Найдите точку максимума функции
.
.
Практические задачи на нахождение наибольших и наименьших
значений величин.
Задача
Какими должны быть стороны прямоугольного участка площадью 1600 м 2 ,
чтобы на его ограждение было израсходовано наименьшее количество
материала?
Решение
Пусть длина участка x м, а ширина y м (x>0, y >0). Тогда по условию,
xy  1600, и
следовательно y 
1600
.
x
Кроме того, по условию задачи x и y должны быть такими, чтобы для
ограждения участка было израсходовано наименьшее количество материала,
т.е. периметр ( P  2 x  2 y) этого участка должен быть наименьшим.
Рассмотрим функцию p( x)  2 x 
3200
и определим, при каком значении x она
x
будет принимать наименьшее значение.
3200
;
x2
p ( x )  0  x  40 .
p ( x )  2 
знак
_
+
поведение
Определив знак производной на каждом из интервалов, получим, что x= 40 –
точка минимума и, следовательно, функция p(x) принимает в ней своё
наименьшее значение.
Значит, участок должен быть квадратным со стороной 40 м.
Самостоятельная работа.
1. Периметр окна прямоугольной формы равен 6 м. Какими должны
быть размеры окна, чтобы его площадь была наибольшей?
2. Забором длиной 80 м нужно огородить прямоугольную площадку
наибольшей площади.
Найдите размеры этой площадки.
В практических задачах обычно функция f (x) имеет на заданном
интервале только одну стационарную точку: либо точку максимума, либо
точку минимума. В этих случаях в точке максимума функция f (x) принимает
наибольшее значение на данном интервале, а в точке минимума –
наименьшее значение на данном интервале.
Алгоритм решения прикладных задач на «экстремум»:
1) Выбрать величину (S), наименьшее (наибольшее) значение которой
требуется найти и переменные (х,у),через которые она выражается.
2) Найти связь между переменными х и у, используя условие задачи.
3) Указать допустимые значения переменной х.
4) Получить зависимость оптимизируемой величины S от одной
переменной х, т.е. функцию S(x).
5) Провести исследование функции S(x) на наибольшее и наименьшее
значения.
Решение текстовых задач с использованием производной.
1. Из всех прямоугольных треугольников с гипотенузой 2 найдите тот,
площадь которого наибольшая.
2. Какой наибольший объём имеет прямой круговой цилиндр с плошадью
поверхности 2π?
3. Число 4 представьте в виде разности двух чисел так, чтобы
произведение второго(вычитаемого) и куба первого (уменьшаемого)
было бы наименьшим.
Решение задачи 1:
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a и b, площадь
1
2
которого S  a  b
2.Сначала условимся, что мы будем считать аргументом. В данном случае
аргументом будем считать один из катетов, например b.
3. Посмотрим, в каком интервале может изменяться этот аргумент b
соответственно смыслу нашей задачи.
Во-первых b не может быть отрицательным, а во вторых не может быть
больше гипотенузы треугольника. Итак, выбранный аргумент b изменяется
на отрезке 0;2 .
4.Используя теорему Пифагора, выразим другой катет через выбранный
аргумент b,т.е.
a  4  b2 .
5.Выразим интересующую нас переменную – площадь S прямоугольного
1
2
треугольника -как функцию выбранного аргумента b. Имеем S  b  4  b 2
6. Итак, задача свелась к разысканию наибольшего значения функции
1
S  b  4  b2
2
Иногда весьма полезным оказывается тот очевидный факт, что функция
y  f (x) принимающая на отрезке a; bтолько положительные значения,
достигает наибольшего значения тогда, когда его достигает y 2 или другая
положительная возрастающая функция y.
Согласно этому утверждению, мы можем здесь разыскивать наибольшее
2


1
b
значение не самого S, а S 2     4  b 2  b 2  b 4 .
4
2
b  0,
1

Приравнивая S 2 к нулю, имеем, 2b   4b3  2b  b3  0 , b(2  b2 )  0 ,
4
b 2
Из найденных значений внутри отрезка 0;2 лежит только одно, именно
 
b 2.
А так как на концах отрезка функция S 2  0 , а внутри отрезка она
положительна, то при b  2 мы и будем считать наибольшее значение S 2 , а
следовательно, и самого S.
7. Так как в задаче требуется найти треугольник, т.е. все стороны, то найдём
другой катет.
a  4  b2 =√2.
Ответ: Равнобедренный треугольник с катетами √2.