Задачи на вебинар¦ 2 Олимпиады

Уважаемые коллеги, обучающиеся и родители! На втором вебинаре по теме «Как
подготовиться к Всероссийской олимпиаде школьников?» мы разберем несколько
интересных задач на наиболее сложные темы: планиметрия и задачи с шахматной доской,
а также покажем, как решать наиболее интересные задачи, предлагавшиеся на
тренировочной мини-олимпиаде ШКОЛЫ имени С.Н.Олехника, которая состоялась 25
октября 2015 года. Перед посещением вебинара предлагаем вам ознакомиться с
условиями задач.
Интересные задачи.
1. В треугольнике АВС взяли точку D на стороне АВ и точку Е на стороне АС. При этом
оказалось, что DE||BC, AD=DE=AC, BD=AE. Докажите, что длина BD равна длине стороны
правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса АС.
2. Две окружности радиуса R и r касаются внешним образом. Строятся различные трапеции
так, чтобы каждая из окружностей касалась обеих сторон и одного из оснований трапеции.
Найдите наименьшую возможную длину боковой стороны трапеции.
3. Король обошел шахматную доску 8х8, побывав на каждом поле ровно 1 раз и вернувшись
последним ходом на исходное поле. Когда нарисовали его путь, соединив отрезками
центры полей, которые он последовательно проходил, то получилась замкнутая ломаная
без самопересечений.
А) Приведите пример, показывающий, что король мог сделать ровно 28 ходов по
горизонтали и вертикали.
Б) Доказать, что он не мог сделать меньше, чем 28 таких ходов.
В) Какую наибольшую и наименьшую длину может иметь путь короля, если длина стороны
клетки равна 1?
4. На шахматной доске размером 1000х1000 стоит черный король и 499 белых ладей.
Докажите, что при произвольном начальном расположении фигур король может стать под
удар белой ладьи, как бы не играли белые.
Задания Олимпиады Олехника 25 октября 2015 года
4-5 классы Профильный уровень
Задача I.
На новогодней ёлке у Деда Мороза спросили, сколько ему лет.
- А вот отгадайте сами. Если удвоить наименьшее четырёхзначное число и из полученного
произведения вычесть утроенное наименьшее двузначное число и учетверённое
наименьшее однозначное число, то полученное число и будет ответом на ваш вопрос.
Сколько лет Деду Морозу?
Ответ 1966
Задача II.
Для оборудования электроосвещения в школе было куплено 500м электрошнура. Когда
директор школы спросил монтёра, как тот израсходовал шнур, монтёр ответил, что
половину всего шнура потратил на классные кабинеты, третью часть – на актовый зал, а
шестую часть на учительскую. Сколько метров шнура осталось?
Ответ. 0
Задача III.
Сосчитайте сумму очков, содержащихся во всех косточках домино.
Ответ. 168
Задача IV.
Какое наименьшее число фигурок, изображенных на рис. 1, понадобится, чтобы сложить
квадрат?
Рис. 1.
Ответ. 20
Задача V.
Белоснежка вошла в комнату, где вокруг круглого стола стояло 30 стульев. На некоторых
из стульев сидели гномы. Оказалось, что Белоснежка не может сесть так, чтобы рядом с
ней никто не сидел. Какое наименьшее число гномов могло быть за столом ?
Ответ. 10.
Задача VI.
Можно ли отмерить 8 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и
6 л? (8 л воды должно получиться в одном ведре). Если можно, то в ответе напишите 1,
если нельзя, то в ответе напишите 2.
Ответ. 1
6-7 класс Базовый уровень
Задача VII.
Десять человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий?
Ответ 45.
Задача VIII.
Учительница принесла в школу 87 тетрадей и раздала их детям поровну. Сколько детей в
классе, если их больше 10, но меньше 30?
Ответ 29.
Задача IX.
Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока
Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали
400 шагов. Сколько шагов сделал папа?
Ответ. 90
Задача X.
Сколько различных 4-х значных чисел можно составить из 6-х цифр 0,1,2, 5 , 8 и 4. Цифры
в каждом 4-х значном числе можно использовать только один раз.
Ответ 300
Задача XI.
Белоснежка вошла в комнату, где вокруг круглого стола стояло 30 стульев. На некоторых
из стульев сидели гномы. Оказалось, что Белоснежка не может сесть так, чтобы рядом с
ней никто не сидел. Какое наименьшее число гномов могло быть за столом ?
Ответ. 10.
6-7 класс Профильный уровень
Задача XII.
Три купца вместе пожертвовали 91 монету. Первый купец сказал: «Я дал столько, сколько
было бы всего денег, если бы я дал во столько же раз меньше, во сколько раз больше
денег дал я, чем второй». Второй: «Я дал денег во столько раз меньше, чем третий, во
сколько раз третий дал бы больше, чем дали бы мы вдвоем с первым вместе, если бы
третий дал в 5 раз больше». Сколько монет дал второй купец?
Ответ. 13
Задача XIII.
В музее 16 залов, расположенных, как показано на рисунке. В половине из них
выставлены картины, а в половине – скульптуры. Из любого зала можно попасть в любой
соседний с ним (имеющий общую стену). При любом осмотре музея залы чередуются: зал
с картинами – зал со скульптурами – зал с картинами и т.д. Осмотр начинается в зале А, в
котором висят картины, а заканчивается в зале Б.
Турист хочет осмотреть как можно больше залов (пройти от зала А к залу Б), но при этом
в каждом зале побывать не больше одного раза. Какое наибольшее количество залов он
сможет посмотреть?
Б
А
Ответ. 15.
Задача XIV.
Назовем число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево.
Например, число 12321 – зеркальное. Сколько существует пятизначных зеркальных чисел,
которые делятся на 5?
Ответ. 100.
Задача XV.
Саша, Леша и Коля одновременно стартовали в забеге на 100 м. Когда Саша
финишировал, Леша находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Леша –
Коля находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга
находились Саша и Коля, когда Саша финишировал? Предполагается, что все мальчики
бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.
Ответ. 19
Задача XVI.
Каждый из районов города имеет на центральной телефонной станции четыре телефонных
аппарата. Каждый аппарат соединяет телефонные линии двух районов. Каждая пара
районов имеет только один соединяющий аппарат. Сколько в городе районов?
Ответ. 5
Задача XVII.
На правильном треугольном газоне со стороной 3 м требуется рассадить 10 гвоздик.
Можно ли это сделать так, чтобы каждые две гвоздики находились друг от друга на
расстоянии не менее 1 м. Если можно, то в ответе поставьте 1, если нельзя, то в ответе
поставьте 0.
Если верно, то в ответе поставьте 1, если не верно, то в ответе поставьте 0
Ответ. 1
8-9 класс Базовый уровень
Задача XVIII.
Три купца вместе пожертвовали 91 монету. Первый купец сказал: «Я дал столько, сколько
было бы всего денег, если бы я дал во столько же раз меньше, во сколько раз больше
денег дал я, чем второй». Второй: «Я дал денег во столько раз меньше, чем третий, во
сколько раз третий дал бы больше, чем дали бы мы вдвоем с первым вместе, если бы
третий дал в 5 раз больше». Сколько монет дал второй купец?
Ответ. 13
Задача XIX.
На часах половина девятого. Чему равен угол между часовой и минутной стрелками? В
ответ напишите число градусов.
Ответ. 75.
Задача XX.
Назовем число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево.
Например, число 12321 – зеркальное. Сколько существует пятизначных зеркальных чисел,
которые делятся на 5?
Ответ. 100.
8-9 класс Профильный уровень
Задача XXI.
В шахматном турнире в один круг участвуют 17 шахматистов. Верно ли, что в любой
момент турнира найдется шахматист, сыгравший к этому моменту четное число партий
(может быть, ни одной)? Если ответ верно, то в ответе напишите 1, если неверно, то в
ответе напишите 0.
Ответ. 1
Задача XXII.
Какой цифрой оканчивается сумма 92007 + 92006
Ответ. 0
Задача XXIII.
Найдите сумму: 1002–992+982–972+...+22–12.
Ответ. 5050.
Задача XXIV.
У каждого трехзначного числа нашли произведение его цифр. Получилось 900
произведений от 1*0*0 до 9*9*9 . Чему равна их сумма?
Ответ. 453=91125.
Задача XXV.
Известно, что окружность, проходящая через вершины А и В треугольника АВС и центр
описанной около него окружности, проходит и через центр вписанной окружности. Чему
равен угол С треугольника?
Ответ. 60