Построение дифференцируемых функций полезности по торговой статистике

Построение дифференцируемых функций полезности
по торговой статистике
Аннотация
В данной работе рассмотрен комбинированный метод построения
коллективных дифференцируемых функций полезности по торговой
статистике, который был предложен в статье В.К. Горбунова и А.Г.
Ледовских [1]
Введение
Функция полезности является фундаментальным понятием современной
экономической теории. Это понятие сформировалось во второй половине
XIX века в работах Г. Госсена, У. Джевонса, Л. Вальраса и выражало
субъективную меру «полезности» потребления наборов различных товаров и
услуг (благ). На основе понятия полезности была построена теория
рационального потребительского выбора как максимизация полезности
покупаемого набора благ на множестве благ, доступных при заданном уровне
совокупных расходов. Эта теория была отнесена основателями и до
настоящего времени относится к индивидуальному потребителю, в то время
как практическое значение имеет коллективный выбор потребителей
конкретных рынков, реализующийся как рыночный спрос. В традиционной
схеме
агрегирования
индивидуальные
предпочтения
считаются
независимыми. Но это противоречит очевидному взаимовлиянию
потребителей через обычаи, моду и другие факторы. Решением проблемы
агрегирования покупателей является принятие статистического ансамбля
потребителей в качестве априорного объекта теории потребительского
спроса [2].
Коллективная функция полезности должна строиться по торговой
статистике – конечным набором данных о ценах и количествах продаж
товаров выделенной номенклатуры. Не каждый рынок адекватен
классической теории спроса, поэтому возможность построения функции
полезности,
рационализирующей
данную
статистику,
должна
обосновываться, а её адекватность должна оцениваться.
Существует два подхода к построению функций полезности. Первый –
классический параметрический метод наименьших квадратов (МНК). Здесь
функция полезности ищется в некотором параметрическом классе
непрерывно дифференцируемых возрастающих вогнутых функций. Свойства
дифференцируемости и строгой вогнутости искомой функции обеспечивают
однозначность и дифференцируемость расчётного спроса. Для такого спроса
определена матрица Слуцкого, позволяющая выполнить глубокий
содержательный
анализ
спроса.
Принципиальным
недостатком
параметрического метода является трудность выбора класса параметризации.
Плохой результат построения функции полезности в любом классе не
исключает возможность лучшего результата в другом классе.
Относительно новым и малоизвестным в России является
непараметрический метод анализа рыночного спроса, представленного
торговой статистикой, предложенный в классической статье С. Африата и
развитый в работах Х. Вэриана и других исследователей. Этот анализ
представляет количественный критерий проверки адекватности классической
модели наблюдаемому спросу, и в случае адекватности позволяет строить по
торговой статистике кусочно-линейную рационализирующую функцию
предпочтения. Но такая функция недифференцируема и порождает
многозначное отображение спроса, неудобное для прикладных целей и
недоступное
для
анализа
Слуцкого
(сравнительной
статики).
Непараметрический метод Африата-Вэриана предназначен для анализа
индивидуального потребительского поведения, однако ничто не мешает
применять его для анализа рыночной статистики на её совместность с
классической моделью потребительского, уже коллективного, выбора.
В данной работе описывается методика и опыт построения
коллективной функции полезности по торговой статистике в
параметрическом классе с использованием теоремы Африата в качестве
критерия существования рационализирующей функции.
1 Задача построения функции полезности
Пусть исследуется рынок n бесконечно делимых благ. Введём
пространство благ En – неотрицательный ортант евклидова пространства E n
со скалярным произведением , . Классическая задача потребительского
спроса заключается в максимизации непрерывной, возрастающей и вогнутой
функции полезности u (x) на множестве благ, доступных при данных ценах p
и расходах (expenditures) e на данном рынке:
v( p, e)  max u( x) : p, x  e, x  0.
(0.1)
Это задача выпуклого программирования определяет функцию спроса
как зависимость x( p, e) покупаемого набора товаров от цен и величины
расходов. При анализе спроса также рассматривается множитель Лагранжа
 ( p, e).
Конкретные рынки представляются торговой статистикой, под
которой здесь понимается конечный набор цен p t  En и количеств продаж
x t  En за отчётный период:
p ,x
t
t

: t  0, T .
(1.2)
Эти данные определяют также потребительские расходы et  p t , x t .
Использование модели (0.1) для анализа статистики (1.2) требует
решения обратной задачи теории спроса, заключающейся в построении
такой функции полезности u (x) , что расчётный спрос x( p, e) повторяет при
значениях аргументов ( pt , et ) статистический спрос xt .
Основными
предпосылками,
определяющими
возможность
удовлетворительного решения обратной задачи, являются стабильность
предпочтений потребителей рынка и достаточная вариабельность
наблюдений (1.2). Здесь решается обратная задача в параметрических
классах дифференцируемых функций полезности u  x;w : w W  , где w –
параметры функции и множество W определяется ограничениями,
обеспечивающими свойства положительности, возрастания и вогнутости
функций
u  x;w . Соответствующий спрос будет x( p,e; w ) . Условия
соответствия расчётного и статистического спросов в идеальном варианте
представляются равенствами
x( pt , et ; w)  xt , t  0, T .
(1.3)
Равенства (1.3) в общем случае не выполняются по трём причинам:
условность модели (0.1), ограничение области поиска классом функций,
неточность статистических данных. Соответственно, наилучшие параметры
w данного класса определяются методом наименьших квадратов, т.е.
минимизацией функции квадратичной невязки
1 T n
( w )    xi ( p t , et ; w )  xit 
2 t 0 i 1
2
(1.4)
при условии w W . Будем считать, что решение этой задачи ŵ существует.
Задачи МНК часто рассматриваются в рамках регрессионного анализа,
при этом качество решения определяется свойствами остатков – невязок
уравнений (1.3)
rit  xi ( pt , et ; wˆ )  xit , i  1, n, t  0, T .
(1.5)
Эти невязки являются моделью ошибок моделирования. Представляют
интерес относительные отклонения расчётного и статистического спросов и
их наибольшая величина
| rit |
 x  max t
i ,t
xi
(1.6)
Дополнительный критерий качества построения функции полезности
представляет непараметрический метод анализа спроса.
2 Непараметрический метод
Обратная задача для модели (0.1) поставлена и исследована Африатом в
наиболее широком классе положительных возрастающих функций. Здесь
требуется найти функцию полезности u (x) , удовлетворяющую условиям


u( xt )  max u  x  : p t ,x  et ,x  0 , t  0,T .
(2.1)
Такая функция называется рационализирующей данные (1.2).
Вводятся числа Африата ut  u( x t ) , t   ( pt , et ) и кросс-коэффициенты
ets  p t , x s , ats  ets  et , s ,t  0 ,T .
Теорема Африата. Непрерывная, возрастающая, вогнутая функция
полезности, рационализирующая данные (1.2), существуёт тогда и только
тогда, когда существует положительное решение ut , t  неравенств
us  ut  t ats  0,
s, t  0, T , s  t .
(2.2)
В качестве рационализирующей функции Африат нашёл кусочнолинейную функцию u ( x)  min
ut  t pt , x  xt  . Такая функция порождает
t
многозначные функции спроса, недоступные для сравнительной статики.
В случае однородных предпочтений (возможно для некоторых сегментов
рынка) выполняются равенства ut  t et , и система Африата (2.2) распадается
на
две
эквивалентные
«специальные» системы,
определяющие,
соответственно, числа {ut } и {t } .
Системы Африата, как и регрессионная система (1.3), могут быть
несовместными как вследствие погрешностей исходных данных, так и в силу
неадекватности классической модели спроса данному рынку. Это требует
регуляризации задачи положительного решения этой системы на основе
дополнительной информации об искомом решении (неоднозначном в
совместном случае) и учёте уровня погрешностей данных. Используем
релаксационно-штрафной метод построения нормального решения
неравенств (2.2), «ослабленных» введением в правую часть параметра
релаксации r , обеспечивающего совместность системы
(2.3)
us  ut  t ats  r, s, t  0, T , s  t .
Система (2.2) имеет две степени свободы, поэтому можно ввести условия на
искомые числа
0  1, u0  e0 .
(2.4)
Определяется наименьшее значение параметра r , при котором система (2.3)
совместна, и находится её решение ut , t , ближайшее к пробному решению,
определяемому индексами Фишера, соответствующими данным (1.2).
Пороговое значение параметра r * , выше которого гипотеза
существования рационализирующей функции полезности отвергается,
определяется точностью задания коэффициентов ats  ets  et , которая зависит
от точности данных (1.2). Обозначим e  max | ets  et | и через  e –
t ,s
относительную погрешность перекрёстных стоимостей ets . Тогда следует
положить
r*   e  e .
(2.5)
Если система (2.3) оказалась разрешимой при значении r  r* , то можно
ставить задачу построения дифференцируемой функции полезности в
некотором параметрическом классе u  x;w .
3 Использование теоремы Африата в параметрическом методе
Наиболее простой метод построения дифференцируемых функций
полезности u  x;w из широких классов параметризации основан на
использовании интерполяционных условий
u  xt ; w   ut ,
u ( xt ; w)
 t pit , i  1, n ,
xi
t  0,T ,
(3.1)
где {ut ,t } – числа Африата, полученные при решении системы (2.3) с
параметром r  r* .
Система нелинейных уравнений (3.1) относительно неизвестных
параметров w не может быть решена точно ввиду типичной
переопределённости, погрешностей моделирования и исходных данных.
Соответственно, она должна решаться методом НК – минимизацией
квадратичной невязки системы по параметрам w W . Обозначим через ŵ
оцененные таким образом параметры.
Переход к параметрическому классу не гарантирует разрешимость
обратной задачи в соответствии с теоремой Африата и оценкой (2.5)
ˆ
допустимого нарушения критерия (2.2). Кроме того, функция u  x;w
удовлетворяет соотношениям (3.1) приближённо, поэтому требуется
уточнить, удовлетворяет ли она теореме Африата с допустимой точностью
(2.5)
ˆ
Легко видеть, что дифференцируемая функция полезности u  x;w
рационализирует данные (1.2) в смысле (2.1), если её «квазичисла» Африата
1 u ( x t ; wˆ )
ˆut  u  x t ; w
ˆ  , ˆt  t
,
x1
p1
t  0,T ,
(3.2)
удовлетворяют неравенствам (2.2). Мерой нарушения неравенств (2.2)
является величина

rˆ  max uˆ s  uˆ t  ˆt ats
s ,t

(3.3)
ˆ  может рассматриваться в качестве рационализирующей
Функция u  x;w
при выполнении условия r̂  r* . Для корректного учёта порога (2.5)
ˆ
нарушения исходных неравенств (2.2) при построении функции u  x;w
следует учесть условия (2.4). Это возможно в силу инвариантности функций
полезности относительно монотонных преобразований.
При оценке качества функций полезности различных классов степень
нарушения неравенств Африата (3.3) для чисел (3.2) может использоваться
как дополнительный критерий. Функция полезности является средством
анализа основного объекта – потребительского спроса. Её основное качество
относительно статистического спроса (1.2), должно уточняться в терминах
спроса, как это описано в п.1. Можно ожидать, что это качество будет лучше,
если функцию полезности строить по основной схеме анализа спроса –
минимизации невязки спроса (1.4). Теорема Африата может при этом
использоваться для дополнительного контроля качества через критерий (3.3).
Кроме того, в докладе будут представлены результаты построения
функций полезности разных классов на реальных статистиках спроса по
описанной методике.
Список литературы
1. Горбунов В.К., Ледовских А.Г. Построение дифференцируемых
функций полезности по торговой статистике // Труды Байкал-МОП.
2011.
2. Горбунов В.К. Математическая модель потребительского спроса:
Теория и прикладной потенциал.- М.: Экономика, 2004.
3. Горбунов В.К., Козлова Л.А. Построение и исследование
квазиинвариантных индексов потребления
// Современные
технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. № 3 (19). С. 120127.
4. Горбунов В.К. Релаксационно-штрафной метод и вырожденные
экстремальные задачи // Докл. АН. 2001. Т.377. №5.
5. Горбунов В.К. Особенности агрегирования потребительского спроса//
Журнал Экономической Теории. 2009. №1. С. 85-94