Задания с решениями 7 -10 классы математика 2014-2015

ВАРИАНТ 7 КЛАССА
1. Сколько существует трехзначных чисел, делящихся на 49 без остатка?
Решение. Таких чисел 2 в каждой сотне. Сотен среди трехзначных чисел – 9. Таким
образом, искомых чисел 18.
2. В городе Мухоморске телефонные номера состоят из шести цифр, причем
первая цифра номера не может быть восьмеркой или нулем. Сколько
телефонных номеров в Мухоморске?
Решение. Очевидно, что на первом месте мухоморского телефона можно поставить любую из 8
цифр. На второе, третье, четвертое, пятое и шестое – любую из 10. По комбинаторному правилу
произведения количество номеров будет равно 8105.
Это – цивилизованное решение. Школьники, не знающие комбинаторики, могут решить
задачу, например, так:
Вначале найдем число номеров, начинающихся с фиксированной цифры. Их число будет
равно числу номеров, составленных из 5 цифр, - их количество равно 100000 (с номера 00000 до
номера 99999). Тогда количество всех телефонных номеров будет равно 8100000 = 800000, где 8
– количество возможных первых цифр.
3. Простым или составным является число 32014 + 1?
Решение. Число представляет из себя сумму двух нечетных чисел и поэтому является
четным, т.е. составным.
4. На покраску большого деревянного куба размером 333 ушел 1 кг
краски. Однако понадобились кубики поменьше, и большой куб
распилили на кубики размером 111. Сколько необходимо еще
краски для докраски маленьких кубиков?
Решение.
Понятно, что после распила получилось: 8 кубиков с тремя окрашенными гранями (угловые), 12
кубиков с двумя окрашенными гранями (центральные кубики ребер), 6 кубиков с одной
окрашенной гранью (центры граней) и один полностью неокрашенный кубик (центральный).
Всего окрашенных граней маленьких кубиков (на них ушел 1 кг краски) оказалось
83+122+61=54, неокрашенных же граней стало 83+124+65+6=108. Понятно, что на них
нужно краски в 2 раза больше. Ответ: 2 кг.
5. Известно, что сумма и произведение 2015 чисел, каждое из которых по абсолютной
величине не превосходит 2015, равны нулю. Какое максимальное значение может
принимать сумма квадратов этих чисел?
Решение.
Понятно, что для того, чтобы сумма квадратов была максимальной, максимальными должны
быть модули чисел. Однако их произведение равно нулю, поэтому одно из чисел обязано
быть нулем. Остальные для максимума должны образовывать противоположные пары: 2015 и
–2015. Искомая сумма квадратов равна 201420152.
ВАРИАНТ 8 КЛАССА
В3. Как нужно расставить знаки «+» в записи 9 8 7 6 5 4 3 2 1, чтобы
получилась сумма, равная 99?
Ответ: 9+8+7+6+5+43+21=99..
2. Что больше : 10002014 или 20141000?
Решение.
10002014 > (10002)1000 > 20141000.
3. Автомобильный номер в стране Авангардии состоит из трех букв
русского алфавита и пяти четных цифр. Сколько автомобилей можно
зарегистрировать в Авангардии?
Решение. В автомобильном номере 8 позиций. На каждой из пяти позиций может стоять
один из пяти символов (четная цифра), а на каждой из двух позиций – один из 33 символов
(буквы). Постановка символов независима, поэтому каждому символу в одной из позиций
соответствует полный набор в следующей позиции. Поэтому возможных расстановок
символов по позициям, а значит, и автомобильных номеров, будет 55  333 = 112 303 125.
4.
На покраску большого деревянного куба размером 2014  2014  2014 ушел 1 кг краски.
Однако понадобились кубики поменьше, и большой куб распилили на кубики размером
111. Сколько необходимо еще краски для докраски маленьких кубиков?
Решение.
Чтобы получить много кубиков 1  1  1, нужно произвести по 2013 распилов параллельно
каждой паре граней. При этом получится 2013  3  2 новых неокрашенных больших граней. На 6
таких больших граней ушел 1 кг краски. Следовательно, на новые уйдет еще 2013 кг.
5.
Решите уравнение ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  24 .
Решение
Перемножим в левой части уравнения первую скобку с четвертой, а вторую – с третьей. Получим
( x 2  5 x  4)( x 2  5 x  6)  24 . Обозначив x 2  5 x  4  y , получим уравнение
y 2  2 y  24  0 с корнями 4 и –6. Первый вариант приводит к уравнению x 2  5 x  0 с
корнями 0 и –5, а второй – к уравнению x 2  5 x  10  0 , не имеющему действительных корней.
Ответ: 0, –5 .
Замечание. Уравнение можно было решить также прямым методом подбора целых корней с
последующим понижением степени.
ВАРИАНТ 9 КЛАССА
1. Фраза:
Bekybekjwe – tvunemwe ctyd meuw,
имеющая прямое отношение к математике, зашифрована следующим
образом: русские буквы заменены на латинские, причем гласные заменены
на гласные, а согласные – на согласные. Расшифруйте.
Решение. Математика – служанка всех наук. Начинать расшифровку следует со слова
«математика».
2.
1
Сравните числа
2016  2015
и
1
2015  2014
.
Решение. Домножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряженную сумму радикалов.
Получим:
1
2016  2015
 2016  2015  2015  2014 
1
2015  2014
.
3. Решите в целых числах уравнение:
x3- x=2014.
Решение. Левая часть уравнения х3 – х = (х – 1 ) х ( х + 1) – произведение
трех
последовательных целых чисел и делится на 3. Правая же часть не делится на 3. Уравнение
не имеет решений в целых числах.
4. . В городе Мухоморске телефонные номера состоят из шести цифр, причем
первая цифра номера не может быть восьмеркой или нулем. Однако
каждая «крутая» фирма в этом городе считает ниже своего достоинства
иметь в телефоне меньше пяти идущих подряд одинаковых цифр. Сколько
«крутых» фирм можно зарегистрировать в Мухоморске?
Решение. Заметим, что фактически «крутые» мухоморские номера состоят из двух цифр,
только одна из них повторена еще 4 раза. Например, «крутой» номер 35-55-55 фактически
есть 35, а номер 77-77-71 фактически есть 71. Отметим, что каждому фактическому
двузначному номеру с различными цифрами (первая цифра не 0 и не 8) соответствуют два
«крутых», например, номеру 31 – «крутые» номера 33-33-31 и 31-11-11. Фактическому
двузначному номеру с одинаковыми цифрами соответствует один «крутой» номер.
Посмотрим, какие фактические двузначные номера могут быть у «крутых» фирм.
Это номера с 10 до 79 (70 номеров), из них 7 имеют одинаковые цифры. Еще есть номера
с 90 по 99. Первой группе соответствуют (70-7)2+7=133 «крутых» номера, а второй
группе – 19.
Если каждая «крутая» фирма имеет только один «крутой» номер, то таких фирм
может быть 152. Если не один – то меньше. Ответ: 152 фирмы.
5.
Сколькими способами можно расставить на шахматной доске черного и белого
королей так, чтобы они не били друг друга (не стояли на соседних клетках)?
Примечание: расстановки, при которых черный и белый короли меняются местами,
считаются разными.
Решение. 3612. Подсчитаем сначала, сколько всего расположений двух разноцветных королей на
шахматной доске. Черного короля можно поставить на 64 свободных клетки, и каждый раз белого
короля – на 63 оставшиеся клетки. Всего 64  63 = 4032 расположения. Посмотрим теперь, в
скольких случаях они бьют друг друга. Если черный король стоит на угловых полях a1, a8, h1, h8, то
белый король может стоять на трех окаймляющих угловое поле полях. Всего 4  3 = 12 вариантов.
Если черный король стоит на краю доски, но не в углу (таких полей 6  4 = 24), то белый король
должен стоять на одном из пяти полей, примыкающих к крайнему полю. Всего таких вариантов
4  6  5 = 120. И наконец, если черный король не соприкасается с краем доски (таких полей
6  6 = 36), то для белого – 8 возможностей. Всего таких расстановок 36  8 = 288. Таким образом,
вариантов, когда два короля не бьют друг друга, будет 4032 – 12 – 120 – 288 = 3612.
ВАРИАНТ 10 КЛАССА
1. Решите уравнение:
x  x 1  1 x .
Решение. Из ОДЗ уравнения и знака правой части следует, что 0 < х < 1 и, следовательно, 1 – х 
1. Но х  х  1  1 . Значит, равенство возможно, когда левая и правая части равны 1.
Таким образом, х = 0.
2
2. Решите уравнение sin
x
x
x
 sin 2  sin 2  0.
2
3
5
x
x
x
 0 , sin  0 , sin  0 .
2
3
5
Одновременно должно выполняться x  2n, x  3k , x  5l , где n, k , l  Z .
Решение: Уравнение эквивалентно системе трех уравнений: sin
2, 3 и 5 – простые числа, поэтому ответом будет
3.
x  30n .
2
2
Решите уравнение: 2 x  y  2 xy  2 x  1  0 .
Решение: Преобразуем левую часть уравнения:
2 x 2  y 2  2 xy  2 x  1  x 2  2 xy  y 2  x 2  2 x  1 
 ( x  y) 2  ( x  1) 2  0 , откуда x  1 и y   x  1 .
4. Изобразите на координатной плоскости 0xy множество точек, координаты x и y которых
удовлетворяют уравнению: 2 x  5 xy  2 y  0 .
2
2
Решение: Левую часть уравнения можно разложить на множители: 2 x 2  5 xy  2 y 2 
Таким
образом,
 2 x 2  4 xy  xy  2 y 2  2 x ( x  2 y)  y( x  2 y)  (2 x  y)( x  2 y) .
уравнение эквивалентно совокупности двух: 2 x  y  0 и x  2 y  0 , и искомое множество
будет состоять из двух прямых y  2 x и y  x 2 .
5. Дан равносторонний треугольник со стороной единица. В каком
отношении делит его площадь окружность с центром в одной из его
вершин, проходящая через центр треугольника?
Решение. Радиус рассматриваемой окружности равен 3 / 3 , и площадь сектора с
углом 60° этой окружности внутри треугольника равна π / 18 . Площадь треугольника
3 / 4 . Таким образом, искомое отношение есть
π
3 π
:(
– ).
18
4 18