Дискретная математика - Радиофизический факультет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»
Радиофизический факультет
Кафедра математики
УТВЕРЖДАЮ
Декан радиофизического факультета
____________________Якимов А.В.
«18» мая 2011 г.
Учебная программа
Дисциплины Б3.Б2 «Дискретная математика»
по направлению 010300 «Фундаментальная информатика и информационные технологии»
Нижний Новгород
2011 г.
1. Цели и задачи дисциплины
Дисциплина «Дискретная математика» обеспечивает приобретение знаний и умений в
соответствии с государственным образовательным стандартом, содействует формированию
мировоззрения и системного мышления. Целью преподавания дисциплины «Дискретная
математика» является подготовка специалистов к деятельности в сфере разработки,
исследования и эксплуатации информационных систем.
2. Место дисциплины в структуре программы бакалавра
Дисциплина «Дискретная математика» относится к дисциплинам базовой части
профессионального цикла основной образовательной программы по направлению 010300
«Фундаментальная информатика и информационные технологии», преподается в 1 и 2
семестрах.
3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате освоения дисциплины «Дискретная математика» формируются следующие
компетенции:
 способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин, применять
методы дискретной математики как логической основы ЭВМ в профессиональной деятельности
(ОК–10);
 владение основными методами, способами переработки информации, навыки работы с
компьютером как средством управления потоками информации (ОК–12);
 понимание теоретических основ и общих принципов использования дискретной математики
в технологии вычислительных систем (ПК–26);
 способность квалифицированно применять методы дискретной математики в
профессиональной деятельности, в частности, при работе с вычислительными,
измерительными, управляющими и телекоммуникационными комплексами (ПК–27).
В результате изучения дисциплины студенты должны:
 иметь представление о роли дискретных математических объектов (множеств,
комбинаторных моделей, логических функций) в информационных технологиях, о применении
полученных знаний к решению практических задач;
 знать основные законы алгебры множеств и алгебры логики, основные принципы и
формулы комбинаторики;
 уметь доказывать математические утверждения, зависящие от целого числа n, методом
математической индукции, изображать множества, записываемые с помощью различных
операций алгебры множеств, на диаграммах Венна-Эйлера, решать задачи комбинаторики,
находить базис в системе булевых функций, упрощать формулы логики высказываний и логики
предикатов.
 знать различные виды графов (эйлеровы, гамильтоновы, планарные, двудольные и т.п.) и
уметь их определять;
 уметь распознавать изоморфные графы;
 научиться определять вид связности орграфа и выделять в нем компоненты сильной
связности;
 научиться применять графы к решению различных задач: освоить алгоритмы выделения в
графе эйлерова цикла, поиска минимального маршрута в ненагруженном (ор)графе,
построения остова минимального веса, нахождения минимального маршрута в нагруженном
(ор)графе.
4. Объём дисциплины и виды учебной работы:
Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц, 216 часов.
Виды учебной работы
Общая трудоемкость дисциплины
Аудиторные занятия
Лекции
Всего часов
216
119
68
Семестры
1
68
34
2
51
34
2
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Другие виды аудиторных занятий
Самостоятельная работа
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графическая работа
Реферат
Другие виды самостоятельной работы
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
51
–
–
–
61
–
–
–
–
экзамен (36)
34
–
–
–
40
–
–
–
–
зачет
17
–
–
–
21
–
–
–
–
экзамен (36)
5. Содержание дисциплины
5.1. Разделы дисциплины и виды занятий
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Раздел дисциплины
Лекции
ПЗ (или С)
ЛР
Введение в дискретную математику.
Основы теории множеств.
Комбинаторика.
Алгебра логики.
Введение в математическую логику.
Начальные понятия теории графов.
Неориентированные графы с циклами и без
циклов.
Ориентированные графы.
Экстремальные задачи и алгоритмы на графах.
3
10
6
9
6
9
11
6
8
5
9
6
5
6
-
7
7
2
4
5.2. Содержание разделов дисциплины
Раздел 1. Введение в дискретную математику.
Направления исследований в дискретной математике. Виды теорем и способы их доказательств.
Принцип математической индукции.
Раздел 2. Основы теории множеств.
2.1. Начальные понятия теории множеств.
Понятие множества. Отношения между множествами. Диаграммы Венна-Эйлера. Законы
алгебры множеств. Обобщенные тождества алгебры множеств.
2.2. Мощность множеств.
Конечные и счетные множества. Множества мощности континуума. Теорема Кантора о
несчетности. Подмножества, разбиения и покрытия. Булеан и его мощность.
2.3. Введение в реляционную алгебру.
Прямое произведение множеств и его свойства. Мощность прямого произведения n множеств.
Бинарные отношения, их виды и свойства. Биективное отображение. Специальные бинарные
отношения: отношение эквивалентности и отношение порядка. Диаграмма Хассе.
Раздел 3. Комбинаторика.
3.1. Комбинаторные конфигурации.
Правила суммы и произведения. Перестановки. Сочетания (с повторениями и без повторений).
Размещения (с повторениями и без повторений).
3.2. Разбиения. Включения и исключения.
Число разбиений множества. Полиномиальный коэффициент. Формула включений и
исключений.
3.3. Биномиальные коэффициенты.
Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.
3
Раздел 4. Алгебра логики.
4.1. Функции и формулы алгебры логики.
Логические (булевы) функции, их количество. Существенные и фиктивные переменные.
Элементарные булевы функции от одной и двух переменных. Законы алгебры логики. Принцип
двойственности. Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы. Полиномы Жегалкина.
4.2. Полнота и замкнутость.
Важнейшие замкнутые классы логических функций. Функционально полная система
логических функций. Связь понятий полноты и замкнутости. Критерий Поста полноты системы
булевых функций. Понятие базиса и предполного класса в системе булевых функций.
Следствия из теоремы Поста.
4.3. Приложения булевых функций.
Логические схемы и их реализация с помощью булевых функций. Синтез схем из
функциональных элементов.
Раздел 5. Введение в математическую логику.
Понятие высказывания. Логические связки. Формулы логики высказываний. Равносильность
формул. Тождественно-истинные, выполнимые и тождественно-ложные формулы. Правильные
рассуждения. Проблема разрешимости в логике высказываний и методы ее решения. Алгоритм
редукций определения тождественной истинности формулы логики высказываний.
Раздел 6. Начальные понятия теории графов.
Определение графа. Области применения графов. Способы задания неориентированных графов.
Основная теорема теории графов и ее следствие. Виды неориентированных графов. Дополнение
к графу. Подграфы и их виды. Операции над графами. Маршруты, цепи и циклы в графе.
Свойства маршрутов и циклов. Связность графов. Матрица связности (достижимости). Число
маршрутов в неориентированном графе. Критерий связности графа. Мосты и разделяющие
вершины. Признаки моста. Вершинная и реберная связности. N-связные графы. Оценка числа
ребер графа через число вершин и число компонент связности. Расстояния в графе. Диаметр,
радиус и центр графа. Изоморфизм графов. Алгоритм решения задач на определение
изоморфных графов. Теоремы о количестве помеченных графов с р вершинами и с р
вершинами и q ребрами. Асимптотическая формула Пойа для числа непомеченных графов.
Раздел 7. Неориентированные графы с циклами и без циклов.
7.1. Деревья. Двудольные графы.
Теоремы о количестве ребер в связных графах с циклами и без циклов. Неориентированные
(свободные) деревья. Кодирование деревьев. Матричная теорема Кирхгофа о деревьях.
Количество помеченных деревьев с р вершинами. Основные свойства свободных деревьев.
Двудольные графы. Критерий двудольности графа. k-дольные графы.
7.2. Эйлеровы и гамильтоновы графы.
Эйлеровы и полуэйлеровы графы. Критерий существования в графе эйлеровой цепи.
Теорема Эйлера об эйлеровых графах (критерий эйлеровости графа). Задача о
кенигсбергских мостах. Теорема об оценке числа эйлеровых графов. Гамильтоновы графы.
Теорема об оценке числа гамильтоновых графов. Задача коммивояжера. Сравнение задач
отыскания эйлеровых и гамильтоновых циклов. Достаточные условия гамильтоновости
графа (теоремы Дирака, Оре и Хватала), необходимое условие гамильтоновости графа (о
разделяющих вершинах графа).
7.3. Планарные графы. Раскраска графов.
Планарные графы. Подразбиение и стягивание ребер. Теоремы Понтрягина-Куратовского и
Вагнера. Теорема об оценке числа планарных графов. Теорема о количестве граней связного
планарного графа и ее следствие. Вершинная и реберная раскраски графов. Хроматическое
число и хроматический индекс, их оценки. Проблема четырех красок. История ее
возникновения и решения. Теорема о 5 красках.
Раздел 8. Ориентированные графы.
4
Ориентированные графы и их виды. Основная теорема теории графов для орграфов. Связь с
бинарными отношениями. Способы задания ориентированных графов. Маршруты, пути и
контуры в орграфе. Свойства путей и контуров. Количество ориентированных маршрутов в
орграфе. Критерий существования контура в орграфе. Связность орграфов и ее виды.
Компоненты сильной связности орграфа и их свойства. Конденсация орграфа. Выделение
компонент сильной связности в орграфе. Ориентированные, упорядоченные и бинарные
деревья. Их сравнительный анализ и области применения. Свойства ориентированных
деревьев.
Раздел 9. Экстремальные задачи и алгоритмы на графах.
9.1. Экстремальные задачи на графах.
Независимое множество вершин. Задача о восьми ферзях. Вершинное число независимости
и его оценки. Алгоритм построения независимого множества вершин. Понятие клики графа.
Взаимосвязь задач о клике и о независимом множестве вершин. Независимое множество
ребер (паросочетание). Реберное число независимости. Построение наибольшего
паросочетания методом чередующихся цепей. Покрывающие множества вершин и ребер.
Теоремы о связи чисел независимости и покрытий в общем случае и для двудольного графа.
Сепараторы и разрезы. Теорема Менгера в вершинной форме и ее модификации. Задача о
назначениях и теорема Холла.
9.2. Алгоритмы на графах.
Обходы графов. Алгоритмы поиска в ширину и глубину. Алгоритм выделения эйлерова
цикла или эйлеровой цепи в связном мультиграфе. Алгоритм поиска минимального
маршрута в ненагруженном (ор)графе. Построение остова минимального веса. Алгоритмы
Прима и Краскала. Задача о нахождении минимального маршрута в нагруженном орграфе.
Алгоритм Дейкстры. Алгоритм Флойда нахождения кратчайших путей между всеми парами
вершин в нагруженном орграфе.
5.3. Темы практических занятий.
1. Алгоритм Евклида. Методы доказательств математических утверждений. Доказательство
тождеств методом математической индукции.
2. Доказательство методом математической индукции утверждений о делимости и неравенств.
3. Доказательство методом математической индукции формул n-ых членов числовых
последовательностей, заданных рекуррентным способом.
4. Алгебраические операции теории множеств. Диаграммы Венна-Эйлера.
5. Применение законов алгебры множеств для упрощения выражений. Мощность множества.
Булеан. Прямое произведение.
6. Бинарные отношения и их виды.
7. Контрольная работа по темам “Метод математической индукции” и “Основы теории
множеств”.
8. Комбинаторика: принципы сложения и умножения, сочетания и размещения с
повторениями и без повторений.
9. Комбинаторика: бином Ньютона; разбиения, включения и исключения.
10. Проверочная работа по теме “Комбинаторика” (1 час). Алгебра логики: существенные и
фиктивные переменные булевых функций (1 час).
11. Таблицы истинности. Двойственные функции. Совершенные дизъюнктивные и
конъюнктивные нормальные формы (СДНФ и СКНФ).
12. Полиномы Жегалкина. Важнейшие замкнутые классы алгебры логики. Леммы о
несамодвойственной, немонотонной и нелинейной функциях. Полнота системы булевых
функций.
13. Теорема Поста о функциональной полноте. Базисы в системе булевых функций.
14. Контрольная работа по теме “Алгебра логики”.
15. Формулы логики высказываний и их виды. Проблема разрешимости в логике высказываний.
16. Правильность рассуждений. Метод редукций проверки тождественной истинности формул
логики высказываний.
5
17. Проверка тождественной истинности формул логики высказываний приведением к ДНФ
или КНФ.
18. Проверочная работа по теме “Введение в математическую логику”.
19. Способы задания графов. Основная теорема теории графов.
20. Операции над графами. Маршруты, цепи и циклы в графах. Связные графы.
21. Вершинная и реберная связность графов. Расстояния в графе. Изоморфизм графов. Разрезы
в графе.
22. Деревья. Двудольные, эйлеровы и гамильтоновы графы.
23. Контрольная работа по теме “Неориентированные графы”.
24. Планарные графы. Раскраска графов.
25. Ориентированные графы.
26. Экстремальные задачи на графах. Построение эйлерова цикла или эйлеровой цепи в связном
мультиграфе. Поиск минимального маршрута в ненагруженном (ор)графе.
27. Алгоритмы Прима, Краскала, Дейкстры и Флойда.
6. Лабораторный практикум
Не предусмотрен.
7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
7.1. Рекомендуемая литература
а) основная литература:
1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. - М.: Наука, 1979.
2. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженеров. - М.:
Энергоатомиздат, 1988. 2-е изд., переработанное и дополненное.
3. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики: Учеб. пособие. - М.: Изд-во
МАИ, 1992.
4. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. - СПб: Питер, 2001.
5. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. - М.: Наука,
1977.
6. Харари Ф. Теория графов. – М.: Мир, 1973.
7. Уилсон Р. Введение в теорию графов. – М.: Мир, 1977.
8. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов.
– М.: Наука, 1990.
9. Берж К. Теория графов и ее применения. – М.: Изд. иностр. лит., 1962.
10. Евстигнеев В.А. Применение теории графов в программировании. - М.: Наука, 1985.
б) дополнительная литература:
1. Козырев О.Р., Куркин А.А., Максимов А.Г., Митяков С.Н. Теория обработки экономической
информации. - Нижний Новгород: НГТУ, 2000.
8. Вопросы для контроля
1. Виды теорем и методы их доказательств.
2. Принцип математической индукции. Доказательство утверждений методом математической
индукции.
3. Множества. Способы задания множеств. Равные множества. Свойства отношения
включения. Сравнимость множеств.
4. Теоретико-множественные операции над множествами: абсолютное и относительное
дополнения, объединение, пересечение, симметрическая разность.
5. Доказательство тождеств алгебры множеств с помощью диаграммы Венна.
6. Основные законы алгебры множеств.
7. Обобщенные тождества: обобщенная дистрибутивность, обобщенные законы де Моргана.
8. Мощность множества. Теорема Кантора о несчетности.
9. Подмножества. Разбиения и покрытия. Теорема о мощности булеана.
10. Прямое произведение и его свойства.
11. Теорема о мощности прямого произведения n множеств.
6
12. Бинарные отношения, их виды и свойства.
13. Функция как частный случай бинарного отношения. Сюръективные, инъективные и
биективные отображения.
14. Отношение эквивалентности и отношение порядка. Диаграмма Хассе.
15. Правила суммы и произведения. Перестановки. Сочетания (с повторениями и без
повторений). Размещения (с повторениями и без повторений).
16. Число разбиений множества. Теорема о числе упорядоченных блоков разбиений.
17. Полиномиальная формула. Теорема о полиномиальных коэффициентах и ее применение.
18. Формула включений и исключений.
19. Бином Ньютона.
20. Следствия из бинома Ньютона. Треугольник Паскаля.
21. Свойства биномиальных коэффициентов.
22. Функции алгебры логики, их количество. Существенные и фиктивные переменные.
Элементарные булевы функции от одной и двух переменных.
23. Формулы алгебры логики. Суперпозиция булевых функций, порядок действий.
Свойства элементарных булевых функций.
24. Двойственные функции. Теорема двойственности. Принцип двойственности.
25. Теорема о разложении булевых функций по переменным. Дизъюнктивная и конъюнктивная
нормальные формы.
26. Полиномы Жегалкина. Способы их построения.
27. Утверждения о замкнутости классов самодвойственных функций и функций, сохраняющих
1.
28. Класс самодвойственных функций. Лемма о несамодвойственной функции.
29. Класс монотонных функций. Лемма о немонотонной функции.
30. Класс линейных функций. Лемма о нелинейной функции.
31. Полнота системы булевых функций. Критерий полноты (теорема Поста).
32. Понятия базиса и предполного класса. Следствия из теоремы Поста.
33. Логические схемы и их реализация с помощью булевых функций. Синтез сумматора.
34. Понятие высказывания. Логические связки. Формулы логики высказываний.
35. Равносильность формул логики высказываний. Основные равносильности.
36. Виды формул логики высказываний. Важнейшие тавтологии.
37. Правильные рассуждения. Утверждение о правильности рассуждения по схеме
(Р1, …, Рn)Q.
38. Схемы правильных рассуждений и косвенные методы доказательства. Составление
логических формул по высказываниям.
39. Проблема разрешимости в логике высказываний и методы ее решения.
40. Метод редукций проверки тождественной истинности формулы логики высказываний.
41. Краткие сведения из истории возникновения теории графов. Определение графа. Области
применения теории графов.
42. Способы задания неориентированных графов.
43. Степени вершин. Основная теорема теории графов и ее следствие. Виды
неориентированных графов.
44. Дополнение к графу. Подграфы и их виды. Операции над графами.
45. Маршруты, цепи и циклы в графе. Цикломатическое число. Свойства маршрутов и циклов.
46. Связность графов. Матрица связности (достижимости). Теорема о числе маршрутов в
неориентированном графе. Критерий связности графа.
47. Мосты и разделяющие вершины. Признаки моста. Вершинная и реберная связности. Nсвязные графы. Оценка числа ребер графа через число вершин и число компонент связности.
48. Расстояния в графе. Диаметр, радиус и центр графа.
49. Изоморфизм графов. Алгоритм решения задач на определение изоморфных графов.
50. Теоремы о количестве помеченных графов с р вершинами и с р вершинами и q ребрами.
Асимптотическая формула Пойа для числа непомеченных графов.
51. Теоремы о количестве ребер в связных графах с циклами и без циклов.
52. Неориентированные (свободные) деревья. Кодирование деревьев. Матричная теорема
Кирхгофа о деревьях. Количество помеченных деревьев с р вершинами.
7
53. Основные свойства свободных деревьев.
54. Двудольные графы. Критерий двудольности графа. k-дольные графы.
55. Эйлеровы и полуэйлеровы графы. Критерий существования в графе эйлеровой цепи.
56. Теорема Эйлера об эйлеровых графах (критерий эйлеровости графа). Решение задачи о
кенигсбергских мостах.
57. Теорема об оценке числа эйлеровых графов.
58. Гамильтоновы графы. Теорема об оценке числа гамильтоновых графов. Задача
коммивояжера. Сравнение задач отыскания эйлеровых и гамильтоновых циклов.
59. Достаточные условия гамильтоновости графа (теоремы Дирака, Оре и Хватала),
необходимое условие гамильтоновости графа (о разделяющих вершинах графа).
60. Планарные графы. Подразбиение и стягивание ребер. Теоремы Понтрягина-Куратовского и
Вагнера. Теорема об оценке числа планарных графов.
61. Теорема о количестве граней связного планарного графа.
62. Следствие из теоремы о количестве граней связного планарного графа.
63. Вершинная и реберная раскраски графов. Хроматическое число и хроматический индекс, их
оценки.
64. Проблема четырех красок. История ее возникновения и решения. Теорема о 5 красках.
65. Ориентированные графы и их виды. Основная теорема теории графов для орграфов. Связь с
бинарными отношениями.
66. Способы задания ориентированных графов.
67. Маршруты, пути и контуры в орграфе. Свойства путей и контуров. Теорема о числе
ориентированных маршрутов в орграфе. Критерий существования контура в орграфе.
68. Связность орграфов и ее виды. Компоненты сильной связности орграфа и их свойства.
Конденсация орграфа.
69. Теорема о вычислении матриц достижимости и сильной связности. Алгоритм выделения
компонент сильной связности в орграфе.
70. Ориентированные, упорядоченные и бинарные деревья. Их сравнительный анализ и области
применения. Свойства ориентированных деревьев.
71. Независимое множество вершин. Задача о восьми ферзях. Вершинное число независимости
и его оценки. Алгоритм построения независимого множества вершин. Понятие клики графа.
Взаимосвязь задач о клике и о независимом множестве вершин.
72. Независимое множество ребер (паросочетание). Реберное число независимости. Построение
наибольшего паросочетания методом чередующихся цепей.
73. Покрывающие множества вершин и ребер. Теоремы о связи чисел независимости и
покрытий в общем случае и для двудольного графа.
74. Сепараторы и разрезы. Теорема Менгера в вершинной форме и ее модификации. Задача о
назначениях и теорема Холла.
75. Обходы графов. Алгоритмы поиска в ширину и глубину. Теорема о поисках в ширину и
глубину.
76. Алгоритм выделения эйлерова цикла или эйлеровой цепи в связном мультиграфе.
77. Алгоритм поиска минимального маршрута в ненагруженном (ор)графе.
78. Построение остова минимального веса. Алгоритмы Прима и Краскала.
79. Задача о нахождении минимального маршрута в нагруженном орграфе. Алгоритм
Дейкстры.
80. Алгоритм Флойда нахождения кратчайших путей между всеми парами вершин в
нагруженном орграфе.
9. Критерии оценок
Зачтено
Не зачтено
Превосходно
Подготовка, удовлетворяющая минимальным требованиям.
Необходима дополнительная подготовка для успешного прохождения
испытаний.
Превосходная подготовка
погрешностями.
с
очень
незначительными
8
Отлично
Очень хорошо
Хорошо
Удовлетворительно
Неудовлетворительно
Плохо
Подготовка, уровень которой существенно выше среднего с
некоторыми ошибками.
В целом хорошая подготовка с рядом заметных ошибок.
Хорошая подготовка, но со значительными ошибками.
Подготовка, удовлетворяющая минимальным требованиям.
Необходима дополнительная подготовка для успешного
прохождения испытания.
Подготовка совершенно недостаточная.
10. Примерная тематика курсовых работ и критерии их оценки
Не предусмотрены.
9
Программа составлена в соответствии с Федеральным государственным образовательным
стандартом
высшего
профессионального
образования
по
направлению
010300
«Фундаментальная информатика и информационные технологии»
Автор программы: _________________ Павлов И.С.
Программа рассмотрена на заседании кафедры 18 марта 2011 г. протокол № 10-11-04
Заведующий кафедрой _________________ Дубков А.А.
Программа одобрена методической комиссией факультета 11 апреля 2011 года
протокол № 05/10
Председатель методической комиссии_________________ Мануилов В.Н.
10