Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Факультет информационных технологий и управления Кафедра ИТАС Отчет по лабораторной работе №5 «Оценивание законов распределения скалярных случайных величин» Выполнили: Проверил: ассистент Трофимович А.Ф. Минск, 2012 1. Цель работы. Изучение оценок законов распределения скалярных случайных величин.Приобретение навыков получения оценок законов распределения скалярных случайных величин с помощью системы программирования Matlab. 2. Задание. 2.1. Получить (смоделировать) выборки из приведенных одномерных распределений. Для этого использовать программы, описанные в лабораторной работе № 3. 2.2. Для каждого распределения вывести на экран в одно графическое окно гистограмму и генеральную плотность вероятности, а в другое графическое окно – эмпирическую функцию распределения и генеральную функцию распределения. Для вывода генеральных плотностей вероятности и функций распределения использовать программы, описанные в лабораторной работе № 1. Для согласования масштабов гистограммы и генеральной плотности вероятности необходимо генеральную плотность вероятности умножить на коэффициент x(n) − x(1) k = n∆= n l 2.3. Исследовать сходимость эмпирических распределений к генеральным при увеличении объема выборки n. 3. Выполнение работы. 3.1. Равномерное распределение. 1 𝑎<𝑥<𝑏 𝑓𝜉 (𝑥) = {𝑏 − 𝑎 , 0, 𝑥 ≤ 𝑎, 𝑥 ≥ 𝑏 Для равномерного распределения смоделируем и получим выборку. На рисунке 1 представлена эмпирическая функция распределения и генеральная функция распределения. На рисунке 2 представлена гистограмма и генеральная плотность вероятности для распределения хи-квадрат. Рисунок 1 – Эмпирическая функция распределения и генеральная функция равномерного распределения при n=100 Рисунок 2 – Гистограмма и генеральная плотность вероятности для равномерного распределенияприn=100 Код программы: function [y] = ravn( a, b ) y = 0; fori=1:100 y = a+(b-a)*rand; end return clc clear a=0.1; b=4; n=100; L=20; fori = 1:1:n xunsorted(i) = ravn (a,b); y(i) = i/n; end xsorted = sort(xunsorted); k = (n*(xsorted(n) - xsorted(1)))/L; ygen = unifcdf(xsorted,a,b); fgen = k*unifpdf(xsorted,a,b); figure holdon gridon plot(xsorted,ygen,'r'); stairs(xsorted,y,'b'); figure holdon gridon hist(xsorted,L); plot(xsorted,fgen+2,'r'); Исследуем сходимость эмпирических распределений к генеральным при увеличении объема выборки n. Для n=1000 эмпирическая функция распределения и гистограмма приведены на рисунке 3 и 4 соответственно. Рисунок 3 – Эмпирическая функция распределения и генеральная функция равномерного распределения при n=1000 Рисунок 4 – Гистограмма и генеральная плотность вероятности для равномерного распределенияприn=1000 Для n=7000 эмпирическая функция распределения и гистограмма приведены на рисунке 5 и 6 соответственно. Рисунок 5 – Эмпирическая функция распределения и генеральная функция равномерного распределения при n=7000 Рисунок 6 – Гистограмма и генеральная плотность вероятности для равномерного распределенияприn=7000 3.2. Распределение хи-квадрат. Для распределения хи-квадратсмоделируем и получим выборку. На рисунке 7 представлена эмпирическая функция распределения и генеральная функция распределения. На рисунке 8 представлена гистограмма и генеральная плотность вероятности для распределения хи-квадрат. Рисунок 7 – Эмпирическая функция распределения и генеральная функция распределения хи-квадрат при n=100 Рисунок 8 – Гистограмма и генеральная плотность вероятности для распределения хи-квадрат приn=100 Кодпрограммы: function x=hi(kf) x = 0; fori=1:1:length(kf) x = x+normrnd(0,1)^2; end return clc clear n = 100; L=20; kf =1; y = []; fori=1:n xsorted(i) = hi(kf); y(i) = i/n; end xsort=sort(xsorted); k=(n*(xsort(n)-xsort(1)))/L; ygen=chi2cdf(xsort,kf); fgen=k*chi2pdf(xsort,kf); figure holdon gridon plot(xsort,ygen,'r'); stairs(xsort,y,'b'); figure holdon gridon hist(xsort,L); plot(xsort,fgen,'r'); Исследуем сходимость эмпирических распределений к генеральным при увеличении объема выборки n. Для n=1000 эмпирическая функция распределения и гистограмма приведены на рисунке 9 и 10 соответственно. Рисунок 9 – Эмпирическая функция распределения и генеральная функция распределения хи-квадрат при n=1000 Рисунок 10 – Гистограмма и генеральная плотность вероятности для распределения хи-квадрат приn=1000 3.3. Экспоненциальное распределение. Для экспоненциального распределения смоделируем и получим выборку. На рисунке 11 представлена эмпирическая функция распределения и генеральная функция распределения. На рисунке 12 представлена гистограмма и генеральная плотность вероятности для экспоненциального распределения. Рисунок 11 - Эмпирическая функция распределения и генеральная функция экспоненциального распределения при n=100 Рисунок 12 - Гистограмма и генеральная плотность вероятности для экспоненциального распределения приn=100 Кодпрограммы: function r = exponential(lambda) fori=1:1:length(lambda) r(i) = -lambda(i)*log(unifrnd(0,1)); end end clc clear lambda = 1; n = 100; L = 20; fori = 1:1:n xunsorted(i) = exponential(lambda); y(i) = i/n; end xsorted = sort(xunsorted); k = (n*(xsorted(n) - xsorted(1)))/L; ygen = expcdf(xsorted,lambda); fgen = k*exppdf(xsorted,lambda); figure holdon gridon plot(xsorted,ygen,'r'); stairs(xsorted,y,'b'); figure holdon gridon hist(xsorted,L); plot(xsorted,fgen,'r'); Исследуем сходимость эмпирических распределений к генеральным при увеличении объема выборки n. Для n=1000 эмпирическая функция распределения и гистограмма приведены на рисунке 13 и 14 соответственно. Рисунок 13 - Эмпирическая функция распределения и генеральная функция экспоненциального распределения при n=1000 Рисунок 14 - Гистограмма и генеральная плотность вероятности для экспоненциального распределения при n=1000 4. Вывод. При увеличении объема выборки сходимость эмпирической функции равномерного распределения, распределения хи-квадрат и экспоненциального распределения к генеральной функции распределения увеличивается.